Aplicații ale paralelismului în poligoane

Până acum ai învățat ce înseamnă două drepte paralele, ce unghiuri se formează când o secantă taie două paralele și care sunt criteriile prin care recunoști paralelismul. Acum vine partea cu adevărat interesantă: punem toate aceste idei la treabă în interiorul figurilor geometrice. Vei vedea cum, cunoscând un singur unghi într-un dreptunghi sau într-un paralelogram, poți afla toate celelalte unghiuri, aproape ca un detectiv care reconstituie o poveste din câteva indicii. Paralelismul devine, în această lecție, o unealtă de calcul, nu doar o proprietate frumoasă.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești paralelismul pentru a determina măsurile unghiurilor în poligoane (mai ales în patrulatere).
• Vei ști să recunoști laturile paralele în patrulaterele uzuale: pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram și trapez.
• Vei ști să combini criteriile de paralelism cu proprietățile unghiurilor (alterne interne, corespondente, suplementare) pentru a rezolva probleme.
• Vei ști să interpretezi un desen tehnic în care apar drepte paralele și perpendiculare.
• Vei ști să justifici fiecare pas al raționamentului, nu doar să dai un rezultat.

Hai să descoperim împreună

Reluăm pe scurt „uneltele" din lecțiile anterioare

Înainte de a construi, ne pregătim trusa de scule. Tot ce urmează se sprijină pe trei idei pe care le-ai întâlnit deja în lecțiile Unghiuri formate de două drepte paralele tăiate de o secantă și Criterii de paralelism.

Atunci când două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, se formează perechi de unghiuri cu nume speciale:

• Unghiurile corespondente sunt congruente (au aceeași măsură).
• Unghiurile alterne interne sunt congruente.
• Unghiurile alterne externe sunt congruente.
• Unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma lor este 180°).

Reține ideea-cheie: paralelismul „transportă" unghiurile. Dacă știi un unghi într-un loc, paralelele îți permit să-l „muți" în alt loc al figurii. Exact pe asta ne bazăm acum.

Ce este un poligon și de ce ne interesează laturile lui

Un poligon este o figură geometrică plană mărginită de segmente de dreaptă, numite laturi, care se închid (ultimul segment se întoarce la primul). Punctele unde se întâlnesc două laturi se numesc vârfuri, iar unghiurile dintre două laturi alăturate se numesc unghiurile poligonului.

În clasa a VI-a, cele mai importante poligoane pentru această lecție sunt patrulaterele — poligoane cu patru laturi. De ce tocmai ele? Pentru că multe dintre patrulaterele uzuale sunt construite chiar pe ideea de paralelism: ele au laturi paralele „prin definiție". Asta înseamnă că, de îndată ce recunoști figura, știi deja unde sunt paralelele — și de aici poți calcula unghiuri.

Laturile paralele în patrulaterele uzuale

Hai să facem un „dicționar al paralelelor". Pentru fiecare patrulater, întrebarea este simplă: care laturi sunt paralele?

Paralelogramul. Un paralelogram este un patrulater cu laturile opuse paralele două câte două. Asta e chiar definiția lui. Dacă notăm vârfurile $ABCD$, atunci $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$. Reține: are două perechi de laturi paralele.

Dreptunghiul. Dreptunghiul este un paralelogram cu toate unghiurile drepte (de 90°). Deci și el are laturile opuse paralele: $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$. În plus, fiindcă toate unghiurile au 90°, laturile alăturate sunt perpendiculare.

Pătratul. Pătratul este un dreptunghi cu toate laturile egale. Are tot două perechi de laturi paralele (laturile opuse), iar laturile alăturate sunt perpendiculare. Pătratul este, dacă vrei, „vârful familiei": e și paralelogram, și dreptunghi, și romb în același timp.

Rombul. Rombul este un paralelogram cu toate laturile egale. Și el are laturile opuse paralele, însă unghiurile nu sunt neapărat drepte.

Trapezul. Aici e diferența importantă! Trapezul are doar o singură pereche de laturi paralele, numite baze. Celelalte două laturi (numite laturi neparalele sau „picioare") nu sunt paralele între ele. Dacă $ABCD$ este trapez cu $AB\parallel CD$, atunci $AB$ și $CD$ sunt bazele, iar $AD$ și $BC$ sunt laturile neparalele.

Hai să strângem totul într-un tabel mental:

Acesta este primul tău instrument de detectiv: recunoști figura → știi imediat unde sunt paralelele.

Cum „transportăm" unghiuri folosind paralelismul

Acum vine partea cea mai puternică. Imaginează-ți un paralelogram $ABCD$. Latura $AD$ este o secantă care taie cele două paralele $AB$ și $DC$. Înseamnă că putem folosi tot ce știm despre unghiurile formate de paralele cu o secantă!

Să vedem ce iese. Unghiurile $\hat{A}$ și $\hat{D}$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei $AD$ (sunt „între" cele două paralele, de aceeași parte). Prin urmare, ele sunt suplementare: $$\hat{A}+\hat{D}=180°.$$

La fel, dacă privim latura $AB$ ca secantă pentru paralelele $AD$ și $BC$, obținem $\hat{A}+\hat{B}=180°$.

Din aceste relații deducem o regulă de aur a paralelogramului:

Într-un paralelogram, două unghiuri alăturate sunt suplementare (au suma 180°), iar două unghiuri opuse sunt congruente (au aceeași măsură).

De ce sunt unghiurile opuse egale? Pas cu pas: dacă $\hat{A}+\hat{B}=180°$ și $\hat{B}+\hat{C}=180°$, atunci $\hat{A}=180°-\hat{B}$ și $\hat{C}=180°-\hat{B}$, deci $\hat{A}=\hat{C}$. La fel se arată că $\hat{B}=\hat{D}$. Vezi cât de frumos? Plecăm doar de la paralelism și ajungem la o proprietate puternică.

Asta înseamnă un lucru extraordinar: într-un paralelogram este suficient să cunoști un singur unghi ca să le afli pe toate patru. Dacă $\hat{A}=70°$, atunci:

• $\hat{C}=70°$ (opus lui $A$),
• $\hat{B}=180°-70°=110°$ (alăturat lui $A$),
• $\hat{D}=110°$ (opus lui $B$).

Verificare rapidă: suma tuturor unghiurilor unui patrulater este $360°$. La noi: $70°+110°+70°+110°=360°$. Se potrivește perfect.

Suma unghiurilor unui patrulater

Tocmai am folosit un fapt important: suma măsurilor unghiurilor oricărui patrulater este 360°. De unde vine? Trasăm o diagonală și împărțim patrulaterul în două triunghiuri. Fiecare triunghi are suma unghiurilor de 180°, iar două triunghiuri dau $180°+180°=360°$.

Această regulă este o a doua unealtă de calcul foarte utilă, mai ales când figura nu este un paralelogram „curat".

Un caz special: trapezul isoscel

Am spus că trapezul are o singură pereche de laturi paralele. Dar există un trapez „mai ordonat", pe care îl vei întâlni foarte des: trapezul isoscel. Acesta este trapezul în care cele două laturi neparalele (picioarele) sunt egale. Gândește-te la forma simetrică a unui abajur de lampă sau a unui buzunar de pantaloni: stânga arată exact ca dreapta, oglindit.

Această simetrie are o consecință foarte utilă pentru unghiuri: unghiurile alăturate aceleiași baze sunt egale. Dacă $ABCD$ este trapez isoscel cu $AB\parallel CD$ și bazele $AB$ (jos) și $CD$ (sus), atunci:

• $\hat{A}=\hat{B}$ (cele două unghiuri de la baza mare),
• $\hat{C}=\hat{D}$ (cele două unghiuri de la baza mică).

Atenție însă: paralelismul tot „lucrează" și aici. Pe latura $AD$, privită ca secantă, unghiurile $\hat{A}$ și $\hat{D}$ rămân interne de aceeași parte, deci suplementare: $\hat{A}+\hat{D}=180°$. Combinând cele două idei — simetrie plus paralelism — într-un trapez isoscel îți este suficient un singur unghi ca să le afli pe toate patru. De exemplu, dacă $\hat{A}=70°$, atunci $\hat{B}=70°$ (aceeași bază), $\hat{D}=180°-70°=110°$ (suplementar cu $A$) și $\hat{C}=110°$ (aceeași bază cu $D$). Verificare: $70°+70°+110°+110°=360°$. Perfect.

Reține diferența: la paralelogram, unghiurile opuse sunt egale; la trapezul isoscel, unghiurile de la aceeași bază sunt egale. Nu le amesteca — sunt poziții diferite în figură.

Unghiul exterior: paralelismul lucrează și „în afara" figurii

Până acum am calculat unghiuri din interiorul poligonului. Dar uneori problema cere un unghi exterior — unghiul format când prelungești o latură dincolo de un vârf. Și aici paralelismul ne ajută.

Imaginează-ți paralelogramul $ABCD$ și prelungește latura $AB$ dincolo de $B$, până într-un punct $E$. La vârful $B$ apare acum unghiul $\widehat{CBE}$, „spatele" unghiului interior $\widehat{ABC}$. Cele două unghiuri, $\widehat{ABC}$ și $\widehat{CBE}$, formează împreună o linie dreaptă (unghi alungit), deci sunt suplementare: $$\widehat{ABC}+\widehat{CBE}=180°.$$

Dar într-un paralelogram $\widehat{ABC}=180°-\hat{A}$ (unghiuri alăturate). Înlocuim și obținem un rezultat surprinzător de elegant: $\widehat{CBE}=180°-(180°-\hat{A})=\hat{A}$. Cu alte cuvinte, unghiul exterior dintr-un vârf al paralelogramului este egal cu unghiul interior dintr-un vârf vecin. Nu memora formula — reține ideea: prelungind o latură, „aduci în afară" o copie a unui unghi din figură, fiindcă paralelele transportă unghiuri.

Paralelism și perpendicularitate în desenul tehnic

În viața reală, paralelele și perpendicularele sunt peste tot: în planul unui apartament, în schița unei piese metalice, în desenul unei plăci de circuit, în harta unui oraș cu străzi care se intersectează în unghi drept. Inginerii și arhitecții folosesc convenții clare pentru a marca aceste relații pe desen.

Pe un desen tehnic:

• Două laturi marcate cu același tip de săgeată (o săgeată, două săgeți) sunt paralele.
• Un pătrățel mic desenat în colțul unui unghi arată că acolo este un unghi drept (90°), adică laturile sunt perpendiculare.
• Liniuțele scurte de pe segmente (o liniuță, două liniuțe) arată segmente congruente (de lungime egală).

Citirea corectă a acestor semne este exact competența 6.5: interpretezi informația din desen ca să afli unghiuri și lungimi. Când vezi un pătrățel, citești „90°" fără să măsori. Când vezi săgeți identice, știi că poți aplica regulile unghiurilor formate de paralele.

Strategia de detectiv: cum rezolvi orice problemă de acest tip

Hai să fixăm un plan în patru pași pe care îl poți aplica aproape la orice problemă din această lecție:

1. Recunoaște figura și marchează paralelele. Pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram → două perechi de laturi opuse paralele. Trapez → o pereche (bazele).
2. Alege o secantă potrivită. De obicei, o latură sau o diagonală joacă rolul de secantă care taie două paralele.
3. Aplică regula de unghiuri corectă. Alterne interne sau corespondente → egale. Interne de aceeași parte → suplementare (180°).
4. Verifică. Suma unghiurilor patrulaterului trebuie să fie 360°. Dacă nu dă, refă pașii.

Ține minte acest plan — îl vom folosi în fiecare exemplu de mai jos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate unghiurile unui paralelogram dintr-unul singur

Enunț. În paralelogramul $ABCD$ se cunoaște $\hat{A}=65°$. Află măsurile celorlalte trei unghiuri.

Rezolvare. Pasul 1: figura este paralelogram, deci $AB\parallel CD$ și $AD\parallel BC$ (două perechi de laturi paralele). Pasul 2: unghiurile opuse sunt congruente. Cum $\hat{A}$ și $\hat{C}$ sunt opuse, avem $\hat{C}=\hat{A}=65°$. Pasul 3: unghiurile alăturate sunt suplementare. Deci $\hat{B}=180°-65°=115°$. Pasul 4: $\hat{D}$ este opus lui $\hat{B}$, deci $\hat{D}=115°$.

Verificare: $65°+115°+65°+115°=360°$. Corect.

Răspuns: $\hat{B}=\hat{D}=115°$ și $\hat{C}=65°$.

Exemplul 2 — O secantă peste două paralele într-un trapez

Enunț. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ se știe că $\hat{A}=72°$. Cât măsoară $\hat{D}$ (unghiul de la celălalt capăt al laturii neparalele $AD$)?

Rezolvare. Pasul 1: $AB\parallel CD$ sunt bazele trapezului. Pasul 2: latura $AD$ este o secantă care taie aceste două paralele. Pasul 3: unghiurile $\hat{A}$ (la baza $AB$) și $\hat{D}$ (la baza $CD$) sunt interne de aceeași parte a secantei $AD$, deci sunt suplementare: $$\hat{A}+\hat{D}=180°.$$ Înlocuim: $72°+\hat{D}=180°$, deci $\hat{D}=180°-72°=108°$.

Răspuns: $\hat{D}=108°$.

Exemplul 3 — Folosim unghiurile alterne interne

Enunț. În paralelogramul $ABCD$ se trasează diagonala $AC$. Se știe că unghiul $\widehat{BAC}=38°$. Cât măsoară unghiul $\widehat{ACD}$?

Rezolvare. Pasul 1: în paralelogram, $AB\parallel CD$. Pasul 2: diagonala $AC$ este o secantă care taie paralelele $AB$ și $CD$. Pasul 3: unghiurile $\widehat{BAC}$ și $\widehat{ACD}$ sunt alterne interne (sunt de o parte și de alta a secantei, între cele două paralele). Unghiurile alterne interne formate de paralele sunt congruente, deci: $$\widehat{ACD}=\widehat{BAC}=38°.$$

Răspuns: $\widehat{ACD}=38°$.

Acest tip de raționament este o pregustare pentru o proprietate frumoasă: diagonala unui paralelogram „taie" două perechi de unghiuri alterne interne egale.

Exemplul 4 — Citim un desen tehnic

Enunț. Pe schița unei piese, patrulaterul $MNPQ$ are $MN\parallel QP$ și $MQ\perp MN$ (în colțul $M$ este desenat un pătrățel de unghi drept). Latura $NP$ formează cu $MN$ un unghi de $115°$ în vârful $N$. Aflați măsura unghiului din vârful $P$.

Rezolvare. Pasul 1: pătrățelul din $M$ ne spune că $\hat{M}=90°$. Tot din $MQ\perp MN$ și $MN\parallel QP$ rezultă $\hat{Q}=90°$ (latura $MQ$ taie cele două paralele sub unghi drept, deci și la $Q$ unghiul este drept). Figura este un trapez dreptunghic. Pasul 2: folosim suma unghiurilor patrulaterului: $\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}+\hat{Q}=360°$. Pasul 3: înlocuim ce știm: $90°+115°+\hat{P}+90°=360°$, adică $295°+\hat{P}=360°$. Pasul 4: $\hat{P}=360°-295°=65°$.

Verificare cu paralelismul: $MN\parallel QP$, iar $NP$ este secantă. Unghiurile $\hat{N}$ și $\hat{P}$ sunt interne de aceeași parte, deci suplementare: $115°+65°=180°$. Corect.

Răspuns: $\hat{P}=65°$.

Exemplul 5 — Combinăm criteriul de paralelism cu unghiurile

Enunț. Patrulaterul $ABCD$ are $\hat{A}=78°$ și $\hat{B}=102°$, iar laturile $AD$ și $BC$ sunt tăiate de secanta $AB$. Arătați că $AD\parallel BC$.

Rezolvare. Pasul 1: privim $AB$ ca secantă; $\hat{A}$ și $\hat{B}$ sunt unghiurile interne de aceeași parte a acestei secante, formate de dreptele $AD$ și $BC$. Pasul 2: calculăm suma lor: $\hat{A}+\hat{B}=78°+102°=180°$. Pasul 3: aplicăm criteriul de paralelism: dacă unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare, atunci cele două drepte sunt paralele. Deci $AD\parallel BC$.

Răspuns: Da, $AD\parallel BC$, deoarece $\hat{A}+\hat{B}=180°$.

Observă diferența față de exemplele anterioare: aici nu pornim de la paralelism, ci îl demonstrăm folosind unghiurile. Este aplicarea criteriului „invers".

Exemplul 6 — Unghiurile unui romb

Enunț. Într-un romb $ABCD$, unghiul ascuțit $\hat{A}$ are $50°$. Aflați toate unghiurile rombului.

Rezolvare. Pasul 1: rombul este un paralelogram (laturile opuse sunt paralele), deci se aplică aceleași reguli. Pasul 2: unghiul opus lui $A$ este $\hat{C}=50°$. Pasul 3: unghiurile alăturate sunt suplementare: $\hat{B}=180°-50°=130°$, iar $\hat{D}=130°$ (opus lui $B$).

Verificare: $50°+130°+50°+130°=360°$. Corect.

Răspuns: $\hat{A}=\hat{C}=50°$ și $\hat{B}=\hat{D}=130°$.

Exemplul 7 — Unghiurile unui trapez isoscel

Enunț. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ (bazele) și picioarele egale $AD=BC$, se cunoaște unghiul $\hat{A}=68°$. Află celelalte trei unghiuri.

Rezolvare. Pasul 1: figura este trapez isoscel, deci unghiurile de la aceeași bază sunt egale. La baza $AB$ avem $\hat{A}=\hat{B}$, deci $\hat{B}=68°$. Pasul 2: latura $AD$ este secantă pentru paralelele $AB$ și $CD$; $\hat{A}$ și $\hat{D}$ sunt interne de aceeași parte, deci suplementare: $$\hat{D}=180°-68°=112°.$$ Pasul 3: la baza $CD$ avem $\hat{C}=\hat{D}$, deci $\hat{C}=112°$.

Verificare: $68°+68°+112°+112°=360°$. Corect.

Răspuns: $\hat{B}=68°$, $\hat{C}=\hat{D}=112°$.

Exemplul 8 — Un unghi exterior al paralelogramului

Enunț. În paralelogramul $ABCD$ se cunoaște $\hat{A}=112°$. Se prelungește latura $AB$ dincolo de $B$ până într-un punct $E$. Cât măsoară unghiul exterior $\widehat{CBE}$?

Rezolvare. Pasul 1: aflăm întâi unghiul interior din $B$. Unghiurile $\hat{A}$ și $\hat{B}$ sunt alăturate într-un paralelogram, deci suplementare: $\hat{B}=180°-112°=68°$. Pasul 2: punctele $A$, $B$, $E$ sunt coliniare (am prelungit $AB$), deci $\widehat{ABC}$ și $\widehat{CBE}$ formează un unghi alungit (180°) și sunt suplementare: $$\widehat{CBE}=180°-\widehat{ABC}=180°-68°=112°.$$

Observă: $\widehat{CBE}=112°=\hat{A}$. Unghiul exterior „a adus în afară" o copie a unghiului din vârful $A$ — exact ce am anticipat în partea teoretică.

Răspuns: $\widehat{CBE}=112°$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, marcând de fiecare dată paralelele și secanta folosită. Exercițiile sunt aranjate de la ușor la greu.

1. Adevărat sau fals: într-un trapez există exact o pereche de laturi paralele.

2. Adevărat sau fals: într-un paralelogram, două unghiuri alăturate sunt totdeauna egale.

3. Completează: într-un dreptunghi, laturile opuse sunt ________, iar laturile alăturate sunt ________.

4. Câte perechi de laturi paralele are un pătrat? Dar un trapez?

5. În paralelogramul $ABCD$, $\hat{A}=80°$. Cât este $\hat{C}$?

6. În paralelogramul $MNPQ$, $\hat{M}=47°$. Află $\hat{N}$.

7. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, se dă $\hat{B}=64°$. Cât este $\hat{C}$ (capătul opus al laturii $BC$)?

8. Suma a trei unghiuri ale unui patrulater este $250°$. Cât măsoară al patrulea unghi?

9. Încercuiește patrulaterul care are toate unghiurile de 90° și toate laturile egale: paralelogram / dreptunghi / romb / pătrat.

10. În paralelogramul $ABCD$, diagonala $BD$ formează cu latura $AB$ unghiul $\widehat{ABD}=29°$. Folosind $AB\parallel DC$, află $\widehat{BDC}$.

11. Într-un romb, un unghi obtuz are $124°$. Cât are unghiul ascuțit alăturat?

12. Pe un desen tehnic, patrulaterul $EFGH$ are $EF\parallel HG$, iar în $E$ și $H$ sunt pătrățele de unghi drept. Ce fel de patrulater este și cât măsoară $\hat{E}+\hat{H}$?

13. Potrivește fiecare pereche de unghiuri cu relația corectă (formate de două paralele tăiate de o secantă): a) alterne interne — b) corespondente — c) interne de aceeași parte I. congruente prin „transport" peste secantă, de părți opuse; II. suplementare (180°); III. congruente, în aceeași poziție față de fiecare paralelă.

14. În patrulaterul $ABCD$, $\hat{A}=110°$ și $\hat{D}=70°$. Latura $AD$ taie dreptele $AB$ și $DC$. Arată că $AB\parallel DC$.

15. Desenează un paralelogram $ABCD$ cu $\hat{A}=60°$ și scrie lângă fiecare vârf măsura unghiului respectiv.

16. În trapezul dreptunghic $ABCD$ ($AB\parallel CD$, $\hat{A}=\hat{D}=90°$), se știe $\hat{B}=117°$. Află $\hat{C}$.

17. Problemă: O fereastră are forma unui paralelogram (geam „înclinat" la o mansardă). Unghiul de jos din stânga măsoară $73°$. Tâmplarul trebuie să taie celelalte trei colțuri. Ce unghiuri va tăia?

18. Problemă de logică: Un patrulater $ABCD$ are $\hat{A}=\hat{C}$ și $\hat{B}=\hat{D}$. Știind în plus că $\hat{A}=85°$, află toate unghiurile și spune ce tip de patrulater ar putea fi.

19. În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și picioarele egale $AD=BC$, se dă $\hat{D}=105°$. Află $\hat{A}$, $\hat{B}$ și $\hat{C}$.

20. Adevărat sau fals: într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate aceleiași baze sunt egale.

21. În paralelogramul $ABCD$, $\hat{A}=95°$. Se prelungește latura $AB$ dincolo de $B$ până în $E$. Cât măsoară unghiul exterior $\widehat{CBE}$?

22. În patrulaterul $ABCD$ se trasează diagonala $AC$. Se constată că $\widehat{DAC}=41°$ și $\widehat{ACB}=41°$. Folosind aceste date, arată că $AD\parallel BC$.

Răspunsuri și explicații

1. Adevărat. Prin definiție, trapezul are exact o pereche de laturi paralele (bazele); dacă ar avea două perechi, ar fi paralelogram.

2. Fals. Unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare (suma 180°), nu egale; egale sunt unghiurile opuse. (Excepție: la dreptunghi/pătrat toate au 90°, deci atunci sunt și egale — dar nu „totdeauna".)

3. Laturile opuse sunt paralele; laturile alăturate sunt perpendiculare.

4. Pătratul are 2 perechi de laturi paralele (laturile opuse). Trapezul are 1 pereche (bazele).

5. $\hat{C}=80°$, fiindcă $\hat{C}$ este opus lui $\hat{A}$, iar unghiurile opuse sunt congruente.

6. $\hat{N}=180°-47°=133°$. $\hat{M}$ și $\hat{N}$ sunt alăturate, deci suplementare.

7. $\hat{C}=180°-64°=116°$. $BC$ este secantă pentru $AB\parallel CD$; $\hat{B}$ și $\hat{C}$ sunt interne de aceeași parte, deci suplementare.

8. $360°-250°=110°$. Suma unghiurilor unui patrulater este 360°.

9. Pătrat. Singurul care are simultan toate unghiurile drepte și toate laturile egale.

10. $\widehat{BDC}=29°$. Diagonala $BD$ este secantă pentru $AB\parallel DC$; $\widehat{ABD}$ și $\widehat{BDC}$ sunt alterne interne, deci congruente.

11. $180°-124°=56°$. Unghiurile alăturate ale rombului (paralelogram) sunt suplementare.

12. Este un trapez dreptunghic (iar dacă, în plus, $EF=HG$, este chiar un dreptunghi); cum $\hat{E}=\hat{H}=90°$, avem $\hat{E}+\hat{H}=180°$. (Cele două unghiuri drepte la capetele aceleiași laturi neparalele confirmă că $EH\perp EF$ și $EH\perp HG$.)

13. a → I (alterne interne, de părți opuse, congruente); b → III (corespondente, aceeași poziție, congruente); c → II (interne de aceeași parte, suplementare).

14. $AD$ este secantă; $\hat{A}$ și $\hat{D}$ sunt interne de aceeași parte. Cum $\hat{A}+\hat{D}=110°+70°=180°$, conform criteriului de paralelism rezultă $AB\parallel DC$.

15. Paralelogram cu $\hat{A}=60°$: atunci $\hat{C}=60°$ (opus), $\hat{B}=\hat{D}=120°$ (alăturate, suplementare). Desenul trebuie să poarte aceste valori. Verificare: $60+120+60+120=360°$.

16. $\hat{C}=180°-117°=63°$. $BC$ secantă pentru $AB\parallel CD$; $\hat{B}$ și $\hat{C}$ interne de aceeași parte, suplementare. (Verificare cu suma: $90+117+63+90=360°$.)

17. Fereastra-paralelogram cu un unghi de $73°$: unghiul opus are tot $73°$, iar cele alăturate au $180°-73°=107°$. Tâmplarul taie colțurile de 73°, 107° și 107°.

18. $\hat{A}=\hat{C}=85°$. Cum suma este 360°, rămâne $360°-85°-85°=190°$ pentru $\hat{B}+\hat{D}$, iar fiind egale, $\hat{B}=\hat{D}=95°$. Patrulaterul cu unghiurile opuse egale este un paralelogram. Verificare: $85+95+85+95=360°$.

19. La baza $CD$ avem $\hat{C}=\hat{D}=105°$ (trapez isoscel). Pe secanta $AD$, $\hat{A}$ și $\hat{D}$ sunt interne de aceeași parte, deci $\hat{A}=180°-105°=75°$. La baza $AB$, $\hat{B}=\hat{A}=75°$. Verificare: $75+75+105+105=360°$.

20. Adevărat. Aceasta este chiar proprietatea care deosebește trapezul isoscel: simetria lui face ca unghiurile de la fiecare bază să fie egale.

21. $\hat{B}=180°-95°=85°$ (alăturat lui $A$). Cum $A$, $B$, $E$ sunt coliniare, $\widehat{CBE}=180°-85°=95°$. (Observă că rezultatul coincide cu $\hat{A}=95°$.)

22. Diagonala $AC$ este secantă pentru dreptele $AD$ și $BC$. Unghiurile $\widehat{DAC}$ și $\widehat{ACB}$ sunt alterne interne. Cum sunt egale ($41°=41°$), conform criteriului de paralelism rezultă $AD\parallel BC$.

De reținut

• Recunoaște figura → știi unde sunt paralelele. Pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram = 2 perechi de laturi opuse paralele; trapez = 1 pereche (bazele).
• Într-un paralelogram: unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile alăturate sunt suplementare (180°). Un singur unghi cunoscut → afli toate patru.
• O latură sau o diagonală poate juca rolul de secantă care taie două paralele; atunci aplici regulile unghiurilor (alterne interne/corespondente = egale; interne de aceeași parte = suplementare).
• Suma unghiurilor oricărui patrulater este 360° — o folosești și ca metodă de calcul, și ca verificare.
• În trapezul isoscel (picioare egale), unghiurile de la aceeași bază sunt egale; combinat cu paralelismul, un singur unghi îți dă toate patru.
• Un unghi exterior (obținut prelungind o latură) este suplementar cu unghiul interior din acel vârf: cele două adună 180°.
• În desenul tehnic: pătrățelul = unghi drept (90°); săgeți identice = laturi paralele; liniuțe = segmente egale.

Greșeli frecvente

• Confuzia „opuse = suplementare". Mulți elevi inversează: în paralelogram, unghiurile opuse sunt egale, iar cele alăturate sunt suplementare. Ține minte: „opuse — egale; vecine — adună 180°".
• Crezi că trapezul are două perechi de laturi paralele. Nu! Trapezul are doar o pereche (bazele). Dacă ar avea două, ar deveni paralelogram. Marchează cu săgeți doar bazele.
• Alegi greșit secanta. Înainte de a spune „alterne interne", verifică exact care segment taie cele două paralele. Unghiurile trebuie să fie formate de aceeași secantă peste aceleași două paralele.
• Uiți să verifici cu suma 360°. E plasa ta de siguranță. Dacă unghiurile patrulaterului nu adună 360°, undeva ai greșit — întoarce-te și reia pașii.

Joc acasă

1. Vânătoarea de paralele prin casă. Plimbă-te prin cameră cu un carnețel și caută cinci obiecte cu laturi paralele: rama unui tablou, ecranul televizorului, o carte, dala de gresie, un caiet. Pentru fiecare, desenează conturul și marchează cu săgeți laturile paralele. Apoi spune ce patrulater este și de ce. Bonus: găsește un obiect cu o singură pereche de laturi paralele (formă de trapez) — de exemplu un acoperiș de căsuță desenat sau o lampă.

2. Construiește un paralelogram din paie. Ia patru paie (sau bețișoare): două lungi egale și două scurte egale. Prinde-le în colțuri cu plastilină ca să formezi un paralelogram. Acum „înclină-l" ușor cu mâna: vezi cum un unghi crește și cel alăturat scade, dar suma lor rămâne mereu 180°. Măsoară cu un raportor un unghi și verifică dacă unghiul opus are aceeași măsură.

3. Inginer pentru o zi. Desenează pe o foaie planul mesei tale de lucru văzută de sus, ca un desen tehnic. Folosește săgeți pentru laturile paralele și pătrățele pentru colțurile de 90°. Adaugă un obiect în formă de trapez (de exemplu, un suport înclinat) și marchează corect singura pereche de laturi paralele.

Pentru părinți și învățători

Această lecție transformă paralelismul dintr-o „proprietate de recunoscut" într-o unealtă de calcul. Scopul real este ca elevul să justifice fiecare pas, nu doar să nimerească rezultatul.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i mereu să marcheze paralelele cu săgeți pe desen înainte de a calcula. Geometria se rezolvă mai întâi pe figură, apoi pe hârtie.
• Puneți întrebarea-cheie: „Care segment este secanta și ce două paralele taie?" Dacă elevul răspunde corect la asta, restul vine de la sine.
• Insistați pe verificarea cu suma de 360°. Este un obicei excelent de autocontrol.

Întrebări de pus pentru a verifica înțelegerea:

• „De ce într-un paralelogram e suficient un singur unghi ca să le afli pe toate?"
• „Prin ce se deosebește trapezul de paralelogram, ca laturi paralele?"
• „Când sunt două unghiuri suplementare și când sunt egale, dacă vin de la paralele?"

Semn că a înțeles cu adevărat: poate explica nu doar cât măsoară un unghi, ci de ce — citând regula (alterne interne, interne de aceeași parte, unghiuri opuse). Dacă spune „așa mi-a ieșit", reluați raționamentul împreună, pas cu pas. Pentru aprofundare, continuați cu lecția Probleme de paralelism.

Întrebări frecvente

Câte perechi de laturi paralele are fiecare patrulater? Paralelogramul, dreptunghiul, rombul și pătratul au fiecare câte două perechi de laturi opuse paralele. Trapezul are o singură pereche, formată din baze. Această diferență este cheia recunoașterii rapide a figurii.

Cum aflu toate unghiurile unui paralelogram dacă știu doar unul? Unghiul opus celui cunoscut este egal cu el. Cele două unghiuri alăturate se obțin scăzând din 180° (sunt suplementare). Astfel, dintr-un singur unghi afli toate patru. Verifici adunându-le: trebuie să dea 360°.

Care e diferența dintre unghiuri opuse și unghiuri alăturate în paralelogram? Unghiurile opuse (din vârfuri care nu sunt vecine) sunt congruente, adică au aceeași măsură. Unghiurile alăturate (din vârfuri vecine, pe aceeași latură) sunt suplementare, adică suma lor este 180°. Nu le confunda.

De ce suma unghiurilor unui patrulater este 360°? Pentru că orice patrulater poate fi împărțit, cu o diagonală, în două triunghiuri. Fiecare triunghi are suma unghiurilor de 180°, deci două triunghiuri dau $180°+180°=360°$. Regula este valabilă pentru orice patrulater.

Ce înseamnă pătrățelul mic desenat în colțul unei figuri? Este simbolul convențional pentru unghi drept, adică un unghi de exact 90°. Când îl vezi pe un desen tehnic, citești direct „90°", fără să mai măsori cu raportorul, iar laturile acelui unghi sunt perpendiculare.

Cum recunosc pe un desen că două laturi sunt paralele? Pe desenele tehnice și geometrice, laturile paralele se marchează cu același tip de săgeată (o săgeată pe ambele, sau câte două săgeți pe ambele). Dacă două laturi poartă același semn-săgeată, înseamnă că sunt paralele și poți aplica regulile unghiurilor formate cu o secantă.

Un trapez poate avea unghiuri drepte? Da. Trapezul care are două unghiuri drepte (la capetele aceleiași laturi neparalele) se numește trapez dreptunghic. În el, una dintre laturile neparalele este perpendiculară pe ambele baze, lucru întâlnit des în desenul tehnic.

Ce este un trapez isoscel și ce unghiuri are egale? Trapezul isoscel este trapezul în care cele două laturi neparalele (picioarele) sunt egale, ceea ce îi dă o formă simetrică. În el, unghiurile alăturate aceleiași baze sunt egale: cele două de la baza mare sunt egale între ele, la fel și cele două de la baza mică. Atenție, nu confunda cu paralelogramul, unde egale sunt unghiurile opuse, nu cele de la aceeași bază.

Cum aflu unghiul exterior dintr-un vârf al unui poligon? Unghiul exterior se formează prelungind o latură dincolo de vârf. El este suplementar cu unghiul interior din acel vârf, adică cele două adună 180°. Așadar, dacă unghiul interior are, de exemplu, 68°, unghiul exterior are $180°-68°=112°$.

Cum demonstrez că două laturi ale unui patrulater sunt paralele? Folosești criteriul de paralelism: dacă o secantă formează cu cele două laturi unghiuri alterne interne egale, sau unghiuri corespondente egale, sau unghiuri interne de aceeași parte care adună 180°, atunci laturile sunt paralele. Vezi pe larg în lecția Criterii de paralelism.