Test recapitulativ: geometrie analitică și trigonometrie

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Recapitulare finală (clasa a IX-a)

Exerciții

Partea I – Reperul cartezian și dreapta

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Distanța dintre punctele $A(1,2)$ și $B(4,6)$ este egală cu: A. $5$; B. $7$; C. $\sqrt{5}$; D. $25$.

b) Punctul $M(-3,5)$ se află în cadranul: A. I; B. II; C. III; D. IV.

c) Panta dreptei de ecuație $y=-3x+7$ este egală cu: A. $7$; B. $3$; C. $-3$; D. $-7$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(-2,1)$ și $B(6,7)$ într-un reper cartezian $xOy$. a) Calculează lungimea segmentului $[AB]$. (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[AB]$. (2 p) c) Calculează panta dreptei $AB$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Determină ecuația dreptei $d$ care trece prin punctele $C(-1,2)$ și $D(3,10)$. (2 p) b) Determină ecuația dreptei care trece prin punctul $E(2,3)$ și are panta $m=-2$. (2 p) c) Determină coordonatele punctelor în care dreapta $d$ de la punctul a) intersectează axele de coordonate. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Verifică dacă punctele $P(1,1)$, $Q(3,5)$ și $R(6,11)$ sunt coliniare. (3 p) b) Determină coordonatele punctului de intersecție a dreptelor $d_1:y=2x+4$ și $d_2:y=-x+7$. (3 p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Două drepte care au aceeași pantă și ordonate la origine diferite nu se intersectează." b) „Punctul $M(0,-4)$ se află pe axa $Ox$." c) „Pentru orice număr real $x$ are loc $\sin x\le 1$." d) „$\cos \frac{2\pi }{3}>0$."

Partea a II-a – Cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice

Exercițiul 6 (6 puncte)

a) Transformă în radiani măsurile: $30^{\circ }$, $135^{\circ }$, $210^{\circ }$. (2 p) b) Transformă în grade măsurile: $\frac{\pi }{4}$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{3\pi }{2}$. (2 p) c) Calculează $\sin 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }+\mathrm{tg}45^{\circ }$. (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Precizează cadranul în care se află punctul asociat pe cercul trigonometric fiecăruia dintre numerele $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{4}$. (3 p) b) Stabilește, fără a calcula valoarea exactă, semnul produsului $$\sin \frac{5\pi }{6}\cdot \cos \frac{4\pi }{3}\cdot \mathrm{tg}\frac{7\pi }{4}.$$ (3 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Folosind formulele de reducere la primul cadran, calculează: a) $\sin \frac{5\pi }{6}$ și $\cos \frac{5\pi }{6}$; (2 p) b) $\sin \frac{4\pi }{3}$ și $\cos \frac{4\pi }{3}$; (2 p) c) $\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}$ și $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)$. (3 p)

Exercițiul 9 (7 puncte)

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și că $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculează $\cos x$. (3 p) b) Calculează $\mathrm{tg}x$. (2 p) c) Arată că, pentru orice număr real $x$, expresia $E(x)=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$ este constantă și determină valoarea ei. (2 p)

Partea a III-a – Sinteză și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră punctele $A(0,1)$, $B(2,7)$ și $C(6,3)$. a) Determină coordonatele mijlocului $M$ al laturii $[BC]$. (2 p) b) Determină ecuația medianei $AM$ a triunghiului $ABC$. (3 p) c) Calculează lungimea medianei $[AM]$ și verifică dacă punctul $N(2,3)$ este mijlocul segmentului $[AM]$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$. a) Completează tabelul de valori al funcției pentru $x\in \left\{0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \right\}$. (3 p) b) Precizează valoarea maximă și valoarea minimă ale funcției pe intervalul $[0,2\pi ]$ și punctele în care sunt atinse. (2 p) c) Citind pe cercul trigonometric (sau pe graficul funcției), determină toate valorile $x\in [0,2\pi ]$ pentru care $\sin x=\frac{1}{2}$. (3 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

(Item de sinteză: reper cartezian și trigonometrie.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,0)$, $B(6,0)$ și $C(0,8)$. a) Calculează lungimile laturilor triunghiului $ABC$. (2 p) b) Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ și calculează aria lui. (2 p) c) Calculează $\sin B$, $\cos B$ și $\mathrm{tg}B$, apoi verifică formula fundamentală a trigonometriei pentru unghiul $B$. (3 p) d) Calculează $\cos C$ și explică, folosind o formulă de reducere, de ce $\sin B=\cos C$. (2 p)

Exercițiul 13 (9 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,3)$ și $B(3,6)$. a) Calculați lungimea segmentului $[AB]$. (3 p) b) Determinați ecuația dreptei $AB$, scrisă sub forma $ax+by+c=0$, cu $a$, $b$, $c$ numere întregi. (3 p) c) Determinați coordonatele punctului $C$, situat pe axa $Ox$, care aparține dreptei $AB$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. (Varianta D este greșeala clasică: s-a uitat radicalul.) b) B. Abscisa este negativă, iar ordonata pozitivă — exact semnătura cadranului al II-lea: $(-,+)$. c) C. În forma $y=mx+n$, panta este coeficientul lui $x$, adică $m=-3$; numărul $7$ este ordonata la origine.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $AB=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(7-1{)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. b) (2 p) $M\left(\frac{-2+6}{2},\frac{1+7}{2}\right)=\mathbf{M}(2,4)$. c) (2 p) $m_{AB}=\frac{7-1}{6-(-2)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $m_{CD}=\frac{10-2}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2$ (1 p). Cu $y-y_C=m(x-x_C)$: $y-2=2(x+1)$, deci $\mathbf{d}:\mathbf{y}=2x+4$ (1 p). Verificare: pentru $x=3$ obținem $y=10$ ✓. b) (2 p) $y-3=-2(x-2)⟺y=-2x+4+3$, deci $\mathbf{y}=-2x+7$. Verificare: pentru $x=2$ obținem $y=3$ ✓. c) (2 p) Cu axa $Oy$ (adică $x=0$): punctul $(0,4)$ (1 p). Cu axa $Ox$ (adică $y=0$): $2x+4=0\Rightarrow x=-2$, deci punctul $(-2,0)$ (1 p).

Exercițiul 4. (6 p) a) (3 p) $m_{PQ}=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2$ (1 p); $m_{QR}=\frac{11-5}{6-3}=\frac{6}{3}=2$ (1 p). Cele două pante sunt egale și dreptele au punctul $Q$ în comun, deci punctele $P$, $Q$, $R$ sunt coliniare (1 p). (Control: dreapta are ecuația $y=2x-1$, iar $R$ o verifică: $2\cdot 6-1=11$ ✓.) b) (3 p) Egalăm ordonatele: $2x+4=-x+7$ (1 p), de unde $3x=3$ și $x=1$ (1 p). Atunci $y=2\cdot 1+4=6$, deci punctul de intersecție este $(1,6)$ (0,5 p). Verificare în $d_2$: $-1+7=6$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 5. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Pante egale înseamnă drepte paralele; dacă ordonatele la origine diferă, dreptele sunt distincte, deci paralele fără puncte comune. Algebric: sistemul $y=mx+n_1$, $y=mx+n_2$ cu $n_1\ne n_2$ ar da $n_1=n_2$ — contradicție, deci nu are soluții. b) F. Punctul are abscisa $0$, deci se află pe axa $Oy$ (axa ordonatelor), la $4$ unități sub origine. Pe axa $Ox$ se află punctele de forma $(a,0)$. c) A. Sinusul unui număr real este ordonata punctului corespunzător de pe cercul trigonometric, cerc de rază $1$; prin urmare $-1\le \sin x\le 1$ pentru orice $x$ real. d) F. Numărul $\frac{2\pi }{3}$ ($=120^{\circ }$) corespunde cadranului al II-lea, unde cosinusul este negativ. Concret, $\cos \frac{2\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}<0$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Se folosește $x^{\circ }=\frac{x\pi }{180}$: $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$; $135^{\circ }=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$; $210^{\circ }=\frac{210\pi }{180}=\frac{7\pi }{6}$. b) (2 p) Se folosește $\pi \text{ rad}=180^{\circ }$: $\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$; $\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$; $\frac{3\pi }{2}=270^{\circ }$. c) (2 p) $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$ (1,5 p), deci suma este $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2$ (0,5 p).

Exercițiul 7. (6 p) a) (3 p) — câte 1 punct. $\frac{5\pi }{6}=150^{\circ }\in (90^{\circ },180^{\circ })$ → cadranul II; $\frac{4\pi }{3}=240^{\circ }\in (180^{\circ },270^{\circ })$ → cadranul III; $\frac{7\pi }{4}=315^{\circ }\in (270^{\circ },360^{\circ })$ → cadranul IV. b) (3 p) În cadranul II sinusul este pozitiv, deci $\sin \frac{5\pi }{6}>0$ (1 p). În cadranul III cosinusul este negativ, deci $\cos \frac{4\pi }{3}<0$ (1 p). În cadranul IV tangenta este negativă, deci $\mathrm{tg}\frac{7\pi }{4}<0$ (0,5 p). Produsul unui număr pozitiv cu două numere negative este pozitiv (0,5 p). (Control numeric, neobligatoriu la acest item: $\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-1)=\frac{1}{4}>0$ ✓.)

Exercițiul 8. (7 p) a) (2 p) $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, deci $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ (1 p) și $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p). b) (2 p) $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, deci $\sin \frac{4\pi }{3}=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p) și $\cos \frac{4\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ (1 p). c) (3 p) $\frac{2\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}$, deci $\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}=-\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$ (1,5 p). Cu formula $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ pentru $x=\frac{\pi }{6}$: $$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (1,5 p). (Control: $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$, iar $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.)

Exercițiul 9. (7 p) a) (3 p) Din formula fundamentală: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ (1,5 p), deci $\cos x=\pm \frac{4}{5}$ (0,5 p). Cum $x$ este în cadranul al II-lea, unde cosinusul este negativ, rezultă $\cos \mathbf{x}=-\frac{4}{5}$ (1 p). b) (2 p) $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$. (Semnul este corect: în cadranul II tangenta este negativă.) c) (2 p) Dezvoltăm ambele paranteze: $$E(x)=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$$ (1 p). Termenii $\pm 2\sin x\cos x$ se reduc, deci $E(x)=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2\cdot 1=2$, constantă (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) $M\left(\frac{2+6}{2},\frac{7+3}{2}\right)=\mathbf{M}(4,5)$. b) (3 p) Panta medianei: $m_{AM}=\frac{5-1}{4-0}=\frac{4}{4}=1$ (1,5 p). Dreapta prin $A(0,1)$ cu panta $1$: $y-1=1\cdot (x-0)$, deci $\mathbf{AM}:\mathbf{y}=\mathbf{x}+1$ (1 p). Verificare: pentru $x=4$ obținem $y=5$, adică punctul $M$ ✓ (0,5 p). c) (3 p) $AM=\sqrt{(4-0{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ (1,5 p). Mijlocul segmentului $[AM]$ are coordonatele $\left(\frac{0+4}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(2,3)$ (1 p), adică exact punctul $N$ — da, $N$ este mijlocul lui $[AM]$ (0,5 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) — câte 0,5 p pentru fiecare dintre cele șase valori nebanale, cu $f(0)$ inclusă în punctajul primei valori:

b) (2 p) Valoarea maximă este $1$, atinsă în $x=\frac{\pi }{2}$ (1 p); valoarea minimă este $-1$, atinsă în $x=\frac{3\pi }{2}$ (1 p). c) (3 p) Sinusul este ordonata punctului de pe cercul trigonometric; dreapta orizontală de ordonată $\frac{1}{2}$ taie cercul în două puncte, unul în cadranul I și unul în cadranul al II-lea (1 p). Primul corespunde lui $x=\frac{\pi }{6}$ (1 p), iar al doilea, simetricul său față de axa $Oy$, corespunde lui $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ (1 p). Soluțiile din $[0,2\pi ]$ sunt deci $x\in \left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right\}$. (Greșeala tipică: a da doar $x=\frac{\pi }{6}$ — pe intervalul $[0,2\pi ]$ sinusul ia fiecare valoare din $(0,1)$ de exact două ori.)

🖼️ [Imagine (pentru corectare): graficul funcției $y=\sin x$ pe intervalul $[0,2\pi ]$, cu axa $Ox$ gradată în $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$; dreapta orizontală punctată $y=\frac{1}{2}$ taie graficul în două puncte marcate cu roșu, la $x=\frac{\pi }{6}$ și $x=\frac{5\pi }{6}$.]

Exercițiul 12. (9 p) a) (2 p) $AB=\sqrt{6^2+0^2}=6$; $AC=\sqrt{0^2+8^2}=8$ (1 p); $BC=\sqrt{(0-6{)}^2+(8-0{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ (1 p). b) (2 p) Se verifică reciproca teoremei lui Pitagora: $A{B}^2+A{C}^2=36+64=100=B{C}^2$, deci triunghiul este dreptunghic în $A$ (1 p). (Se acceptă și observația că $[AB]$ este pe axa $Ox$, $[AC]$ pe axa $Oy$, iar axele sunt perpendiculare.) Aria: $\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ (1 p). c) (3 p) În triunghiul dreptunghic în $A$, pentru unghiul $B$: cateta opusă este $[AC]$, cateta alăturată este $[AB]$, ipotenuza este $[BC]$ (0,5 p). Deci $$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$ (1,5 p). Verificarea formulei fundamentale (1 p): $${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=\frac{25}{25}=1✓.$$ d) (2 p) Pentru unghiul $C$: cateta alăturată este $[AC]$, deci $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ (1 p). Într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare, adică $C=\frac{\pi }{2}-B$; aplicând formula de reducere $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ pentru $x=B$, obținem $\cos C=\sin B$ — ceea ce se și vede: ambele sunt $\frac{4}{5}$ (1 p).

Exercițiul 13. (9 p) a) (3 p) $AB=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. (1 p formula, 1 p înlocuirea corectă, 1 p rezultatul.) b) (3 p) Panta: $m_{AB}=\frac{6-3}{3-(-1)}=\frac{3}{4}$ (1 p). Ecuația prin $A(-1,3)$: $$y-3=\frac{3}{4}(x+1)⟺4y-12=3x+3$$ (1 p), deci $3x-4y+15=0$ (1 p). Verificare: în $A$, $3(-1)-4\cdot 3+15=-3-12+15=0$ ✓; în $B$, $3\cdot 3-4\cdot 6+15=9-24+15=0$ ✓. c) (3 p) Un punct de pe axa $Ox$ are ordonata $0$, deci $C(x_C,0)$ (1 p). Înlocuim în ecuația dreptei: $$3x_C-4\cdot 0+15=0⟺3x_C=-15⟺x_C=-5$$ (1,5 p). Prin urmare $\mathbf{C}(-5,0)$ (0,5 p).

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă a doua jumătate a programei de clasa a IX-a la trunchiul comun: geometria analitică (reperul cartezian, distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, panta, ecuația dreptei, coliniaritatea, intersecția a două drepte) și trigonometria de bază (măsura arcelor în grade și radiani, cercul trigonometric, valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile uzuale, semnele pe cadrane, formulele de reducere la primul cadran și formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Ideea centrală a testului este că cele două capitole sunt de fapt unul singur: un triunghi desenat în reperul cartezian are laturi care se calculează analitic și unghiuri care se calculează trigonometric. Ultimii patru itemi urmăresc exact această trecere.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs). Recomandăm repartizarea: 15 minute Partea I, 15 minute Partea a II-a, 20 de minute Partea a III-a.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator; are voie (și este încurajat) să deseneze schițe — un reper cartezian rapid sau un cerc trigonometric marcat pe cadrane previne majoritatea greșelilor de semn.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine, ambele capitole sunt stăpânite; 75–89 p = bine, cu mici scăpări de semn sau de formulă; 60–74 p = satisfăcător, elevul aplică formulele izolat, dar nu le combină; sub 60 p = se reia recapitularea, începând cu desenul.
• Sfaturi de recapitulare (pe intervale de punctaj):
  • sub 60 p — se reia Recapitulare: geometrie analitică, apoi Recapitulare: trigonometrie, fiecare cu creionul în mână: nicio formulă învățată fără desenul care o explică;
  • 60–74 p — se lucrează pe zona slabă: dacă au căzut itemii 1–4 și 10, problema este geometria analitică; dacă au căzut itemii 6–9 și 11, problema este cercul trigonometric, în special semnele pe cadrane;
  • 75–89 p — se exersează itemii de sinteză (12 și 13) și formatul de lucrare: Cum arată o lucrare de final de an la clasa a IX-a;
  • peste 90 p — se trece la testul recapitulativ pereche, de algebră, pentru o recapitulare completă a anului.
• Formule de reținut: Distanța: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Mijlocul: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Panta: $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (pentru $x_A\ne x_B$). Dreapta prin punct cu pantă dată: $y-y_0=m(x-x_0)$. Coliniaritate: punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $m_{AB}=m_{BC}$. Intersecția a două drepte = soluția sistemului format din ecuațiile lor. Radiani: $180^{\circ }=\pi$ rad, deci $x^{\circ }=\frac{x\pi }{180}$ rad. Valori de bază: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar cosinusurile se citesc în ordine inversă. Semne: în cadranul I toate sunt pozitive; în II doar $\sin$; în III doar $\mathrm{tg}$ (și $\mathrm{ctg}$); în IV doar $\cos$. Reducere: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\sin (\pi +x)=-\sin x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$, $\sin (2\pi -x)=-\sin x$, $\cos (2\pi -x)=\cos x$, $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Formula fundamentală: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ pentru $\cos x\ne 0$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".