Probabilitatea reuniunii a două evenimente

Într-o clasă cu $30$ de elevi, $18$ studiază engleza, $12$ studiază franceza, iar $5$ dintre ei studiază ambele limbi. Dirigintele alege un elev la întâmplare, pentru un proiect cu o școală din străinătate, și vrea să știe cât de probabil este ca elevul ales să știe cel puțin una dintre cele două limbi. Primul răspuns care vine în minte este $\frac{18}{30} + \frac{12}{30} = \frac{30}{30} = 1$ — adică ar fi sigur că orice elev ales știe măcar o limbă străină. Doar că răspunsul acesta este vizibil fals: dacă $18 + 12 = 30$ ar fi numărul real al elevilor cu limbi străine, ar însemna că absolut toată clasa e acoperită, ceea ce contrazice faptul că $5$ elevi au fost numărați de două ori, o dată la engleză și o dată la franceză.

Aici intervine formula pe care o studiem în această lecție. Ea rezolvă, o dată pentru totdeauna, întrebarea „care este probabilitatea ca să se producă $A$ sau $B$ ?" și are un ingredient care surprinde la prima vedere: o scădere. Vom vedea de unde vine ea, când dispare și cum se folosește formula în ambele sensuri — pentru a afla reuniunea când cunoaștem intersecția, dar și invers.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă reuniunea $A \cup B$ a două evenimente și de ce „sau" este, în matematică, unul neexclusiv.
Vei ști să demonstrezi și să aplici formula $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Vei ști să recunoști cazul particular al evenimentelor disjuncte, în care formula devine o simplă adunare.
Vei ști să citești și să completezi o diagramă Venn cu numere, pe cele patru regiuni ale ei.
Vei ști să folosești formula invers, pentru a afla $P (A \cap B)$ atunci când cunoști celelalte trei probabilități.
Vei ști să calculezi probabilitatea evenimentului „nici $A$ , nici $B$ ", combinând reuniunea cu evenimentul contrar.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă reuniunea a două evenimente

Fie $Ω$ mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleator și fie $A$ , $B$ două evenimente.

Definiție. Reuniunea evenimentelor $A$ și $B$ , notată $A \cup B$ , este evenimentul care se produce atunci când se produce cel puțin unul dintre ele: sau $A$ , sau $B$ , sau amândouă.

Atenție la cuvântul „sau". În limbajul obișnuit, „ori cafea, ori ceai" înseamnă de obicei una singură dintre ele. În matematică, „sau" este neexclusiv: $A \cup B$ se produce și atunci când se produc amândouă deodată. Dacă vrei să exprimi „exact unul dintre ele", asta este cu totul alt eveniment.

Exemplu, pe zar: $A$ = „apare o față pară" $= {2, 4, 6}$ , $B$ = „apare un multiplu de $3$ " $= {3, 6}$ . Atunci

$A \cup B = {2, 3, 4, 6}, A \cap B = {6} .$

Fața $6$ aparține și lui $A$ , și lui $B$ ; ea face parte din reuniune o singură dată, pentru că este un singur rezultat al experimentului.

✏️Ilustrație: diagramă Venn cu două cercuri care se suprapun, în interiorul unui dreptunghi etichetat Ω; zona colorată integral (ambele cercuri, inclusiv suprapunerea) este etichetată „A ∪ B — cel puțin unul", iar lentila comună este etichetată separat „A ∩ B — amândouă"

2. De unde vine scăderea: numărarea pe diagrama Venn

Să numărăm cazurile favorabile reuniunii, folosind diagrama Venn. Cercul lui $A$ conține $card (A)$ rezultate, cercul lui $B$ conține $card (B)$ rezultate. Dacă le adunăm pur și simplu, rezultatele din lentila comună — cele care aparțin și lui $A$ , și lui $B$ — sunt numărate de două ori: o dată în $A$ , o dată în $B$ . Ca să reparăm numărarea, le scădem o dată:

$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B) .$

Aceasta este aceeași idee cu principiul de numărare folosit la regula sumei: aduni părțile, apoi corectezi suprapunerea.

Împărțim acum totul la numărul $n = card (Ω)$ al cazurilor posibile, presupuse egal probabile:

$\frac{card ( A \cup B )}{n} = \frac{card ( A )}{n} + \frac{card ( B )}{n} - \frac{card ( A \cap B )}{n} .$

Fiecare raport este, prin definiția clasică, probabilitatea evenimentului respectiv. Obținem astfel formula centrală a lecției:

Formula probabilității reuniunii. Pentru orice două evenimente $A$ și $B$ : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$

Verificăm pe exemplul cu zarul: $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ . Formula dă

$P (A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} .$

Prin numărare directă: $A \cup B = {2, 3, 4, 6}$ are $4$ elemente din $6$ , deci $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . ✓

3. Cazul particular: evenimente disjuncte

Dacă evenimentele $A$ și $B$ nu se pot produce niciodată simultan, ele se numesc disjuncte (sau incompatibile), iar $A \cap B = \emptyset$ , deci $P (A \cap B) = 0$ . Formula se simplifică:

Cazul disjunct. Dacă $A \cap B = \emptyset$ , atunci $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Exemplu: la aruncarea a două zaruri, $A$ = „suma este $7$ " și $B$ = „cele două zaruri arată aceeași față". Suma $7$ nu se poate obține cu două fețe egale (ar trebui $3, 5$ pe fiecare), deci evenimentele sunt disjuncte. Cum $A$ are $6$ cazuri favorabile și $B$ tot $6$ , din cele $36$ posibile:

$P (A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} .$

Aici e capcana cea mai frecventă: mulți elevi aplică adunarea simplă la orice pereche de evenimente. Adunarea directă este corectă numai dacă evenimentele sunt disjuncte. De aceea, primul lucru pe care îl faci într-o problemă de reuniune este să te întrebi: se pot produce amândouă deodată? Dacă da, ai nevoie de termenul scăzut. Mai multe despre această noțiune găsești în lecția Evenimente disjuncte. Diagrame Venn.

4. Problema din deschidere, rezolvată

Revenim la clasa cu $30$ de elevi: $18$ fac engleză ( $E_{n}$ ), $12$ fac franceză ( $F_{r}$ ), $5$ fac ambele.

$P (E_{n}) = \frac{18}{30}, P (F_{r}) = \frac{12}{30}, P (E_{n} \cap F_{r}) = \frac{5}{30} .$

Aplicăm formula:

$P (E_{n} \cup F_{r}) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \approx 0, 833.$

Deci $25$ dintre cei $30$ de elevi știu cel puțin o limbă străină, iar probabilitatea căutată este $\frac{5}{6}$ , nu $1$ .

Mai mult, putem descompune clasa pe cele patru regiuni ale diagramei Venn:

Regiunea	Ce înseamnă	Câți elevi
numai engleză	$18 - 5$	$13$
ambele	dat în enunț	$5$
numai franceză	$12 - 5$	$7$
niciuna	$30 - 25$	$5$

Verificare: $13 + 5 + 7 + 5 = 30$ . ✓ Observă că suma celor patru regiuni trebuie să dea întotdeauna totalul — este proba obligatorie a oricărei probleme de acest tip.

✏️Ilustrație: diagramă Venn cu două cercuri etichetate „engleză" și „franceză" în interiorul unui dreptunghi cu 30 de elevi; în regiuni sunt scrise numerele 13, 5, 7, iar în afara cercurilor, în colțul dreptunghiului, numărul 5

5. Formula citită invers

Formula are patru mărimi legate între ele: $P (A)$ , $P (B)$ , $P (A \cap B)$ și $P (A \cup B)$ . Dacă știi trei dintre ele, o afli pe a patra. Cea mai folosită variantă la examene este:

$P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B) .$

Exemplu. Se știe că $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ și $P (A \cup B) = 0, 8$ . Atunci

$P (A \cap B) = 0, 6 + 0, 5 - 0, 8 = 0, 3.$

Observă și un lucru interesant: aici $P (A) + P (B) = 1, 1 > 1$ , ceea ce este perfect posibil, pentru că cele două evenimente se suprapun. Ce nu poate depăși niciodată $1$ este $P (A \cup B)$ .

6. Trei inegalități utile

Din formulă se citesc imediat trei limitări pe care merită să le folosești ca verificare de bun-simț:

$P (A \cup B) \leq P (A) + P (B)$ , cu egalitate exact când evenimentele sunt disjuncte. Reuniunea nu poate fi mai mare decât suma părților.
$P (A \cup B) \geq P (A)$ și $P (A \cup B) \geq P (B)$ : reuniunea conține fiecare eveniment, deci este cel puțin la fel de probabilă ca fiecare dintre ele.
$P (A \cup B) \leq 1$ , ca orice probabilitate.

Dacă la finalul unei probleme obții o reuniune mai mică decât unul dintre evenimente, sau mai mare decât $1$ , ai greșit sigur undeva.

7. „Nici $A$ , nici $B$ " — reuniunea plus contrarul

Evenimentul „nu se produce niciunul dintre ele" este chiar contrarul reuniunii. Folosind formula din lecția Evenimentul contrar și probabilitatea lui:

$P (nici A, nici B) = P (\overline{A \cup B}) = 1 - P (A \cup B) .$

La clasa din deschidere: $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ , adică cei $5$ elevi care nu fac nicio limbă străină, din $30$ . ✓

Tot de aici se obține și probabilitatea evenimentului „numai $A$ " (adică $A$ se produce, dar $B$ nu):

$P (numai A) = P (A) - P (A \cap B) .$

La clasă: $\frac{18}{30} - \frac{5}{30} = \frac{13}{30}$ , adică cei $13$ elevi care fac doar engleză. ✓

8. Rezumatul algoritmului

Identifică precis evenimentele $A$ și $B$ și scrie ce înseamnă $A \cup B$ în cuvinte.
Întreabă-te: se pot produce amândouă simultan? Dacă nu, evenimentele sunt disjuncte și doar aduni.
Dacă da, calculează $P (A)$ , $P (B)$ și $P (A \cap B)$ , apoi aplică formula completă.
Verifică: rezultatul trebuie să fie între $max (P (A), P (B))$ și $min (1, P (A) + P (B))$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cupă sau as

Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ de cărți de joc. Care este probabilitatea ca ea să fie cupă sau as?

Rezolvare. $A$ = „carte de cupă" are $13$ cazuri favorabile, $B$ = „as" are $4$ . Cele două evenimente nu sunt disjuncte: asul de cupă aparține ambelor, deci $A \cap B$ are un singur caz favorabil.

$P (A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0, 308.$

Fără scăderea asului de cupă am fi obținut $\frac{17}{52}$ , un rezultat mai mare decât cel real, pentru că o carte ar fi fost numărată de două ori.

Exemplul 2 — Două zaruri, evenimente care se suprapun

Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca primul zar să arate o față pară sau ca suma fețelor să fie mai mare decât $9$ ?

Rezolvare. Cazuri posibile: $36$ .

$A$ = „primul zar e par": prima față poate fi $2$ , $4$ sau $6$ , iar a doua orice, deci $3 \cdot 6 = 18$ cazuri, $P (A) = \frac{18}{36}$ .

$B$ = „suma mai mare decât $9$ ": perechile $(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)$ , deci $6$ cazuri, $P (B) = \frac{6}{36}$ .

$A \cap B$ = „primul par și suma peste $9$ ": din lista de mai sus rămân $(4, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$ , adică $4$ cazuri.

$P (A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{6}{36} - \frac{4}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} \approx 0, 556.$

Exemplul 3 — Multipli, pe bile numerotate

Într-o urnă sunt $20$ de bile numerotate de la $1$ la $20$ . Se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca numărul ei să fie multiplu de $3$ sau multiplu de $4$ ?

Rezolvare. Multiplii de $3$ : $3, 6, 9, 12, 15, 18$ — șase numere. Multiplii de $4$ : $4, 8, 12, 16, 20$ — cinci numere. Numerele care sunt și multipli de $3$ , și de $4$ sunt multiplii de $12$ : doar $12$ — un număr.

$P = \frac{6}{20} + \frac{5}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} .$

Verificare directă: mulțimea căutată este ${3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20}$ , cu $10$ elemente din $20$ . ✓

Exemplul 4 — Evenimente disjuncte

Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma fețelor să fie $7$ sau $11$ ?

Rezolvare. Suma nu poate fi în același timp $7$ și $11$ , deci evenimentele sunt disjuncte și adunăm direct. Suma $7$ : $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ — șase cazuri. Suma $11$ : $(5, 6), (6, 5)$ — două cazuri.

$P = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} .$

Exemplul 5 — Diagrama Venn cu numere

Într-un magazin au intrat $200$ de clienți: $120$ au cumpărat pâine, $90$ au cumpărat lapte, iar $50$ au cumpărat și pâine, și lapte. Se alege la întâmplare un client. a) Care este probabilitatea să fi cumpărat cel puțin unul dintre cele două produse? b) Dar niciunul? c) Dar numai pâine?

Rezolvare. a) Cu formula reuniunii:

$P (P \overset{a}{^} \cup L a) = \frac{120}{200} + \frac{90}{200} - \frac{50}{200} = \frac{160}{200} = \frac{4}{5} = 0, 8.$

b) Contrarul reuniunii: $1 - 0, 8 = 0, 2$ , adică $40$ de clienți dintre cei $200$ .

c) „Numai pâine" $= 120 - 50 = 70$ de clienți, deci $\frac{70}{200} = \frac{7}{20} = 0, 35$ .

Proba pe cele patru regiuni: $70$ (numai pâine) $+ 50$ (ambele) $+ 40$ (numai lapte) $+ 40$ (niciunul) $= 200$ . ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, \dots, 10}$ . Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M$ . a) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $2$ . b) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $2$ sau cu $5$ . c) Calculați probabilitatea ca numărul ales să nu fie divizibil nici cu $2$ , nici cu $5$ .

Rezolvare. Cazuri posibile: $10$ .

a) Divizibile cu $2$ : $2, 4, 6, 8, 10$ — cinci numere, deci $P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

b) Divizibile cu $5$ : $5$ și $10$ — două numere. Divizibile și cu $2$ , și cu $5$ , adică cu $10$ : doar $10$ — un număr. Aplicăm formula:

$P = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} .$

c) Este contrarul evenimentului de la b):

$P = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} .$

Verificare directă: numerele care nu se divid nici cu $2$ , nici cu $5$ sunt $1, 3, 7, 9$ — patru din zece, adică $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu, verifică mai întâi dacă cele două evenimente se pot produce simultan.

1. Se aruncă un zar. Care este probabilitatea de a obține o față mai mică sau egală cu $3$ sau o față pară?

2. Într-o urnă sunt $12$ bile numerotate de la $1$ la $12$ . Care este probabilitatea ca bila extrasă să poarte un număr multiplu de $2$ sau multiplu de $3$ ?

3. Evenimentele $A$ și $B$ sunt disjuncte, cu $P (A) = 0, 3$ și $P (B) = 0, 45$ . Calculează $P (A \cup B)$ .

4. Se știe că $P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{1}{3}$ și $P (A \cap B) = \frac{1}{4}$ . Calculează $P (A \cup B)$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice două evenimente, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ ."

6. (Problemă aplicată.) Într-o clasă de $40$ de elevi, $22$ joacă fotbal, $18$ joacă baschet, iar $8$ joacă ambele sporturi. Care este probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să practice cel puțin unul dintre cele două sporturi? Dar niciunul?

7. Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ . Care este probabilitatea ca ea să fie roșie sau figură (valet, damă sau rege)?

8. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma să fie $7$ sau $11$ ?

9. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca primul zar să arate $6$ sau al doilea zar să arate $6$ ? Compară rezultatul cu cel obținut prin evenimentul contrar.

10. Se știe că $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ și $P (A \cup B) = 0, 8$ . Calculează $P (A \cap B)$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Probabilitatea reuniunii a două evenimente poate fi mai mică decât probabilitatea unuia dintre ele."

12. Într-o urnă sunt $30$ de bile numerotate de la $1$ la $30$ . Care este probabilitatea ca bila extrasă să poarte un număr multiplu de $5$ sau multiplu de $7$ ?

13. (Problemă aplicată.) Într-un magazin au intrat $200$ de clienți: $120$ au cumpărat pâine, $90$ lapte, $50$ ambele. Completează cele patru regiuni ale diagramei Venn și verifică suma lor.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, 10}$ . Se alege la întâmplare un element al mulțimii. a) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $2$ sau cu $5$ . b) Calculați probabilitatea ca numărul ales să nu fie divizibil nici cu $2$ , nici cu $5$ .

15. Se știe că $P (A) = 0, 45$ și $P (A \cap B) = 0, 15$ . Calculează probabilitatea evenimentului „se produce $A$ , dar nu se produce $B$ ".

16. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma să fie pară sau mai mare decât $9$ ?

17. Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ . Care este probabilitatea ca ea să fie as sau rege?

18. (Provocare.) Se știe doar că $P (A) = 0, 7$ și $P (B) = 0, 6$ . Între ce valori se poate afla $P (A \cup B)$ ? Dar $P (A \cap B)$ ? Justifică fiecare margine.

Răspunsuri și explicații

1. $A = {1, 2, 3}$ cu $P (A) = \frac{3}{6}$ , $B = {2, 4, 6}$ cu $P (B) = \frac{3}{6}$ , $A \cap B = {2}$ cu $P = \frac{1}{6}$ . Deci $P (A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ . (Verificare: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 6}$ , cinci elemente.)

2. Multipli de $2$ : $6$ numere; multipli de $3$ : $4$ numere ( $3, 6, 9, 12$ ); multipli de $6$ : $2$ numere. $P = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} - \frac{2}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .

3. Fiind disjuncte, $P (A \cup B) = 0, 3 + 0, 45 = 0, 75$ .

4. $P (A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ .

5. Fals. Egalitatea este adevărată numai dacă evenimentele sunt disjuncte. În general se scade $P (A \cap B)$ , altfel rezultatele comune sunt numărate de două ori. Contraexemplu: pe zar, $A = {2, 4, 6}$ și $B = {3, 6}$ dau $P (A) + P (B) = \frac{5}{6}$ , dar $P (A \cup B) = \frac{4}{6}$ .

6. $P (cel pu ț in un sport) = \frac{22}{40} + \frac{18}{40} - \frac{8}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0, 8$ . Niciunul: $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ , adică $8$ elevi.

7. Roșii: $26$ de cărți; figuri: $12$ ; roșii și figuri în același timp: $6$ . $P = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}$ .

8. Evenimente disjuncte: $P = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ .

9. $P = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36}$ (se scade cazul $(6, 6)$ , numărat de două ori). Prin contrar: $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ — același rezultat, ceea ce confirmă amândouă metodele.

10. $P (A \cap B) = 0, 6 + 0, 5 - 0, 8 = 0, 3$ .

11. Fals. Deoarece $A \subset A \cup B$ , orice caz favorabil lui $A$ este favorabil și reuniunii, deci $P (A \cup B) \geq P (A)$ ; la fel pentru $B$ . Reuniunea este cel puțin la fel de probabilă ca fiecare dintre evenimente.

12. Multipli de $5$ : $5, 10, 15, 20, 25, 30$ — șase. Multipli de $7$ : $7, 14, 21, 28$ — patru. Multipli și de $5$ , și de $7$ (adică de $35$ ): niciunul, deci evenimentele sunt disjuncte. $P = \frac{6}{30} + \frac{4}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ .

13. Numai pâine: $120 - 50 = 70$ ; ambele: $50$ ; numai lapte: $90 - 50 = 40$ ; niciunul: $200 - 160 = 40$ . Suma: $70 + 50 + 40 + 40 = 200$ . ✓

14. a) Divizibile cu $2$ : cinci; cu $5$ : două; cu $10$ : unul. $P = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ . b) Contrarul: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ (numerele $1, 3, 7, 9$ ).

15. „ $A$ , dar nu $B$ " înseamnă partea din $A$ rămasă în afara intersecției: $P = P (A) - P (A \cap B) = 0, 45 - 0, 15 = 0, 30$ .

16. Suma pară: $18$ cazuri din $36$ . Suma mai mare decât $9$ : $6$ cazuri. Ambele condiții (sume $10$ și $12$ ): $(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)$ , adică $4$ cazuri. $P = \frac{18}{36} + \frac{6}{36} - \frac{4}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ .

17. Evenimente disjuncte (o carte nu poate fi și as, și rege): $P = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$ .

18. Din $P (A \cup B) \geq max (P (A), P (B)) = 0, 7$ și $P (A \cup B) \leq 1$ rezultă $0, 7 \leq P (A \cup B) \leq 1$ . Marginea de jos se atinge când $B \subset A$ (atunci reuniunea este chiar $A$ ), iar cea de sus când cele două evenimente acoperă împreună tot spațiul. Pentru intersecție, din formulă: $P (A \cap B) = 0, 7 + 0, 6 - P (A \cup B) = 1, 3 - P (A \cup B)$ , deci $P (A \cap B)$ ia valori între $1, 3 - 1 = 0, 3$ și $1, 3 - 0, 7 = 0, 6$ . Observă că intersecția nu poate fi $0$ : două evenimente cu probabilități care însumează mai mult decât $1$ nu pot fi disjuncte.

De reținut

Reuniunea $A \cup B$ înseamnă „cel puțin unul dintre $A$ și $B$ "; „sau" este neexclusiv, deci acoperă și cazul în care se produc amândouă.
Formula generală: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Scăderea repară numărarea dublă a rezultatelor din intersecție.
Caz particular: dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte, atunci $P (A \cap B) = 0$ și formula devine $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
Citită invers, formula dă $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ — varianta cea mai des cerută la examen.
Verificări rapide: $max (P (A), P (B)) \leq P (A \cup B) \leq min (1, P (A) + P (B))$ ; iar „nici $A$ , nici $B$ " are probabilitatea $1 - P (A \cup B)$ .

Greșeli frecvente

Adunarea fără scădere. Cea mai frecventă greșeală: $P (A) + P (B)$ aplicat la evenimente care se pot produce simultan. Rezultatul iese prea mare, uneori chiar peste $1$ — semn sigur de eroare.
Confuzia dintre „sau" exclusiv și neexclusiv. $A \cup B$ include și cazul „amândouă". Dacă enunțul cere „exact unul dintre ele", probabilitatea este $P (A) + P (B) - 2 \cdot P (A \cap B)$ , pentru că intersecția se scoate complet.
Numărarea greșită a regiunilor Venn. „Numai $A$ " nu înseamnă $P (A)$ , ci $P (A) - P (A \cap B)$ . La problemele cu tabele și sondaje, aici se pierd cele mai multe puncte.
Confundarea reuniunii cu intersecția. „Sau" duce la reuniune (mai multe cazuri favorabile), „și" duce la intersecție (mai puține). Verifică logic: rezultatul pentru „sau" trebuie să fie mai mare decât cel pentru „și".
Aplicarea formulei fără egală probabilitate. Trecerea de la numărare la probabilități presupune că toate cele $n$ rezultate au aceeași șansă; altfel raportul $\frac{card ( A )}{n}$ nu este $P (A)$ .

Aplică acasă

Sondajul din familie. Întreabă $10$ persoane apropiate dacă beau dimineața cafea, ceai, ambele sau niciuna. Completează cele patru regiuni ale unei diagrame Venn și calculează probabilitatea ca o persoană aleasă la întâmplare dintre ele să bea cel puțin una dintre băuturi. Verifică suma regiunilor.
Zarurile și formula. Aruncă două zaruri de $36$ de ori și notează de câte ori suma a fost pară sau mai mare decât $9$ . Compară frecvența obținută cu valoarea teoretică $\frac{5}{9} \approx 0, 556$ , adică aproximativ $20$ de reușite din $36$ .
Aplicațiile de pe telefon. Numără câte aplicații de pe telefonul tău au notificări active, câte au sunet activat și câte le au pe amândouă. Calculează probabilitatea ca o aplicație aleasă la întâmplare să aibă cel puțin una dintre cele două setări și explică unui părinte de ce nu se adună pur și simplu cele două numere.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce prima formulă „cu structură" din capitolul de probabilități. Dificultatea nu este calculul, ci înțelegerea termenului scăzut: elevii aplică spontan adunarea, pentru că așa au învățat la evenimente disjuncte în gimnaziu, și transferă regula acolo unde nu se aplică. De aceea lecția insistă pe imaginea diagramei Venn — reprezentarea vizuală face scăderea evidentă — și pe verificarea prin numărare directă a fiecărui rezultat.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea situației în care evenimentele se pot produce simultan; (2) aplicarea corectă a formulei $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; (3) folosirea ei în sens invers, pentru determinarea intersecției; (4) completarea celor patru regiuni ale unei diagrame Venn și proba prin sumă; (5) legătura cu evenimentul contrar, la enunțurile de tip „nici unul, nici celălalt".

Întrebări bune de control: „Se pot întâmpla amândouă deodată?", „Cine a fost numărat de două ori?", „Cât face suma celor patru regiuni?". Semne că elevul a înțeles: își pune singur întrebarea despre disjuncție înainte de a scrie formula și sesizează imediat că un rezultat mai mare decât $1$ este imposibil. La Bacalaureat, tiparul apare mai ales în forma „probabilitatea ca un element ales dintr-o mulțime să fie divizibil cu $a$ sau cu $b$ ", exact ca în Exemplul 6. Continuarea firească este lecția Probabilitatea intersecției a două evenimente.

Întrebări frecvente

Care este formula probabilității reuniunii a două evenimente? Formula este $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Se adună probabilitățile celor două evenimente și se scade probabilitatea intersecției, pentru că rezultatele comune ar fi numărate de două ori.

De ce se scade intersecția la formula reuniunii? Pentru că rezultatele care aparțin și lui $A$ , și lui $B$ apar o dată în numărătoarea lui $A$ și încă o dată în cea a lui $B$ . Scăzând $P (A \cap B)$ , ele rămân numărate exact o singură dată, așa cum trebuie.

Când se aplică formula simplă $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ ? Numai când evenimentele sunt disjuncte (incompatibile), adică nu se pot produce simultan. Atunci $A \cap B = \emptyset$ și $P (A \cap B) = 0$ , deci termenul scăzut dispare.

Ce înseamnă „sau" în probabilități? Înseamnă „cel puțin unul dintre ele", deci include și cazul în care se produc amândouă. Este „sau"-ul neexclusiv, spre deosebire de limbajul obișnuit, unde „ori una, ori alta" sugerează adesea o singură variantă.

Cum aflu probabilitatea intersecției dacă știu reuniunea? Rescrii formula: $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ . Este cea mai frecventă cerință de examen bazată pe această formulă.

Cum calculez probabilitatea ca niciunul dintre cele două evenimente să nu se producă? Calculezi întâi $P (A \cup B)$ și apoi scazi din $1$ , pentru că „niciunul" este contrarul lui „cel puțin unul": $P = 1 - P (A \cup B)$ .

Poate $P (A) + P (B)$ să fie mai mare decât $1$ ? Da, dacă evenimentele se suprapun. De exemplu, $P (A) = 0, 6$ și $P (B) = 0, 5$ însumează $1, 1$ . Ce nu poate depăși $1$ este probabilitatea reuniunii, care aici este cel mult $1$ , deci intersecția are cel puțin $0, 1$ .

Cum completez o diagramă Venn cu numere? Începi întotdeauna cu regiunea comună (intersecția), apoi scazi din fiecare eveniment pentru a obține regiunile „numai $A$ " și „numai $B$ ", iar la final scazi totalul acoperit din numărul de cazuri posibile pentru regiunea din exterior.