Acasă · Lecții · clasa a X-a · Contează ordinea sau nu? Alegerea metodei de numărare

Contează ordinea sau nu? Alegerea metodei de numărare

Citește cu atenție următoarele două enunțuri. Sunt aproape identice — se deosebesc prin patru cuvinte.

(A) „Într-o clasă cu $10$ elevi se aleg $3$ elevi care vor forma juriul unui concurs. În câte moduri se poate face alegerea?" (B) „Într-o clasă cu $10$ elevi se aleg $3$ elevi pentru funcțiile de președinte, secretar și casier. În câte moduri se poate face alegerea?"

Răspunsurile diferă de șase ori: $120$ pentru primul, $720$ pentru al doilea. Nu pentru că numerele ar fi altele — sunt exact aceleași, $10$ și $3$ — ci pentru că, în al doilea caz, ordinea contează: grupul {Ana, Bogdan, Carmen} produce un singur juriu, dar șase conduceri diferite, după cine ia care funcție. Exact aici se pierde cel mai mult punctaj la capitolul „Metode de numărare": nu la calcule, ci la alegerea metodei. Formulele le știi deja, din lecțiile despre permutări, aranjamente și combinări; lecția de față îți dă un mecanism de decizie limpede: trei întrebări, puse mereu în aceeași ordine, care te duc de fiecare dată la formula corectă.

Ce vei învăța

Vei ști să pui, la orice problemă de numărare, cele trei întrebări de decizie: se repetă elementele? contează ordinea? le iau pe toate sau doar o parte?
Vei ști să folosești testul schimbului: schimbi două elemente între ele și verifici dacă rezultatul e altul.
Vei ști să alegi corect între regula produsului, permutări, aranjamente și combinări, și să scrii formula potrivită.
Vei ști să explici legătura $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ — „întâi alegi, apoi ordonezi" — și de ce răspunsurile diferă exact de $k!$ ori.
Vei ști să recunoști cuvintele din enunț care trădează metoda: „echipă", „comisie", „submulțime" față de „clasament", „funcții", „număr", „parolă".
Vei ști ce faci când schema singură nu ajunge: împarți în cazuri și aduni, sau numeri contrariul și scazi.

Hai să descoperim împreună

1. Testul schimbului: cea mai utilă întrebare din capitol

Înainte de orice formulă, fă un experiment mintal. Ia o soluție concretă a problemei și schimbă între ele două elemente. Dacă obții altă soluție, ordinea contează. Dacă obții aceeași soluție, ordinea nu contează.

La juriul din deschidere: o soluție e {Ana, Bogdan, Carmen}. Schimb Ana cu Bogdan — obțin {Bogdan, Ana, Carmen}, adică exact același juriu. Ordinea nu contează.

La conducere: o soluție e „Ana președinte, Bogdan secretar, Carmen casier". Schimb Ana cu Bogdan — obțin „Bogdan președinte, Ana secretar, Carmen casier", o cu totul altă conducere. Ordinea contează.

Testul acesta se aplică în cinci secunde și rezolvă majoritatea ezitărilor. Îl vom folosi în toată lecția.

✏️Ilustrație: două casete alăturate; în stânga, trei elevi într-un cerc cu eticheta „juriu — schimb două persoane, e același juriu"; în dreapta, aceiași trei elevi așezați pe trei scaune etichetate „președinte / secretar / casier", cu o săgeată dublă care schimbă doi dintre ei și eticheta „altă conducere"

2. Cele trei întrebări, în ordine

Pune-le mereu în aceeași ordine. Fiecare răspuns taie din posibilități, iar la a treia întrebare ai deja o singură metodă în față.

Întrebarea 1: Un element poate fi ales de mai multe ori? Dacă da (cifrele unui cod PIN se pot repeta, o culoare poate apărea pe două benzi ale steagului), nu ești la permutări, aranjamente sau combinări. Ești la regula produsului: înmulțești numărul de posibilități de la fiecare pas. Pentru $k$ alegeri dintre aceleași $n$ obiecte, rezultatul este $k factori n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{k}$ . Dacă nu (fiecare persoană intră o singură dată în echipă, cifrele trebuie să fie distincte), treci la întrebarea următoare. (La clasa a X-a, situațiile cu repetiție care apar sunt cele în care ordinea contează — coduri, parole, numere de înmatriculare —, așa că regula produsului le acoperă pe toate.)

Întrebarea 2: Contează ordinea? Aplică testul schimbului. Dacă nu contează, ai terminat: metoda este combinări, $C_{n}^{k}$ . Dacă contează, treci la întrebarea a treia.

Întrebarea 3: Folosesc toate cele $n$ elemente sau doar $k$ dintre ele? Toate ( $k = n$ ): permutări, $P_{n} = n!$ . Doar o parte ( $k < n$ ): aranjamente, $A_{n}^{k}$ .

Pus în tabel, mecanismul arată așa:

Se repetă?	Contează ordinea?	Câte iau?	Metoda	Formula
da	da	$k$ dintre $n$	regula produsului	$n^{k}$
nu	da	toate cele $n$	permutări	$P_{n} = n!$
nu	da	$k$ dintre $n$ , $k < n$	aranjamente	$A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$
nu	nu	$k$ dintre $n$	combinări	$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Observă că permutările sunt un caz particular de aranjamente: pentru $k = n$ avem $A_{n}^{n} = \frac{n !}{0 !} = n! = P_{n}$ . Nu e o formulă nouă, ci aceeași formulă la capătul intervalului.

✏️Ilustrație: arbore de decizie cu trei întrebări în romburi — „Se repetă elementele?", „Contează ordinea?", „Le folosesc pe toate?" — și patru frunze colorate diferit, etichetate n^k, P(n) = n!, A(n,k) și C(n,k)

3. Legătura dintre aranjamente și combinări

De ce, în exemplul din deschidere, raportul a fost exact $6$ ? Pentru că $6 = 3!$ . Iată explicația, care merită reținută ca principiu, nu ca formulă:

$A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$

Demonstrația în cuvinte: o alegere ordonată de $k$ obiecte dintre $n$ se poate face în doi pași. Întâi alegi cele $k$ obiecte, fără să te intereseze ordinea — $C_{n}^{k}$ posibilități. Apoi le ordonezi între ele — $k!$ posibilități, adică $P_{k}$ . Prin regula produsului, totalul este $C_{n}^{k} \cdot k!$ , care este chiar $A_{n}^{k}$ .

Verificare pe exemplul nostru: $C_{10}^{3} = 120$ și $3! = 6$ , deci $A_{10}^{3} = 120 \cdot 6 = 720$ . ✓

De aici rezultă și felul practic de a trece de la una la alta: dacă ai calculat combinările și enunțul cerea aranjamente, înmulțești cu $k!$ ; dacă ai calculat aranjamente și enunțul cerea combinări, împarți la $k!$ — pentru că fiecare grup de $k$ obiecte a fost numărat de $k!$ ori, o dată pentru fiecare ordonare a lui.

4. Prima pereche: juriu sau conducere

Reluăm perechea din deschidere, rezolvată complet.

(A) Juriu de $3$ elevi dintre $10$ . Testul schimbului: schimb doi membri între ei — același juriu. Ordinea nu contează, elementele nu se repetă, deci combinări:

$C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{720}{6} = 120.$

(B) Președinte, secretar, casier, dintre $10$ elevi. Testul schimbului: schimb doi elevi între funcții — altă conducere. Ordinea contează, elementele nu se repetă, iau doar $3$ din $10$ , deci aranjamente:

$A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720.$

Raportul: $720 : 120 = 6 = 3!$ , exact cum prezice formula $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ . Fiecare juriu de trei oameni produce $3! = 6$ conduceri diferite.

5. A doua pereche: cod cu cifre care se repetă sau nu

(A) „Câte coduri PIN de $4$ cifre există?" Cifrele se pot repeta ( $1223$ e un cod perfect valabil), ordinea contează evident ( $1234 \neq = 4321$ ). Suntem la regula produsului: pentru fiecare dintre cele $4$ poziții avem $10$ variante, deci

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1 0^{4} = 10000 coduri.$

(B) „Câte coduri PIN de $4$ cifre distincte există?" Acum repetiția e interzisă, ordinea contează, iau $4$ din $10$ : aranjamente.

$A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 coduri.$

Un singur cuvânt din enunț — „distincte" — taie mai mult de jumătate din posibilități.

6. Încă două perechi: cuvinte, submulțimi și steaguri

Cuvinte sau submulțimi. (A) „Câte cuvinte de $4$ litere distincte (nu neapărat cu sens) se pot forma cu literele $A, B, C, D, E$ ?" Un „cuvânt" e o înșiruire: $A B C D$ și $D C B A$ sunt cuvinte diferite. Ordinea contează, fără repetiție, $4$ din $5$ : aranjamente, $A_{5}^{4} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ . (B) „Câte submulțimi cu $4$ elemente are mulțimea ${A, B, C, D, E}$ ?" O submulțime nu are ordine: combinări, $C_{5}^{4} = 5$ .

Diferența e uriașă — $120$ față de $5$ — și vine din faptul că fiecare submulțime de $4$ litere se poate scrie în $4! = 24$ ordini; într-adevăr, $5 \cdot 24 = 120$ . ✓ Cuvântul-semnal aici este „mulțime" sau „submulțime": mulțimile nu au ordine, niciodată.

Steagul cu trei benzi. (A) „Un steag are trei benzi orizontale, colorate cu trei culori diferite alese dintre $5$ culori disponibile." Ordinea contează (banda de sus roșie e alt steag decât banda de jos roșie), fără repetiție, $3$ din $5$ : aranjamente, $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . (B) „Aceeași întrebare, dacă două benzi pot avea aceeași culoare." Acum repetiția e permisă: regula produsului, $5^{3} = 125$ . (C) „Câte seturi de trei culori diferite se pot alege dintre cele $5$ ?" Doar alegem paleta: ordinea nu contează, deci combinări, $C_{5}^{3} = 10$ . Și, într-adevăr, $10 \cdot 3! = 60$ — fiecare paletă dă $6$ steaguri.

7. Cuvintele din enunț care trădează metoda

Nu te baza doar pe cuvinte — testul schimbului rămâne judecătorul —, dar ele îți dau o primă orientare bună:

Sugerează combinări (ordinea nu contează): echipă, comisie, delegație, juriu, grup, submulțime, „se aleg $k$ dintre…", strângeri de mână, diagonale, segmente determinate de puncte.
Sugerează aranjamente (ordinea contează, o parte din elemente): clasament, podium, funcții distincte (președinte, secretar), număr cu cifre distincte, cuvânt/parolă/cod cu simboluri distincte, „primele $k$ locuri".
Sugerează permutări (ordinea contează, toate elementele): așezare în rând, anagrame ale unui cuvânt cu litere distincte, ordinea de intrare în scenă, programul unui spectacol cu toate numerele.
Sugerează regula produsului (repetiție permisă): cod, parolă, număr de înmatriculare, meniu în care alegi câte ceva din fiecare categorie, „se poate repeta".

Un semnal de alarmă util: dacă în enunț apare cuvântul „distincte", aproape sigur repetiția e interzisă. Dacă apare „nu neapărat distincte" sau nu se spune nimic despre repetiție într-un context de coduri, repetiția e permisă.

8. Când schema singură nu ajunge

Unele probleme nu se rezolvă cu o singură formulă. Trei tehnici te scot din aproape orice impas:

Numără pe poziții și înmulțește. Când o poziție are o restricție proprie, nu forța o formulă gata făcută. „Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $0, 1, \dots, 9$ ?" Aici $A_{10}^{3} = 720$ ar fi greșit, pentru că include înșiruiri care încep cu $0$ . Numărăm pe poziții, cu regula produsului: prima cifră are $9$ variante (orice, mai puțin $0$ ), a doua $9$ (cele $10$ cifre, minus cea folosită), a treia $8$ . Rezultat: $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$ .

Împarte în cazuri disjuncte și adună. Dacă enunțul acoperă mai multe situații care se exclud reciproc, numeri fiecare situație separat și aduni — este regula sumei. „Câte submulțimi cu cel mult $2$ elemente are o mulțime cu $6$ elemente?" Cazurile „zero elemente", „un element" și „două elemente" sunt disjuncte, deci răspunsul este $C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + C_{6}^{2} = 1 + 6 + 15 = 22$ .

Numără contrariul și scade. Dacă „cel puțin unul" te încurcă, numeri totalul și scazi cazul nefavorabil. „Dintr-un grup de $7$ fete și $5$ băieți se alege o echipă de $3$ persoane care să conțină cel puțin un băiat." Total: $C_{12}^{3} = 220$ . Echipe fără niciun băiat: $C_{7}^{3} = 35$ . Răspuns: $220 - 35 = 185$ .

Toate trei presupun, la fiecare pas, aceeași decizie: ordine sau nu, repetiție sau nu — schema nu dispare, doar se aplică de mai multe ori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Podium sau echipă

La un concurs participă $8$ elevi. a) În câte moduri se pot ocupa primele trei locuri (locul I, II, III)? b) În câte moduri se pot alege $3$ elevi care vor primi câte o mențiune (fără ierarhie)?

Rezolvare. a) Testul schimbului: dacă schimb între ei elevii de pe locurile I și II, obțin alt clasament. Ordinea contează, fără repetiție, $3$ din $8$ — aranjamente:

$A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336.$

b) Mențiunile sunt identice, deci schimbul a doi premianți nu schimbă nimic. Ordinea nu contează — combinări:

$C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56.$

Verificare a legăturii: $336 = 56 \cdot 3! = 56 \cdot 6$ . ✓

Exemplul 2 — Strângerile de mână

La o întâlnire, fiecare dintre cei $12$ participanți dă mâna cu fiecare exact o dată. Câte strângeri de mână au loc?

Rezolvare. O strângere de mână este o pereche de persoane. Testul schimbului: „Ana dă mâna cu Bogdan" și „Bogdan dă mâna cu Ana" sunt aceeași strângere. Ordinea nu contează, o persoană nu dă mâna cu ea însăși (fără repetiție) — combinări de $12$ luate câte $2$ :

$C_{12}^{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66.$

Capcana clasică: răspunsul $12 \cdot 11 = 132$ este de două ori prea mare, pentru că numără fiecare strângere de două ori, o dată din perspectiva fiecărei persoane. Împărțirea la $2! = 2$ o corectează — exact relația $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ .

Exemplul 3 — Trei enunțuri, trei metode

Se dau cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ . Câte numere de trei cifre se pot forma: a) cu cifre distincte; b) cu cifre nu neapărat distincte; c) câte submulțimi cu trei elemente are mulțimea acestor cifre?

Rezolvare. a) Ordinea contează ( $123 \neq = 321$ ), repetiția interzisă, $3$ din $7$ : aranjamente, $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ .

b) Ordinea contează, repetiția permisă: regula produsului, $7^{3} = 343$ .

c) O submulțime nu are ordine: combinări, $C_{7}^{3} = 35$ .

Trei numere foarte diferite — $210$ , $343$ , $35$ — pentru aceleași șapte cifre. Diferența e făcută exclusiv de răspunsurile la cele două întrebări de decizie.

Exemplul 4 — Așezarea la masă

Șase prieteni se așază pe șase scaune aliniate. a) În câte moduri? b) Dacă doi dintre ei, Ana și Bogdan, trebuie să stea pe primele două scaune (în orice ordine între ei), în câte moduri?

Rezolvare. a) Toate cele $6$ persoane sunt folosite, ordinea contează, fără repetiție: permutări,

$P_{6} = 6! = 720.$

b) Împărțim în doi pași independenți și aplicăm regula produsului. Ana și Bogdan pe primele două scaune: $P_{2} = 2! = 2$ moduri. Ceilalți patru pe scaunele rămase: $P_{4} = 4! = 24$ moduri. Total: $2 \cdot 24 = 48$ moduri.

Verificare de bun-simț: $48$ este mult mai puțin decât $720$ , ceea ce e firesc — am impus o restricție. Raportul $720 : 48 = 15$ arată că doar una din $15$ așezări libere respectă condiția.

Exemplul 5 — Cel puțin un băiat

Dintr-un grup format din $7$ fete și $5$ băieți se alege o echipă de $3$ persoane. a) Câte echipe se pot forma? b) Câte echipe conțin cel puțin un băiat? c) Câte echipe conțin exact o fată?

Rezolvare. Echipa nu are ordine, deci lucrăm peste tot cu combinări; grupul are $7 + 5 = 12$ persoane.

a) $C_{12}^{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 220$ .

b) Numărăm contrariul: echipe fără niciun băiat înseamnă $3$ fete din $7$ , adică $C_{7}^{3} = 35$ . Deci echipele cu cel puțin un băiat sunt $220 - 35 = 185$ .

c) „Exact o fată" înseamnă o fată din $7$ și doi băieți din $5$ : prin regula produsului, $C_{7}^{1} \cdot C_{5}^{2} = 7 \cdot 10 = 70$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . a) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $M$ . b) Determinați numărul numerelor de $3$ cifre distincte care se pot forma cu elementele mulțimii $M$ . c) Arătați că numărul de la punctul b) este de $6$ ori mai mare decât cel de la punctul a).

Rezolvare. a) Submulțimile nu au ordine, deci folosim combinări:

$C_{6}^{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20.$

b) Un număr de trei cifre este o înșiruire ordonată, cu cifre distincte, luate dintre cele $6$ disponibile (niciuna nu este $0$ , deci nu apar restricții suplimentare):

$A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120.$

c) Raportul este $120 : 20 = 6 = 3!$ . Explicația: fiecare submulțime cu $3$ elemente, de exemplu ${1, 2, 3}$ , generează $3! = 6$ numere distincte ( $123$ , $132$ , $213$ , $231$ , $312$ , $321$ ). Aceasta este chiar relația $A_{6}^{3} = C_{6}^{3} \cdot 3!$ . ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi ce metodă alegi și de ce, apoi calculează. La examen, justificarea metodei aduce puncte separat de rezultat.

1. Într-o clasă cu $20$ de elevi se aleg $3$ pentru o excursie. În câte moduri?

2. Într-o clasă cu $20$ de elevi se aleg $3$ pentru funcțiile de șef de clasă, casier și responsabil cu orarul. În câte moduri?

3. Câte numere de $2$ cifre distincte se pot forma cu cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ?

4. Câte submulțimi cu $2$ elemente are mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ?

5. În câte moduri se pot așeza $5$ cărți diferite pe un raft?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o problemă în care se cere numărul submulțimilor cu $k$ elemente, se folosesc aranjamente."

7. Câte parole de $3$ caractere se pot forma folosind cifrele $0, 1, \dots, 9$ , dacă cifrele se pot repeta? Dar dacă trebuie să fie distincte?

8. La un turneu de șah cu $9$ jucători, fiecare joacă exact o partidă cu fiecare. Câte partide se joacă?

9. (Problemă aplicată.) O cofetărie are $6$ sortimente de prăjituri. Câte cutii cu $4$ sortimente diferite se pot alcătui? Dacă apoi cele $4$ prăjituri se așază în cutie într-o ordine care contează (de la stânga la dreapta), câte aranjări diferite există în total?

10. Câte cuvinte, cu sens sau fără, se pot forma folosind toate literele cuvântului CARTE (literele sunt distincte)?

11. Într-un grup de $15$ persoane se alege un comitet de $4$ membri, fără funcții. În câte moduri?

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $A_{n}^{k}$ este întotdeauna mai mare sau egal cu $C_{n}^{k}$ ."

13. Un steag are $3$ benzi verticale. Câte steaguri se pot face cu $7$ culori disponibile, dacă: a) benzile au culori diferite; b) benzile pot avea aceeași culoare?

14. Dintr-un grup de $8$ fete și $6$ băieți se alege o echipă de $4$ persoane. Câte echipe nu conțin niciun băiat? Câte conțin cel puțin un băiat?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ . a) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ . b) Determinați numărul numerelor de $3$ cifre distincte care se pot forma cu elementele mulțimii $A$ .

16. Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $0, 1, 2, \dots, 9$ ? (Atenție la prima cifră.)

17. Șase persoane se așază pe șase scaune în rând, dar Maria și Dan vor să stea unul lângă altul. În câte moduri se pot așeza? (Indicație: „lipește-i" și tratează perechea ca pe un singur obiect.)

18. (Provocare.) Dintr-un grup de $12$ persoane se alege un comitet de $4$ membri, dintre care unul va fi președinte. Calculează numărul posibilităților în două feluri: a) alegi întâi comitetul, apoi președintele dintre membrii lui; b) alegi întâi președintele din tot grupul, apoi ceilalți $3$ membri. Verifică faptul că rezultatele coincid.

Răspunsuri și explicații

1. Ordinea nu contează (excursia nu dă funcții), fără repetiție: combinări. $C_{20}^{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140$ .

2. Ordinea contează (funcțiile sunt diferite), fără repetiție: aranjamente. $A_{20}^{3} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$ . Observă raportul: $6840 = 1140 \cdot 3!$ .

3. Ordinea contează, cifre distincte, $2$ din $6$ : aranjamente. $A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30$ .

4. Submulțimile nu au ordine: combinări. $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ . (Raport: $30 = 15 \cdot 2!$ .)

5. Toate cele $5$ cărți, ordinea contează: permutări. $P_{5} = 5! = 120$ .

6. Fals. Submulțimile nu au ordine, deci se folosesc combinări, $C_{n}^{k}$ . Aranjamentele numără alegerile ordonate; ele ar da un rezultat de $k!$ ori mai mare.

7. Cu repetiție: regula produsului, $1 0^{3} = 1000$ parole. Cu cifre distincte: aranjamente, $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

8. O partidă este o pereche de jucători, fără ordine: combinări. $C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ partide.

9. Alegerea sortimentelor: combinări, $C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = 15$ cutii. Dacă mai contează și ordinea așezării: aranjamente, $A_{6}^{4} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ . Verificare: $360 = 15 \cdot 4! = 15 \cdot 24$ . ✓

10. Cuvântul CARTE are $5$ litere distincte, toate folosite, ordinea contează: permutări. $P_{5} = 120$ cuvinte.

11. Comitet fără funcții, deci fără ordine: combinări. $C_{15}^{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{24} = 1365$ .

12. Adevărat. Din $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ și $k! \geq 1$ rezultă $A_{n}^{k} \geq C_{n}^{k}$ , cu egalitate doar pentru $k = 0$ și $k = 1$ (când $k! = 1$ ). Intuitiv: fiecare grup neordonat produce cel puțin o ordonare.

13. a) Aranjamente: $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ steaguri. b) Regula produsului: $7^{3} = 343$ steaguri.

14. Grupul are $14$ persoane. Echipe fără niciun băiat (doar fete): $C_{8}^{4} = 70$ . Total echipe: $C_{14}^{4} = 1001$ . Cu cel puțin un băiat: $1001 - 70 = 931$ .

15. a) Combinări: $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ submulțimi. b) Aranjamente: $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ numere. (Raportul este din nou $3! = 6$ .)

16. Numărăm pe poziții, cu regula produsului: prima cifră are $9$ variante (orice, mai puțin $0$ ), a doua $9$ (cele $10$ cifre, minus cea deja folosită), a treia $8$ . Total $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$ numere. Răspunsul $A_{10}^{3} = 720$ ar fi greșit, pentru că include cele $72$ de „numere" care încep cu $0$ .

17. Lipim Maria și Dan într-un singur bloc: avem acum $5$ obiecte de așezat, deci $P_{5} = 120$ moduri. În interiorul blocului, cei doi pot sta în $P_{2} = 2$ ordini. Total: $120 \cdot 2 = 240$ moduri.

18. a) Comitetul: $C_{12}^{4} = 495$ ; președintele dintre cei $4$ : $4$ variante. Total $495 \cdot 4 = 1980$ . b) Președintele: $12$ variante; ceilalți $3$ dintre cele $11$ persoane rămase: $C_{11}^{3} = 165$ . Total $12 \cdot 165 = 1980$ . ✓ Rezultatele coincid, pentru că numără aceeași mulțime de situații pe două drumuri diferite — o metodă de verificare pe care merită s-o folosești des.

De reținut

Cele trei întrebări, în ordine: (1) se pot repeta elementele? (2) contează ordinea? (3) le folosesc pe toate sau doar o parte? Răspunsurile te duc, fără excepție, la una dintre cele patru metode.
Testul schimbului: ia o soluție concretă și schimbă două elemente între ele. Dacă obții altceva, ordinea contează (aranjamente sau permutări); dacă obții același lucru, ordinea nu contează (combinări).
Cele patru formule: repetiție permisă $\Rightarrow n^{k}$ (regula produsului); toate elementele, ordonat $\Rightarrow P_{n} = n!$ ; $k$ din $n$ , ordonat $\Rightarrow A_{n}^{k}$ ; $k$ din $n$ , neordonat $\Rightarrow C_{n}^{k}$ .
Puntea dintre ele: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ — întâi alegi, apoi ordonezi. De aceea aranjamentele sunt întotdeauna de $k!$ ori mai multe decât combinările.
Când o singură formulă nu ajunge: împarte în cazuri disjuncte și adună, sau numără contrariul și scade din total.

Greșeli frecvente

Folosirea aranjamentelor la echipe și comisii. „Se aleg $3$ elevi pentru o excursie" nu dă roluri distincte, deci ordinea nu contează: răspunsul este $C_{20}^{3}$ , nu $A_{20}^{3}$ . Semnalul e absența oricărei ierarhii în enunț.
Folosirea combinărilor la clasamente și funcții. Invers față de greșeala de mai sus: dacă apar locul I, II, III sau funcții cu nume diferite, ordinea contează și metoda este aranjamente.
Ignorarea repetiției. La coduri, parole și numere de înmatriculare, cifrele se repetă dacă enunțul nu spune altfel. Formula corectă e $n^{k}$ , nu $A_{n}^{k}$ . Cuvântul „distincte" e cel care schimbă răspunsul.
Uitarea restricției de la prima cifră. La numere, cifra $0$ nu poate sta pe primul rând. $A_{10}^{3} = 720$ include numere ca $012$ , care nu au trei cifre; răspunsul corect este $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$ .
Numărarea dublă la perechi. La strângeri de mână, diagonale sau segmente determinate de puncte, fiecare pereche apare de două ori dacă înmulțești $n (n - 1)$ . Împarte la $2$ — adică folosește $C_{n}^{2}$ .

Aplică acasă

Trei enunțuri pentru aceeași situație. Alege o situație din casa ta (de exemplu, $6$ condimente din dulap) și scrie trei întrebări diferite despre ea: una care se rezolvă cu combinări („câte amestecuri de $3$ condimente"), una cu aranjamente („în ce ordine le pun în oală, dacă ordinea contează pentru gust") și una cu regula produsului („câte etichete de $3$ litere pot lipi, dacă literele se pot repeta"). Rezolvă-le și compară numerele.
Testul schimbului, la telefon. Deschide lista de contacte și alege trei prieteni. Întreabă-te: dacă schimb ordinea lor, se schimbă ceva? Dacă îi invit la o pizza — nu. Dacă îi trec pe o listă de rezerve, în ordinea în care îi voi suna — da. Notează cinci situații reale din ziua ta și clasifică-le după „contează / nu contează ordinea".
Câte meniuri poți compune? Uită-te la un meniu de la un restaurant sau la ce aveți în frigider: dacă alegi o supă din $4$ , un fel principal din $5$ și un desert din $3$ , câte meniuri diferite ies (regula produsului: $4 \cdot 5 \cdot 3 = 60$ )? Dar dacă alegi doar $3$ preparate din cele $12$ , fără să conteze ordinea ( $C_{12}^{3} = 220$ )? Explică diferența unui părinte, folosind cele trei întrebări.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția-cheie a capitolului „Metode de numărare". Experiența de la clasă și de la examene arată că elevii memorează repede formulele $P_{n}$ , $A_{n}^{k}$ și $C_{n}^{k}$ , dar greșesc sistematic la alegerea dintre ele. De aceea lecția nu adaugă formule noi, ci un algoritm de decizie în trei întrebări și un instrument de verificare imediat — testul schimbului — pe care elevul îl poate aplica singur, în orice problemă.

Ce verifică lecția: (1) formularea explicită a metodei alese, înaintea calculului; (2) aplicarea corectă a testului schimbului; (3) distincția „cu repetiție / fără repetiție" și legarea ei de regula produsului; (4) relația $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ , înțeleasă ca „alegi, apoi ordonezi", nu memorată; (5) tratarea restricțiilor prin împărțire în cazuri sau prin numărarea contrariului. Întrebări bune de control: „Dacă schimb doi oameni între ei, obțin altceva?", „Se poate repeta un element?", „De ce răspunsul de la b) este exact de $6$ ori mai mare decât cel de la a)?".

Semne că elevul a înțeles: poate transforma un enunț de combinări într-unul de aranjamente schimbând un singur cuvânt și poate explica de ce numărul se înmulțește cu $k!$ . La Bacalaureat, tiparul apare aproape la fiecare sesiune, adesea chiar în perechea „câte submulțimi cu $k$ elemente" / „câte numere de $k$ cifre distincte" din același subiect — exact structura Exemplului 6 și a exercițiului $15$ de mai sus. Lecțiile Probleme rezolvate cu aranjamente și Probleme practice de numărare duc mai departe aceleași deprinderi, pe enunțuri mai lungi.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă folosesc combinări sau aranjamente? Aplică testul schimbului: ia o soluție concretă și schimbă între ele două elemente. Dacă rezultatul este altul (clasament, funcții, cifre ale unui număr), ordinea contează și folosești aranjamente. Dacă rezultatul este același (echipă, comisie, submulțime), ordinea nu contează și folosești combinări.

Care sunt cele trei întrebări pentru alegerea metodei de numărare? Întâi: se pot repeta elementele? Dacă da, folosești regula produsului ( $n^{k}$ ). Dacă nu, întrebi: contează ordinea? Dacă nu, folosești combinări. Dacă da, întrebi: le folosesc pe toate? Dacă da, permutări; dacă nu, aranjamente.

Ce înseamnă „contează ordinea" într-o problemă de numărare? Înseamnă că două alegeri formate din aceleași elemente, dar așezate diferit, sunt considerate soluții distincte. La un clasament, „Ana pe locul I, Bogdan pe II" e altceva decât invers; la o echipă, cei doi formează aceeași echipă indiferent de ordine.

De ce sunt aranjamentele de $k!$ ori mai multe decât combinările? Pentru că o alegere ordonată se face în doi pași: alegi cele $k$ obiecte ( $C_{n}^{k}$ moduri), apoi le ordonezi ( $k!$ moduri). Prin regula produsului, $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ . Practic, fiecare grup neordonat produce $k!$ variante ordonate.

Când folosesc regula produsului și nu aranjamentele? Când elementele se pot repeta. La un cod PIN de $4$ cifre oarecare, fiecare poziție are $10$ variante independent de celelalte, deci $1 0^{4}$ coduri. Dacă enunțul cere cifre distincte, repetiția e interzisă și folosești $A_{10}^{4}$ .

Ce fac dacă în enunț apare „cel puțin unul"? De cele mai multe ori e mai simplu să numeri contrariul și să scazi din total. „Cel puțin un băiat" înseamnă „total minus echipele fără niciun băiat". Metoda evită împărțirea în multe cazuri și e mai puțin expusă greșelilor.

De ce nu pot folosi direct $A_{10}^{3}$ la numere de trei cifre distincte? Pentru că printre cele $720$ de aranjamente sunt și cele care încep cu $0$ , iar acelea nu sunt numere de trei cifre. Numeri pe poziții: $9$ variante pentru prima cifră, $9$ pentru a doua, $8$ pentru a treia, adică $648$ .

Cum recunosc o problemă de permutări? Când toate elementele disponibile sunt folosite, iar ordinea lor contează: așezări în rând, anagrame ale unui cuvânt cu litere distincte, ordinea numerelor dintr-un spectacol. Formula este $P_{n} = n!$ , adică exact $A_{n}^{n}$ .