Combinări: definiție și formulă

Profesorul de sport anunță: „Din cei zece elevi înscriși aleg trei care merg la concursul de ștafetă." Elevii încep să numere variantele — și se opresc repede, pentru că apare o întrebare firească: dacă îi aleg pe Ana, Bogdan și Carla, contează în ce ordine le-am spus numele? Evident, nu. Echipa formată din Ana, Bogdan și Carla este exact aceeași echipă, indiferent dacă profesorul îi strigă în ordine alfabetică sau invers.

Aici se rupe legătura cu tot ce am făcut până acum. La permutări și la aranjamente, ordinea era esențială: podiumul, funcțiile din club, cifrele unui număr — toate se schimbau la o simplă rocadă. Acum ordinea nu mai contează, iar asta schimbă complet numărul de posibilități. Obiectul matematic care numără aceste alegeri „fără ordine" se numește combinare, iar formula lui se deduce elegant chiar din cea a aranjamentelor. Combinările sunt, probabil, cea mai des folosită noțiune de combinatorică — de la formarea echipelor și loterie până la probabilități și la triunghiul lui Pascal.

Ce vei învăța

Vei ști să explici de ce ordinea nu contează într-o alegere de tip „echipă" și cum se vede asta în numărul de posibilități.
Vei ști să deduci formula combinărilor pornind de la aranjamente, prin împărțirea la $k!$ .
Vei ști să folosești ambele scrieri: $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ și $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ .
Vei ști cazurile particulare $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ , $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
Vei ști să rezolvi probleme clasice: strângeri de mână, echipe, drepte prin puncte, diagonalele unui poligon, loterie.
Vei ști să decizi rapid, citind enunțul, dacă ai de-a face cu aranjamente sau cu combinări.

Hai să descoperim împreună

1. Aceleași elemente, altă întrebare

Comparăm două enunțuri aproape identice, pe o mulțime cu $5$ elevi: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ .

Enunțul 1: „Se aleg doi elevi, unul pentru funcția de șef de clasă și unul pentru cea de casier." Aici $(A, B)$ înseamnă „ $A$ șef, $B$ casier", iar $(B, A)$ înseamnă altceva. Numărul de posibilități este $A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$ .

Enunțul 2: „Se aleg doi elevi care să reprezinte clasa la un concurs." Aici perechea ${A, B}$ este aceeași cu ${B, A}$ — cei doi au același rol. Scriem toate posibilitățile:

${A, B}, {A, C}, {A, D}, {A, E}, {B, C}, {B, D}, {B, E}, {C, D}, {C, E}, {D, E} .$

Sunt exact $10$ . Adică jumătate din cele $20$ de la primul enunț — pentru că fiecare pereche a fost numărată acolo de două ori, o dată în fiecare ordine.

Iată ideea centrală a lecției, în formă brută: combinările sunt aranjamentele din care am eliminat contribuția ordinii.

✏️Ilustrație: în stânga, două căsuțe etichetate „șef" și „casier" cu săgeți de la A la șef și de la B la casier, plus varianta inversă, marcate ca DOUĂ posibilități; în dreapta, un cerc care cuprinde A și B, marcat ca O SINGURĂ posibilitate

2. Definiția

Definiție. Fie $A$ o mulțime cu $n$ elemente și $k$ un număr natural, $0 \leq k \leq n$ . Se numește combinare de $n$ elemente luate câte $k$ orice submulțime cu $k$ elemente a mulțimii $A$ .

Numărul acestor combinări se notează $C_{n}^{k}$ (se citește „combinări de $n$ luate câte $k$ ").

Cuvântul-cheie este submulțime. O submulțime nu are „ordine": ${A, B}$ și ${B, A}$ sunt aceeași submulțime, scrisă în două feluri. Și, ca la orice mulțime, elementele nu se repetă.

Prin urmare, $C_{n}^{k}$ răspunde la întrebarea: câte submulțimi cu exact $k$ elemente are o mulțime cu $n$ elemente?

3. Formula, dedusă din aranjamente

Teoremă. Pentru orice $n, k \in N$ cu $0 \leq k \leq n$ :

$C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .$

Demonstrație. Numărăm aranjamentele de $n$ luate câte $k$ în două feluri.

Primul fel: direct, $A_{n}^{k}$ .

Al doilea fel: în doi pași. Întâi alegem care $k$ elemente intră în aranjament — asta se poate face în $C_{n}^{k}$ moduri, prin definiție. Apoi ordonăm cele $k$ elemente alese — ceea ce se poate face în $P_{k} = k!$ moduri. Prin regula produsului obținem $C_{n}^{k} \cdot k!$ aranjamente.

Cele două numărători descriu același lucru, deci

$A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k! ⟹ C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{1}{k !} \cdot \frac{n !}{( n - k )!} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} . ■$

Am verificat egalitatea $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ prin numărare brută — generând efectiv toate șirurile ordonate și toate submulțimile — pentru toate perechile $(n, k)$ cu $n \leq 8$ . Nicio abatere.

Verificare pe exemplul din secțiunea 1: $C_{5}^{2} = \frac{A _{5}^{2}}{2 !} = \frac{20}{2} = 10$ , exact câte perechi am scris pe caiet ✓.

Cum se calculează practic. Nu porni de la factoriali! Scrie aranjamentul ca produs și împarte la $k!$ :

$C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{720}{6} = 120, C_{8}^{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1680}{24} = 70.$

La numărător pui $k$ factori descrescători începând cu $n$ ; la numitor, $k!$ . Simplifică înainte de a înmulți și calculul devine banal.

4. Observație: notația internațională

În manualele și în textele străine, precum și pe multe calculatoare științifice, același număr se notează $(k n)$ și se citește „ $n$ alege $k$ ". Este exact același lucru cu $C_{n}^{k}$ — doar simbolul diferă. În programa și la examenele din România se folosește notația $C_{n}^{k}$ , iar în restul lecțiilor și al testelor de pe MatePolis vom scrie numai așa. Ți-o menționăm o singură dată, ca să nu te sperie dacă o întâlnești într-o carte tradusă sau pe internet.

5. Cazuri particulare de reținut

Caz	Valoare	De ce
$C_{n}^{0}$	$1$	o singură submulțime cu zero elemente: mulțimea vidă
$C_{n}^{1}$	$n$	submulțimile cu un element sunt chiar elementele
$C_{n}^{2}$	$\frac{n ( n - 1 )}{2}$	perechile neordonate
$C_{n}^{n - 1}$	$n$	alegem pe cine lăsăm afară
$C_{n}^{n}$	$1$	o singură submulțime cu toate elementele

Toate au fost verificate prin enumerare efectivă a submulțimilor, pentru $n \leq 8$ .

Formula $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ merită memorată separat, pentru că apare în zeci de probleme: strângeri de mână, meciuri într-un campionat, drepte determinate de puncte, laturi plus diagonale într-un poligon.

6. Un tabel de valori

$n \ k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$
$6$	$1$	$6$	$15$	$20$	$15$
$7$	$1$	$7$	$21$	$35$	$35$
$8$	$1$	$8$	$28$	$56$	$70$

✏️Ilustrație: tabelul de mai sus desenat ca un triunghi centrat — liniile n = 4, 5, 6, 7, 8 aliniate pe mijloc, cu valorile în cerculețe și cu o axă verticală punctată de simetrie prin centrul triunghiului

Privește liniile: valorile cresc, ating un maxim la mijloc, apoi scad simetric. Simetria aceasta nu e o coincidență — este o proprietate importantă, pe care o vei studia imediat în Combinări complementare, iar tabelul întreg, prelungit, este chiar triunghiul lui Pascal.

Încă o observație verificată numeric: suma tuturor valorilor de pe o linie este o putere a lui $2$ . Pentru $n = 5$ : $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$ . Explicația e simplă și frumoasă: adunând submulțimile cu $0$ , cu $1$ , …, cu $n$ elemente, numeri toate submulțimile mulțimii, iar acestea sunt $2^{n}$ .

7. Probleme clasice care se rezolvă cu combinări

Strângeri de mână. Într-o clasă cu $25$ de elevi, fiecare dă mâna cu fiecare exact o dată. Câte strângeri de mână au loc? O strângere de mână e o pereche neordonată de elevi (dacă Ana dă mâna cu Bogdan, e aceeași strângere de mână și invers):

$C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300.$

Drepte determinate de puncte. Câte drepte determină $8$ puncte din plan, dacă oricare trei nu sunt coliniare? Prin două puncte trece o dreaptă și numai una, iar perechea de puncte e neordonată: $C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ de drepte. Tot din aceste puncte se pot forma $C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$ de triunghiuri.

Diagonalele unui poligon. Câte diagonale are un octogon convex? Segmentele determinate de cele $8$ vârfuri sunt $C_{8}^{2} = 28$ ; dintre ele, $8$ sunt laturi, restul sunt diagonale:

$28 - 8 = 20 diagonale .$

În general, un poligon convex cu $n$ laturi are $C_{n}^{2} - n = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ diagonale. (Verificat numeric pentru pentagon: $5$ ; hexagon: $9$ ; decagon: $35$ .)

Loterie. La un joc de tip 6 din 49 se extrag $6$ numere din $49$ , fără să conteze ordinea. Numărul de variante este $C_{49}^{6} = 13983816$ — de aceea șansa de a nimeri toate cele șase numere cu un singur bilet este aproximativ una la $14$ milioane.

Echipe mixte. Dintr-un grup de $7$ băieți și $5$ fete se alege o echipă de $2$ băieți și $2$ fete. În câte moduri? Alegerile sunt independente, deci se înmulțesc:

$C_{7}^{2} \cdot C_{5}^{2} = 21 \cdot 10 = 210.$

(Am verificat tiparul prin enumerare brută pe un caz mic — $2$ băieți din $4$ și $2$ fete din $3$ — obținând $18 = C_{4}^{2} \cdot C_{3}^{2}$ .)

8. Aranjamente sau combinări? Testul decisiv

Pune-ți o singură întrebare: dacă schimb între ele două dintre elementele alese, obțin altceva?

Enunț	Ordinea contează?	Formula
Președinte, vicepreședinte, secretar din $12$	da	$A_{12}^{3} = 1320$
Trei delegați din $12$	nu	$C_{12}^{3} = 220$
Podiumul (I, II, III) la $10$ concurenți	da	$A_{10}^{3} = 720$
Trei finaliști (fără clasament) din $10$	nu	$C_{10}^{3} = 120$
Numere de $3$ cifre distincte din ${1, \dots, 6}$	da	$A_{6}^{3} = 120$
Submulțimi cu $3$ elemente ale unei mulțimi cu $6$	nu	$C_{6}^{3} = 20$

Observă că, în fiecare pereche de rânduri, valoarea din al doilea rând este cea din primul împărțită la $3! = 6$ . Exact ce spune formula.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe

Calculați $C_{6}^{2}$ , $C_{7}^{3}$ , $C_{9}^{1}$ și $C_{11}^{0}$ .

Rezolvare.

$C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15; C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35;$ $C_{9}^{1} = 9; C_{11}^{0} = 1.$

Exemplul 2 — Legătura cu aranjamentele

Verificați relația $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ pentru $n = 6$ și $k = 3$ , apoi explicați-o în cuvinte.

Rezolvare. $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ , iar $3! \cdot C_{6}^{3} = 6 \cdot 20 = 120$ . Egalitate ✓.

Explicația: fiecare submulțime cu $3$ elemente poate fi ordonată în $3! = 6$ feluri, iar fiecare astfel de ordonare este un aranjament diferit. Așadar cele $20$ de submulțimi generează $20 \cdot 6 = 120$ de aranjamente.

Exemplul 3 — Formarea unei echipe

Un antrenor are $12$ jucători și trebuie să aleagă $5$ pentru echipa de start. În câte moduri poate face selecția?

Rezolvare. Cei cinci jucători aleși formează o echipă; ordinea în care sunt numiți nu contează:

$C_{12}^{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{95 040}{120} = 792.$

Exemplul 4 — Puncte, drepte și triunghiuri

În plan se consideră $8$ puncte, oricare trei necoliniare. a) Câte drepte determină? b) Câte triunghiuri au vârfurile în aceste puncte?

Rezolvare. a) O dreaptă e determinată de o pereche neordonată de puncte: $C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ .

b) Un triunghi e determinat de o submulțime cu trei puncte (condiția „oricare trei necoliniare" garantează că fiecare astfel de submulțime dă un triunghi adevărat): $C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$ .

Exemplul 5 — Alegeri pe categorii

Dintr-un grup de $7$ băieți și $5$ fete se formează o echipă de $4$ persoane, cu $2$ băieți și $2$ fete. În câte moduri?

Rezolvare. Alegerea băieților și cea a fetelor sunt independente, deci se aplică regula produsului:

$C_{7}^{2} \cdot C_{5}^{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2} = 21 \cdot 10 = 210.$

Atenție: rezultatul nu este $C_{12}^{4} = 495$ — acela ar fi numărul echipelor de $4$ persoane fără nicio condiție privind componența.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Calculați $C_{6}^{2}$ . b) Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{2} = 45$ . c) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu $8$ elemente.

Rezolvare. a) $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ .

b) $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 45 ⟺ n (n - 1) = 90 ⟺ n^{2} - n - 90 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 1 + 360 = 361 = 1 9^{2}$ , deci $n = \frac{1 \pm 19}{2}$ , adică $n_{1} = 10$ și $n_{2} = - 9$ . Cum $n \in N$ , $n \geq 2$ , rămâne $n = 10$ .

Verificare: $C_{10}^{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ ✓.

c) Numărul cerut este chiar $C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ . $■$

Să exersăm

La fiecare exercițiu, decide întâi dacă ordinea contează — abia apoi scrie formula. Calculează folosind produsul de $k$ factori împărțit la $k!$ , nu factorialii întregi.

1. Calculați $C_{5}^{2}$ , $C_{6}^{3}$ , $C_{7}^{1}$ și $C_{9}^{0}$ .

2. Calculați $C_{10}^{2}$ , $C_{10}^{3}$ și $C_{12}^{2}$ .

3. Scrieți $C_{8}^{4}$ sub formă de fracție cu factoriale și calculați valoarea.

4. Verificați numeric relația $A_{6}^{3} = 3! \cdot C_{6}^{3}$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $C_{n}^{n} = 1$ pentru orice $n \geq 0$ ."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $C_{5}^{2} = A_{5}^{2}$ ."

7. Rezolvați în $N$ ecuația $C_{n}^{2} = 15$ .

8. Rezolvați în $N$ ecuația $C_{n}^{2} = 28$ .

9. Într-o clasă cu $25$ de elevi, fiecare dă mâna cu fiecare exact o dată. Câte strângeri de mână au loc?

10. Un antrenor alege $5$ jucători din $12$ pentru echipa de start. În câte moduri?

11. În plan se consideră $8$ puncte, oricare trei necoliniare. a) Câte drepte determină? b) Câte triunghiuri?

12. (Problemă aplicată.) La un joc de tip 6 din 49 se extrag $6$ numere dintre $1$ și $49$ , fără să conteze ordinea. Câte variante de bilet există?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Calculați $C_{7}^{2}$ . b) Determinați $n \in N$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{2} = 66$ . c) Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale unei mulțimi cu $6$ elemente.

14. Câte diagonale are un octogon convex?

15. Dintr-un grup de $7$ băieți și $5$ fete se alege o echipă formată din $2$ băieți și $2$ fete. În câte moduri?

16. Câte submulțimi cu $3$ elemente are o mulțime cu $6$ elemente? Scrieți-le pe toate pentru mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ limitându-vă la cele care îl conțin pe $1$ și verificați că sunt $C_{5}^{2}$ .

17. Comparați $C_{6}^{2}$ cu $A_{6}^{2}$ . Cât este raportul dintre ele și de ce?

18. (Provocare.) Calculați suma $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$ și explicați rezultatul obținut, gândindu-vă la ce numără fiecare termen.

Răspunsuri și explicații

1. $C_{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ ; $C_{6}^{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$ ; $C_{7}^{1} = 7$ ; $C_{9}^{0} = 1$ .

2. $C_{10}^{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ ; $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ ; $C_{12}^{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ .

3. $C_{8}^{4} = \frac{8 !}{4 ! \cdot 4 !} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} = \frac{1680}{24} = 70$ .

4. $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ și $3! \cdot C_{6}^{3} = 6 \cdot 20 = 120$ . Egalitate ✓. Fiecare submulțime cu trei elemente produce $3! = 6$ aranjamente, prin ordonare.

5. Adevărat. $C_{n}^{n} = \frac{n !}{n ! \cdot 0 !} = 1$ : există o singură submulțime cu $n$ elemente a unei mulțimi cu $n$ elemente — mulțimea însăși. (Pentru $n = 0$ , $C_{0}^{0} = 1$ : mulțimea vidă are o singură submulțime, ea însăși.)

6. Fals. $C_{5}^{2} = 10$ , iar $A_{5}^{2} = 20$ . Legătura corectă este $A_{5}^{2} = 2! \cdot C_{5}^{2}$ : fiecare pereche neordonată dă două aranjamente.

7. $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 15 ⟺ n^{2} - n - 30 = 0$ , $Δ = 121$ , $n \in {6, - 5}$ ; convine $n = 6$ . Verificare: $C_{6}^{2} = 15$ ✓.

8. $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 28 ⟺ n^{2} - n - 56 = 0$ , $Δ = 225$ , $n \in {8, - 7}$ ; convine $n = 8$ . Verificare: $C_{8}^{2} = 28$ ✓.

9. O strângere de mână este o pereche neordonată de elevi: $C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300$ .

10. $C_{12}^{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{120} = 792$ .

11. a) $C_{8}^{2} = 28$ de drepte. b) $C_{8}^{3} = 56$ de triunghiuri.

12. $C_{49}^{6} = 13983816$ de variante. Practic, o șansă la aproape $14$ milioane pentru un singur bilet.

13. a) $C_{7}^{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ . b) $n (n - 1) = 132 ⟺ n^{2} - n - 132 = 0$ , $Δ = 529 = 2 3^{2}$ , $n \in {12, - 11}$ ; convine $n = 12$ . c) $C_{6}^{3} = 20$ .

14. Segmentele determinate de cele $8$ vârfuri: $C_{8}^{2} = 28$ ; scădem cele $8$ laturi: $28 - 8 = 20$ de diagonale. (Formula generală: $\frac{n ( n - 3 )}{2}$ , care pentru $n = 8$ dă $\frac{8 \cdot 5}{2} = 20$ ✓.)

15. $C_{7}^{2} \cdot C_{5}^{2} = 21 \cdot 10 = 210$ .

16. $C_{6}^{3} = 20$ . Cele care îl conțin pe $1$ se obțin completând cu două elemente din ${2, 3, 4, 5, 6}$ , deci sunt $C_{5}^{2} = 10$ : ${1, 2, 3}$ , ${1, 2, 4}$ , ${1, 2, 5}$ , ${1, 2, 6}$ , ${1, 3, 4}$ , ${1, 3, 5}$ , ${1, 3, 6}$ , ${1, 4, 5}$ , ${1, 4, 6}$ , ${1, 5, 6}$ . Într-adevăr, $10$ .

17. $C_{6}^{2} = 15$ , $A_{6}^{2} = 30$ , raportul este $\frac{30}{15} = 2 = 2!$ . Motivul: fiecare submulțime cu două elemente poate fi ordonată în $2! = 2$ feluri, iar aranjamentele numără separat fiecare ordonare.

18. $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$ . Fiecare termen numără submulțimile cu un anumit număr de elemente, iar suma lor numără toate submulțimile unei mulțimi cu $5$ elemente. Cum fiecare element poate fi, independent, inclus sau exclus, submulțimile sunt $2^{5} = 32$ .

De reținut

Definiția: o combinare de $n$ luate câte $k$ este o submulțime cu $k$ elemente; ordinea nu contează, elementele nu se repetă.
Formula: $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ . Practic: $k$ factori descrescători începând cu $n$ , împărțiți la $k!$ .
Relația fundamentală: $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ — fiecare submulțime cu $k$ elemente generează $k!$ aranjamente, prin ordonare.
Cazuri particulare: $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ , $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
Criteriul de decizie: dacă schimbând între ele două dintre elementele alese obții aceeași situație, folosești combinări; dacă obții alta, folosești aranjamente.

Greșeli frecvente

Folosirea aranjamentelor la probleme de echipă. „Se aleg trei elevi pentru o excursie" nu înseamnă ordine: răspunsul e $C_{n}^{3}$ , nu $A_{n}^{3}$ . Rezultatul greșit e de $3! = 6$ ori mai mare.
Calcularea factorialilor întregi. Pentru $C_{12}^{5}$ nu calcula $12!$ — scrie produsul de cinci factori și împarte la $5!$ , simplificând pe parcurs.
Uitarea împărțirii la $k!$ . Dacă ai scris $C_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6$ , ai calculat de fapt $A_{8}^{3}$ . Numitorul $3! = 6$ este esențial: $C_{8}^{3} = 56$ .
Adunarea în loc de înmulțire la alegeri pe categorii. La „ $2$ băieți și $2$ fete", alegerile sunt simultane și independente, deci se înmulțesc: $C_{7}^{2} \cdot C_{5}^{2}$ . Adunarea s-ar folosi doar dacă enunțul ar cere „sau".
Confuzia dintre laturi și diagonale. $C_{n}^{2}$ numără toate segmentele determinate de vârfuri, laturi incluse. Pentru diagonale trebuie scăzute cele $n$ laturi.

Aplică acasă

Strângerile de mână din familie. La următoarea masă în familie, numără câți sunteți și calculează câte strângeri de mână ar avea loc dacă fiecare ar da mâna cu fiecare o singură dată ( $C_{n}^{2}$ ). Apoi verifică prin desen: pune un punct pentru fiecare persoană și unește-le două câte două — numărul de segmente e chiar răspunsul.
Diagonalele din casă. Găsește în casă un obiect cu formă de poligon (o față de masă hexagonală, un fagure de pe un ambalaj, un semn de circulație octogonal) și calculează câte diagonale are, cu formula $C_{n}^{2} - n$ . Desenează-le și numără-le, ca verificare.
Cât de improbabil e „6 din 49". Calculează $C_{49}^{6}$ și transformă rezultatul într-o imagine concretă: dacă ai completa un bilet pe minut, fără pauză, cât ți-ar lua să le completezi pe toate? Discută răspunsul cu un părinte.

Pentru părinți și profesori

Combinările sunt a treia și cea mai folosită dintre noțiunile de combinatorică din programa clasei a X-a. Elevul trebuie să poată face două lucruri: să justifice formula prin legătura $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ (nu doar să o citeze) și, mai ales, să decidă corect, din enunț, dacă ordinea contează. Programa cere explicit utilizarea notațiilor pentru permutări, aranjamente și combinări, precum și justificarea metodei alese la fiecare pas al rezolvării.

Ce verificați în rezolvarea copilului: (1) argumentează, într-o propoziție, de ce ordinea nu contează; (2) calculează prin produs împărțit la $k!$ , nu prin factoriali întregi; (3) la ecuații, pune condiția $n \geq 2$ și respinge soluțiile negative; (4) la probleme geometrice, scade laturile când se cer diagonalele. Întrebări bune de control: „Care e diferența dintre a alege un președinte și un secretar și a alege doi delegați?"; „De ce împărțim la $k!$ ?"; „Câte submulțimi cu două elemente are mulțimea colegilor tăi de bancă și de ce?".

Semne că elevul a înțeles: recunoaște singur tiparul „echipă / submulțime / pereche"; poate transforma un rezultat de aranjamente într-unul de combinări și invers; verifică rezultate mici prin enumerare pe caiet. La Bacalaureat, combinările apar la subiectul I, sub formă de calcul direct, ecuație simplă de tipul $C_{n}^{2} = a$ și probleme cu submulțimi, echipe sau puncte în plan.

Întrebări frecvente

Ce sunt combinările în matematică? Combinările de $n$ elemente luate câte $k$ sunt submulțimile cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente. Numărul lor se notează $C_{n}^{k}$ . Spre deosebire de aranjamente, ordinea elementelor alese nu contează.

Care este formula combinărilor? $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ , echivalent $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ . Practic, la numărător pui $k$ factori descrescători începând cu $n$ , iar la numitor $k!$ : de exemplu $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .

Care este diferența dintre aranjamente și combinări? La aranjamente ordinea contează, la combinări nu. Legătura dintre ele este $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ : fiecare submulțime cu $k$ elemente poate fi ordonată în $k!$ feluri, iar fiecare ordonare e un aranjament distinct.

De ce se împarte la $k!$ în formula combinărilor? Pentru că aranjamentele numără de $k!$ ori fiecare submulțime — o dată pentru fiecare ordine posibilă a celor $k$ elemente alese. Împărțind la $k!$ eliminăm exact această multiplicare și rămânem cu numărul de submulțimi.

Cât este $C_{n}^{0}$ și de ce? $C_{n}^{0} = 1$ . Există o singură submulțime fără niciun element: mulțimea vidă. Formula confirmă: $\frac{n !}{0 ! \cdot n !} = 1$ , folosind convenția $0! = 1$ .

Câte strângeri de mână au loc într-o clasă cu 25 de elevi? $C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300$ . O strângere de mână este o pereche neordonată de persoane, deci nu se numără de două ori.

Câte diagonale are un poligon convex cu n laturi? Segmentele determinate de vârfuri sunt $C_{n}^{2}$ ; scăzând cele $n$ laturi rămân $C_{n}^{2} - n = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ diagonale. Pentru un octogon: $28 - 8 = 20$ .

Cum rezolv o ecuație de forma $C_{n}^{2} = a$ ? Scrii $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , obții ecuația de gradul al doilea $n^{2} - n - 2 a = 0$ , o rezolvi și păstrezi doar soluția naturală cu $n \geq 2$ . La final verifici soluția în ecuația inițială.