Evenimentul contrar și probabilitatea lui

Aruncăm două zaruri și ne întrebăm care este probabilitatea să apară cel puțin un $6$. Aproape toată lumea răspunde, din prima, $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. Răspunsul este greșit, iar greșeala nu e mică: valoarea corectă este $\frac{11}{36}$, adică aproximativ $0,306$, nu $0,333$. Motivul îl vei înțelege în câteva minute — dar mai important decât motivul este metoda prin care se calculează corect, și care se aplică aproape de fiecare dată când în enunț apar cuvintele „cel puțin".

Metoda se numește trecerea la evenimentul contrar și se bazează pe o observație aproape banală: la orice probă, un eveniment sau se întâmplă, sau nu se întâmplă. Nu există a treia posibilitate. De aceea, dacă știi cât de probabil este ca ceva să se producă, știi automat și cât de probabil este să nu se producă — scazi din $1$. Iar în multe probleme numărarea cazurilor „care nu ne convin" este mult, mult mai scurtă decât numărarea celor favorabile. Este cel mai bun raport dintre efort și rezultat din tot capitolul de probabilități.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii evenimentul contrar al unui eveniment dat și să-l notezi corect, $\overline{A}$.
• Vei ști să folosești formula $P(\overline{A})=1-P(A)$ și să explici de ce este adevărată.
• Vei ști să recunoști enunțurile în care e mai ușor să numeri contrariul: „cel puțin unul", „măcar unul", „nu toate".
• Vei ști să negi corect un enunț: contrarul lui „cel puțin doi" nu este „niciunul", ci „cel mult unul".
• Vei ști să rezolvi probleme cu extrageri și cu mai multe probe, combinând contrarul cu metodele de numărare.
• Vei ști să verifici un rezultat cu proba $P(A)+P(\overline{A})=1$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „evenimentul contrar"

Pornim de la un experiment aleator, adică de la o probă al cărei rezultat nu poate fi prevăzut, deși cunoaștem toate rezultatele posibile. Notăm cu $\Omega$ mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului (litera grecească omega). Un eveniment $A$ este o parte a acestei mulțimi: acele rezultate pentru care spunem că „evenimentul s-a produs".

Definiție. Fiind dat un eveniment $A$, evenimentul contrar al lui $A$ (numit și complementar) este evenimentul care se produce exact atunci când $A$ nu se produce. Îl notăm $\overline{A}$ și îl citim „non $A$".

Trei exemple, ca să prindem ideea:

Din definiție rezultă imediat două proprietăți pe care merită să le vezi scrise:

$$A\cup \overline{A}=\Omega \text{și}A\cap \overline{A}=\varnothing .$$

Prima spune că, la fiecare probă, se produce sau $A$, sau $\overline{A}$ — împreună acoperă tot. A doua spune că nu se pot produce amândouă deodată, adică $A$ și $\overline{A}$ sunt evenimente disjuncte (incompatibile), noțiune tratată în lecția Evenimente disjuncte. Diagrame Venn. Pe o diagramă Venn, $\overline{A}$ este exact „restul dreptunghiului", partea din afara cercului lui $A$.

2. Formula $P(\overline{A})=1-P(A)$

Să o justificăm cu numărarea, pornind de la definiția clasică a probabilității.

Presupunem că experimentul are $n$ rezultate posibile egal probabile, iar evenimentul $A$ are $k$ cazuri favorabile. Atunci, prin definiția clasică,

$$P(A)=\frac{k}{n}.$$

Câte cazuri favorabile are $\overline{A}$? Exact acelea care nu sunt favorabile lui $A$, adică $n-k$. Deci

$$P(\overline{A})=\frac{n-k}{n}=\frac{n}{n}-\frac{k}{n}=1-P(A).$$

Formula evenimentului contrar. Pentru orice eveniment $A$: $P(A)+P(\overline{A})=1,$ adică $P(\overline{A})=1-P(A)$.

Verificare rapidă pe zar: $A$ = „apare $6$" are $P(A)=\frac{1}{6}$, iar $\overline{A}$ = „nu apare $6$" are $5$ cazuri favorabile din $6$, adică $\frac{5}{6}$. Într-adevăr, $\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$. ✓

Două consecințe utile, pe care le vei folosi ca probă de control:

• Dacă $P(A)=1$ (eveniment sigur), atunci $P(\overline{A})=0$ (evenimentul contrar este imposibil), și invers.
• Suma $P(A)+P(\overline{A})$ trebuie să dea întotdeauna exact $1$. Dacă la finalul unei probleme obții altceva, ai greșit undeva numărarea.

3. De ce ne ajută: „cel puțin unul" înseamnă „nu niciunul"

Iată inima lecției. Enunțurile care încep cu „cel puțin unul" ascund multe cazuri: cu un singur succes, cu două, cu trei… Contrariul lor este însă un singur caz, cel mai simplu dintre toate: niciunul.

$$\overline{\text{cel puțin unul}}=\text{niciunul}$$

Reluăm problema din deschidere. Aruncăm două zaruri; rezultatele posibile sunt perechile ordonate $(a,b)$ cu $a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}$, deci $6\cdot 6=36$ rezultate egal probabile (numărarea vine din regula produsului).

Fie $A$ = „apare cel puțin un $6$". Contrariul este $\overline{A}$ = „nu apare niciun $6$", adică ambele zaruri arată una dintre fețele $1,2,3,4,5$. Numărul cazurilor favorabile lui $\overline{A}$ este $5\cdot 5=25$, deci

$$P(\overline{A})=\frac{25}{36},P(A)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\approx 0,306.$$

De unde vine greșeala cu $\frac{1}{3}$? Din faptul că, adunând $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$, cazul $(6,6)$ — în care ambele zaruri arată $6$ — a fost numărat de două ori. Adunarea probabilităților funcționează numai la evenimente disjuncte, iar aici cele două evenimente („primul zar dă $6$" și „al doilea zar dă $6$") se pot produce simultan. Vom trata problema în detaliu în lecția Probabilitatea reuniunii a două evenimente; deocamdată reține doar că trecerea la contrar ocolește complet capcana.

Cazurile favorabile lui $A$ se pot, desigur, și număra direct: $(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)$ — exact $11$. Rezultatul coincide, dar drumul a fost de trei ori mai lung și mult mai expus greșelilor (foarte mulți elevi scriu $12$, numărând $(6,6)$ de două ori).

4. Negarea corectă a unui enunț — tabelul care te scapă de greșeli

Contrarul unui eveniment se obține negând enunțul care îl descrie. Aici se pierd cele mai multe puncte, pentru că negarea în limbaj matematic nu coincide întotdeauna cu cea din vorbirea de zi cu zi.

Regula de siguranță: după ce scrii contrarul, verifică pe un exemplu concret. Dacă $A$ = „cel puțin doi elevi din cei cinci au notă peste $9$", iar tu propui $\overline{A}$ = „niciun elev nu are notă peste $9$", ia cazul „exact un elev are peste $9$": nu se potrivește nici cu $A$, nici cu propunerea ta de $\overline{A}$ — deci propunerea e greșită. Contrariul corect este „cel mult un elev are notă peste $9$", care acoperă și cazul rămas.

5. Extrageri fără revenire: contrarul cu ajutorul combinărilor

Un magazin primește un lot de $10$ becuri, dintre care $3$ sunt defecte. Un client alege la întâmplare $3$ becuri. Care este probabilitatea ca cel puțin unul dintre ele să fie defect?

Alegerea a $3$ becuri dintre $10$ se face fără să conteze ordinea, deci numărul cazurilor posibile este dat de combinări:

$$n=C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$

Evenimentul $A$ = „cel puțin un bec defect" ar cere trei cazuri separate (exact unul, exact două, exact trei becuri defecte). Trecem la contrar: $\overline{A}$ = „niciun bec defect", adică toate cele trei becuri sunt alese dintre cele $7$ bune:

$$C_7^3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3}=35⟹P(\overline{A})=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}.$$

Prin urmare

$$P(A)=1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24}\approx 0,708.$$

Cu alte cuvinte, deși doar $3$ becuri din $10$ sunt defecte, șansa de a nimeri măcar unul defect când iei trei becuri este de peste $70\%$ — un rezultat care surprinde, dar care se verifică prin numărare completă: dintre cele $120$ de alegeri posibile, $85$ conțin cel puțin un bec defect, iar $\frac{85}{120}=\frac{17}{24}$. ✓

6. Când contrariul NU este „niciunul"

Aceeași problemă, altă întrebare: care este probabilitatea ca cel puțin două dintre cele trei becuri alese să fie defecte?

Aici contrarul este „cel mult un bec defect", care are la rândul lui două cazuri, deci trecerea la contrar nu mai scurtează drumul. Numărăm direct evenimentul cerut:

• exact două defecte: alegem $2$ din cele $3$ defecte și $1$ din cele $7$ bune, adică $C_3^2\cdot C_7^1=3\cdot 7=21$ cazuri;
• exact trei defecte: $C_3^3=1$ caz.

Total $22$ de cazuri favorabile, deci $P=\frac{22}{120}=\frac{11}{60}\approx 0,183$.

Proba prin contrar: cazurile cu cel mult un bec defect sunt $120-22=98$, iar $\frac{98}{120}=\frac{49}{60}$; într-adevăr, $\frac{11}{60}+\frac{49}{60}=1$. ✓

Morala: trecerea la contrar este un instrument, nu o obligație. O folosești când contrariul are mai puține cazuri decât evenimentul cerut. La „cel puțin unul" contrariul are întotdeauna un singur caz, de aceea acolo câștigul este maxim.

7. Mai multe probe: testul-grilă

La un test-grilă cu $4$ întrebări, fiecare întrebare are $4$ variante de răspuns, dintre care exact una este corectă. Un elev răspunde complet la întâmplare. Care este probabilitatea să nimerească cel puțin un răspuns corect?

Un rezultat al experimentului este o listă de $4$ răspunsuri alese, câte unul pentru fiecare întrebare. Prin regula produsului, numărul cazurilor posibile este

$$4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=4^4=256.$$

Contrariul: „niciun răspuns corect" înseamnă că la fiecare întrebare a fost bifată una dintre cele $3$ variante greșite, deci $3^4=81$ cazuri favorabile. Rezultă

$$P(\text{niciun corect})=\frac{81}{256},P(\text{cel puțin un corect})=1-\frac{81}{256}=\frac{175}{256}\approx 0,684.$$

Observă cât de scurt a fost drumul: fără contrar, ar fi trebuit să numărăm separat cazurile cu exact un răspuns corect, cu exact două, cu exact trei și cu toate patru corecte.

8. Strategia în trei pași

Ori de câte ori vezi „cel puțin", „măcar", „nu toate" sau „cel puțin unul dintre", aplică următorul algoritm:

1. Scrie contrariul evenimentului cerut, în cuvinte, și verifică-l pe un caz concret.
2. Calculează $P(\overline{A})$, numărând cazurile favorabile contrariului (aproape întotdeauna mult mai puține).
3. Scade din $1$: $P(A)=1-P(\overline{A})$, și fă proba $P(A)+P(\overline{A})=1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei monede

Se aruncă trei monede. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o stemă?

Rezolvare. Cazuri posibile: fiecare monedă are $2$ fețe, deci $2^3=8$ rezultate egal probabile. Contrariul evenimentului „cel puțin o stemă" este „nicio stemă", adică toate trei arată banul: un singur caz. Deci

$$P(\text{nicio stema˘})=\frac{1}{8},P(\text{cel puțin o stema˘})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0,875.$$

Exemplul 2 — Bilă care nu este roșie

O urnă conține $4$ bile roșii, $5$ albastre și $6$ verzi. Se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca ea să nu fie roșie?

Rezolvare. În total sunt $4+5+6=15$ bile, deci $P(\text{roșie})=\frac{4}{15}$. Evenimentul cerut este contrarul, deci

$$P(\text{nu e roșie})=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}.$$

Verificare directă: bilele care nu sunt roșii sunt $5+6=11$, iar $\frac{11}{15}$ coincide. ✓

Exemplul 3 — Trei zaruri

Se aruncă trei zaruri. Care este probabilitatea de a obține cel puțin un $6$?

Rezolvare. Cazuri posibile: $6^3=216$. Contrariul: „niciun $6$" înseamnă că fiecare zar arată una dintre cele $5$ fețe rămase, deci $5^3=125$ cazuri. Prin urmare

$$P(\text{cel puțin un }6)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0,421.$$

Compară cu rezultatul de la două zaruri, $\frac{11}{36}\approx 0,306$: cu cât arunci mai multe zaruri, cu atât e mai probabil să apară măcar un $6$ — ceea ce se potrivește cu intuiția.

Exemplul 4 — Comisie fără niciun băiat

Într-o clasă sunt $12$ fete și $8$ băieți. Se alege la întâmplare o comisie de $3$ elevi. Care este probabilitatea ca în comisie să fie cel puțin un băiat?

Rezolvare. Cazuri posibile: $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Contrariul: comisia nu conține niciun băiat, deci toți cei trei membri sunt aleși dintre cele $12$ fete: $C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{6}=220$ cazuri. Rezultă

$$P(\text{niciun ba˘iat})=\frac{220}{1140}=\frac{11}{57},P(\text{cel puțin un ba˘iat})=1-\frac{11}{57}=\frac{46}{57}\approx 0,807.$$

Exemplul 5 — Contrarul care nu e „niciunul"

Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma fețelor să fie cel mult $10$?

Rezolvare. Contrariul lui „suma este cel mult $10$" este „suma este mai mare decât $10$", adică suma este $11$ sau $12$. Cazurile favorabile contrariului: $(5,6),(6,5)$ pentru suma $11$ și $(6,6)$ pentru suma $12$, deci $3$ cazuri din $36$.

$$P(\text{suma}>10)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12},P(\text{suma}\le 10)=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}.$$

Numărarea directă ar fi cerut inventarierea a $33$ de perechi — de unsprezece ori mai multă muncă pentru același rezultat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Se alege la întâmplare o submulțime cu $3$ elemente a mulțimii $M$. a) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $M$. b) Calculați probabilitatea ca submulțimea aleasă să conțină numai numere impare. c) Calculați probabilitatea ca submulțimea aleasă să conțină cel puțin un număr par.

Rezolvare. a) Submulțimile nu au ordine, deci numărul lor este

$$C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=56.$$

b) Numerele impare din $M$ sunt $1,3,5,7$, deci sunt $4$. Submulțimile formate numai din numere impare sunt $C_4^3=4$. Probabilitatea cerută este

$$P=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}.$$

c) Evenimentul „cel puțin un număr par" este contrarul evenimentului de la punctul b) — o submulțime, sau conține măcar un număr par, sau este formată numai din numere impare. Deci

$$P=1-\frac{1}{14}=\frac{13}{14}.$$

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi contrariul evenimentului cerut, apoi decide dacă e mai scurt să calculezi contrariul sau evenimentul direct.

1. Se aruncă un zar. Care este probabilitatea de a nu obține fața $3$?

2. Într-o urnă sunt $7$ bile albe și $3$ bile negre. Se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca ea să nu fie neagră?

3. Un eveniment $A$ are $P(A)=0,35$. Calculează $P(\overline{A})$.

4. Se aruncă două monede. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o stemă?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Contrariul evenimentului «cel puțin doi elevi au luat nota $10$» este «niciun elev nu a luat nota $10$»."

6. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea de a nu obține niciun $1$?

7. Se aruncă patru monede. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o stemă?

8. Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ de cărți de joc. Care este probabilitatea ca ea să nu fie as?

9. (Problemă aplicată.) Într-un lot de $12$ prăjituri, $4$ au glazură de ciocolată. Se aleg la întâmplare $3$ prăjituri. Care este probabilitatea ca cel puțin una să aibă glazură de ciocolată?

10. Se aruncă un zar de trei ori. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o față impară?

11. Într-o clasă de $25$ de elevi, $18$ merg în excursie. Se alege un elev la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să nu meargă în excursie? Exprimă rezultatul și în procente.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $P(A)=\frac{2}{5}$, atunci $P(\overline{A})=\frac{5}{2}$."

13. La un test-grilă cu $3$ întrebări, fiecare cu $5$ variante dintre care una corectă, un elev răspunde la întâmplare. Care este probabilitatea de a nimeri cel puțin un răspuns corect?

14. Se aleg la întâmplare $2$ cărți dintr-un pachet de $52$. Care este probabilitatea ca cel puțin una să fie as?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Se alege la întâmplare o submulțime cu $2$ elemente a mulțimii $A$. a) Determinați numărul submulțimilor cu $2$ elemente. b) Calculați probabilitatea ca submulțimea aleasă să conțină cel puțin un număr par.

16. Într-un lot de $10$ becuri, $3$ sunt defecte. Se aleg $3$ becuri. Calculează probabilitatea ca cel mult unul să fie defect. (Indicație: folosește rezultatul obținut în lecție pentru „cel puțin două".)

17. (Problemă aplicată.) Trei prieteni își aleg fiecare, independent unul de altul, o zi din săptămână pentru antrenament. Care este probabilitatea ca cel puțin doi dintre ei să aleagă aceeași zi?

18. (Provocare.) Se aruncă $n$ zaruri. Determină cea mai mică valoare a lui $n$ pentru care probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ depășește $0,5$.

Răspunsuri și explicații

1. $P(\text{fața }3)=\frac{1}{6}$, deci $P(\text{nu }3)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

2. $P(\text{neagra˘})=\frac{3}{10}$, deci $P(\text{nu e neagra˘})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$. (Verificare directă: $7$ bile albe din $10$.)

3. $P(\overline{A})=1-0,35=0,65$.

4. Cazuri posibile: $2^2=4$. Contrariul „nicio stemă" are un singur caz, deci $P=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

5. Fals. Contrariul lui „cel puțin doi" este „cel mult unul", adică „niciunul sau exact unul". Varianta propusă lasă pe dinafară cazul „exact un elev a luat $10$", care nu se potrivește nici cu $A$, nici cu ea.

6. Cazuri posibile: $36$. Fiecare zar trebuie să arate una dintre fețele $2,3,4,5,6$, deci $5\cdot 5=25$ cazuri favorabile: $P=\frac{25}{36}$.

7. Cazuri posibile: $2^4=16$; „nicio stemă" are un caz. $P=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

8. Sunt $4$ ași, deci $P(\text{as})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$ și $P(\text{nu e as})=1-\frac{1}{13}=\frac{12}{13}$.

9. Cazuri posibile: $C_{12}^3=220$. Contrariul „nicio prăjitură cu ciocolată" înseamnă alegerea a $3$ prăjituri dintre cele $8$ fără ciocolată: $C_8^3=56$. Deci $P(\text{niciuna})=\frac{56}{220}=\frac{14}{55}$ și $P(\text{cel puțin una})=1-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}\approx 0,745$.

10. Cazuri posibile: $6^3=216$. Contrariul „nicio față impară" înseamnă că toate trei sunt pare: $3^3=27$ cazuri. $P=1-\frac{27}{216}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$.

11. Nu merg $25-18=7$ elevi, deci $P=\frac{7}{25}=0,28=28\%$. Prin contrar: $1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$. ✓

12. Fals. O probabilitate este întotdeauna un număr între $0$ și $1$, iar $\frac{5}{2}=2,5$ nu poate fi probabilitate. Formula corectă este $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. Greșeala vine din confundarea contrarului cu inversul fracției.

13. Cazuri posibile: $5^3=125$. Contrariul „niciun răspuns corect": la fiecare întrebare, una dintre cele $4$ variante greșite, deci $4^3=64$. $P=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}=0,488$.

14. Cazuri posibile: $C_{52}^2=1326$. Contrariul „niciun as": $C_{48}^2=1128$. Deci $P=1-\frac{1128}{1326}=\frac{198}{1326}=\frac{33}{221}\approx 0,149$.

15. a) $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$ submulțimi. b) Contrariul: submulțimea nu conține niciun număr par, deci ambele elemente sunt impare ($1,3,5$): $C_3^2=3$ cazuri. $P=1-\frac{3}{15}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.

16. În lecție am obținut $P(\text{cel puțin doua˘ defecte})=\frac{11}{60}$. Evenimentul „cel mult unul defect" este contrarul lui, deci $P=1-\frac{11}{60}=\frac{49}{60}\approx 0,817$.

17. Cazuri posibile: $7^3=343$. Contrariul „toți trei aleg zile diferite": prima persoană are $7$ variante, a doua $6$, a treia $5$, deci $7\cdot 6\cdot 5=210$ cazuri. $P(\text{toate diferite})=\frac{210}{343}=\frac{30}{49}$, deci $P(\text{cel puțin doi la fel})=1-\frac{30}{49}=\frac{19}{49}\approx 0,388$.

18. Contrariul: „niciun $6$" are $5^n$ cazuri favorabile din $6^n$ posibile, deci condiția devine

$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n>\frac{1}{2},\text{adica˘}{\left(\frac{5}{6}\right)}^n<\frac{1}{2}.$$

Calculăm succesiv: ${\left(\frac{5}{6}\right)}^1\approx 0,833$; ${\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{36}\approx 0,694$; ${\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}\approx 0,579$; ${\left(\frac{5}{6}\right)}^4=\frac{625}{1296}\approx 0,482<0,5$. Deci cea mai mică valoare este $n=4$: cu patru zaruri, probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ este $1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0,518$, adică peste jumătate.

De reținut

• Evenimentul contrar $\overline{A}$ se produce exact când $A$ nu se produce; împreună acoperă toate rezultatele ($A\cup \overline{A}=\Omega$) și nu se pot produce simultan ($A\cap \overline{A}=\varnothing$).
• Formula fundamentală: $P(A)+P(\overline{A})=1$, deci $P(\overline{A})=1-P(A)$. Justificarea: dacă $A$ are $k$ cazuri favorabile din $n$, atunci $\overline{A}$ are $n-k$.
• „Cel puțin unul" se rezolvă prin contrar: contrariul lui este „niciunul", un singur caz de numărat. Formula-tipar: $P(\text{cel puțin unul})=1-P(\text{niciunul})$.
• Atenție la negare: contrariul lui „cel puțin doi" este „cel mult unul", nu „niciunul"; contrariul lui „toate" este „cel puțin una nu", nu „niciuna".
• Proba obligatorie: la final, suma $P(A)+P(\overline{A})$ trebuie să dea exact $1$; orice altă valoare arată o greșeală de numărare.

Greșeli frecvente

• Adunarea probabilităților la „cel puțin unul". La două zaruri, $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ este greșit, pentru că numără de două ori cazul $(6,6)$. Corect: $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$.
• Confundarea contrarului cu inversul. $P(\overline{A})$ nu este $\frac{1}{P(A)}$, ci $1-P(A)$. Verificarea imediată: dacă $P(A)=0,5$, inversul ar da $2$, ceea ce este imposibil pentru o probabilitate.
• Negarea greșită a lui „cel puțin doi". Contrariul include și cazul „exact unul". Testul de siguranță: alege un rezultat concret și verifică dacă se potrivește cu exact unul dintre cele două evenimente.
• Folosirea contrarului acolo unde nu ajută. Dacă evenimentul cerut are un singur caz, iar contrariul are zece, calculezi direct. Contrarul e un instrument de economie, nu o regulă obligatorie.
• Uitarea condiției de egală probabilitate. Formula $P(A)=\frac{k}{n}$ (și, odată cu ea, $P(\overline{A})=\frac{n-k}{n}$) se aplică doar când toate cele $n$ rezultate au aceeași șansă — un zar măsluit nu intră în această schemă.

Aplică acasă

1. Zarurile de acasă. Aruncă două zaruri de $36$ de ori și notează de câte ori apare cel puțin un $6$. Teoretic ar trebui să se întâmple de aproximativ $11$ ori (pentru că $\frac{11}{36}\cdot 36=11$). Compară numărul obținut de tine cu $11$ și discută de ce nu iese niciodată exact.

2. Negări în jurul tău. Notează cinci propoziții auzite într-o zi care conțin „cel puțin", „toți" sau „niciunul" (de exemplu: „toți colegii au predat tema"). Scrie pentru fiecare negarea corectă și verific-o pe un caz concret. Vei observa că limbajul obișnuit negă adesea greșit.

3. Cutia cu șosete. Numără câte perechi de șosete de aceeași culoare ai în sertar și calculează probabilitatea ca, luând $3$ șosete la întâmplare, cel puțin două să fie de aceeași culoare — folosind contrariul „toate trei de culori diferite". Verifică apoi, luând efectiv de câteva ori câte trei șosete pe nevăzute.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce primul instrument de calcul din capitolul de probabilități care nu se reduce la numărare directă: trecerea la evenimentul contrar. Este, în același timp, cel mai rentabil instrument din capitol — la Bacalaureat, aproape orice enunț care conține sintagma „cel puțin" se rezolvă mai rapid prin $1-P(\overline{A})$ decât prin numărarea cazurilor favorabile.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a evenimentului contrar, în cuvinte, înainte de orice calcul; (2) aplicarea formulei $P(\overline{A})=1-P(A)$ cu justificarea prin numărare; (3) negarea corectă a enunțurilor cu „cel puțin doi" și „toate" — locul unde se pierd cele mai multe puncte; (4) combinarea contrarului cu metodele de numărare din capitolul anterior, în special cu combinările; (5) proba $P(A)+P(\overline{A})=1$.

Întrebări bune de control: „Care este contrariul acestui eveniment, spus în cuvinte?", „Care are mai puține cazuri: evenimentul sau contrariul lui?", „Cât dă suma celor două probabilități?". Semne că elevul a înțeles: la un enunț cu „cel puțin unul" scrie imediat, reflex, „calculez întâi probabilitatea să nu se întâmple niciunul"; și observă singur că răspunsul $\frac{1}{3}$ la problema cu două zaruri numără de două ori perechea $(6,6)$.

Continuarea firească este lecția Probabilitatea reuniunii a două evenimente, care explică riguros de ce adunarea directă a probabilităților duce la un rezultat prea mare, iar bazele de numărare se găsesc în Cazuri favorabile și cazuri posibile — numărarea cu combinatorică.

Întrebări frecvente

Ce este evenimentul contrar în probabilități? Este evenimentul care se produce exact atunci când evenimentul dat nu se produce. Se notează $\overline{A}$ și se citește „non $A$". La aruncarea zarului, contrariul evenimentului „apare fața $6$" este „apare o față diferită de $6$".

Care este formula probabilității evenimentului contrar? Formula este $P(\overline{A})=1-P(A)$, echivalentă cu $P(A)+P(\overline{A})=1$. Ea vine din numărare: dacă din cele $n$ cazuri posibile $k$ sunt favorabile lui $A$, atunci exact $n-k$ sunt favorabile contrariului.

Cum calculez probabilitatea ca „cel puțin unul" să se întâmple? Calculezi probabilitatea contrariului, adică a evenimentului „niciunul", și o scazi din $1$. „Cel puțin unul" ascunde multe cazuri, în timp ce „niciunul" este un singur caz — de aici toată economia de muncă.

De ce probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ la două zaruri nu este $\frac{1}{3}$? Pentru că adunarea $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$ numără de două ori perechea $(6,6)$, în care ambele zaruri arată $6$. Rezultatul corect este $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\approx 0,306$.

Care este contrariul evenimentului „cel puțin doi"? Este „cel mult unul", adică „niciunul sau exact unul". Nu este „niciunul", pentru că atunci cazul „exact unul" ar rămâne neacoperit de niciunul dintre cele două evenimente.

Poate probabilitatea evenimentului contrar să fie mai mare decât $1$? Nu. Din $P(\overline{A})=1-P(A)$ și $0\le P(A)\le 1$ rezultă că și $P(\overline{A})$ este între $0$ și $1$. Dacă obții un număr mai mare decât $1$, ai făcut o greșeală de calcul sau ai confundat contrariul cu inversul.

Când NU merită să folosesc evenimentul contrar? Când evenimentul cerut are mai puține cazuri favorabile decât contrariul lui. De exemplu, la „exact doi din trei", numărarea directă e mai scurtă. Regula practică: numeri partea care are mai puține cazuri.

Cum verific dacă am scris corect evenimentul contrar? Alegi un rezultat concret al experimentului și verifici că el se potrivește cu exact unul dintre cele două evenimente — cu $A$ sau cu $\overline{A}$, niciodată cu amândouă și niciodată cu niciunul.