Identități cu coeficienți binomiali

O pizzerie din cartier are șapte ingrediente opționale: măsline, ardei, ciuperci, porumb, ceapă, ton, busuioc. Poți lua câte vrei din ele, de la niciunul până la toate. Câte pizze diferite se pot comanda? Ai putea număra pe cazuri: cele fără niciun ingredient ( $C_{7}^{0} = 1$ ), cele cu un singur ingredient ( $C_{7}^{1} = 7$ ), cu două ( $C_{7}^{2} = 21$ ) și așa mai departe, până la cea cu toate șapte ( $C_{7}^{7} = 1$ ). Aduni și obții $1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128$ .

Dar există și un drum de zece ori mai scurt: pentru fiecare ingredient în parte decizi „îl pun" sau „nu-l pun", deci $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{7} = 128$ . Aceleași pizze, numărate în două feluri. Când același număr se calculează în două moduri diferite, se naște o identitate — iar identitatea de aici este $C_{7}^{0} + C_{7}^{1} + \dots + C_{7}^{7} = 2^{7}$ . În lecția de azi vei vedea că formula binomului lui Newton este o adevărată mașină de produs astfel de identități: îi dai valori potrivite lui $a$ și lui $b$ și, dintr-o singură formulă, ies zeci de relații între coeficienții binomiali, dintre care câteva apar an de an la Bacalaureat.

Ce vei învăța

Vei ști de ce formula binomului lui Newton este o identitate și ce înseamnă asta: că poți înlocui $a$ și $b$ cu ce numere vrei.
Vei ști să demonstrezi și să folosești identitatea fundamentală $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ , cu interpretarea ei prin submulțimi.
Vei ști să demonstrezi suma alternantă $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots = 0$ și consecința ei: suma coeficienților de rang par este egală cu cea de rang impar, ambele valorând $2^{n - 1}$ .
Vei ști să obții identități noi prin particularizări inspirate, cum sunt $\sum C_{n}^{k} 2^{k} = 3^{n}$ sau $\sum C_{n}^{k} 3^{k} = 4^{n}$ .
Vei ști să folosești simetria $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ și formula de recurență a lui Pascal ca unelte de calcul, nu doar ca proprietăți de memorat.
Vei ști să determini $n$ dintr-o condiție de tipul „suma coeficienților binomiali este $1024$ " și să nu confunzi coeficienții binomiali cu coeficienții dezvoltării.

Hai să descoperim împreună

1. O identitate se poate „interoga"

Formula pe care ai învățat-o la Binomul lui Newton: dezvoltarea puterii unui binom,

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n},$

nu este o ecuație, ci o identitate: este adevărată pentru orice numere reale $a$ și $b$ și pentru orice $n$ natural. Diferența e uriașă. O ecuație are soluții; o identitate are, în schimb, o proprietate mult mai valoroasă — poți înlocui literele cu ce numere îți convin, iar egalitatea rămâne adevărată.

Aceasta este întreaga metodă a lecției de azi și merită scrisă cu litere mari: alegi valori isteț pentru $a$ și $b$ , le înlocuiești în formula lui Newton și citești ce a rămas. Membrul stâng devine un număr simplu, membrul drept devine o sumă de coeficienți binomiali, iar egalitatea dintre ele este identitatea căutată. Nu se folosește nimic în plus: nici inducție, nici calcule lungi. Doar o înlocuire bine aleasă.

Ca să vezi imediat puterea metodei, hai să facem cea mai simplă alegere posibilă.

2. Prima identitate: suma tuturor coeficienților binomiali

Luăm $a = 1$ și $b = 1$ . Membrul stâng devine $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ . În membrul drept, toate puterile lui $a$ și ale lui $b$ devin $1$ , deci rămân doar coeficienții:

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$

Aceasta este identitatea fundamentală a capitolului. Verific-o pe linia a cincea a triunghiului lui Pascal: $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$ ✓. Pe linia a șasea: $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2^{6}$ ✓.

Identitatea are și o interpretare combinatorică care o face de neuitat. $C_{n}^{k}$ este numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente. Adunând peste toate valorile lui $k$ , obținem numărul total de submulțimi. Pe de altă parte, o submulțime se construiește hotărând, pentru fiecare dintre cele $n$ elemente, dacă îl luăm sau nu — două posibilități de fiecare dată, deci $2^{n}$ submulțimi. Exact numărătoarea pizzelor din deschiderea lecției.

✏️Ilustrație: o mulțime cu 4 elemente reprezentată prin patru pătrățele, sub ea toate cele 16 submulțimi grupate pe coloane după cardinal (1, 4, 6, 4, 1), iar dedesubt egalitatea 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴

Din această identitate se citește imediat și numărul submulțimilor nevide: $2^{n} - 1$ (scădem submulțimea vidă). Iar dacă un enunț îți spune că suma coeficienților binomiali este $1024$ , tu scrii $2^{n} = 1024 = 2^{10}$ și tragi concluzia $n = 10$ .

3. A doua identitate: suma alternantă

Alegem acum $a = 1$ și $b = - 1$ . Membrul stâng devine $(1 - 1)^{n} = 0^{n} = 0$ (aici avem nevoie de $n \geq 1$ ). În membrul drept apare factorul $(- 1)^{k}$ la fiecare termen, deci semnele alternează:

$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - C_{n}^{3} + \dots + (- 1)^{n} C_{n}^{n} = 0, n \geq 1.$

Verificare pe $n = 5$ : $1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0$ ✓. Pe $n = 6$ : $1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0$ ✓.

Atenție la condiția $n \geq 1$ : pentru $n = 0$ suma are un singur termen, $C_{0}^{0} = 1$ , iar identitatea nu mai are loc. E o observație mică, dar e genul de detaliu pe care baremele îl urmăresc.

Consecința cea mai folosită. Grupăm termenii cu semn plus (cei de rang impar, adică cei cu $k$ par) și pe cei cu semn minus (rang par, $k$ impar). Din faptul că diferența lor este $0$ rezultă că cele două grupe sunt egale:

$C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + \dots = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + \dots$

Iar cum împreună dau $2^{n}$ (identitatea de la punctul 2), fiecare dintre ele valorează jumătate:

$C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + \dots = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + \dots = 2^{n - 1}, n \geq 1.$

Verificare pe $n = 5$ : coeficienții de indice par sunt $1, 10, 5$ , cu suma $16 = 2^{4}$ ; cei de indice impar sunt $5, 10, 1$ , tot $16$ ✓. Pe $n = 8$ : ambele sume dau $128 = 2^{7}$ ✓.

Interpretarea combinatorică e la fel de frumoasă: o mulțime cu $n \geq 1$ elemente are tot atâtea submulțimi cu număr par de elemente câte are cu număr impar.

4. Simetria și recurența, privite ca unelte

Două identități le cunoști deja și le folosim acum ca instrumente de calcul.

Combinările complementare: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , studiată în lecția Combinări complementare. E cea care explică simetria fiecărei linii din Triunghiul lui Pascal și care îți permite să calculezi $C_{20}^{18}$ ca $C_{20}^{2} = 190$ , cu două înmulțiri în loc de optsprezece.

Formula de recurență a lui Pascal: $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ , din lecția Formula de recurență a combinărilor. Fiecare număr din triunghi este suma celor două de deasupra lui. Exemplu: $C_{7}^{3} = C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = 15 + 20 = 35$ ✓.

Recurența e utilă și „în sens invers", ca să desfaci o combinare în două mai mici, sau ca să recunoști o sumă. Dacă într-un exercițiu vezi $C_{9}^{4} + C_{9}^{5}$ , nu calcula fiecare termen: recunoști imediat $C_{10}^{5} = 252$ .

5. Particularizări mai curajoase

Până acum am pus $b = 1$ și $b = - 1$ . Nimic nu ne oprește să punem altceva. Cu $a = 1$ și $b = 2$ obținem $(1 + 2)^{n} = 3^{n}$ , deci

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} \cdot 2 + C_{n}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{n}^{n} \cdot 2^{n} = 3^{n} .$

Verificare pe $n = 4$ : $1 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 8 + 1 \cdot 16 = 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 = 3^{4}$ ✓.

Cu $a = 1$ , $b = 3$ iese $\sum C_{n}^{k} 3^{k} = 4^{n}$ ; cu $a = 2$ , $b = 1$ iese $\sum C_{n}^{k} 2^{n - k} = 3^{n}$ (aceeași identitate, citită invers, datorită simetriei). Cu $a = 1$ , $b = \frac{1}{2}$ obținem chiar și sume cu fracții:

$C_{n}^{0} + \frac{C _{n}^{1}}{2} + \frac{C _{n}^{2}}{4} + \dots + \frac{C _{n}^{n}}{2 ^{n}} = (\frac{3}{2})^{n} .$

Pentru $n = 6$ : $1 + 3 + \frac{15}{4} + \frac{20}{8} + \frac{15}{16} + \frac{6}{32} + \frac{1}{64} = \frac{729}{64} = (\frac{3}{2})^{6}$ ✓.

Rețeta de recunoaștere, pe care merită s-o ții minte: dacă în sumă coeficientul binomial $C_{n}^{k}$ este înmulțit cu $t^{k}$ , atunci suma este $(1 + t)^{n}$ . Dacă apar și puteri ale altui număr pe post de $a$ , suma este $(a + t)^{n}$ . Practic, citești din sumă cine sunt $a$ și $b$ , apoi scrii direct rezultatul.

✏️Ilustrație: o „mașinărie" desenată schematic: în pâlnia de sus intră valorile alese pentru a și b (1 și 1, 1 și −1, 1 și 2), iar pe banda de ieșire apar identitățile 2ⁿ, 0, 3ⁿ

6. O identitate cu $k$ în față

Un tip de sumă des întâlnit este cel în care fiecare coeficient este înmulțit cu rangul lui:

$C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + \dots + n C_{n}^{n} = ?$

Pentru ea avem nevoie de o mică identitate ajutătoare, numită identitatea de absorbție:

$k \cdot C_{n}^{k} = n \cdot C_{n - 1}^{k - 1}, 1 \leq k \leq n .$

Demonstrație. Scriem ambele combinări cu factoriale:

$k \cdot C_{n}^{k} = k \cdot \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!} = n \cdot \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! [ ( n - 1 ) - ( k - 1 ) ] !} = n \cdot C_{n - 1}^{k - 1} . ■$

Acum suma se rezolvă singură: înlocuim fiecare termen și scoatem $n$ factor comun:

$k = 1 \sum n k C_{n}^{k} = n k = 1 \sum n C_{n - 1}^{k - 1} = n (C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + \dots + C_{n - 1}^{n - 1}) = n \cdot 2^{n - 1} .$

Verificare pe $n = 5$ : $1 \cdot 5 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 1 = 5 + 20 + 30 + 20 + 5 = 80$ , iar $5 \cdot 2^{4} = 80$ ✓.

Interpretarea combinatorică merită spusă, pentru că e chiar mai limpede decât calculul: numărăm în câte moduri putem alege dintr-un grup de $n$ persoane o echipă (de orice mărime) și un căpitan al ei. Fie alegem întâi echipa de $k$ oameni ( $C_{n}^{k}$ moduri) și apoi căpitanul dintre ei ( $k$ moduri) — asta dă membrul stâng. Fie alegem întâi căpitanul ( $n$ moduri) și apoi, pentru fiecare dintre ceilalți $n - 1$ oameni, hotărâm dacă intră sau nu în echipă ( $2^{n - 1}$ moduri) — asta dă $n \cdot 2^{n - 1}$ . Același număr, două numărători.

7. Coeficienți binomiali sau coeficienții dezvoltării?

O capcană de enunț care costă mulți elevi puncte. Compară cele două cerințe:

„suma coeficienților binomiali ai dezvoltării $(2 x + 3)^{4}$ " — se referă la $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4} = 2^{4} = 16$ ;
„suma coeficienților dezvoltării $(2 x + 3)^{4}$ " — se referă la suma numerelor care înmulțesc puterile lui $x$ după efectuarea calculelor.

A doua se obține tot printr-o particularizare, dar de alt fel: suma coeficienților unui polinom este valoarea lui în $x = 1$ . Deci suma cerută este $(2 \cdot 1 + 3)^{4} = 5^{4} = 625$ . Pentru control: $(2 x + 3)^{4} = 16 x^{4} + 96 x^{3} + 216 x^{2} + 216 x + 81$ , iar $16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$ ✓.

Regula scurtă: coeficienți binomiali $\Rightarrow$ pui $a = b = 1$ doar la combinări; coeficienții dezvoltării $\Rightarrow$ pui $x = 1$ în tot binomul. Citește enunțul de două ori înainte de a răspunde.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Suma coeficienților binomiali

Calculați $C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + C_{6}^{2} + C_{6}^{3} + C_{6}^{4} + C_{6}^{5} + C_{6}^{6}$ .

Rezolvare. Recunoaștem suma tuturor coeficienților binomiali de ordin $6$ , deci valoarea ei este $2^{6} = 64$ . Control prin calcul direct, cu linia a șasea din triunghiul lui Pascal: $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$ ✓.

Exemplul 2 — Suma alternantă și cele două jumătăți

Calculați $C_{7}^{0} - C_{7}^{1} + C_{7}^{2} - C_{7}^{3} + C_{7}^{4} - C_{7}^{5} + C_{7}^{6} - C_{7}^{7}$ , apoi calculați $C_{7}^{1} + C_{7}^{3} + C_{7}^{5} + C_{7}^{7}$ .

Rezolvare. Prima sumă se obține punând $a = 1$ , $b = - 1$ în formula lui Newton: rezultatul este $(1 - 1)^{7} = 0$ . Control: $1 - 7 + 21 - 35 + 35 - 21 + 7 - 1 = 0$ ✓.

Pentru a doua, folosim consecința: suma coeficienților de rang par (aici, cei cu indice impar) este $2^{7 - 1} = 2^{6} = 64$ . Control: $7 + 35 + 21 + 1 = 64$ ✓.

Exemplul 3 — O particularizare cu $b = 2$

Calculați $S = C_{5}^{0} + 2 C_{5}^{1} + 4 C_{5}^{2} + 8 C_{5}^{3} + 16 C_{5}^{4} + 32 C_{5}^{5}$ .

Rezolvare. Fiecare coeficient $C_{5}^{k}$ este înmulțit cu $2^{k}$ , deci suma este dezvoltarea lui $(1 + 2)^{5}$ :

$S = k = 0 \sum 5 C_{5}^{k} \cdot 1^{5 - k} \cdot 2^{k} = (1 + 2)^{5} = 3^{5} = 243.$

Control: $1 + 10 + 40 + 80 + 80 + 32 = 243$ ✓.

Exemplul 4 — Când semnul se ascunde în particularizare

Calculați $S = C_{5}^{0} - 2 C_{5}^{1} + 4 C_{5}^{2} - 8 C_{5}^{3} + 16 C_{5}^{4} - 32 C_{5}^{5}$ .

Rezolvare. Acum coeficientul $C_{5}^{k}$ este înmulțit cu $(- 2)^{k}$ , deci alegem $a = 1$ și $b = - 2$ :

$S = (1 - 2)^{5} = (- 1)^{5} = - 1.$

Control: $1 - 10 + 40 - 80 + 80 - 32 = - 1$ ✓. Observă cât de mult te ajută recunoașterea structurii: o sumă cu șase termeni, unii de ordinul zecilor, are răspunsul $- 1$ .

Exemplul 5 — Demonstrarea unei identități

Demonstrați că, pentru orice $n \geq 1$ , $C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + \dots = 2^{n - 1}$ .

Rezolvare. Notăm cu $P$ suma coeficienților de indice par și cu $I$ suma celor de indice impar.

Din particularizarea $a = b = 1$ obținem $P + I = 2^{n}$ .

Din particularizarea $a = 1$ , $b = - 1$ obținem $P - I = 0$ , adică $P = I$ .

Adunând cele două relații: $2 P = 2^{n}$ , deci $P = 2^{n - 1}$ (și, la fel, $I = 2^{n - 1}$ ). $■$

Metoda merită reținută: două particularizări, un sistem de două ecuații, gata. Este exact tehnica prin care se rezolvă majoritatea cerințelor de acest tip.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 1$ , pentru care suma coeficienților binomiali ai dezvoltării $(a + b)^{n}$ este egală cu $256$ .

Rezolvare. Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării este

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n} .$

Condiția din enunț devine $2^{n} = 256$ . Cum $256 = 2^{8}$ , iar funcția exponențială de bază $2$ este injectivă, rezultă $n = 8$ .

Verificare: pentru $n = 8$ , suma coeficienților binomiali este într-adevăr $1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La sumele de combinări, primul pas este mereu același: identifică ce alegere pentru $a$ și $b$ produce suma din enunț. Abia apoi calculează.

1. Calculează $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4}$ în două feluri: direct, cu valorile din triunghiul lui Pascal, și prin identitatea sumei.

2. Cât este suma tuturor coeficienților binomiali ai dezvoltării $(a + b)^{7}$ ?

3. Calculează $C_{6}^{0} - C_{6}^{1} + C_{6}^{2} - C_{6}^{3} + C_{6}^{4} - C_{6}^{5} + C_{6}^{6}$ .

4. Câte submulțimi are o mulțime cu $6$ elemente? Dar câte submulțimi cu exact $3$ elemente? Ce identitate leagă cele două răspunsuri?

5. Calculează $C_{5}^{0} + C_{5}^{2} + C_{5}^{4}$ și verifică rezultatul cu formula $2^{n - 1}$ .

6. Calculează $C_{4}^{0} + 3 C_{4}^{1} + 9 C_{4}^{2} + 27 C_{4}^{3} + 81 C_{4}^{4}$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării $(a + b)^{n}$ este $2^{n}$ , pentru orice număr natural $n$ ."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma coeficienților dezvoltării $(2 x + 3)^{4}$ este egală cu $2^{4} = 16$ ."

9. Determină numărul natural $n$ pentru care $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 512$ .

10. Demonstrează că, pentru orice $n \geq 1$ , $C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + \dots = 2^{n - 1}$ .

11. Verifică pentru $n = 5$ identitatea $C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + \dots + n C_{n}^{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ .

12. (Problemă aplicată.) O pizzerie oferă $7$ ingrediente opționale. Câte pizze diferite se pot comanda (inclusiv cea fără niciun ingredient)? Dar cu cel puțin un ingredient? Dar cu exact două ingrediente?

13. Folosind formula de recurență a lui Pascal, arată că $C_{7}^{3} = C_{6}^{2} + C_{6}^{3}$ și verifică numeric.

14. Calculează $C_{6}^{0} + \frac{C _{6}^{1}}{2} + \frac{C _{6}^{2}}{4} + \frac{C _{6}^{3}}{8} + \frac{C _{6}^{4}}{16} + \frac{C _{6}^{5}}{32} + \frac{C _{6}^{6}}{64}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 1$ , pentru care $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 64$ .

16. (Problemă aplicată.) Într-o clasă cu $10$ elevi se formează o delegație pentru un concurs; delegația poate avea oricâți membri, chiar și niciunul. În câte moduri se poate forma? În câte dintre ele delegația are un număr par de membri?

17. Calculează $C_{4}^{0} \cdot 2^{4} + C_{4}^{1} \cdot 2^{3} + C_{4}^{2} \cdot 2^{2} + C_{4}^{3} \cdot 2 + C_{4}^{4}$ , identificând mai întâi valorile lui $a$ și $b$ .

18. (Provocare.) Arată că $(C_{4}^{0})^{2} + (C_{4}^{1})^{2} + (C_{4}^{2})^{2} + (C_{4}^{3})^{2} + (C_{4}^{4})^{2} = C_{8}^{4}$ și explică, printr-o numărare, de ce relația $\sum_{k = 0}^{n} (C_{n}^{k})^{2} = C_{2 n}^{n}$ este adevărată pentru orice $n$ .

Răspunsuri și explicații

1. Direct: $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ . Prin identitate: suma este $2^{4} = 16$ ✓. Cele două drumuri dau, firește, același rezultat.

2. $2^{7} = 128$ . Se obține punând $a = b = 1$ în formula binomului lui Newton.

3. Suma este alternantă, deci se obține din $(1 - 1)^{6} = 0$ . Control: $1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0$ ✓.

4. O mulțime cu $6$ elemente are $2^{6} = 64$ submulțimi; dintre ele, $C_{6}^{3} = 20$ au exact $3$ elemente. Legătura: $C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + \dots + C_{6}^{6} = 2^{6}$ , adică $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$ — submulțimile cu $3$ elemente sunt doar una dintre grupele acestei sume.

5. $C_{5}^{0} + C_{5}^{2} + C_{5}^{4} = 1 + 10 + 5 = 16$ . Formula dă $2^{5 - 1} = 2^{4} = 16$ ✓ (suma coeficienților de indice par).

6. Fiecare $C_{4}^{k}$ este înmulțit cu $3^{k}$ , deci suma este $(1 + 3)^{4} = 4^{4} = 256$ . Control: $1 + 12 + 54 + 108 + 81 = 256$ ✓.

7. Adevărat. Se obține punând $a = b = 1$ în formula lui Newton și este valabilă pentru orice $n$ natural, inclusiv $n = 0$ (unde suma are un singur termen, $C_{0}^{0} = 1 = 2^{0}$ ).

8. Fals. $2^{4} = 16$ este suma coeficienților binomiali, nu a coeficienților dezvoltării. Suma coeficienților se obține înlocuind $x = 1$ în binom: $(2 \cdot 1 + 3)^{4} = 5^{4} = 625$ . Control: $16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$ ✓.

9. $2^{n} = 512 = 2^{9}$ , deci $n = 9$ .

10. Notăm $P$ suma coeficienților de indice par și $I$ suma celor de indice impar. Din $a = b = 1$ : $P + I = 2^{n}$ . Din $a = 1$ , $b = - 1$ : $P - I = 0$ . Scăzând, $2 I = 2^{n}$ , deci $I = 2^{n - 1}$ . $■$

11. Membrul stâng: $1 \cdot 5 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 1 = 5 + 20 + 30 + 20 + 5 = 80$ . Membrul drept: $5 \cdot 2^{4} = 5 \cdot 16 = 80$ ✓.

12. Fiecare ingredient se ia sau nu: $2^{7} = 128$ pizze. Cu cel puțin un ingredient: $128 - 1 = 127$ (scădem varianta fără nimic). Cu exact două ingrediente: $C_{7}^{2} = 21$ .

13. Formula lui Pascal: $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ . Pentru $n = 7$ , $k = 3$ : $C_{7}^{3} = C_{6}^{2} + C_{6}^{3}$ . Numeric: $35 = 15 + 20$ ✓.

14. Fiecare $C_{6}^{k}$ este împărțit la $2^{k}$ , adică înmulțit cu $(\frac{1}{2})^{k}$ . Deci suma este $(1 + \frac{1}{2})^{6} = (\frac{3}{2})^{6} = \frac{729}{64}$ .

15. $2^{n} = 64 = 2^{6}$ , deci $n = 6$ .

16. Delegația este o submulțime a mulțimii celor $10$ elevi, deci sunt $2^{10} = 1024$ de moduri. Cele cu număr par de membri sunt $2^{10 - 1} = 512$ (jumătate), conform identității demonstrate în Exemplul 5.

17. Aici $a = 2$ și $b = 1$ : suma este $\sum C_{4}^{k} 2^{4 - k} \cdot 1^{k} = (2 + 1)^{4} = 3^{4} = 81$ . Control: $16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81$ ✓.

18. Numeric: $1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70$ , iar $C_{8}^{4} = 70$ ✓. Numărarea: vrem să alegem $n$ persoane dintr-un grup format din $n$ fete și $n$ băieți, în total $2 n$ persoane — deci $C_{2 n}^{n}$ moduri. Pe de altă parte, putem grupa alegerile după numărul $k$ de fete alese: alegem $k$ fete ( $C_{n}^{k}$ moduri) și $n - k$ băieți ( $C_{n}^{n - k} = C_{n}^{k}$ moduri), deci $(C_{n}^{k})^{2}$ moduri pentru fiecare $k$ . Adunând peste $k$ , obținem $\sum_{k = 0}^{n} (C_{n}^{k})^{2} = C_{2 n}^{n}$ .

De reținut

Formula binomului lui Newton este o identitate: rămâne adevărată pentru orice $a$ și $b$ . De aceea, orice particularizare inspirată produce o identitate nouă între coeficienți binomiali.
Identitatea fundamentală ( $a = b = 1$ ): $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ — numărul submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente.
Suma alternantă ( $a = 1$ , $b = - 1$ ): $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots = 0$ pentru $n \geq 1$ ; de aici, coeficienții de rang par și cei de rang impar au aceeași sumă, $2^{n - 1}$ .
Particularizări utile: $\sum C_{n}^{k} 2^{k} = 3^{n}$ , $\sum C_{n}^{k} 3^{k} = 4^{n}$ , iar în general $\sum C_{n}^{k} t^{k} = (1 + t)^{n}$ . Recunoști $t$ după puterea care înmulțește coeficientul.
Nu confunda suma coeficienților binomiali ( $2^{n}$ , se obține punând $a = b = 1$ doar la combinări) cu suma coeficienților dezvoltării (se obține înlocuind $x = 1$ în tot binomul).

Greșeli frecvente

Aplicarea sumei alternante pentru $n = 0$ . Identitatea $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + \dots = 0$ cere $n \geq 1$ ; pentru $n = 0$ suma este $1$ , nu $0$ . Scrie mereu condiția lângă identitate.
Confundarea celor două „sume de coeficienți". „Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării $(3 x - 1)^{5}$ " este $2^{5} = 32$ , dar „suma coeficienților dezvoltării" este $(3 - 1)^{5} = 32$ doar din întâmplare la acest exemplu; la $(2 x + 3)^{4}$ cele două sunt $16$ și $625$ . Citește enunțul cu atenție.
Calculul termen cu termen când există o identitate. O sumă de zece combinări se calculează într-un rând dacă recunoști structura. Pierzi timp prețios la examen dacă o iei la socotit.
Uitarea puterii lui $a$ la particularizări. Când $a \neq = 1$ , termenul general conține și $a^{n - k}$ , nu doar $b^{k}$ . Suma $C_{4}^{0} 2^{4} + C_{4}^{1} 2^{3} \cdot 3 + C_{4}^{2} 2^{2} \cdot 3^{2} + C_{4}^{3} \cdot 2 \cdot 3^{3} + C_{4}^{4} 3^{4}$ este $(2 + 3)^{4} = 625$ , nu $(1 + 3)^{4} = 256$ — cine se uită doar la puterile lui $3$ pierde baza $a = 2$ .
Confuzia dintre $2^{n - 1}$ și $2^{n} /2$ scris greșit. Sunt același număr, dar mulți elevi scriu din grabă $2^{n} - 1$ în loc de $2^{n - 1}$ . Primul este numărul submulțimilor nevide, al doilea este jumătate din numărul submulțimilor — lucruri complet diferite.

Aplică acasă

Numără submulțimile. Ia patru obiecte diferite de pe birou (pix, radieră, cheie, monedă) și scrie pe hârtie toate „selecțiile" posibile, de la niciunul la toate patru. Grupează-le după câte obiecte conțin și verifică șirul $1, 4, 6, 4, 1$ , cu totalul $16 = 2^{4}$ . Ai construit cu mâna ta linia a patra din triunghiul lui Pascal.
Meniul de acasă. Numără câte ingrediente opționale ai pentru o salată sau un sandviș (roșii, castraveți, brânză, măsline, porumb…). Calculează câte combinații diferite poți face și compară numărul cu ce ți-ai fi imaginat. Apoi calculează câte au un număr par de ingrediente — răspunsul este exact jumătate.
Triunghiul verificat. Scrie primele opt linii din triunghiul lui Pascal (de la $n = 0$ la $n = 7$ ) și, în dreapta fiecărei linii, suma ei. Verifică faptul că sumele sunt $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ și scrie apoi, sub fiecare linie, suma alternantă — vei obține doar zerouri, începând de la linia a doua.

Pentru părinți și profesori

Lecția schimbă modul în care elevul privește formula binomului: nu ca pe o rețetă de dezvoltat paranteze, ci ca pe o identitate care poate fi „interogată" prin particularizări. Este primul contact serios cu ideea de demonstrație prin substituție, iar câștigul e dublu: pe de o parte, se rezolvă rapid sume care altfel ar cere zeci de calcule; pe de altă parte, elevul înțelege că o formulă adevărată pentru orice valori este mult mai puternică decât una adevărată pentru o valoare anume.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie explicit ce valori a dat lui $a$ și lui $b$ , înainte de a scrie rezultatul; (2) menționează condiția $n \geq 1$ la suma alternantă; (3) rezolvă cerințele „demonstrați că…" printr-un sistem din două particularizări, nu prin verificări pe cazuri; (4) distinge suma coeficienților binomiali de suma coeficienților dezvoltării. Întrebări bune de control: „Ce obții dacă pui $a = b = 1$ ?"; „De ce sunt tot atâtea submulțimi cu număr par de elemente câte cu număr impar?"; „Cum afli $n$ dacă suma coeficienților binomiali este $1024$ ?" (răspuns: $n = 10$ ).

La Bacalaureat, aceste identități apar mai ales la subiectul I, în cerințe de o singură linie: „calculați $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n}$ ", „determinați $n$ știind că…". Sunt exerciții de punctaj sigur, cu condiția ca cele două particularizări de bază să fie automatisme. Semne că elevul a înțeles: recunoaște structura unei sume fără să o calculeze termen cu termen și poate explica interpretarea prin submulțimi a identității $2^{n}$ .

Întrebări frecvente

Cât este suma coeficienților binomiali ai unei dezvoltări? Suma $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n}$ este egală cu $2^{n}$ . Se obține punând $a = 1$ și $b = 1$ în formula binomului lui Newton, pentru că atunci toate puterile devin $1$ și rămân doar coeficienții.

De ce suma alternantă a coeficienților binomiali este zero? Pentru că, punând $a = 1$ și $b = - 1$ în formula lui Newton, membrul stâng devine $(1 - 1)^{n} = 0$ , iar membrul drept este exact suma cu semne alternante. Identitatea este valabilă pentru $n \geq 1$ ; pentru $n = 0$ suma are un singur termen și dă $1$ .

Câte submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente? Are $2^{n}$ submulțimi, inclusiv mulțimea vidă și mulțimea însăși. Explicația: pentru fiecare element decizi separat dacă îl incluzi sau nu, deci ai două posibilități de $n$ ori. Submulțimile nevide sunt $2^{n} - 1$ .

Cum determin $n$ dacă știu suma coeficienților binomiali? Scrii ecuația $2^{n} = S$ , unde $S$ este valoarea din enunț, apoi scrii $S$ ca putere a lui $2$ . De exemplu, $2^{n} = 1024 = 2^{10}$ dă $n = 10$ , iar $2^{n} = 256 = 2^{8}$ dă $n = 8$ .

Care e diferența dintre suma coeficienților binomiali și suma coeficienților dezvoltării? Coeficienții binomiali sunt numerele $C_{n}^{k}$ ; suma lor este mereu $2^{n}$ . Coeficienții dezvoltării includ și factorii numerici din binom; suma lor se obține înlocuind $x = 1$ în binom. La $(2 x + 3)^{4}$ , prima sumă este $16$ , iar a doua este $5^{4} = 625$ .

Cum recunosc ce particularizare trebuie făcută la o sumă dată? Uită-te cu ce este înmulțit fiecare coeficient binomial. Dacă $C_{n}^{k}$ apare înmulțit cu $t^{k}$ , atunci suma este $(1 + t)^{n}$ . Dacă apare și o putere $a^{n - k}$ , suma este $(a + t)^{n}$ . Semnele alternante înseamnă că $t$ este negativ.

Sunt tot atâtea submulțimi cu număr par de elemente câte cu număr impar? Da, pentru orice mulțime nevidă. Este consecința directă a sumei alternante: coeficienții de indice par și cei de indice impar au aceeași sumă, anume $2^{n - 1}$ . Pentru o mulțime cu $10$ elemente, ambele grupe au câte $512$ submulțimi.

La ce îmi folosesc aceste identități mai departe? Imediat, la Termenul general al dezvoltării binomiale și la Probleme practice de numărare: coduri, echipe, drumuri, unde sumele de combinări apar tot timpul. Mai departe, în capitolul de probabilități, unde numărul cazurilor posibile este adesea chiar $2^{n}$ (toate submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente), iar cazurile favorabile se numără cu combinări.