Permutări: definiție și formulă

La finalul unui concurs școlar, cei cinci finaliști trebuie așezați pe scenă pentru fotografia oficială. Organizatorul se întreabă cât timp îi ia să încerce toate așezările posibile, ca s-o aleagă pe cea mai bună. Răspunsul îl surprinde: $120$ de așezări. Dacă ar face o fotografie la fiecare zece secunde, ar avea nevoie de douăzeci de minute doar ca să le epuizeze — pentru cinci oameni.

Situația aceasta — toate obiectele sunt folosite, fiecare o singură dată, iar ordinea contează — este atât de frecventă încât are un nume propriu: se numește permutare. O întâlnești când așezi cărți pe raft, concurenți la start, melodii într-un playlist, litere într-un cuvânt sau invitați la o masă. În lecția aceasta o definim riguros, îi găsim formula — care se dovedește a fi exact factorialul studiat în Factorialul unui număr natural — și, la fel de important, învățăm să recunoaștem o problemă de permutări după enunț, ca să nu aplicăm formula acolo unde nu e cazul.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești permutarea unei mulțimi finite și să scrii toate permutările unei mulțimi mici.
• Vei ști să demonstrezi că numărul permutărilor a $n$ elemente este $P_n=n!$.
• Vei ști valorile lui $P_n$ pentru $n$ mic și convenția $P_0=1$.
• Vei ști să recunoști o problemă de permutări după trei criterii clare din enunț.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu permutări, cu tot cu condițiile de existență.
• Vei ști să deosebești permutările de situațiile în care nu folosești toate elementele sau în care ordinea nu contează.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o permutare

Definiție. Fie $A$ o mulțime finită cu $n$ elemente. Se numește permutare a mulțimii $A$ orice mod de a așeza toate cele $n$ elemente ale mulțimii într-o ordine (adică orice șir format din toate elementele lui $A$, fiecare apărând exact o dată).

Numărul permutărilor unei mulțimi cu $n$ elemente se notează $P_n$.

Să vedem un caz mic. Pentru $A=\{a,b,c\}$ scriem toate așezările posibile:

$$abc,acb,bac,bca,cab,cba.$$

Sunt exact $6$, deci $P_3=6$. Observă două lucruri: în fiecare șir apar toate cele trei litere și fiecare o singură dată; iar $abc$ și $acb$ sunt permutări diferite, pentru că ordinea le deosebește.

Notația $P_n$ depinde doar de numărul de elemente, nu de natura lor: mulțimile $\{a,b,c\}$, $\{1,2,3\}$ și $\{\text{Ana},\text{Bogdan},\text{Carla}\}$ au, toate trei, câte $6$ permutări.

Merită să observi și cum am scris lista de mai sus: nu la întâmplare, ci organizat, după primul element. Întâi toate permutările care încep cu $a$ ($abc$, $acb$), apoi cele care încep cu $b$, apoi cele care încep cu $c$. Este exact ordinea în care ar apărea cuvintele într-un dicționar, iar avantajul ei e că nu poți nici să sari o variantă, nici să scrii una de două ori. Metoda funcționează la orice mulțime: fixezi primul element, enumeri ordonat ce urmează, apoi treci la următorul element de pe prima poziție. Când vei avea de scris efectiv toate permutările unei mulțimi cu $4$ elemente ($24$ de șiruri), disciplina aceasta face diferența dintre o listă corectă și una cu greșeli.

2. Formula: $P_n=n!$

Teoremă. Pentru orice număr natural $n\ge 1$, numărul permutărilor unei mulțimi cu $n$ elemente este

$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n.$$

Demonstrație. Construim o permutare completând, pe rând, cele $n$ poziții ale șirului.

• Pentru prima poziție putem alege oricare dintre cele $n$ elemente: $n$ variante.
• Pentru a doua poziție avem la dispoziție elementele rămase, adică $n-1$ — și tot atâtea, indiferent de ce am pus pe prima poziție.
• Pentru a treia poziție: $n-2$ variante.
• …
• Pentru ultima poziție rămâne un singur element: $1$ variantă.

La fiecare pas numărul de variante nu depinde de alegerile anterioare, ci doar de câte poziții am completat deja. Sunt îndeplinite, deci, condițiile din Regula produsului, care ne dă

$$P_n=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1=n!.■$$

Convenție. Pentru $n=0$ se ia $P_0=0!=1$: există exact un mod de a ordona zero elemente — să nu ordonezi nimic.

Am verificat formula și prin numărare efectivă, generând cu ajutorul calculatorului toate ordonările unei mulțimi cu $0,1,2,\dots ,8$ elemente: numărul lor a fost, de fiecare dată, exact $n!$.

Iată valorile pe care le vei folosi cel mai des:

3. Cum recunoști o problemă de permutări

Formula e ușoară; greu e să știi când se aplică. Un enunț cere permutări dacă trece toate cele trei teste:

1. Se folosesc toate elementele. Așezăm toți cei $5$ finaliști, nu doar trei dintre ei.
2. Ordinea contează. Dacă schimbi între ele două elemente, obții o altă variantă.
3. Elementele sunt distincte. Nu există două obiecte identice între ele.

Dacă una dintre condiții cade, problema nu este de permutări:

• Dacă nu folosim toate elementele (alegem doar $3$ dintre cei $8$ concurenți, pentru primele trei locuri), avem de-a face cu altă noțiune, studiată în Aranjamente: definiție și formulă.
• Dacă ordinea nu contează (formăm o echipă, nu un clasament), vom folosi noțiunea din Combinări: definiție și formulă.
• Dacă elementele se repetă (de exemplu literele cuvântului „ANANAS"), numărul așezărilor distincte este mai mic decât $n!$, iar calculul lui cere o metodă pe care nu o studiem la acest nivel. De aceea, în toate problemele de aici, cuvintele alese au litere diferite între ele.

Cuvintele-cheie din enunț care semnalează permutările: „în câte moduri se pot așeza / ordona / aranja toți…", „câte anagrame are cuvântul…", „în câte ordini…", „câte clasamente posibile…".

Compară două enunțuri care par gemene, dar nu sunt:

Diferența nu stă în cifre, ci în verbe: „se așază toți" față de „se aleg doi". De aceea, primul lucru pe care îl faci la o problemă de numărare este să subliniezi verbul din enunț.

4. Anagrame: permutările literelor unui cuvânt

O anagramă a unui cuvânt este orice cuvânt (chiar și fără sens) obținut prin rearanjarea tuturor literelor sale. Dacă literele sunt distincte două câte două, numărul anagramelor este exact $P_n$, unde $n$ este numărul de litere.

De exemplu, cuvântul CARTE are $5$ litere distincte, deci

$$P_5=5!=120\text{ anagrame},$$

printre care CARTE însuși, apoi CRATE, TRACE, RETCA și alte $116$ șiruri, majoritatea fără sens în limba română. (Am verificat prin generarea efectivă a tuturor rearanjărilor: sunt exact $120$, toate distincte, tocmai pentru că literele sunt diferite.)

Un exemplu mai spectaculos: cuvântul COMPUTER are $8$ litere, toate distincte, deci $P_8=40320$ de anagrame. Dacă ai scrie una pe secundă, ți-ar lua peste $11$ ore.

5. Ecuații cu permutări

Pentru că $P_n=n!$, orice ecuație cu permutări se transformă imediat într-o ecuație cu factoriale, pe care știi deja s-o rezolvi. Pașii sunt identici:

1. Condiții: $n$ trebuie să fie natural, iar toate simbolurile din ecuație să aibă sens (de exemplu, $P_{n-1}$ cere $n\ge 1$).
2. Înlocuiești $P_n$ cu $n!$ și exprimi totul prin cel mai mic factorial.
3. Simplifici și rezolvi ecuația algebrică obținută.
4. Verifici soluțiile față de condiții.

Exemplu. Rezolvăm ecuația $P_{n+1}=6\cdot P_n$, cu $n\in \mathbb{N}$.

Scriem $P_{n+1}=(n+1)!$ și $P_n=n!$, apoi folosim recurența $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$:

$$(n+1)\cdot n!=6\cdot n!.$$

Cum $n!\ne 0$, simplificăm și obținem $n+1=6$, deci $n=5$.

Verificare: $P_6=720$ și $6\cdot P_5=6\cdot 120=720$. ✓

6. Permutări cu o poziție fixată

Iată prima problemă în care apare o restricție — un tip de exercițiu pe care îl vei studia sistematic în Probleme de permutări cu restricții.

Câte anagrame ale cuvântului CARTE încep cu litera A?

Litera de pe prima poziție este fixată: nu avem nicio alegere acolo. Rămân $4$ litere distincte (C, R, T, E) care se pot așeza liber pe ultimele patru poziții, deci

$$P_4=4!=24\text{ anagrame}.$$

Verificare de bun-simț: cele $120$ de anagrame se împart în cinci grupe egale, după litera cu care încep, iar $120:5=24$. ✓ Ideea de reținut: o poziție fixată dispare din calcul, iar formula se aplică pentru elementele rămase.

7. De ce contează $P_n$ în practică

Creșterea lui $P_n$ este cea a factorialului — explozivă. Consecințele sunt foarte concrete:

• Un profesor care vrea să schimbe zilnic ordinea celor $10$ elevi care răspund la tablă are $10!=3628800$ de variante: la una pe zi, peste $9900$ de ani.
• Un curier care trebuie să viziteze $12$ orașe într-o zi are $12!=479001600$ de trasee posibile. Niciun calculator nu le poate încerca pe toate pentru $30$ de orașe — de aceea problema drumului optim este una dintre marile probleme deschise ale informaticii.
• Un pachet de $52$ de cărți de joc are $52!$ ordini posibile, adică aproximativ $8\cdot 10^{67}$.

Morala pentru rezolvarea problemelor: nu încerca niciodată să enumeri toate permutările pentru $n$ mai mare decât $4$ sau $5$. Folosește formula, iar enumerarea păstreaz-o pentru verificarea pe cazuri mici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate permutările unei mulțimi cu 3 elemente

Scrieți toate permutările mulțimii $A=\{1,2,3\}$ și verificați formula.

Rezolvare. Le organizăm după primul element, ca să nu scăpăm niciuna:

$$123,132,213,231,312,321.$$

Sunt $6$ permutări, iar formula dă $P_3=3!=6$. ✓

Observă structura listei: fiecare dintre cele $3$ elemente stă pe prima poziție în exact $2=2!$ șiruri — exact demonstrația teoremei, făcută concret.

Exemplul 2 — Așezarea pe scaune

În câte moduri se pot așeza $5$ elevi pe $5$ scaune numerotate?

Rezolvare. Se folosesc toți elevii, fiecare o singură dată, iar ordinea contează (scaunele sunt numerotate, deci a sta pe scaunul $1$ diferă de a sta pe scaunul $2$). Este o problemă de permutări:

$$P_5=5!=120\text{ moduri}.$$

Variantă de discuție. Dacă ar fi $5$ elevi și $6$ scaune numerotate, problema nu ar mai fi de permutări, pentru că un scaun rămâne gol: ar trebui să decidem întâi care scaun rămâne liber. Ține minte că formula $P_n$ cere potrivirea exactă între numărul obiectelor și numărul locurilor.

Exemplul 3 — Anagrame

a) Câte anagrame are cuvântul CARTE? b) Câte dintre ele încep cu litera C?

Rezolvare. a) Cuvântul are $5$ litere, toate distincte, deci $P_5=120$ de anagrame.

b) Litera C este fixată pe prima poziție. Celelalte $4$ litere (A, R, T, E) se permută liber:

$$P_4=4!=24\text{ anagrame}.$$

Verificare: fiecare dintre cele $5$ litere poate sta pe prima poziție, iar grupele sunt egale ca mărime: $5\cdot 24=120$. ✓

Exemplul 4 — O ecuație simplă

Rezolvați în $\mathbb{N}^$ecuația$P_n = 720$.*

Rezolvare. Ecuația se scrie $n!=720$. Calculăm factorialele în ordine crescătoare: $5!=120$, $6!=720$. ✓

Cum factorialul este strict crescător pentru $n\ge 1$, nu poate exista o a doua soluție: pentru $n\ge 7$ avem $n!\ge 5040>720$. Deci $n=6$.

Reține argumentul, pentru că baremele îl cer: monotonia factorialului garantează unicitatea soluției.

Exemplul 5 — O ecuație cu raport

Rezolvați în $\mathbb{N}$ ecuația $\frac{P_{n+1}}{P_{n-1}}=30$.

Rezolvare. Condiție: $n-1\ge 0$, deci $n\ge 1$.

Înlocuim și simplificăm:

$$\frac{P_{n+1}}{P_{n-1}}=\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)\cdot n.$$

Ecuația devine $n^2+n-30=0$, cu $\Delta =1+120=121=11^2$ și rădăcinile $n=\frac{-1\pm 11}{2}$, adică $n=5$ și $n=-6$. A doua nu este naturală și se respinge.

Verificare: $\frac{P_6}{P_4}=\frac{720}{24}=30$. ✓ Soluția este $n=5$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Calculați $\frac{P_5+P_4}{P_3}$. b) Rezolvați în $\mathbb{N}^$ecuația$P_{n+1} = 12 \cdot P_{n-1}$.*

Rezolvare. a) $P_5=120$, $P_4=24$, $P_3=6$, deci

$$\frac{120+24}{6}=\frac{144}{6}=24.$$

b) Condiție: $n\ge 1$. Scriem $(n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!$, iar ecuația devine

$$(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!=12\cdot (n-1)!⟺n(n+1)=12⟺n^2+n-12=0.$$

Cu $\Delta =49$ obținem $n=3$ sau $n=-4$; a doua se respinge. Soluția este $n=3$.

Verificare: $P_4=24$ și $12\cdot P_2=12\cdot 2=24$. ✓

Să exersăm

Înainte de a scrie formula, verifică cele trei criterii: folosesc toate elementele? contează ordinea? sunt elementele distincte? La ecuații, scrie condițiile de existență înaintea oricărui calcul.

1. Calculează $P_3$, $P_4$, $P_5$ și $P_6$.

2. Scrie toate permutările mulțimii $\{1,2,3\}$ și verifică numărul lor cu formula.

3. În câte moduri se pot așeza $5$ elevi pe $5$ scaune numerotate?

4. Câte anagrame are cuvântul CARTE (toate literele sunt distincte)?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$P_0=0$, pentru că nu avem ce ordona."

6. În câte moduri pot fi așezate $7$ cărți diferite pe un raft?

7. Calculează $\frac{P_6}{P_4}$.

8. Rezolvă în ${\mathbb{N}}^{\ast }$ ecuația $P_n=120$.

9. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $P_{n+1}=6\cdot P_n$.

10. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $\frac{P_{n+1}}{P_{n-1}}=42$.

11. (Problemă aplicată.) Ai $6$ melodii preferate și le asculți în fiecare zi într-o altă ordine. Câte ordini există? Aproximativ câți ani îți ajung?

12. Câte anagrame are cuvântul COMPUTER (toate cele $8$ litere sunt distincte)?

13. În câte moduri se pot așeza $4$ copii unul lângă altul, pentru o fotografie?

14. O parolă folosește exact o dată fiecare dintre cifrele $1$, $2$, $3$, $4$, $5$. Câte parole de acest tip există?

15. Calculează $\frac{P_5+P_4}{P_3}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Rezolvă în ${\mathbb{N}}^{\ast }$ ecuația $P_{n+1}=12\cdot P_{n-1}$.

17. Câte anagrame ale cuvântului CARTE încep cu litera A?

18. (Provocare.) Cinci prieteni se așază la rând pentru o fotografie, dar Ana și Bogdan vor neapărat să stea unul lângă altul. În câte moduri se pot așeza? (Indicație: tratează perechea Ana–Bogdan ca pe un singur „bloc", apoi ține cont că blocul are, la rândul lui, două ordini interioare.)

Răspunsuri și explicații

1. $P_3=6$, $P_4=24$, $P_5=120$, $P_6=720$.

2. $123$, $132$, $213$, $231$, $312$, $321$ — șase permutări, iar $P_3=3!=6$. ✓ (Este Exemplul 1, redactat de tine.)

3. Toți elevii sunt așezați, scaunele sunt numerotate (deci ordinea contează), elevii sunt distincți: $P_5=120$ de moduri. (Este Exemplul 2.)

4. Cuvântul are $5$ litere distincte, deci $P_5=5!=120$ de anagrame. (Este Exemplul 3, punctul a.)

5. Fals. $P_0=0!=1$: există exact un mod de a ordona zero obiecte, anume să nu așezi nimic. Convenția păstrează, în plus, valabilitatea recurenței $n!=n\cdot (n-1)!$ pentru $n=1$.

6. $P_7=7!=5040$ de moduri.

7. $\frac{P_6}{P_4}=\frac{720}{24}=30$. (Se putea și prin simplificare directă: $\frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30$.)

8. $n!=120$. Cum $5!=120$, soluția este $n=5$; ea este unică, factorialul fiind strict crescător pentru $n\ge 1$.

9. $(n+1)\cdot n!=6\cdot n!$; simplificăm cu $n!\ne 0$ și obținem $n+1=6$, deci $n=5$. Verificare: $P_6=720=6\cdot 120$. ✓

10. Condiție: $n\ge 1$. Din $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)=42$ rezultă $n^2+n-42=0$, cu $\Delta =169$ și rădăcinile $n=6$, $n=-7$. Rămâne $n=6$. Verificare: $\frac{P_7}{P_5}=\frac{5040}{120}=42$. ✓

11. $P_6=720$ de ordini. La una pe zi, înseamnă $720$ de zile, adică aproape doi ani ($720:365\approx 1,97$).

12. $P_8=8!=40320$ de anagrame.

13. $P_4=4!=24$ de moduri.

14. Fiecare cifră apare exact o dată, deci parola este o permutare a celor $5$ cifre: $P_5=120$ de parole.

15. $\frac{120+24}{6}=\frac{144}{6}=24$. (Este Exemplul 6, punctul a.)

16. Condiție: $n\ge 1$. Din $(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!=12\cdot (n-1)!$ rezultă $n(n+1)=12$, adică $n^2+n-12=0$, cu $\Delta =49$ și soluțiile $n=3$, $n=-4$. Rămâne $n=3$ (verificare: $P_4=24=12\cdot P_2$).

17. Litera A fiind fixată pe prima poziție, rămân $4$ litere distincte de permutat: $P_4=24$ de anagrame — același raționament ca la Exemplul 3, punctul b, unde litera fixată era C.

18. Legăm Ana și Bogdan într-un singur bloc. Avem atunci $4$ obiecte de așezat (blocul și ceilalți trei prieteni), deci $P_4=24$ de ordini. În fiecare dintre ele, blocul poate fi „Ana–Bogdan" sau „Bogdan–Ana", adică $P_2=2$ variante interioare. Prin regula produsului, răspunsul este $24\cdot 2=48$ de așezări. (Am verificat prin generarea efectivă a tuturor celor $120$ de așezări ale celor cinci prieteni: exact $48$ dintre ele au pe Ana și Bogdan alăturați.)

De reținut

• O permutare a unei mulțimi cu $n$ elemente este o așezare a tuturor elementelor într-o ordine, fiecare element apărând exact o dată.
• Formula: $P_n=n!$, demonstrată cu regula produsului: $n$ variante pentru prima poziție, $n-1$ pentru a doua, …, $1$ pentru ultima. Convenția: $P_0=1$.
• Valorile de memorat: $P_1=1$, $P_2=2$, $P_3=6$, $P_4=24$, $P_5=120$, $P_6=720$, $P_7=5040$, $P_8=40320$.
• Trei criterii pentru a recunoaște permutările: se folosesc toate elementele, ordinea contează, elementele sunt distincte. Dacă unul cade, problema cere altă metodă.
• La ecuații cu permutări: înlocuiești $P_n$ cu $n!$, exprimi totul prin cel mai mic factorial, simplifici, rezolvi și verifici condițiile.

Greșeli frecvente

• Aplici $P_n$ când nu folosești toate elementele. „Primele trei locuri dintre $8$ concurenți" nu este o permutare a celor $8$; acolo se folosește noțiunea din lecția despre aranjamente.
• Aplici $P_n$ deși ordinea nu contează. O echipă de trei persoane nu este un clasament; dacă schimbarea a două elemente nu produce o situație nouă, permutările numără de prea multe ori.
• Uiți că literele trebuie să fie distincte. La cuvinte cu litere repetate, numărul anagramelor distincte este mai mic decât $n!$, iar calculul cere altă metodă decât cea din această lecție.
• $P_0=0$. Fals: $P_0=0!=1$.
• Nu pui condițiile la ecuații. Scrierea $P_{n-1}$ cere $n\ge 1$; fără condiție poți accepta soluții pentru care expresia nu are sens. Și nu uita să respingi rădăcina negativă a ecuației de gradul al doilea.

Aplică acasă

1. Fotografia de familie. Așază patru membri ai familiei pentru o fotografie și calculează, cu formula, câte așezări există ($P_4=24$). Scrie-le pe toate pe o foaie, ordonându-le după cine stă primul — vei regăsi structura demonstrației: patru grupe a câte șase.

2. Anagrama numelui. Scrie-ți prenumele. Dacă are litere distincte, calculează numărul anagramelor lui; dacă are litere care se repetă, notează observația și explică de ce formula $P_n$ ar da un rezultat prea mare.

3. Traseul livratorului. Alege cinci magazine din cartier și calculează câte trasee complete există ($P_5=120$). Alege apoi, pe hartă, traseul care ți se pare cel mai scurt și explică de ce un calculator care ar încerca toate variantele ar avea probleme dacă magazinele ar fi $20$.

Pentru părinți și profesori

Permutările sunt primul concept „cu formulă" din unitatea Metode de numărare și, totodată, primul test al capacității elevului de a citi corect un enunț. Formula $P_n=n!$ se învață în cinci minute; ce cere timp este discernământul: folosim toate elementele? contează ordinea? sunt elementele distincte? Lecția insistă deliberat pe aceste trei criterii, pentru că întreaga unitate se construiește pe ele.

Ce verifică lecția: dacă elevul justifică formula prin regula produsului (nu doar o memorează), dacă recunoaște tipul de problemă din enunț și dacă rezolvă ecuațiile cu permutări cu tot cu condiții și verificare. Întrebări bune de control: „De ce prima poziție are $n$ variante, iar a doua $n-1$?"; „Dacă schimb doi elevi între ei, obțin altă așezare?"; „Ce condiție impune scrierea $P_{n-1}$?". Semn că a înțeles: la o problemă nouă spune întâi ce fel de problemă este și abia apoi scrie formula.

La Bacalaureat, permutările apar la subiectul I, cel mai adesea sub forma unei ecuații („rezolvați $P_{n+1}=6P_n$") sau a unui calcul de expresie („calculați $\frac{P_5+P_4}{P_3}$"), precum și în probleme practice de așezare. Baremul punctează separat scrierea formulei, simplificarea și verificarea soluției. Continuarea firească este Probleme de permutări cu restricții, unde apar condiții de tipul „două persoane stau alături" sau „o anumită persoană stă la capăt".

Întrebări frecvente

Ce este o permutare în matematică? Este un mod de a așeza în ordine toate elementele unei mulțimi finite, fiecare element apărând exact o dată. De exemplu, mulțimea $\{a,b,c\}$ are șase permutări: $abc$, $acb$, $bac$, $bca$, $cab$, $cba$.

De ce numărul permutărilor este $n!$? Pentru că, la construirea unei așezări, prima poziție se poate completa în $n$ moduri, a doua în $n-1$ moduri (un element s-a consumat), a treia în $n-2$ și așa mai departe, până la ultima, unde rămâne un singur element. Prin regula produsului, totalul este $n(n-1)\cdots 2\cdot 1=n!$.

Cât este $P_0$? $P_0=0!=1$. Există exact un mod de a ordona zero obiecte: să nu așezi nimic. Convenția are și avantajul că păstrează valabilitatea formulei de recurență a factorialului.

Cum îmi dau seama că o problemă se rezolvă cu permutări? Verifici trei lucruri: se folosesc toate elementele, ordinea contează și elementele sunt distincte. Dacă alegi doar o parte dintre elemente sau dacă ordinea nu are importanță, problema cere altă metodă de numărare.

Câte anagrame are un cuvânt cu litere distincte? Exact $P_n=n!$, unde $n$ este numărul de litere. De exemplu, CARTE are $5$ litere distincte, deci $120$ de anagrame, iar COMPUTER are $8$ litere distincte, deci $40320$. Dacă unele litere se repetă, numărul anagramelor distincte este mai mic.

Cum rezolv o ecuație cu permutări? Înlocuiești $P_n$ cu $n!$, pui condițiile de existență, exprimi toate factorialele prin cel mai mic dintre ele și simplifici. Rămâne, de obicei, o ecuație de gradul întâi sau al doilea; la final respingi soluțiile care nu sunt numere naturale și verifici rezultatul.

În câte moduri se pot așeza $n$ persoane pe $n$ scaune? În $P_n=n!$ moduri, dacă scaunele sunt distincte (numerotate sau așezate în linie). Pentru $5$ persoane sunt $120$ de moduri, pentru $7$ persoane $5040$, iar pentru $10$ persoane deja $3628800$ — de aceea formula este singura cale practică de calcul.