Recapitulare: trigonometrie

Până în clasa a IX-a, sinusul și cosinusul erau rapoarte într-un triunghi dreptunghic: aveai nevoie de un unghi ascuțit, de o catetă și de o ipotenuză. Anul acesta, matematica a făcut o mutare care schimbă totul: a mutat unghiurile pe un cerc de rază $1$. Dintr-odată, sinusul și cosinusul au căpătat sens pentru orice număr real — pentru $150^{\circ }$, pentru $240^{\circ }$, pentru $-\frac{\pi }{3}$, pentru $1000$ de ture. Trigonometria a încetat să mai fie o unealtă de măsurat triunghiuri și a devenit limbajul tuturor fenomenelor care se repetă: rotația unei roți, alternanța zilelor lungi și scurte, mareele, sunetul, curentul electric din priză.

Recapitularea de față face turul întregului capitol, de la măsurarea arcelor în radiani până la formulele de reducere la primul cadran. Vei găsi cercul trigonometric cu tot ce trebuie citit pe el, tabelul valorilor de bază, regula semnelor pe cadrane și toate formulele de reducere adunate într-un singur tabel — plus rețetele exercițiilor care apar la teză și la examen. Fiecare secțiune trimite la lecția detaliată, dacă vrei să reiei o demonstrație sau un desen.

Ce vei învăța

• Vei ști să treci fără ezitare din grade în radiani și invers și să calculezi lungimea unui arc de cerc.
• Vei ști să găsești pe cercul trigonometric punctul asociat oricărui număr real și să folosești periodicitatea și simetriile.
• Vei ști să reconstruiești din memorie tabelul valorilor lui $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ pentru unghiurile de bază.
• Vei ști să stabilești semnul oricărei funcții trigonometrice, doar știind cadranul.
• Vei ști să aplici formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și să alegi corect semnul rezultatului.
• Vei ști să folosești formulele de reducere ($\pi -x$, $\pi +x$, $2\pi -x$, $\frac{\pi }{2}-x$) pentru a calcula valori și a simplifica expresii.

Hai să descoperim împreună

1. Harta temei: de la cerc la formule

Ideea care ține totul laolaltă: cosinusul este abscisa, sinusul este ordonata punctului $M(t)$ de pe cercul de rază $1$, adică $M(t)=(\cos t,\sin t)$. Absolut tot restul capitolului — semnele, valorile, formulele de reducere, chiar și formula fundamentală — se citește din această singură propoziție. Dacă la teză uiți o formulă, desenează cercul: îl reconstruiești din desen în treizeci de secunde.

2. Grade și radiani: o singură relație de bază

Un radian este măsura arcului de lungime egală cu raza. Relația din care se deduce tot este

$$180^{\circ }=\pi \text{rad}.$$

De aici: din grade în radiani înmulțești cu $\frac{\pi }{180}$; din radiani în grade înlocuiești $\pi$ cu $180^{\circ }$. Tabelul uzual merită știut pe de rost, pentru că apare în fiecare exercițiu:

Lungimea arcului este $\ell =R\cdot t$, cu $t$ măsurat în radiani (sau $\ell =\frac{\pi Rn}{180}$, cu $n$ în grade). Formula curată este motivul principal pentru care matematica preferă radianii: pe cercul de rază $1$, lungimea arcului este chiar numărul $t$ — arcul este măsura.

3. Cercul trigonometric: punct asociat, periodicitate, simetrii

Cercul trigonometric este cercul de rază $1$ cu centrul în origine, cu punctul de plecare $A(1,0)$ și cu sensul pozitiv invers acelor de ceasornic. Punctul asociat numărului real $t$ se obține pornind din $A$ și parcurgând pe cerc un arc de lungime $|t|$, în sensul dat de semnul lui $t$.

Două proprietăți fac toată treaba:

• Periodicitatea: $M(t)=M(t+2k\pi )$ pentru orice $k$ întreg. Orice număr real se reduce, scăzând ture întregi, la unul din $[0,2\pi )$.
• Simetriile: $M(-t)$ este simetricul lui $M(t)$ față de axa $Ox$; $M(\pi -t)$ față de axa $Oy$; $M(\pi +t)$ față de origine.

Din simetrii ies toate formulele de reducere, fără să memorezi nimic: dacă simetria e față de $Oy$, abscisa (cosinusul) își schimbă semnul și ordonata (sinusul) rămâne; dacă e față de $Ox$, invers; dacă e față de origine, se schimbă amândouă.

Cadranele se numerotează în sens trigonometric: I este $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, II este $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, III este $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, IV este $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran.

4. Cele trei funcții și tabelul valorilor

Definițiile, pe cerc: $\cos t$ este abscisa lui $M(t)$, $\sin t$ este ordonata lui $M(t)$, iar $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$.

• $\sin$ și $\cos$ au domeniul $\mathbb{R}$ și mulțimea valorilor $[-1,1]$ — sunt mărginite, pentru că sunt coordonate ale unui punct de pe cercul de rază $1$.
• $\mathrm{tg}$ are domeniul $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ (acolo unde $\cos t=0$) și mulțimea valorilor $\mathbb{R}$ — nu este mărginită.

Trucul de reconstrucție, dacă tabelul îți fuge din minte: scrie pe rândul sinusului $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ — adică $0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1$ — iar rândul cosinusului este același, citit invers. Tangenta se obține împărțind.

Pe axe: $\sin 0=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\sin \pi =0$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$; $\cos 0=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\cos \pi =-1$, $\cos \frac{3\pi }{2}=0$. Forma graficelor pe $[0,2\pi ]$ — sinusoida și cosinusoida — este recapitulată în Graficele funcțiilor sinus și cosinus.

5. Semnele pe cadrane: o singură imagine

Nu memora tabelul: citește-l de pe cerc. Sinusul e ordonata, deci e pozitiv în jumătatea de sus (cadranele I și II). Cosinusul e abscisa, deci e pozitiv în jumătatea din dreapta (cadranele I și IV). Tangenta e raportul lor, deci e pozitivă acolo unde coordonatele au același semn (I și III).

Formularea prescurtată, în ordinea cadranelor: toate pozitive în I, doar sinusul în II, doar tangenta în III, doar cosinusul în IV.

6. Formula fundamentală și formulele de reducere

Formula fundamentală este ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, valabilă pentru orice număr real $x$, fără nicio condiție. Ea nu este altceva decât teorema lui Pitagora în cercul de rază $1$: coordonatele punctului $M(x)$ verifică $x_M^2+y_M^2=1$.

Formele de lucru sunt ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Atenție: ele dau pătratul, nu valoarea. După extragerea radicalului rămân două variante, $+$ și $-$, iar semnul se alege din cadran, niciodată la întâmplare. Din formulă rezultă și $-1\le \sin x\le 1$, deci ecuații ca $\sin x=1,2$ nu au soluții.

Pentru tangentă există relația derivată $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, utilă când pornești de la tangentă — vezi Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta.

Iar acum tabelul care rezolvă jumătate din exercițiile de teză:

Observă structura, care te scutește de memorare mecanică: la reducerile cu $\pi$ și $2\pi$ funcția rămâne aceeași și se schimbă doar semnul, dictat de cadran; la reducerea cu $\frac{\pi }{2}$ se schimbă funcția și nu apare niciun minus (unghiurile complementare din triunghiul dreptunghic). Detaliile și demonstrațiile sunt în Formule cu π + x și 2π − x, Formule cu π/2 și Formule pentru tangentă.

Reține și consecința cea mai folosită în geometrie: unghiurile suplementare au același sinus și cosinusuri opuse. Într-un triunghi, $\sin A=\sin (B+C)$, iar un unghi obtuz are întotdeauna cosinusul negativ.

7. Rețetele de teză, pe scurt

• Calculul unei valori pentru un unghi oarecare: scazi ture de $360^{\circ }$ (sau de $2\pi$) $\to$ scrii unghiul ca $180^{\circ }-t$, $180^{\circ }+t$ sau $360^{\circ }-t$ $\to$ pui semnul dictat de cadran $\to$ folosești valoarea de bază a lui $t$.
• Se dă una, se cere alta: cadran și semne $\to$ formula fundamentală $\to$ alegerea semnului $\to$ tangenta ca raport $\to$ verificare.
• Simplificarea unei expresii: reduci întâi simbolic fiecare termen cu formulele din tabel, aduni ce se anulează și abia la final înlocuiești valorile numerice.
• Identități: pornești dintr-un membru, cauți suma ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ ascunsă în expresie și o înlocuiești cu $1$.
• Perioada tangentei este $\pi$, nu $2\pi$: $\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Conversii și lungimea unui arc

a) Transformați $135^{\circ }$ în radiani și $\frac{3\pi }{4}$ în grade. b) Calculați lungimea arcului de cerc de rază $R=6$ cm care corespunde unui unghi la centru de $\frac{\pi }{3}$ radiani.

Rezolvare. a) $135^{\circ }=135\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$ rad. Invers, înlocuim $\pi$ cu $180^{\circ }$: $\frac{3\pi }{4}=\frac{3\cdot 180^{\circ }}{4}=135^{\circ }$. Cele două calcule sunt, evident, unul inversul celuilalt.

b) $\ell =R\cdot t=6\cdot \frac{\pi }{3}=2\pi \approx 6,28$ cm.

Reține că formula $\ell =Rt$ funcționează numai cu $t$ în radiani. Dacă unghiul e dat în grade, ori îl transformi întâi, ori folosești $\ell =\frac{\pi Rn}{180}$.

Exemplul 2 — Valori prin reducere la primul cadran

Calculați $\sin 150^{\circ }$, $\cos 240^{\circ }$, $\mathrm{tg}315^{\circ }$ și $\cos \frac{11\pi }{6}$.

Rezolvare. Procedăm de fiecare dată la fel: scriem unghiul cu ajutorul lui $180^{\circ }$ sau $360^{\circ }$, aplicăm formula de reducere și punem semnul dictat de cadran.

$\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. (Cadranul II, sinus pozitiv. ✓)

$\cos 240^{\circ }=\cos (180^{\circ }+60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$. (Cadranul III, cosinus negativ. ✓)

$\mathrm{tg}315^{\circ }=\mathrm{tg}(360^{\circ }-45^{\circ })=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$. (Cadranul IV, tangentă negativă. ✓)

$\cos \frac{11\pi }{6}=\cos \left(2\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. (Cadranul IV, cosinus pozitiv. ✓)

Verificarea semnului cu ajutorul cadranului este obligatorie: ea prinde, în două secunde, orice greșeală de formulă.

Exemplul 3 — Se dă una, se cere alta

Se știe că $\sin x=-\frac{5}{13}$ și că $x$ se află în cadranul III. Calculați $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. Din formula fundamentală:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169},\text{deci}\cos x=\pm \frac{12}{13}.$$

În cadranul III cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{12}{13}$.

Tangenta este raportul: $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$, pozitivă — exact ce prevedea regula semnelor pentru cadranul III. ✓

Ordinea de lucru este mereu aceeași: formula fundamentală dă valoarea absolută, cadranul dă semnul. Numerele $5$, $12$, $13$ formează un triplet pitagoreic, la fel ca $3$, $4$, $5$ — de aceea apar atât de des în enunțuri.

Exemplul 4 — Simplificarea unei expresii

Simplificați expresia $E(x)=\sin (\pi -x)+\cos (\pi +x)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

Rezolvare. Reducem fiecare termen, folosind tabelul:

$$\sin (\pi -x)=\sin x,\cos (\pi +x)=-\cos x,\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x.$$

Prin urmare

$$E(x)=\sin x-\cos x+\cos x=\sin x.$$

Toată dificultatea stă în a nu amesteca cele două tipuri de reducere: cu $\pi$ se păstrează funcția și se schimbă semnul, cu $\frac{\pi }{2}$ se schimbă funcția și nu apare minus.

Exemplul 5 — O identitate cu formula fundamentală

Arătați că ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1$ pentru orice număr real $x$.

Rezolvare. Recunoaștem în membrul stâng dezvoltarea unui pătrat perfect, cu $a={\sin }^{2}x$ și $b={\cos }^{2}x$:

$${\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2=1^2=1.■$$

Este mișcarea standard la identități: cauți suma ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ ascunsă în expresie și o înlocuiești cu $1$. De cele mai multe ori ea se ascunde într-un pătrat perfect, într-un factor comun sau într-o grupare de termeni.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se știe că $\sin x=\frac{4}{5}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculați $\cos x$. b) Calculați $\mathrm{tg}x$. c) Calculați $\sin (\pi -x)+\cos (\pi -x)$.

Rezolvare. a) ${\cos }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{3}{5}$. Cum $x$ este în cadranul II, cosinusul este negativ: $\cos x=-\frac{3}{5}$.

b) $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$.

c) Aplicăm formulele de reducere: $\sin (\pi -x)=\sin x=\frac{4}{5}$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x=\frac{3}{5}$. Prin urmare

$$\sin (\pi -x)+\cos (\pi -x)=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}.$$

Observă la punctul c) că nu am înlocuit numerele decât la final: am redus întâi simbolic. Este ordinea recomandată și de barem, pentru că fiecare formulă aplicată corect aduce punctaj separat.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu cercul trigonometric desenat alături. La fiecare valoare cerută, scrie mai întâi în ce cadran te afli și ce semn are răspunsul — apoi calculează. Dacă semnul obținut nu se potrivește cu ce ai prezis, ai greșit undeva.

1. Transformați în radiani: $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $120^{\circ }$ și $270^{\circ }$.

2. Transformați în grade: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{4}$ și $2\pi$.

3. Calculați lungimea arcului de cerc de rază $R=9$ cm care corespunde unui unghi la centru de $\frac{2\pi }{3}$ radiani.

4. Precizați cadranul în care se află punctul asociat, pe cercul trigonometric, numerelor $\frac{\pi }{4}$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{3}$.

5. Calculați $\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există un număr real $x$ pentru care $\sin x=\frac{5}{4}$."

7. Precizați semnul numerelor $\sin 200^{\circ }$, $\cos 200^{\circ }$, $\mathrm{tg}200^{\circ }$ și $\cos 300^{\circ }$, fără să le calculați.

8. Calculați $\sin 120^{\circ }$, $\cos 135^{\circ }$ și $\sin 150^{\circ }$.

9. Calculați $\cos 210^{\circ }$, $\sin 240^{\circ }$ și $\mathrm{tg}225^{\circ }$.

10. Calculați $\sin 300^{\circ }$, $\cos 330^{\circ }$ și $\mathrm{tg}300^{\circ }$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}=0$."

12. Se știe că $\cos x=-\frac{12}{13}$ și că $x$ se află în cadranul II. Calculați $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Simplificați expresia $E(x)=\sin (\pi -x)-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin (\pi +x)$.

14. a) Arătați că $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=2$ pentru orice număr real $x$. b) Într-un triunghi $ABC$ se știe că $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculați $\sin A$ și $\cos A$ și verificați că $\sin A=\sin (\angle B+\angle C)$.

15. (Problemă aplicată.) O roată de bicicletă are raza de $35$ cm. Ce lungime parcurge un punct de pe marginea roții atunci când roata se rotește cu un unghi de $\frac{4\pi }{5}$ radiani? Câte grade are acest unghi?

16. (Problemă aplicată.) Minutarul unui ceas de perete are lungimea de $12$ cm. Ce unghi (în radiani și în grade) descrie vârful lui în $20$ de minute și ce lungime parcurge?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. a) Calculați $\cos x$. b) Calculați $\mathrm{tg}x$. c) Calculați $\sin (\pi -x)+\cos (\pi +x)$.

18. (Provocare.) Se știe că $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$. a) Calculați $\sin x\cdot \cos x$. b) Calculați ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x$.

Răspunsuri și explicații

1. $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$; $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$; $120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$; $270^{\circ }=\frac{3\pi }{2}$. (Se înmulțește cu $\frac{\pi }{180}$ și se simplifică.)

2. $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$; $\frac{5\pi }{6}=150^{\circ }$; $\frac{7\pi }{4}=315^{\circ }$; $2\pi =360^{\circ }$. (Se înlocuiește $\pi$ cu $180^{\circ }$.)

3. $\ell =R\cdot t=9\cdot \frac{2\pi }{3}=6\pi \approx 18,85$ cm.

4. $\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$ — cadranul I; $\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$ — cadranul II; $\frac{7\pi }{6}=210^{\circ }$ — cadranul III; $\frac{5\pi }{3}=300^{\circ }$ — cadranul IV.

5. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2$. (Am folosit $\sin \frac{\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$.)

6. Fals. Sinusul este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$, deci $-1\le \sin x\le 1$ pentru orice $x$ real. Cum $\frac{5}{4}=1,25>1$, nu există niciun astfel de număr.

7. $200^{\circ }$ se află în cadranul III (între $180^{\circ }$ și $270^{\circ }$), deci $\sin 200^{\circ }<0$, $\cos 200^{\circ }<0$ și $\mathrm{tg}200^{\circ }>0$. $300^{\circ }$ se află în cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv: $\cos 300^{\circ }>0$.

8. $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos 135^{\circ }=\cos (180^{\circ }-45^{\circ })=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.

9. $\cos 210^{\circ }=\cos (180^{\circ }+30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\sin 240^{\circ }=\sin (180^{\circ }+60^{\circ })=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\mathrm{tg}225^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }+45^{\circ })=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$ (perioada tangentei este $180^{\circ }$).

10. $\sin 300^{\circ }=\sin (360^{\circ }-60^{\circ })=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos 330^{\circ }=\cos (360^{\circ }-30^{\circ })=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\mathrm{tg}300^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$.

11. Fals. $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$ nu există, pentru că $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, iar $\cos \frac{\pi }{2}=0$. Valoarea $0$ o ia tangenta în $0$ și în $\pi$. Graficul tangentei are în $\frac{\pi }{2}$ o asimptotă verticală.

12. ${\sin }^{2}x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$, deci $\sin x=\pm \frac{5}{13}$; în cadranul II sinusul este pozitiv, deci $\sin x=\frac{5}{13}$. Atunci $\mathrm{tg}x=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}$, negativă — corect pentru cadranul II.

13. $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ și $\sin (\pi +x)=-\sin x$. Prin urmare $E(x)=\sin x-\sin x-\sin x=-\sin x$.

14. a) Dezvoltăm: $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$. Termenii dubli se reduc. b) $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (unghi obtuz, cosinus negativ). Cum suma unghiurilor triunghiului este $180^{\circ }$, avem $\angle B+\angle C=60^{\circ }$, iar $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin A$ ✓ — unghiurile suplementare au același sinus.

15. $\ell =R\cdot t=35\cdot \frac{4\pi }{5}=28\pi \approx 87,96$ cm. Unghiul în grade: $\frac{4\pi }{5}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{5}=144^{\circ }$.

16. În $20$ de minute minutarul parcurge $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ dintr-o tură completă, deci unghiul este $\frac{1}{3}\cdot 360^{\circ }=120^{\circ }$, adică $\frac{2\pi }{3}$ radiani. Lungimea parcursă de vârf: $\ell =12\cdot \frac{2\pi }{3}=8\pi \approx 25,13$ cm.

17. a) ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, iar în cadranul I cosinusul este pozitiv, deci $\cos x=\frac{4}{5}$. b) $\mathrm{tg}x=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$. c) $\sin (\pi -x)=\sin x=\frac{3}{5}$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x=-\frac{4}{5}$, deci suma este $\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$.

18. a) Ridicăm la pătrat relația dată: $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{4}$, adică ${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$. Folosind formula fundamentală, $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{4}$, deci $\sin x\cos x=-\frac{3}{8}$. (Produsul negativ arată că $x$ nu se află în cadranul I — coerent cu faptul că suma este mai mică decât $1$.) b) Folosim descompunerea sumei de cuburi: ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=(\sin x+\cos x)\left({\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$.

De reținut

• Pe cercul trigonometric, $M(t)=(\cos t,\sin t)$: cosinusul este abscisa, sinusul este ordonata. Din această propoziție se reconstruiesc semnele, valorile și toate formulele de reducere.
• $180^{\circ }=\pi$ rad, iar lungimea arcului este $\ell =R\cdot t$ cu $t$ în radiani. Tabelul $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }\to \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$ se știe pe de rost.
• Valorile de bază se reconstruiesc cu regula $\frac{\sqrt{n}}{2}$: sinusul urcă $0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1$, iar cosinusul este același rând, citit invers.
• Semnele pe cadrane: toate pozitive în I, doar sinusul în II, doar tangenta în III, doar cosinusul în IV. Se citesc de pe cerc, nu se memorează.
• Formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ dă valoarea absolută; cadranul dă semnul. La reducerile cu $\pi$ și $2\pi$ funcția rămâne și se schimbă semnul; la reducerea cu $\frac{\pi }{2}$ se schimbă funcția și nu apare minus.

Greșeli frecvente

• Formula $\ell =Rt$ folosită cu unghiul în grade. Lungimea arcului se calculează numai cu $t$ în radiani; altfel transformi întâi sau folosești $\ell =\frac{\pi Rn}{180}$.
• Semnul ales la întâmplare după radical. Din ${\cos }^{2}x=\frac{9}{25}$ nu rezultă $\cos x=\frac{3}{5}$: rezultă $\pm \frac{3}{5}$, iar semnul îl decide cadranul. Fără cadran precizat, răspunsul rămâne cu $\pm$.
• Amestecarea celor două tipuri de reducere. Cu $\pi$ și $2\pi$ păstrezi funcția și schimbi semnul; cu $\frac{\pi }{2}$ schimbi funcția ($\sin \leftrightarrow \cos$) și nu apare minus. Sunt reguli diferite.
• „$\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}=0$" sau „$=\infty$". Tangenta pur și simplu nu este definită pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, pentru că numitorul $\cos x$ se anulează.
• Perioada tangentei confundată cu $2\pi$. Tangenta are perioada $\pi$: $\mathrm{tg}225^{\circ }=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$. La sinus și cosinus perioada este $2\pi$.

Aplică acasă

1. Cercul de pe caiet. Desenează un cerc trigonometric mare, cu compasul, și notează pe el punctele asociate valorilor $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$ și simetricele lor din celelalte trei cadrane. Scrie lângă fiecare coordonatele $(\cos t,\sin t)$. Este singura fișă de care ai nevoie la teză.

2. Ceasul ca instrument de măsură. Urmărește minutarul unui ceas timp de $15$, $20$ și $45$ de minute și calculează de fiecare dată unghiul descris, în grade și în radiani, apoi lungimea drumului parcurs de vârf. Vei fixa atât conversia, cât și formula $\ell =Rt$.

3. Vânătoarea de fenomene periodice. Caută durata zilei în orașul tău pe parcursul unui an sau nivelul mareelor într-un port și notează valorile pe un grafic. Vei recunoaște forma sinusoidei — motivul pentru care trigonometria este limbajul fenomenelor care se repetă.

Pentru părinți și profesori

Lecția reunește tot capitolul de trigonometrie din clasa a IX-a: măsurarea arcelor în grade și radiani, cercul trigonometric, definițiile funcțiilor $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$, valorile de bază, semnele pe cadrane, formula fundamentală și formulele de reducere. Ideea structurantă, pe care merită insistat, este că totul se citește de pe cerc: elevul care își desenează cercul trigonometric la începutul lucrării nu are nevoie să memoreze nici semnele, nici formulele de reducere.

Punctele de verificat: (1) transformă corect grade $\leftrightarrow$ radiani și folosește $\ell =Rt$ doar cu radiani; (2) reconstruiește tabelul valorilor de bază fără să se uite; (3) stabilește semnul pornind de la cadran, înainte de a calcula; (4) știe că formula fundamentală dă pătratul, nu valoarea; (5) nu confundă reducerea cu $\pi$ (funcția rămâne) cu cea cu $\frac{\pi }{2}$ (funcția se schimbă); (6) știe că tangenta nu e definită în $\frac{\pi }{2}$ și că are perioada $\pi$. Întrebări bune de control: „În ce cadran e $250^{\circ }$ și ce semn are cosinusul acolo?", „De ce $\sin x=1,5$ nu are soluții?", „Cât e $\mathrm{tg}405^{\circ }$?".

La examen, trigonometria apare la primul subiect în forme foarte previzibile: calculul unei valori prin reducere la primul cadran, aflarea unei funcții când se cunoaște alta plus cadranul, simplificarea unei expresii cu formule de reducere. Sunt exerciții scurte, cu punctaj sigur. Semne că elevul a înțeles: prezice semnul rezultatului înainte de a calcula și își verifică răspunsul comparându-l cu cadranul.

Întrebări frecvente

Cum transform grade în radiani și invers? Din relația $180^{\circ }=\pi$ rad: din grade în radiani înmulțești cu $\frac{\pi }{180}$ și simplifici; din radiani în grade înlocuiești $\pi$ cu $180^{\circ }$. De exemplu $135^{\circ }=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$, iar $\frac{5\pi }{6}=\frac{5\cdot 180^{\circ }}{6}=150^{\circ }$.

Ce sunt de fapt sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric? Sunt coordonatele punctului asociat numărului $t$: $M(t)=(\cos t,\sin t)$, pe cercul de rază $1$ cu centrul în origine. Cosinusul este abscisa, sinusul este ordonata. Definiția prelungește pe cea din triunghiul dreptunghic și are sens pentru orice număr real.

Cum îmi amintesc valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază? Scrie rândul sinusului ca $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ pentru $0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$; rândul cosinusului este exact același, citit de la dreapta la stânga.

Cum știu ce semn are sinusul sau cosinusul unui unghi? Din cadran: sinusul e pozitiv în jumătatea de sus a cercului (cadranele I și II), cosinusul în jumătatea din dreapta (cadranele I și IV), iar tangenta acolo unde coordonatele au același semn (I și III). Pe scurt: toate în I, doar sinusul în II, doar tangenta în III, doar cosinusul în IV.

Cum calculez cosinusul dacă știu sinusul? Cu formula fundamentală: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, de unde $\cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}$. Formula îți dă doar valoarea absolută — semnul îl alegi din cadranul în care se află $x$. Dacă enunțul nu precizează cadranul, răspunsul rămâne cu ambele variante.

De ce nu există tangenta de $90^{\circ }$? Pentru că $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, iar $\cos 90^{\circ }=0$, deci ar trebui să împărțim la zero. Din același motiv tangenta nu este definită pentru niciun unghi de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$; în aceste puncte graficul are asimptote verticale.

Cum reduc un unghi mai mare de $360^{\circ }$? Scazi ture întregi de $360^{\circ }$ (sau de $2\pi$) până ajungi într-un unghi din $[0^{\circ },360^{\circ })$, apoi aplici formulele de reducere obișnuite. De exemplu $\mathrm{tg}405^{\circ }=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$. La tangentă poți scădea direct multipli de $180^{\circ }$, pentru că perioada ei este $\pi$.

Ce tipuri de exerciții cu trigonometrie se dau la examen? Cele mai frecvente: calcularea unei valori prin reducere la primul cadran, determinarea unei funcții trigonometrice când se cunosc alta și cadranul, simplificarea unei expresii cu formule de reducere și mici identități bazate pe ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Toate se rezolvă în câteva rânduri, cu cercul desenat alături.