Criterii de paralelism

Până acum ai învățat ce sunt dreptele paralele și ce unghiuri se formează când o secantă taie două drepte paralele. Acum facem un pas important și matur: învățăm să mergem invers. În loc să pornim de la „dreptele sunt paralele" și să aflăm unghiurile, vom porni de la unghiuri și vom demonstra că dreptele sunt paralele. Acesta este unul dintre primele tale raționamente geometrice adevărate, exact ca într-o demonstrație de matematician. Hai să descoperim împreună criteriile de paralelism.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți cele trei criterii de paralelism (unghiuri alterne congruente, unghiuri corespondente congruente, unghiuri interne de aceeași parte suplementare).
• Vei ști să demonstrezi că două drepte sunt paralele folosind o pereche de unghiuri.
• Vei ști să justifici în scris paralelismul, cu ipoteză și concluzie, pas cu pas.
• Vei ști să folosești criteriile pentru a construi drepte paralele cu rigla și echerul.
• Vei ști să deosebești o proprietate de un criteriu (reciprocul ei), ca să nu le confunzi niciodată.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim decorul: două drepte și o secantă

Toate criteriile de paralelism vorbesc despre aceeași situație. Avem două drepte, să le spunem $a$ și $b$, și o a treia dreaptă, $s$, care le taie pe amândouă. Dreapta $s$ se numește secantă (de la „a seca", adică a tăia).

Secanta formează 8 unghiuri în total: patru la întâlnirea cu dreapta $a$ și patru la întâlnirea cu dreapta $b$. În lecția precedentă, Unghiuri formate de două drepte paralele tăiate de o secantă, ai dat nume acestor perechi. Le reamintim scurt, pentru că ele sunt „eroii" lecției de azi:

• Unghiuri alterne interne — sunt între cele două drepte (interne), de o parte și de alta a secantei (alterne, adică „pe părți opuse").
• Unghiuri alterne externe — în afara celor două drepte, de o parte și de alta a secantei.
• Unghiuri corespondente — ocupă aceeași poziție la fiecare intersecție (de exemplu: amândouă sus-dreapta). Sunt de aceeași parte a secantei, dar unul intern și unul extern.
• Unghiuri interne de aceeași parte a secantei — amândouă între drepte, de aceeași parte a secantei. Acestea ne interesează prin suma lor, nu prin congruență.

Ține minte aceste patru tipuri ca pe patru unelte din trusă. Astăzi le folosim ca să demonstrăm paralelismul.

2. Diferența uriașă dintre „proprietate" și „criteriu"

Aceasta este ideea centrală a lecției. Citește-o încet.

În lecția trecută ai învățat o proprietate:

Proprietate (sensul direct): Dacă două drepte sunt paralele și sunt tăiate de o secantă, atunci unghiurile alterne interne sunt congruente (la fel și cele corespondente; iar cele interne de aceeași parte sunt suplementare).

Astăzi întoarcem săgeata. Citim afirmația invers, de la coadă la cap. Această variantă întoarsă se numește reciproc și, când este adevărată și utilă, o numim criteriu:

Criteriu (sensul reciproc): Dacă unghiurile alterne interne sunt congruente, atunci cele două drepte sunt paralele.

Vezi ce s-a întâmplat? Am schimbat între ele ipoteza (ce știm, ce ni se dă) și concluzia (ce vrem să obținem).

• La proprietate, paralelismul este ipoteză, iar unghiurile sunt concluzie. Folosești proprietatea când deja știi că dreptele sunt paralele și vrei să afli măsuri de unghiuri.
• La criteriu, unghiurile sunt ipoteză, iar paralelismul este concluzie. Folosești criteriul când vrei să demonstrezi că dreptele sunt paralele.

O analogie simplă. „Dacă plouă, atunci asfaltul e ud" e o afirmație adevărată. Reciprocul ei, „dacă asfaltul e ud, atunci plouă", nu este sigur adevărat (poate a trecut o mașină de stropit). În matematică avem noroc: la unghiuri și paralelism, și reciprocul este adevărat. De aceea îl putem folosi liniștiți ca instrument de demonstrație. Tocmai acest reciproc adevărat se numește criteriu de paralelism.

3. Primul criteriu: unghiuri alterne congruente

Iată primul instrument, enunțat curat.

Criteriul 1 (al unghiurilor alterne). Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne interne congruente (sau o pereche de unghiuri alterne externe congruente), atunci cele două drepte sunt paralele.

Cu litere: dacă $\hat{1}\equiv \hat{2}$ și cele două unghiuri sunt alterne interne, atunci $a\parallel b$.

Cum gândim? Imaginează-ți că „rotești" unghiul de sus și îl așezi peste cel de jos. Dacă au exact aceeași deschidere, dreptele „merg în aceeași direcție" și nu se vor întâlni niciodată — adică sunt paralele.

4. Al doilea criteriu: unghiuri corespondente congruente

Criteriul 2 (al unghiurilor corespondente). Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci cele două drepte sunt paralele.

Cu litere: dacă $\hat{1}\equiv \hat{2}$ și cele două sunt corespondente, atunci $a\parallel b$.

Acesta este criteriul cel mai des folosit la construcții, pentru că echerul „copiază" ușor un unghi în aceeași poziție mai jos. Vom vedea imediat cum.

5. Al treilea criteriu: unghiuri interne de aceeași parte, suplementare

Aici nu mai cerem congruență, ci o sumă.

Criteriul 3 (al unghiurilor interne de aceeași parte). Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei a căror sumă este $180°$ (suplementare), atunci cele două drepte sunt paralele.

Cu litere: dacă $\hat{1}+\hat{2}=180°$ și unghiurile sunt interne de aceeași parte, atunci $a\parallel b$.

Reține diferența: la criteriile 1 și 2 cerem unghiuri egale ($\equiv$); la criteriul 3 cerem unghiuri cu suma $180°$. Sunt unelte diferite pentru perechi diferite de unghiuri.

6. De ce ne ajung trei criterii (de fapt, e unul singur)

Poate te întrebi: chiar trebuie să memorez trei reguli? Vestea bună: cele trei criterii sunt rude foarte apropiate și se „traduc" unul în altul prin lucruri pe care le știi deja.

• Unghiurile corespondente și unghiurile alterne interne sunt legate prin unghiuri opuse la vârf (care sunt congruente — ai învățat la lecția Unghiuri opuse la vârf).
• Unghiurile interne de aceeași parte și unghiurile alterne interne sunt legate prin unghiuri adiacente suplementare (două unghiuri de pe o dreaptă fac împreună $180°$).

Așa că, dacă ai stabilit un tip de pereche, le poți deduce pe celelalte. În practică alegi criteriul care se potrivește datelor din problemă: dacă în figură vezi unghiuri în zigzag, folosești alternele; dacă vezi unghiuri în aceeași poziție, folosești corespondentele; dacă vezi unghiuri „în C", verifici dacă fac $180°$.

7. Cum scriem corect o justificare (rețeta în 4 pași)

La clasa a VI-a, o justificare a paralelismului trebuie scrisă ordonat. Folosește mereu această rețetă:

1. Ipoteza (ce știu): notează datele — ce unghiuri sunt date și ce relație au (egale sau cu suma $180°$).
2. Identific perechea: spun ce fel de unghiuri sunt (alterne interne / corespondente / interne de aceeași parte).
3. Aplic criteriul: scriu numele criteriului potrivit.
4. Concluzia (ce obțin): $a\parallel b$.

Această ordine — ipoteză → identificare → criteriu → concluzie — este chiar scheletul oricărei demonstrații geometrice. O vei folosi mai târziu la triunghiuri congruente. Acum o exersezi „la încălzire", pe paralelism.

8. Construcția dreptelor paralele cu un criteriu

Criteriile nu servesc doar la demonstrat, ci și la construit. Cea mai simplă metodă folosește criteriul unghiurilor corespondente: dacă „copiem" același unghi mai jos, în aceeași poziție, obținem garantat o dreaptă paralelă.

Pași, cu rigla și echerul:

1. Desenezi o dreaptă $a$ și o secantă $s$ care o taie, formând un unghi (de exemplu $50°$) cu $a$.
2. Alegi un punct $P$ pe secantă, mai jos.
3. Cu raportorul (sau echerul) construiești în $P$, de aceeași parte a secantei, un unghi egal cu primul, în aceeași poziție (corespondent).
4. Latura nouă a acestui unghi este dreapta $b$. Prin criteriul corespondentelor, $b\parallel a$.

Așa funcționează, de fapt, și echerul care „alunecă" pe riglă: el păstrează mereu același unghi față de muchia riglei, adică reproduce unghiuri corespondente egale, deci trasează drepte paralele.

9. Un criteriu „ascuns": două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă

Există o situație foarte des întâlnită în care paralelismul iese imediat, fără să mai măsori unghiuri în zigzag: când două drepte sunt amândouă perpendiculare pe aceeași dreaptă.

Consecință utilă. Dacă $a\perp s$ și $b\perp s$ (adică $a$ și $b$ fac fiecare un unghi de $90°$ cu aceeași dreaptă $s$), atunci $a\parallel b$.

De ce? Pentru că secanta $s$ formează cu $a$ un unghi de $90°$ și cu $b$ tot un unghi de $90°$, în aceeași poziție. Acestea sunt unghiuri corespondente congruente ($90°=90°$), deci, prin Criteriul 2, dreptele sunt paralele. Vezi cum un caz care pare „nou" este, de fapt, tot Criteriul corespondentelor, doar cu măsura $90°$.

Vei folosi des această consecință la dreptunghi, pătrat și la rețele de pătrățele din caiet: laturile opuse sunt paralele tocmai pentru că sunt perpendiculare pe aceleași laturi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Criteriul alternelor interne

Enunț. Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $s$. Se formează unghiurile alterne interne $\hat{M}$ și $\hat{N}$, cu $m(\hat{M})=63°$ și $m(\hat{N})=63°$. Arată că $a\parallel b$.

Rezolvare.

• Ipoteza: $\hat{M}$ și $\hat{N}$ sunt alterne interne și $m(\hat{M})=m(\hat{N})=63°$, deci $\hat{M}\equiv \hat{N}$.
• Identific perechea: unghiuri alterne interne.
• Aplic criteriul: unghiuri alterne interne congruente $\Rightarrow$ drepte paralele (Criteriul 1).
• Concluzia: $a\parallel b$. ∎

Observă cât de scurtă e demonstrația când unghiurile sunt deja date congruente: tot ce facem este să recunoaștem perechea și să numim criteriul.

Exemplul 2 — Criteriul corespondentelor

Enunț. Secanta $s$ taie dreptele $d_1$ și $d_2$. Unghiurile corespondente $\hat{A}$ și $\hat{B}$ au $m(\hat{A})=118°$ și $m(\hat{B})=118°$. Sunt paralele dreptele?

Rezolvare.

• Ipoteza: $\hat{A}$ și $\hat{B}$ sunt corespondente și $m(\hat{A})=m(\hat{B})=118°$, deci $\hat{A}\equiv \hat{B}$.
• Identific perechea: unghiuri corespondente.
• Aplic criteriul: unghiuri corespondente congruente $\Rightarrow$ drepte paralele (Criteriul 2).
• Concluzia: $d_1\parallel d_2$. Da, dreptele sunt paralele. ∎

Exemplul 3 — Criteriul internelor de aceeași parte (suplementare)

Enunț. Dreptele $p$ și $q$ sunt tăiate de o secantă. Unghiurile interne de aceeași parte a secantei au măsurile $m(\hat{1})=105°$ și $m(\hat{2})=75°$. Demonstrează că $p\parallel q$.

Rezolvare.

• Ipoteza: $\hat{1}$ și $\hat{2}$ sunt interne de aceeași parte a secantei.
• Calcul: $m(\hat{1})+m(\hat{2})=105°+75°=180°$. Deci unghiurile sunt suplementare.
• Aplic criteriul: unghiuri interne de aceeași parte suplementare $\Rightarrow$ drepte paralele (Criteriul 3).
• Concluzia: $p\parallel q$. ∎

Atenție: aici nu ne deranjează că unghiurile au măsuri diferite ($105°$ și $75°$). Criteriul 3 nu cere egalitate, ci ca suma lor să fie $180°$.

Exemplul 4 — Aflăm un unghi ca să putem aplica criteriul

Enunț. O secantă taie dreptele $a$ și $b$. La intersecția cu $a$ se formează un unghi de $72°$. La intersecția cu $b$, corespondentul lui are măsura $(2x+10)°$. Pentru ce valoare a lui $x$ avem $a\parallel b$?

Rezolvare.

• Ca să fie $a\parallel b$ prin Criteriul 2, cele două unghiuri corespondente trebuie să fie congruente: $$2x+10=72.$$
• Rezolvăm ecuația (numere întregi, ca în unitatea Ecuații în ℤ): $$2x=72-10=62\Rightarrow x=31.$$
• Verificare: $2\cdot 31+10=62+10=72°$. Da, unghiurile sunt congruente.
• Concluzia: pentru $x=31$, unghiurile corespondente sunt egale, deci $a\parallel b$. ∎

Exemplul 5 — Recunoaștem că NU sunt paralele

Enunț. O secantă taie dreptele $m$ și $n$. Unghiurile alterne interne au $m(\hat{1})=80°$ și $m(\hat{2})=95°$. Sunt paralele dreptele $m$ și $n$?

Rezolvare.

• Ipoteza: $\hat{1}$ și $\hat{2}$ sunt alterne interne.
• Verific congruența: $80°\ne 95°$, deci unghiurile nu sunt congruente.
• Criteriul alternelor cere unghiuri congruente. Aici condiția nu este îndeplinită.
• Concluzia: dreptele NU sunt paralele. ∎

Această situație e foarte importantă: un criteriu funcționează doar dacă ipoteza lui este îndeplinită exact. Dacă unghiurile alterne nu sunt egale, nu avem voie să tragem concluzia că dreptele sunt paralele.

Exemplul 6 — Folosim un unghi opus la vârf ca să ajungem la criteriu

Enunț. Secanta $s$ taie dreptele $a$ și $b$. La intersecția cu $a$, unghiul $\hat{1}=65°$. La intersecția cu $b$, unghiul $\hat{3}$ este opus la vârf cu un unghi corespondent al lui $\hat{1}$, și $m(\hat{3})=65°$. Justifică $a\parallel b$.

Rezolvare.

• Fie $\hat{2}$ corespondentul lui $\hat{1}$, la intersecția cu $b$. Atunci $\hat{3}$ este opus la vârf cu $\hat{2}$.
• Unghiurile opuse la vârf sunt congruente (lecția Unghiuri opuse la vârf), deci $m(\hat{2})=m(\hat{3})=65°$.
• Acum compar corespondentele: $m(\hat{1})=65°=m(\hat{2})$, deci $\hat{1}\equiv \hat{2}$.
• Aplic Criteriul 2 (corespondente): $a\parallel b$. ∎

Acest exemplu îți arată cum se combină instrumentele: uneori întâi „transporți" o măsură cu unghiuri opuse la vârf, apoi aplici un criteriu de paralelism.

Exemplul 7 — Două drepte perpendiculare pe aceeași secantă

Enunț. Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $s$. Se știe că $a\perp s$ și $b\perp s$. Demonstrează că $a\parallel b$.

Rezolvare.

• Ipoteza: $a\perp s$ înseamnă $m(\hat{1})=90°$, iar $b\perp s$ înseamnă $m(\hat{2})=90°$, unde $\hat{1}$ și $\hat{2}$ sunt unghiurile corespondente formate de $s$ cu cele două drepte.
• Compar: $m(\hat{1})=90°=m(\hat{2})$, deci $\hat{1}\equiv \hat{2}$.
• Aplic Criteriul 2 (corespondente): unghiuri corespondente congruente $\Rightarrow$ drepte paralele.
• Concluzia: $a\parallel b$. ∎

Reține: „două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele" nu este un criteriu nou de memorat, ci doar Criteriul corespondentelor aplicat când unghiurile sunt amândouă de $90°$.

Exemplul 8 — Demonstrăm prin reducere la o pereche cunoscută

Enunț. O secantă $s$ taie dreptele $a$ și $b$. Unghiul $\hat{1}$ (la intersecția cu $a$) și unghiul $\hat{2}$ (la intersecția cu $b$) sunt alterne externe și au fiecare $m=122°$. Justifică $a\parallel b$ și află măsura unui unghi intern de aceeași parte.

Rezolvare.

• Paralelismul: $\hat{1}\equiv \hat{2}$ (ambele $122°$), unghiuri alterne externe congruente $\Rightarrow$ (Criteriul 1, varianta externă) $a\parallel b$.
• Unghiul intern de aceeași parte: un unghi intern de aceeași parte cu $\hat{1}$ este adiacent suplementar cu un altern extern al lui, deci are $180°-122°=58°$. Verificare: perechea internă de aceeași parte are atunci $58°$ și $122°$, cu suma $58°+122°=180°$, exact cum cere Criteriul 3 — totul este coerent.
• Concluzia: $a\parallel b$, iar unghiul intern de aceeași parte cerut are $58°$. ∎

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde se cere, scrie justificarea cu ipoteză → criteriu → concluzie.

1. Completează: dacă două unghiuri ___________ interne sunt congruente, atunci cele două drepte tăiate de secantă sunt ___________.

2. Adevărat sau fals: „Dacă unghiurile corespondente sunt congruente, atunci dreptele sunt paralele."

3. Adevărat sau fals: „Criteriul internelor de aceeași parte cere ca cele două unghiuri să fie congruente."

4. Încercuiește criteriul potrivit. Două unghiuri alterne externe au câte $48°$ fiecare. Dreptele sunt paralele prin criteriul: (a) corespondentelor; (b) alternelor; (c) internelor suplementare.

5. Unghiurile alterne interne măsoară $54°$ și $54°$. Sunt dreptele paralele? Justifică.

6. Unghiurile interne de aceeași parte măsoară $120°$ și $60°$. Sunt dreptele paralele? Justifică.

7. Unghiurile corespondente măsoară $88°$ și $92°$. Sunt dreptele paralele? Explică de ce sau de ce nu.

8. Unghiurile interne de aceeași parte măsoară $100°$ și $90°$. Sunt dreptele paralele? Justifică.

9. Potrivește fiecare situație cu criteriul:

• A) unghiuri în zigzag, egale → ...
• B) unghiuri în aceeași poziție, egale → ...
• C) unghiuri „în C", cu suma $180°$ → ... (criterii: alternelor / corespondentelor / internelor de aceeași parte)

10. O secantă taie dreptele $a$ și $b$. Un unghi corespondent are $73°$, iar celălalt are $(x+23)°$. Află $x$ astfel încât $a\parallel b$.

11. Unghiurile alterne interne au măsurile $(3x)°$ și $66°$. Află $x$ pentru ca dreptele să fie paralele.

12. Unghiurile interne de aceeași parte au măsurile $(2x+30)°$ și $(x)°$. Află $x$ pentru ca dreptele să fie paralele.

13. Desenează o dreaptă $a$ și o secantă care o taie sub un unghi de $40°$. Construiește o dreaptă $b$ paralelă cu $a$ folosind criteriul unghiurilor corespondente. Descrie pașii.

14. Explică în 1–2 propoziții diferența dintre o proprietate și un criteriu de paralelism.

15. O secantă taie dreptele $p$ și $q$. La intersecția cu $p$, un unghi are $115°$. La intersecția cu $q$, unghiul corespondent lui are tot $115°$. Scrie justificarea completă a faptului că $p\parallel q$.

16. Mică problemă. Pe un teren de fotbal, două linii laterale sunt tăiate de linia de centru (secantă). Linia de centru face cu prima laterală un unghi de $90°$ și cu a doua laterală tot $90°$ (corespondente). Sunt liniile laterale paralele? Ce criteriu folosești?

17. Unghiurile alterne externe au măsurile $(5x-5)°$ și $(4x+7)°$. Află $x$ pentru ca dreptele să fie paralele.

18. Provocare. O secantă taie dreptele $a$ și $b$. Un unghi format cu $a$ are $108°$. Unghiul intern de aceeași parte cu el, format cu $b$, are $(7x+2)°$. Află $x$ pentru ca $a\parallel b$, apoi verifică.

19. Două drepte $a$ și $b$ sunt amândouă perpendiculare pe dreapta $s$. Sunt $a$ și $b$ paralele? Ce criteriu folosești și de ce nu e nevoie să mai măsori alte unghiuri?

20. Unghiurile corespondente au măsurile $(4x-8)°$ și $(2x+20)°$. Află $x$ pentru ca dreptele să fie paralele, apoi calculează măsura comună a unghiurilor.

Răspunsuri și explicații

1. alterne; paralele. (Enunțul Criteriului 1.)

2. Adevărat. Este chiar Criteriul 2 (al corespondentelor).

3. Fals. Criteriul internelor de aceeași parte cere ca unghiurile să fie suplementare (suma $180°$), nu congruente.

4. (b) alternelor. Unghiurile alterne externe congruente $\Rightarrow$ drepte paralele (varianta externă a Criteriului 1).

5. Da. $54°=54°$, deci unghiurile alterne interne sunt congruente; prin Criteriul 1, dreptele sunt paralele.

6. Da. $120°+60°=180°$, unghiuri interne de aceeași parte suplementare; prin Criteriul 3, dreptele sunt paralele.

7. Nu. $88°\ne 92°$, unghiurile corespondente nu sunt congruente, deci criteriul nu se aplică; dreptele nu sunt paralele.

8. Nu. $100°+90°=190°\ne 180°$; unghiurile interne de aceeași parte nu sunt suplementare, deci dreptele nu sunt paralele.

9. A → criteriul alternelor; B → criteriul corespondentelor; C → criteriul internelor de aceeași parte.

10. Corespondente congruente: $x+23=73\Rightarrow x=50$. Verificare: $50+23=73°$. ✓

11. Alterne congruente: $3x=66\Rightarrow x=22$. Verificare: $3\cdot 22=66°$. ✓

12. Interne de aceeași parte, suplementare: $(2x+30)+x=180\Rightarrow 3x+30=180\Rightarrow 3x=150\Rightarrow x=50$. Verificare: unghiurile sunt $130°$ și $50°$, sumă $180°$. ✓

13. Pași: (1) desenezi $a$ și secanta sub $40°$; (2) alegi un punct $P$ mai jos pe secantă; (3) cu raportorul construiești în $P$, în aceeași poziție, un unghi de $40°$ (corespondent); (4) trasezi latura — aceasta este $b$. Prin Criteriul 2, $b\parallel a$.

14. Proprietatea pornește de la paralelism și obține relații între unghiuri (paralele $\Rightarrow$ unghiuri). Criteriul este reciprocul: pornește de la unghiuri și obține paralelismul (unghiuri $\Rightarrow$ paralele). Schimbi între ele ipoteza și concluzia.

15. Ipoteză: $\hat{A}$ (cu $p$) și $\hat{B}$ (cu $q$) sunt corespondente, $m(\hat{A})=m(\hat{B})=115°$, deci $\hat{A}\equiv \hat{B}$. Criteriu: unghiuri corespondente congruente $\Rightarrow$ drepte paralele (Criteriul 2). Concluzie: $p\parallel q$.

16. Da, liniile laterale sunt paralele. Unghiurile corespondente sunt amândouă de $90°$, deci congruente; prin Criteriul 2 (al corespondentelor), liniile sunt paralele. (Echivalent, ambele fiind perpendiculare pe aceeași dreaptă, sunt paralele.)

17. Alterne externe congruente: $5x-5=4x+7\Rightarrow x=12$. Verificare: $5\cdot 12-5=55$ și $4\cdot 12+7=55$; ambele $55°$. ✓

18. Interne de aceeași parte, suplementare: $108+(7x+2)=180\Rightarrow 7x+110=180\Rightarrow 7x=70\Rightarrow x=10$. Verificare: al doilea unghi $=7\cdot 10+2=72°$; $108°+72°=180°$. ✓ Deci $a\parallel b$.

19. Da, $a\parallel b$. Secanta $s$ formează cu fiecare dreaptă un unghi de $90°$, în aceeași poziție; sunt unghiuri corespondente congruente ($90°=90°$), deci prin Criteriul 2 dreptele sunt paralele. Nu trebuie să mai măsori altceva: o singură pereche de unghiuri corespondente egale este suficientă pentru a aplica criteriul.

20. Corespondente congruente: $4x-8=2x+20\Rightarrow 2x=28\Rightarrow x=14$. Măsura comună: $4\cdot 14-8=48°$ (și $2\cdot 14+20=48°$). ✓ Deci dreptele sunt paralele, iar unghiurile au fiecare $48°$.

De reținut

• Criteriul este reciprocul proprietății: de la unghiuri ajungem la paralelism (pe când proprietatea merge de la paralelism la unghiuri).
• Criteriul 1: unghiuri alterne (interne sau externe) congruente $\Rightarrow$ drepte paralele.
• Criteriul 2: unghiuri corespondente congruente $\Rightarrow$ drepte paralele.
• Criteriul 3: unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare (sumă $180°$) $\Rightarrow$ drepte paralele.
• Consecință practică: dacă două drepte sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, ele sunt paralele (este Criteriul 2 cu unghiuri de $90°$).
• O justificare corectă are mereu: ipoteză → identific perechea → numesc criteriul → concluzie ($a\parallel b$).

Greșeli frecvente

• Confunzi proprietatea cu criteriul. Dacă în problemă ți se dau unghiurile și ți se cere paralelismul, folosești un criteriu. Dacă ți se dă paralelismul și cauți unghiuri, folosești o proprietate. Întreabă-te mereu: „ce e ipoteză și ce e concluzie?".
• Aplici egalitate la unghiurile interne de aceeași parte. Acolo nu cauți unghiuri egale, ci unghiuri cu suma $180°$. La alterne și corespondente cauți egalitate.
• Tragi concluzia paralelismului fără ca ipoteza criteriului să fie îndeplinită. Dacă unghiurile alterne nu sunt egale (sau internele nu fac $180°$), nu ai voie să spui că dreptele sunt paralele. Verifică numeric întotdeauna.
• Confunzi tipurile de unghiuri. „Alterne" = pe părți opuse ale secantei (zigzag); „corespondente" = aceeași poziție; „interne de aceeași parte" = ambele între drepte, pe aceeași parte (forma de „C"). Desenează și colorează perechea înainte de a alege criteriul.

Joc acasă

1. Vânătoarea de paralele. Plimbă-te prin casă cu un raportor și caută secante reale: o ramă de tablou tăiată de un raft, gratiile de la balcon tăiate de o bară orizontală, dungile unei foi de matematică tăiate de o linie trasată oblic. Măsoară o pereche de unghiuri corespondente. Dacă ies egale, ai dovedit cu mâna ta că marginile sunt paralele. Notează 3 exemple și criteriul folosit.

2. Echerul alunecător. Pune o riglă lungă pe masă, sprijină un echer cu o latură pe muchia riglei și trasează o dreaptă. Apoi alunecă echerul de-a lungul riglei (fără să-l rotești) și trasează a doua dreaptă. Cele două drepte sunt paralele, pentru că echerul a păstrat mereu același unghi corespondent față de riglă. Verifică paralelismul măsurând unghiurile.

3. Detectiv adevărat/fals. Cere unui părinte să-ți spună perechi de unghiuri (de exemplu: „alterne interne, $40°$ și $40°$" sau „interne de aceeași parte, $90°$ și $80°$"). Tu decizi rapid „paralele / nu sunt paralele" și spui criteriul. Schimbați rolurile. Cine greșește, explică unde a confundat criteriul.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce primul raționament geometric „reciproc" al copilului, așa că accentul nu este pe calcul, ci pe logica afirmațiilor. Cea mai utilă întrebare pe care o puteți pune este: „Ce ți se dă și ce trebuie să demonstrezi?" — adică separarea ipotezei de concluzie. Mulți elevi rezolvă corect aritmetica, dar folosesc proprietatea în loc de criteriu (sau invers); cereți-le mereu să spună cu glas tare în ce direcție merge raționamentul.

Sprijiniți elevul să deseneze și să coloreze perechea de unghiuri înainte de a alege criteriul: vederea zigzagului (alterne), a poziției identice (corespondente) sau a formei de „C" (interne de aceeași parte) previne cele mai dese erori. La criteriul 3, insistați pe ideea de sumă $180°$, nu de egalitate — este capcana clasică.

Verificați înțelegerea cu trei sarcini scurte: (1) enunță un criteriu cu cuvintele lui; (2) dată o pereche de măsuri, decide dacă dreptele sunt paralele și justifică; (3) explică diferența dintre proprietate și criteriu cu exemplul „plouă / asfaltul e ud". Dacă reușește toate trei, lecția e stăpânită. Pentru consolidare, treceți apoi la lecția conexă Aplicații ale paralelismului în poligoane (vezi Aplicații ale paralelismului în poligoane).

Întrebări frecvente

Care sunt criteriile de paralelism în clasa a VI-a? Sunt trei: unghiuri alterne (interne sau externe) congruente, unghiuri corespondente congruente și unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare. Dacă oricare dintre aceste condiții este îndeplinită, cele două drepte tăiate de secantă sunt paralele.

Cum demonstrez că două drepte sunt paralele? Identifici o pereche de unghiuri formate de o secantă, verifici dacă sunt congruente (alterne sau corespondente) ori suplementare (interne de aceeași parte), apoi aplici criteriul potrivit. Scrii ordonat: ipoteză, criteriul folosit și concluzia $a\parallel b$.

Ce diferență este între o proprietate și un criteriu de paralelism? Proprietatea pornește de la „dreptele sunt paralele" și obține relații între unghiuri. Criteriul este reciprocul: pornește de la unghiuri și obține paralelismul. Pe scurt, schimbi între ele ce ți se dă (ipoteza) și ce trebuie să arăți (concluzia).

Ce înseamnă „reciproc" la paralelism? Reciprocul unei afirmații „dacă A, atunci B" este „dacă B, atunci A", adică afirmația cu ipoteza și concluzia inversate. La paralelism reciprocul este adevărat, de aceea îl folosim ca instrument de demonstrație și îl numim criteriu.

Când folosesc criteriul unghiurilor interne de aceeași parte? Îl folosești când vezi două unghiuri amândouă între drepte, pe aceeași parte a secantei (forma de „C"). Verifici dacă suma lor este $180°$. Dacă da, dreptele sunt paralele; atenție, aici nu cauți unghiuri egale, ci suplementare.

Dacă unghiurile alterne nu sunt egale, dreptele sunt paralele? Nu. Criteriul cere unghiuri alterne congruente. Dacă măsurile diferă, ipoteza criteriului nu este îndeplinită și nu poți concluziona paralelismul; în acest caz dreptele nu sunt paralele.

Cum construiesc o dreaptă paralelă folosind un criteriu? Cel mai simplu cu criteriul corespondentelor: copiezi același unghi mai jos pe secantă, în aceeași poziție, folosind raportorul sau un echer care alunecă pe riglă. Latura nou trasată este dreapta paralelă, garantat de Criteriul 2.

Câte unghiuri formează o secantă cu două drepte? O secantă formează în total opt unghiuri: patru la fiecare punct de intersecție. Din ele se grupează perechile de unghiuri alterne, corespondente și interne de aceeași parte pe care le folosim în criteriile de paralelism.

Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele? Da. Dacă $a\perp s$ și $b\perp s$, atunci $a$ și $b$ fac fiecare un unghi de $90°$ cu $s$, în aceeași poziție. Sunt unghiuri corespondente congruente, deci prin Criteriul 2 dreptele sunt paralele. Nu este un criteriu nou, ci un caz particular foarte util al criteriului corespondentelor.

Este suficientă o singură pereche de unghiuri pentru a demonstra paralelismul? Da. Un criteriu se aplică pe o singură pereche potrivită de unghiuri: dacă acea pereche îndeplinește condiția (egale la alterne sau corespondente, sumă $180°$ la interne de aceeași parte), concluzia paralelismului este garantată. Nu trebuie să verifici toate cele opt unghiuri.