Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică

Aruncă o monedă de o sută de ori și numără stemele. Nu vei obține niciodată exact $50$ — vei obține $47$, sau $53$, sau $44$. Repetă cu o mie de aruncări și vei vedea ceva ciudat: numărul de steme continuă să se abată de la jumătate, dar proporția se apropie tot mai mult de $0,5$. Aceeași încăpățânare o vezi la zar, la extrageri, la tombole. Există, undeva sub hazard, un număr către care se îndreaptă frecvențele — iar acel număr se poate calcula dinainte, fără să arunci nimic.

Numărul acela se numește probabilitate, iar formula prin care îl obținem, într-o categorie importantă de experimente, este surprinzător de simplă: împărțim numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile. Lecția de față dă definiția, proprietățile ei și — partea pe care mulți o sar și de care se împiedică apoi la fiecare problemă — condiția fără de care formula nu are voie să fie folosită.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să aplici definiția clasică a probabilității, $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}$.
• Vei ști să verifici condiția de echiprobabilitate și să recunoști situațiile în care formula nu se aplică (zar măsluit, monedă strâmbă, sectoare inegale).
• Vei ști de ce alegerea greșită a mulțimii $\Omega$ duce la rezultate false și cum se repară.
• Vei ști proprietățile: $0\le P(A)\le 1$, $P(\varnothing )=0$, $P(\Omega )=1$ și monotonia.
• Vei ști să exprimi o probabilitate ca fracție ireductibilă, număr zecimal și procent și să rotunjești corect.
• Vei ști să interpretezi rezultatul: ce spune și, mai ales, ce nu spune o probabilitate despre o singură probă.

Hai să descoperim împreună

1. De la frecvența relativă la probabilitate

Să pornim de la ce se poate măsura. Dacă arunci un zar de $n$ ori și fața $6$ apare de $k$ ori, raportul $\frac{k}{n}$ se numește frecvența relativă a evenimentului „a apărut $6$" — noțiune întâlnită în capitolul de statistică, la Frecvențe relative și procente.

Frecvența relativă se schimbă de la o serie de probe la alta. Dar cu cât $n$ e mai mare, cu atât ea se apropie mai mult de o valoare fixă, iar acea valoare este ceea ce vrem să numim probabilitate. Un experiment făcut la clasă arată tiparul:

Valorile oscilează, dar în jurul lui $0,1\overline{6}$, adică al fracției $\frac{1}{6}$. Ideea de a calcula dinainte această valoare, fără experiment, este contribuția lui Pierre-Simon Laplace, iar formula lui poartă numele de definiție clasică.

2. Definiția clasică

Definiție (Laplace). Fie un experiment aleator cu un număr finit de rezultate posibile, egal posibile (echiprobabile). Probabilitatea unui eveniment $A$ este $$P(A)=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}.$$

Cele două numere le știm deja calcula: $\mathrm{card}(\Omega )$ din mulțimea rezultatelor posibile, iar $\mathrm{card}(A)$ prin numărarea cazurilor favorabile — cu liste, cu diagrame Venn sau cu diagrame arborescente.

Exemplu imediat. La aruncarea unui zar echilibrat, $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ și $A$ = „număr par" $=\{2,4,6\}$:

$$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5=50\%.$$

Rezultatul se scrie, de obicei, ca fracție ireductibilă; forma zecimală și procentul se dau când problema le cere sau când vrem să comparăm două probabilități.

3. Condiția de echiprobabilitate — partea care nu se sare

Formula are, scrisă chiar în definiție, o condiție: rezultatele elementare trebuie să fie egal posibile. Dacă ea nu e îndeplinită, formula dă un număr fără nicio legătură cu realitatea.

Definiție. Rezultatele unui experiment se numesc egal posibile (sau echiprobabile) dacă niciunul nu este favorizat față de celelalte — adică dacă, într-o serie lungă de probe, toate apar cu aceeași frecvență relativă.

Trei situații în care condiția nu e îndeplinită și, deci, definiția clasică nu se aplică:

• Zarul măsluit. Dacă un zar are un mic plumb sub fața $1$, fața $6$ (opusă) apare mai des. Într-o serie de $1000$ de aruncări s-au obținut $300$ de apariții ale feței $6$, adică o frecvență relativă de $0,30$, nu de $0,1\overline{6}$. Aici $P(6)\ne \frac{1}{6}$, iar valoarea se estimează din experiment, nu se calculează cu formula.
• Roata cu sectoare inegale. Dacă sectoarele nu au aceeași deschidere, „numărul sectoarelor" nu mai e o numărătoare corectă a cazurilor.
• Un elev ales „la întâmplare" dintr-o listă în care unii apar de mai multe ori. Formularea „la întâmplare" din enunțuri este chiar codul prin care ni se spune că rezultatele sunt egal posibile; fără ea, nu avem dreptul să presupunem nimic.

Cum apare condiția în enunțuri. Baremele folosesc formulări standard: „un zar echilibrat", „o monedă corectă", „se extrage la întâmplare o bilă", „bilele sunt identice ca formă și greutate". Când citești aceste cuvinte, ai voie să aplici formula. Când lipsesc și enunțul îți dă în schimb frecvențe măsurate, ești într-o cu totul altă problemă.

4. Capcana lui d'Alembert: același experiment, două mulțimi $\Omega$

Condiția de echiprobabilitate nu se referă doar la obiectul fizic, ci și la felul în care am ales să descriem rezultatele. Iată exemplul clasic, discutat în secolul al XVIII-lea de matematicianul Jean le Rond d'Alembert.

Se aruncă două monede corecte. Care este probabilitatea de a obține exact o stemă?

Raționamentul lui d'Alembert. „Rezultatele posibile sunt: două steme, o stemă, nicio stemă. Sunt trei, deci $P=\frac{1}{3}$."

Ce e greșit. Lista celor trei situații e completă și rezultatele se exclud reciproc — dar ele nu sunt egal posibile. Cu monedele deosebite (prima și a doua), mulțimea corectă este

$$\Omega =\{SS,SB,BS,BB\},\mathrm{card}(\Omega )=4,$$

și aici, într-adevăr, cele patru rezultate sunt egal posibile. Evenimentul „exact o stemă" este $\{SB,BS\}$, deci

$$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=50\%,$$

nu $\frac{1}{3}$. Experimentul confirmă: la o serie lungă de aruncări, „exact o stemă" apare în aproximativ jumătate dintre probe.

Morala, valabilă în tot capitolul: înainte de a împărți, întreabă-te dacă rezultatele din lista ta au aceeași greutate. Dacă nu, „mărunțește" descrierea — deosebește monedele, numerotează bilele, colorează zarurile — până când ele devin egal posibile. Este exact motivul pentru care am insistat, în lecția Diagrame arborescente pentru experimente în mai multe etape, să nu desenăm arborii pe culori.

5. Proprietățile probabilității

Din definiție rezultă imediat câteva proprietăți pe care le vei folosi ca instrumente de control.

a) Încadrarea între $0$ și $1$. Pentru orice eveniment $A$ avem $\varnothing \subseteq A\subseteq \Omega$, deci $0\le \mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(\Omega )$ și, împărțind la $\mathrm{card}(\Omega )>0$:

$$0\le P(A)\le 1.$$

O probabilitate negativă sau mai mare decât $1$ este semn sigur de greșeală — verifică imediat numărătorul și numitorul.

b) Capetele intervalului.

$$P(\varnothing )=\frac{0}{\mathrm{card}(\Omega )}=0,P(\Omega )=\frac{\mathrm{card}(\Omega )}{\mathrm{card}(\Omega )}=1.$$

Evenimentul imposibil are probabilitatea $0$, cel sigur are probabilitatea $1$.

c) Monotonia. Dacă $A\subseteq B$ (adică $A$ implică $B$), atunci $\mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(B)$, deci

$$P(A)\le P(B).$$

Un eveniment mai „strâmt" nu poate fi mai probabil decât unul mai „larg". La zar: $P(\{6\})=\frac{1}{6}\le \frac{1}{2}=P(\{2,4,6\})$.

d) Probabilitatea unui eveniment elementar. Dacă $\mathrm{card}(\Omega )=n$ și rezultatele sunt egal posibile, fiecare eveniment elementar are probabilitatea $\frac{1}{n}$, iar suma probabilităților tuturor evenimentelor elementare este $1$.

6. Trei feluri de a scrie același rezultat

O probabilitate se poate scrie ca fracție, ca număr zecimal sau ca procent. Toate trei înseamnă același lucru:

$$P=\frac{3}{8}=0,375=37,5\%.$$

Reguli practice:

• Fracția ireductibilă este forma preferată în răspunsul final la Bacalaureat: $\frac{6}{36}$ se scrie $\frac{1}{6}$.
• Forma zecimală se folosește la comparații; când nu iese exactă, se rotunjește și se scrie semnul $\approx$: $\frac{1}{6}\approx 0,17$.
• Procentul se obține înmulțind cu $100$: $\frac{5}{36}\approx 0,1389\approx 13,89\%$.

Atenție la rotunjire: nu scrie „$=$" acolo unde valoarea e aproximativă. $\frac{1}{3}\ne 0,33$; corect este $\frac{1}{3}\approx 0,33$.

7. Ce spune și ce nu spune o probabilitate

$P(A)=\frac{1}{6}$ nu înseamnă că din șase aruncări una va da $6$. Înseamnă că, într-un număr mare de probe, proporția aparițiilor se apropie de $\frac{1}{6}$. Această afirmație are un nume — legea numerelor mari — și explică de ce cazinourile și societățile de asigurări câștigă pe termen lung, deși pierd în multe cazuri individuale.

Două erori de gândire foarte răspândite, pe care merită să le numești ca atare:

• „Acum urmează să iasă $6$, că n-a mai ieșit de mult." Zarul nu are memorie. Probabilitatea rămâne $\frac{1}{6}$ la fiecare aruncare, indiferent de trecut.
• „Probabilitatea e mare, deci se va întâmpla." O probabilitate de $0,9$ lasă, totuși, o șansă din zece pentru contrariul — iar acea șansă chiar se materializează, din când în când.

8. Algoritmul de rezolvare, în patru pași

Orice problemă de probabilitate din acest capitol se rezolvă la fel:

1. Identifici experimentul și verifici dacă rezultatele sunt egal posibile („zar echilibrat", „la întâmplare").
2. Numeri cazurile posibile, $\mathrm{card}(\Omega )$ — cu listă, arbore sau formule de numărare.
3. Numeri cazurile favorabile, $\mathrm{card}(A)$, în același mod în care ai numărat cazurile posibile.
4. Împarți, simplifici și verifici că rezultatul e între $0$ și $1$; dacă e cerut, treci în procente.

Pasul 3 conține avertismentul cel mai important: dacă numiți cazurile posibile ca perechi ordonate, numărați și cazurile favorabile ca perechi ordonate. Vom relua această disciplină în lecția Cazuri favorabile și cazuri posibile — numărarea cu combinatorică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Zarul, trei evenimente

Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitățile evenimentelor: $A$ = „număr par", $B$ = „număr prim", $C$ = „număr mai mare decât $4$", $D$ = „număr diferit de $3$".

Rezolvare. $\mathrm{card}(\Omega )=6$, iar rezultatele sunt egal posibile (zarul e echilibrat).

• $A=\{2,4,6\}$: $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%$.
• $B=\{2,3,5\}$: $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%$. (Atenție: $1$ nu este număr prim.)
• $C=\{5,6\}$: $P(C)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 33,33\%$.
• $D=\{1,2,4,5,6\}$: $P(D)=\frac{5}{6}\approx 83,33\%$.

Toate rezultatele sunt între $0$ și $1$ ✓.

Exemplul 2 — Urna cu bile

O urnă conține $3$ bile roșii și $5$ bile albastre, identice la pipăit. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca ea să fie roșie? Exprimați rezultatul ca fracție, ca număr zecimal și în procente.

Rezolvare. Numerotăm bilele, deci $\mathrm{card}(\Omega )=3+5=8$, iar rezultatele sunt egal posibile („la întâmplare", bile identice). Evenimentul „bilă roșie" are $3$ cazuri favorabile:

$$P=\frac{3}{8}=0,375=37,5\%.$$

Verificare cu evenimentul contrar: „bilă albastră" are probabilitatea $\frac{5}{8}=0,625=62,5\%$, iar $37,5\%+62,5\%=100\%$ ✓.

Exemplul 3 — Două zaruri

Se aruncă două zaruri echilibrate, unul roșu și unul albastru. Calculați probabilitățile evenimentelor: $A$ = „suma fețelor este $7$", $B$ = „suma fețelor este $8$", $C$ = „ambele fețe sunt egale", $D$ = „suma fețelor este $12$".

Rezolvare. $\mathrm{card}(\Omega )=36$ (perechi ordonate).

• $A$: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, deci $6$ cazuri și $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 16,67\%$.
• $B$: $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$, deci $5$ cazuri și $P(B)=\frac{5}{36}\approx 13,89\%$.
• $C$: cele $6$ duble, deci $P(C)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
• $D$: doar $(6,6)$, deci $P(D)=\frac{1}{36}\approx 2,78\%$.

Observație utilă la jocuri: suma $7$ e mai probabilă decât suma $8$, iar suma $12$ e cea mai puțin probabilă dintre toate. Motivul e pur combinatoric — $7$ se poate obține în mai multe feluri.

Exemplul 4 — Capcana celor două monede

Se aruncă două monede corecte. Un elev spune: „rezultatele posibile sunt două steme, o stemă și nicio stemă, deci probabilitatea de a obține exact o stemă este $\frac{1}{3}$". Este corect? Justificați.

Rezolvare. Nu este corect. Cele trei situații nu sunt egal posibile, deci definiția clasică nu poate fi aplicată pe această listă.

Deosebim monedele și scriem $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$, cu $\mathrm{card}(\Omega )=4$ rezultate egal posibile. Evenimentul „exact o stemă" este $\{SB,BS\}$, deci

$$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=50\%.$$

Pentru comparație: „două steme" are probabilitatea $\frac{1}{4}$ și „nicio stemă" tot $\frac{1}{4}$, iar $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$ ✓ — o verificare care, cu valorile greșite $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$, ar fi părut și ea corectă. De aceea controlul nu e suficient: trebuie verificată egala posibilitate, nu doar suma.

Exemplul 5 — Când formula nu se aplică

Un zar este suspectat că e măsluit. Aruncat de $1000$ de ori, a dat fața $6$ de $300$ de ori. Care este probabilitatea de a obține $6$ la o nouă aruncare?

Rezolvare. Definiția clasică nu se poate folosi: ea cere fețe egal posibile, iar datele arată contrariul. Dacă zarul ar fi echilibrat, ne-am aștepta la aproximativ $1000\cdot \frac{1}{6}\approx 167$ de apariții, nu la $300$.

În acest caz probabilitatea se estimează din frecvența relativă:

$$P(6)\approx \frac{300}{1000}=0,3=30\%.$$

Este o valoare aproximativă, obținută experimental, nu una calculată. Reține deosebirea: la un zar echilibrat scriem $P(6)=\frac{1}{6}$ (egalitate exactă, dedusă); la unul măsluit scriem $P(6)\approx 0,3$ (estimare din date).

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte formate cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$. Se alege la întâmplare un număr din această mulțime. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

Rezolvare. Cazuri posibile. Cifra zecilor: $5$ variante; cifra unităților: $4$ (distinctă de prima). Deci $\mathrm{card}(\Omega )=5\cdot 4=20$, iar alegerea fiind „la întâmplare", cele $20$ de numere sunt egal posibile.

Cazuri favorabile. Numărul e par dacă se termină în $2$ sau $4$: $2$ variante pentru cifra unităților, apoi $4$ variante pentru cifra zecilor, deci $2\cdot 4=8$ numere.

$$P=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=0,4=40\%.$$

Verificare prin listă: numerele pare sunt $12$, $14$, $24$, $32$, $34$, $42$, $52$, $54$ — opt la număr ✓. Iar $0\le 0,4\le 1$ ✓.

Să exersăm

1. Se aruncă un zar echilibrat. Calculează probabilitatea evenimentelor: a) „a apărut $5$"; b) „a apărut un număr impar"; c) „a apărut un număr mai mic decât $7$"; d) „a apărut $8$".

2. O urnă conține $4$ bile albe și $6$ bile negre. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca ea să fie albă? Scrie rezultatul ca fracție ireductibilă și în procente.

3. Se aruncă o monedă corectă de două ori. Care este probabilitatea de a obține două steme? Dar cel puțin o stemă?

4. Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrage o carte la întâmplare. Calculează probabilitatea ca ea să fie: a) as; b) carte de inimă roșie; c) figură (valet, damă sau rege).

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un eveniment are probabilitatea $0,9$, atunci el se va produce sigur."

6. Se aruncă două zaruri echilibrate. Care este probabilitatea ca suma fețelor să fie $5$? Dar $11$?

7. Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,20\}$. Care este probabilitatea ca el să fie multiplu de $3$? Dar pătrat perfect?

8. O roată de tombolă are $8$ sectoare egale, numerotate de la $1$ la $8$. Care este probabilitatea de a se opri pe un sector par? Dar pe sectorul $5$?

9. Explică de ce, la aruncarea a două monede, probabilitatea de a obține exact o stemă este $\frac{1}{2}$, și nu $\frac{1}{3}$.

10. Într-o clasă sunt $28$ de elevi, dintre care $16$ fete. Se alege la întâmplare un elev. Care este probabilitatea ca acesta să fie băiat? Exprimă rezultatul și în procente, rotunjit la două zecimale.

11. Fie $A$ și $B$ două evenimente ale aceluiași experiment, cu $A\subseteq B$. Ce relație există între $P(A)$ și $P(B)$? Dă un exemplu la zar.

12. (Problemă aplicată.) Într-o cutie sunt $50$ de piese, dintre care $6$ au un defect. Se ia o piesă la întâmplare. Care este probabilitatea ca ea să fie bună? Scrie rezultatul în procente.

13. Se aruncă trei monede corecte. Care este probabilitatea de a obține exact două steme? Dar cel puțin o stemă?

14. Un zar aruncat de $600$ de ori a dat fața $1$ de $205$ ori. Poate fi considerat echilibrat? Ce probabilitate ai atribui feței $1$ și pe ce bază?

15. Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,20\}$. Care este probabilitatea ca el să fie număr prim?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea numerelor de două cifre distincte formate cu cifre din $\{1,2,3,4\}$. Se alege la întâmplare un număr din această mulțime. Calculează probabilitatea ca numărul ales să fie multiplu de $3$.

17. Un elev calculează o probabilitate și obține $\frac{7}{5}$. Fără să știi problema, cum îți dai seama că a greșit? Ce ar trebui să verifice mai întâi?

18. (Provocare.) La aruncarea a două zaruri, ordonează crescător după probabilitate evenimentele „suma este $2$", „suma este $7$", „suma este $10$", „suma este un număr par". Justifică prin numărarea cazurilor favorabile.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\frac{1}{6}\approx 16,67\%$; b) $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%$; c) $\frac{6}{6}=1$ (eveniment sigur); d) $\frac{0}{6}=0$ (eveniment imposibil).

2. $\mathrm{card}(\Omega )=10$, cazuri favorabile $4$, deci $P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0,4=40\%$.

3. $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$. Două steme: $P=\frac{1}{4}=25\%$. Cel puțin o stemă: $3$ cazuri favorabile, deci $P=\frac{3}{4}=75\%$.

4. a) $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx 7,69\%$; b) $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=25\%$; c) $\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\approx 23,08\%$.

5. Fals. O probabilitate de $0,9$ înseamnă că, într-un număr mare de probe, evenimentul apare în aproximativ $90\%$ dintre ele — deci în aproximativ una din zece nu apare. Singurul eveniment care se produce sigur este cel de probabilitate $1$, adică evenimentul sigur.

6. Suma $5$: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$, deci $P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 11,11\%$. Suma $11$: $(5,6),(6,5)$, deci $P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\approx 5,56\%$.

7. Multipli de $3$: $\{3,6,9,12,15,18\}$, deci $P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\%$. Pătrate perfecte: $\{1,4,9,16\}$, deci $P=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=20\%$.

8. Sector par: $\{2,4,6,8\}$, deci $P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=50\%$. Sectorul $5$: $P=\frac{1}{8}=0,125=12,5\%$. (Condiția „sectoare egale" din enunț e cea care ne dă dreptul să folosim formula.)

9. Pentru că lista „două steme, o stemă, nicio stemă" nu conține rezultate egal posibile: situația „o stemă" se obține în două feluri ($SB$ și $BS$), celelalte două într-unul singur. Mulțimea corectă are patru rezultate egal posibile, iar evenimentul are două cazuri favorabile, deci $P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

10. Băieți: $28-16=12$. Deci $P=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}\approx 0,4286\approx 42,86\%$.

11. Din $A\subseteq B$ rezultă $\mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(B)$, deci $P(A)\le P(B)$ (monotonia). Exemplu: $A=\{6\}$ și $B=\{2,4,6\}$ dau $\frac{1}{6}\le \frac{1}{2}$.

12. Piese bune: $50-6=44$. Deci $P=\frac{44}{50}=\frac{22}{25}=0,88=88\%$.

13. $\mathrm{card}(\Omega )=8$. Exact două steme: $\{SSB,SBS,BSS\}$, deci $P=\frac{3}{8}=0,375=37,5\%$. Cel puțin o stemă: $7$ cazuri favorabile, deci $P=\frac{7}{8}=0,875=87,5\%$.

14. La un zar echilibrat ne-am aștepta la aproximativ $600\cdot \frac{1}{6}=100$ de apariții; s-au obținut $205$, adică de peste două ori mai multe. Zarul nu poate fi considerat echilibrat, deci definiția clasică nu se aplică; probabilitatea se estimează din frecvența relativă: $P(1)\approx \frac{205}{600}\approx 0,34$.

15. Numerele prime până la $20$ sunt $2,3,5,7,11,13,17,19$, deci $8$ cazuri favorabile și $P=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=0,4=40\%$.

16. $\mathrm{card}(\Omega )=4\cdot 3=12$. Multiplii de $3$ din listă sunt $12$, $21$, $24$, $42$ — patru numere (suma cifrelor trebuie să fie multiplu de $3$, deci perechile $\{1,2\}$ și $\{2,4\}$, fiecare în două ordini). Deci $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx 33,33\%$.

17. Pentru că $\frac{7}{5}=1,4>1$, iar orice probabilitate se află între $0$ și $1$. Cel mai probabil a numărat mai multe cazuri favorabile decât posibile — adică a folosit două moduri diferite de numărare la numărător și la numitor (de exemplu ordonat sus și neordonat jos).

18. Numărăm cazurile favorabile din cele $36$: suma $2$ — un caz, $(1,1)$; suma $10$ — trei cazuri, $(4,6),(5,5),(6,4)$; suma $7$ — șase cazuri; suma pară — $18$ cazuri (jumătate dintre perechi). Ordinea crescătoare a probabilităților este deci: „suma este $2$" $\left(\frac{1}{36}\right)$, „suma este $10$" $\left(\frac{1}{12}\right)$, „suma este $7$" $\left(\frac{1}{6}\right)$, „suma este pară" $\left(\frac{1}{2}\right)$.

De reținut

• Definiția clasică: $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}$, adică numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile.
• Formula se aplică numai dacă rezultatele elementare sunt egal posibile (zar echilibrat, monedă corectă, extragere „la întâmplare"); altfel probabilitatea se estimează din frecvențe.
• Egala posibilitate depinde de felul în care descrii rezultatele: la două monede, $\Omega$ are patru elemente, nu trei, iar „exact o stemă" are probabilitatea $\frac{1}{2}$, nu $\frac{1}{3}$.
• Proprietăți: $0\le P(A)\le 1$; $P(\varnothing )=0$; $P(\Omega )=1$; dacă $A\subseteq B$, atunci $P(A)\le P(B)$.
• Probabilitatea se scrie ca fracție ireductibilă, ca zecimal sau în procente și nu prezice ce se întâmplă la o singură probă, ci proporția pe termen lung.

Greșeli frecvente

• Aplici formula fără să verifici echiprobabilitatea. La un zar măsluit sau la o listă de rezultate „grupate", raportul cazuri favorabile / cazuri posibile nu mai are sens. Caută în enunț cuvintele „echilibrat", „corect", „la întâmplare".
• Grupezi rezultatele și pierzi greutățile. „Două steme / o stemă / nicio stemă" pare o listă legitimă, dar cele trei situații nu sunt egal posibile. Mărunțește descrierea până când toate rezultatele au aceeași greutate.
• Numeri altfel sus și altfel jos. Dacă $\mathrm{card}(\Omega )$ e numărat cu ordine, atunci și cazurile favorabile trebuie numărate cu ordine. Amestecul dă rezultate absurde, uneori mai mari decât $1$.
• Scrii „$=$" în loc de „$\approx$". $\frac{1}{6}$ nu este egal cu $0,17$; scrie $\frac{1}{6}\approx 0,17$ sau păstrează fracția.
• Crezi că probabilitatea prezice o singură probă. $P=\frac{1}{6}$ nu înseamnă „o dată la fiecare șase aruncări"; zarul nu ține minte ce a ieșit înainte.

Aplică acasă

1. Legea numerelor mari, pe masa din bucătărie. Aruncă o monedă de $200$ de ori, în serii de câte $20$, și notează după fiecare serie proporția totală de steme. Desenează un grafic cu proporția pe verticală și numărul de aruncări pe orizontală. Vei vedea curba cum se liniștește în jurul valorii $0,5$ — exact ideea din secțiunea 1.

2. Zarul suspect. Ia un zar și aruncă-l de $120$ de ori, notând frecvențele. Compară fiecare frecvență relativă cu $\frac{1}{6}\approx 0,167$. Diferențele de câteva procente sunt normale; o abatere de tipul $0,30$ ar fi un semnal serios.

3. Probabilități din presă. Găsește trei afirmații cu procente din știri sau reclame („$9$ din $10$ dentiști recomandă…"). Pentru fiecare, întreabă-te care e experimentul, ce e $\Omega$ și dacă rezultatele sunt egal posibile. Vei descoperi că multe procente publicitare nu rezistă acestei analize.

Pentru părinți și profesori

Lecția este nucleul capitolului: aici se introduce formula lui Laplace și, împreună cu ea, condiția care o face validă. Experiența de la clasă arată că elevii rețin imediat raportul „favorabile pe posibile" și uită sistematic condiția de echiprobabilitate — de aceea lecția o repetă în definiție, într-o secțiune proprie, în capcana lui d'Alembert, în exemple, în greșelile frecvente și în algoritmul final.

Ce verifică lecția: dacă elevul caută în enunț cuvintele care garantează echiprobabilitatea; dacă „mărunțește" corect descrierea rezultatelor (monede deosebite, bile numerotate); dacă numără la fel sus și jos; dacă își controlează rezultatul cu $0\le P\le 1$. Întrebări bune de control: „De ce nu putem spune că sunt trei rezultate la două monede?"; „Ce faci dacă zarul e măsluit?"; „Ce înseamnă, concret, $P=\frac{1}{6}$?". Semne că a înțeles: verifică spontan încadrarea între $0$ și $1$ și corectează afirmații de tipul „acum trebuie să iasă $6$".

La Bacalaureat, formularea standard este „calculați probabilitatea ca…", iar baremul acordă puncte separate pentru numărul cazurilor posibile, pentru numărul cazurilor favorabile și pentru raportul final simplificat. Merită insistat ca răspunsul să fie dat ca fracție ireductibilă. Continuarea firească este Cazuri favorabile și cazuri posibile — numărarea cu combinatorică, unde numărătorile se fac cu permutări, aranjamente și combinări.

Întrebări frecvente

Care este definiția clasică a probabilității? Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, adică $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}$. Formula se aplică doar experimentelor cu un număr finit de rezultate egal posibile și se numește și formula lui Laplace.

Ce înseamnă condiția de echiprobabilitate? Înseamnă că toate rezultatele elementare ale experimentului au aceeași șansă de apariție, adică niciunul nu e favorizat. Un zar echilibrat o îndeplinește, unul măsluit nu. Fără această condiție, raportul cazuri favorabile pe cazuri posibile nu mai reprezintă probabilitatea.

Ce fac dacă zarul este măsluit? Definiția clasică nu se mai aplică, deci probabilitatea nu se calculează, ci se estimează din date experimentale, ca frecvență relativă. Dacă în $1000$ de aruncări fața $6$ a apărut de $300$ de ori, scriem $P(6)\approx 0,3$, folosind semnul de aproximare, nu semnul egal.

De ce la aruncarea a două monede probabilitatea unei singure steme este 1/2? Pentru că mulțimea corectă a rezultatelor egal posibile este $\{SS,SB,BS,BB\}$, cu patru elemente, iar „exact o stemă" se realizează în două dintre ele. Lista cu trei situații — două steme, o stemă, nicio stemă — nu conține rezultate egal posibile, deci nu poate fi folosită în formulă.

Poate o probabilitate să fie mai mare decât 1? Nu. Cum $A\subseteq \Omega$, numărul cazurilor favorabile nu poate depăși numărul cazurilor posibile, deci $0\le P(A)\le 1$. Un rezultat mai mare decât $1$ sau negativ arată sigur o greșeală de numărare — cel mai des, cazurile favorabile numărate ordonat și cele posibile neordonat.

Cum transform o probabilitate în procente? Împarți efectiv fracția și înmulțești rezultatul cu $100$. De exemplu $\frac{3}{8}=0,375=37,5\%$, iar $\frac{5}{36}\approx 0,1389\approx 13,89\%$. Când valoarea zecimală e aproximativă, folosește semnul $\approx$ și precizează la câte zecimale ai rotunjit.

Dacă probabilitatea este 1/6, înseamnă că din șase aruncări una va da 6? Nu. Înseamnă că, într-un număr mare de aruncări, proporția aparițiilor feței $6$ se apropie de $\frac{1}{6}$. La șase aruncări concrete poți obține zero, o singură dată sau chiar de mai multe ori fața $6$ — zarul nu are memorie și nu „datorează" nimic jucătorului.

De unde știu dacă am voie să folosesc formula într-o problemă de Bacalaureat? Din formularea enunțului: expresiile „zar echilibrat", „monedă corectă", „se alege la întâmplare", „bile identice" sunt exact codul prin care ni se garantează egala posibilitate a rezultatelor. Dacă enunțul îți dă în schimb frecvențe măsurate sau vorbește despre obiecte neuniforme, problema este de alt tip.