Corpuri geometrice: cubul și paralelipipedul dreptunghic

Până acum, în lecțiile de geometrie, ai lucrat cu figuri „plate", desenate pe foaie: puncte, drepte, segmente, unghiuri, triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri și cercuri. Toate aceste figuri trăiesc într-un singur plan — pe suprafața foii. Dar lumea din jurul tău nu este plată: cutia de pantofi, zarul de la jocul de societate, frigiderul, o cărămidă sau un cub Rubik au lungime, lățime și înălțime. Acestea sunt corpuri geometrice, iar în lecția de azi vei face cunoștință cu cele mai importante două dintre ele: cubul și paralelipipedul dreptunghic.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici fețele, muchiile și vârfurile cubului și ale paralelipipedului dreptunghic.
Vei ști să numeri corect câte fețe, câte muchii și câte vârfuri are fiecare corp.
Vei ști să recunoști desfășurarea (desfacerea) cubului și a paralelipipedului dreptunghic.
Vei ști să deosebești un cub de un paralelipiped dreptunghic prin proprietățile lor.
Vei ști să recunoști aceste corpuri în obiecte din viața de zi cu zi.

Hai să descoperim împreună

De la figura plană la corpul geometric

Ia o foaie de hârtie și desenează un pătrat. El are doar lungime și lățime — îl poți pune perfect pe masă, lipit de tăblie, fără să rămână nimic deasupra. Spunem că pătratul este o figură plană: are doar două dimensiuni.

Acum imaginează-ți un zar. Un zar nu se „lipește" de masă: el iese în sus, are și înălțime. Are trei dimensiuni: lungime, lățime și înălțime. Un astfel de obiect, care ocupă un loc în spațiu, se numește corp geometric.

Diferența esențială pe care vreau să o reții:

Figura plană (pătrat, dreptunghi, cerc, triunghi) — are 2 dimensiuni, încape într-un plan.
Corpul geometric (cub, paralelipiped, sferă, con) — are 3 dimensiuni, ocupă spațiu.

În jurul tău, corpurile geometrice sunt peste tot. O cutie de lapte, un acvariu, o cărămidă, o gumă de șters, un cub de gheață, un container — toate sunt corpuri geometrice. Astăzi ne ocupăm de două care apar cel mai des.

Cubul — corpul cu toate fețele pătrate

Cubul este corpul geometric care are toate fețele pătrate, și toate la fel de mari. Cel mai cunoscut exemplu este zarul: oricum l-ai întoarce, vezi un pătrat. Tot cuburi sunt și cubul Rubik, un cub de zahăr, un cub de gheață sau o cutie cu toate laturile egale.

Hai să-i privim cu atenție părțile. Un corp geometric este alcătuit din trei tipuri de elemente: fețe, muchii și vârfuri. Le vom analiza pe rând, ca pe trei prieteni diferiți.

Fețele sunt suprafețele plane care „închid" corpul, ca pereții unei camere. La cub, fiecare față este un pătrat. Privește un zar pus pe masă: vezi fața de jos (pe care stă), fața de sus, și patru fețe în jur (față, spate, stânga, dreapta). Le numeri ușor: jos + sus + 4 laterale = 6 fețe. Toate aceste 6 pătrate sunt identice între ele.

Muchiile sunt segmentele unde se întâlnesc două fețe — sunt „dungile" cubului, locurile unde l-ai putea atinge cu degetul de-a lungul unei linii. Gândește-te la muchiile unei cutii pe care ai trece cu banda adezivă. La cub, muchiile sunt segmente de aceeași lungime. Câte sunt? Le grupăm ca să nu greșim numărătoarea: 4 muchii sus (conturul feței de sus), 4 muchii jos (conturul feței de jos) și 4 muchii verticale care le leagă. În total: 4 + 4 + 4 = 12 muchii. Toate cele 12 muchii ale cubului au aceeași lungime — pe care o numim muchia cubului.

Vârfurile sunt „colțurile" cubului — punctele în care se întâlnesc câte trei muchii (și câte trei fețe). Sunt locurile pe care le simți ascuțite când ții un zar în mână. Le numărăm: 4 colțuri sus + 4 colțuri jos = 8 vârfuri.

Să strângem totul într-un mic tablou pe care merită să-l ții minte:

Element	Cubul
Fețe	6 (toate pătrate egale)
Muchii	12 (toate egale)
Vârfuri	8

Un truc de memorare drăguț: 6 - 12 - 8. Sau, dacă vrei o poveste: un cub are 6 fețe, ca cele 6 numere de pe un zar; are 8 vârfuri, ca cele 8 colțuri ale unei camere (4 jos, 4 sus); și are 12 muchii, exact ca cele 12 ore de pe ceas. Trei numere, trei imagini ușor de reținut.

Paralelipipedul dreptunghic — „cutia"

Paralelipipedul dreptunghic este corpul geometric care arată ca o cutie obișnuită: o cutie de pantofi, o cărămidă, un frigider, o cutie de cereale, un acvariu. Numele lui sună complicat, dar ideea este simplă: este o „cutie dreaptă", cu toate fețele dreptunghiuri.

Are exact aceleași tipuri de elemente ca și cubul, și — atenție, lucru foarte important — același număr din fiecare:

Element	Paralelipipedul dreptunghic
Fețe	6 (dreptunghiuri)
Muchii	12
Vârfuri	8

Atunci care e diferența față de cub? Diferența stă în fețe și muchii:

La cub, toate cele 6 fețe sunt pătrate identice, iar toate cele 12 muchii sunt egale.
La paralelipipedul dreptunghic, fețele sunt dreptunghiuri, iar muchiile pot avea lungimi diferite.

La paralelipipedul dreptunghic recunoaștem trei dimensiuni, pe care le numim lungime, lățime și înălțime. Gândește-te la o cutie de pantofi: este lungă (lungimea), nu prea lată (lățimea) și destul de joasă (înălțimea). Muchiile se grupează astfel: 4 muchii egale cu lungimea, 4 muchii egale cu lățimea și 4 muchii egale cu înălțimea. 4 + 4 + 4 = 12 muchii, ca și la cub.

Fețele se potrivesc câte două: fața de jos este identică (congruentă) cu fața de sus, fața din față cu cea din spate, fața din stânga cu cea din dreapta. Avem deci 3 perechi de fețe dreptunghiulare egale.

O legătură frumoasă pe care vreau să o vezi clar: cubul este un caz special de paralelipiped dreptunghic — acela în care lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale. Exact ca pătratul, care este un dreptunghi special (cu toate laturile egale), pe care l-ai studiat în lecția despre pătrat și dreptunghi. Dacă „aplatizezi" în minte un cub și aluneci cu fețele lui, obții pătrate; dacă faci la fel cu o cutie de pantofi, obții dreptunghiuri.

Cum notăm un corp geometric cu litere

Ai văzut deja, la geometria plană, că un segment îl notăm cu două litere (segmentul $A B$ ), iar un triunghi cu trei (triunghiul $A B C$ ). La fel facem și cu corpurile geometrice: ca să putem vorbi despre ele clar și fără confuzii, dăm câte o literă mare fiecărui vârf.

La un cub sau la un paralelipiped dreptunghic obișnuim să notăm cele 4 vârfuri ale feței de jos cu literele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ (luate în ordine, ocolind fața), iar cele 4 vârfuri ale feței de sus, exact deasupra lor, cu $E$ , $F$ , $G$ , $H$ . Astfel $E$ este deasupra lui $A$ , $F$ deasupra lui $B$ , $G$ deasupra lui $C$ și $H$ deasupra lui $D$ . Corpul întreg îl numim atunci cubul $A B C D E F G H$ sau paralelipipedul $A B C D E F G H$ .

Odată ce avem literele, putem numi orice element fără să arătăm cu degetul:

O muchie o numim prin cele două vârfuri dintre care pornește. De exemplu $A B$ este o muchie de jos, $E F$ o muchie de sus, iar $A E$ este o muchie verticală (un „stâlp"). Așa, în loc să spunem „muchia din față, jos", spunem simplu muchia $A B$ .
O față o numim prin cele patru vârfuri ale ei, luate pe contur. Fața de jos este $A B C D$ , fața de sus este $E F G H$ , iar o față laterală (de exemplu cea din față) este $A B F E$ .
Un vârf este pur și simplu o literă: $A$ , $B$ , …, $H$ .

Această notație nu schimbă cu nimic numerele pe care le-ai învățat — tot 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri avem —, dar îți dă un limbaj precis. O vei folosi din plin mai târziu, când vei vorbi despre muchii opuse, despre fețe paralele sau despre diagonale. Deocamdată reține ideea simplă: literele sunt „numele" vârfurilor, iar din ele construim numele muchiilor și al fețelor.

Numărarea ordonată — secretul ca să nu greșești

Mulți elevi numără greșit muchiile sau vârfurile pentru că le iau la întâmplare și se încurcă. Secretul este să numeri ordonat, pe grupe. Iată metoda:

Vârfuri: numără mai întâi colțurile feței de jos (sunt 4), apoi colțurile feței de sus (sunt 4). Total: 4 + 4 = 8. Funcționează și la cub, și la paralelipiped.
Muchii: numără conturul feței de jos (4 muchii), conturul feței de sus (4 muchii), apoi „stâlpii" verticali care leagă cele două fețe (4 muchii). Total: 4 + 4 + 4 = 12.
Fețe: jos, sus, și cele 4 din jur. Total: 1 + 1 + 4 = 6.

Dacă faci mereu așa, nu vei greși niciodată. Și observă un lucru care te ajută să verifici: cubul și paralelipipedul dreptunghic au exact aceleași numere: 6 fețe, 12 muchii, 8 vârfuri. Așa că dacă ai numărat și ți-a ieșit altceva, înseamnă că ai sărit sau ai numărat de două ori.

Desfășurarea corpurilor — cum „desfacem" o cutie

Acum vine partea cea mai distractivă. Ia o cutie de carton goală (de pantofi, de pastă de dinți, orice). Dezlipește cu grijă marginile și întinde-o pe masă. Ce obții? O figură plană alcătuită din mai multe dreptunghiuri lipite între ele. Această figură plană se numește desfășurarea corpului.

Desfășurarea este, pe scurt, „corpul deschis și întins pe masă". Este modelul plat din care, dacă îl decupezi și îl pliezi pe linii, se naște înapoi corpul. Acesta este chiar principiul după care se fabrică, în industrie, toate cutiile: se taie un model plat dintr-o foaie de carton, se pliază și se lipește.

Desfășurarea cubului. Pentru că un cub are 6 fețe pătrate, desfășurarea lui este alcătuită din 6 pătrate egale, lipite pe muchii. Cea mai cunoscută formă de desfășurare a cubului seamănă cu o cruce: un șir de 4 pătrate, plus încă un pătrat sus și unul jos.

Un lucru surprinzător și frumos: cubul nu are o singură desfășurare! Există mai multe modele plate diferite din care, pliate, iese tot un cub. În total există 11 desfășurări diferite ale cubului (le vei explora în jocul de acasă). Toate au însă ceva în comun: sunt mereu 6 pătrate egale, niciodată mai multe, niciodată mai puține.

Cum verifici dacă o figură din pătrate este într-adevăr desfășurarea unui cub? Două condiții simple:

Să fie exact 6 pătrate egale.
Pliate, să nu se suprapună două pătrate și să nu rămână vreo față „goală". (Cu puțin exercițiu o vezi cu ochiul minții; la început, decupează și încearcă.)

Desfășurarea paralelipipedului dreptunghic. La fel, dezlipim cutia și o întindem. Obținem 6 dreptunghiuri, dar — atenție — nu toate la fel! Avem 3 perechi de dreptunghiuri, fiecare pereche de altă formă:

2 dreptunghiuri = fața de jos și fața de sus;
2 dreptunghiuri = fața din față și fața din spate;
2 dreptunghiuri = fața din stânga și fața din dreapta.

Diferența cheie între cele două desfășurări:

Desfășurarea cubului = 6 pătrate toate egale.
Desfășurarea paralelipipedului = 6 dreptunghiuri, formând 3 perechi egale.

Această observație te ajută enorm: dacă vezi o desfășurare formată din pătrate egale, e cub; dacă vezi dreptunghiuri de mărimi diferite (în perechi), e paralelipiped dreptunghic.

Corpurile geometrice din jurul nostru

Hai să ne uităm o clipă prin casă cu „ochii de matematician":

Cuburi: zarul de la table, un cub de zahăr, un cub de gheață, cubul Rubik, unele cutii cadou cu toate laturile egale, piesele unui joc de construcție.
Paralelipipede dreptunghice: cutia de pantofi, o cărămidă, frigiderul, cutia de cereale, o gumă de șters, telefonul (aproape), o carte groasă, un acvariu, un dulap, un container de marfă, o cutie de chibrituri.

Un mic test rapid pe care îl poți face singur cu orice obiect: privește o față. Dacă toate fețele sunt pătrate egale → cub. Dacă fețele sunt dreptunghiuri (nu neapărat egale) → paralelipiped dreptunghic. Dacă obiectul e rotund, ca o minge sau o conservă, atunci e alt corp geometric (sferă, cilindru), pe care îl vei studia mai târziu.

Toate aceste lucruri îți vor folosi în continuare: în lecția despre volumul cubului și al paralelipipedului vei învăța să calculezi cât „loc" ocupă aceste corpuri, iar acolo cunoașterea fețelor și a muchiilor este esențială.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Câte fețe, muchii și vârfuri?

Enunț: Andrei desenează un cub și o cutie de pantofi (paralelipiped dreptunghic). Câte fețe, muchii și vârfuri are fiecare?

Rezolvare: Numărăm ordonat, pe grupe.

Fețe: jos + sus + 4 laterale = 6 (la amândouă).
Muchii: 4 jos + 4 sus + 4 verticale = 12 (la amândouă).
Vârfuri: 4 jos + 4 sus = 8 (la amândouă).

Răspuns: Și cubul, și paralelipipedul dreptunghic au 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri. Diferența nu este la numere, ci la formă: cubul are fețe pătrate egale, paralelipipedul are fețe dreptunghiulare.

Exemplul 2 — Recunoaște corpul

Enunț: Pentru fiecare obiect, spune dacă este cub sau paralelipiped dreptunghic: (a) un zar; (b) o cutie de cereale; (c) un cub de gheață; (d) o cărămidă.

Rezolvare: Verificăm fețele.

(a) Zarul are toate fețele pătrate egale → cub.
(b) Cutia de cereale are fețe dreptunghiulare, de mărimi diferite → paralelipiped dreptunghic.
(c) Cubul de gheață are toate fețele pătrate egale → cub.
(d) Cărămida are fețe dreptunghiulare → paralelipiped dreptunghic.

Răspuns: (a) cub, (b) paralelipiped, (c) cub, (d) paralelipiped.

Exemplul 3 — Lungimea totală a muchiilor unui cub

Enunț: Un cub are muchia de 5 cm. Din câtă sârmă (în total) este făcut „scheletul" lui, adică toate cele 12 muchii la un loc?

Rezolvare: Cubul are 12 muchii, toate egale, fiecare de 5 cm. Lungimea totală este: $12 \times 5 = 60 cm .$

Răspuns: Avem nevoie de 60 cm de sârmă. (Reține trucul: la cub, lungimea totală a muchiilor = 12 × muchia.)

Exemplul 4 — Muchiile paralelipipedului

Enunț: Un paralelipiped dreptunghic are lungimea 8 cm, lățimea 3 cm și înălțimea 4 cm. Care este lungimea totală a tuturor muchiilor?

Rezolvare: Muchiile se grupează: 4 muchii egale cu lungimea, 4 cu lățimea, 4 cu înălțimea. $4 \times 8 + 4 \times 3 + 4 \times 4 = 32 + 12 + 16 = 60 cm .$ Un mod mai rapid: adună cele trei dimensiuni și înmulțește cu 4: $4 \times (8 + 3 + 4) = 4 \times 15 = 60 cm .$

Răspuns: Lungimea totală a muchiilor este 60 cm.

Exemplul 5 — E sau nu desfășurarea unui cub?

Enunț: Maria a desenat o figură formată din 6 pătrate egale, în formă de cruce. Este aceasta desfășurarea unui cub?

Rezolvare: Verificăm cele două condiții: (1) sunt exact 6 pătrate egale? Da. (2) Pliate, formează un cub fără suprapuneri? Crucea clasică (4 pătrate în rând, unul deasupra, unul dedesubt) este una dintre cele 11 desfășurări valide ale cubului.

Răspuns: Da, este o desfășurare corectă a cubului. (Dacă Maria ar fi folosit 5 sau 7 pătrate, n-ar mai fi fost cub.)

Exemplul 6 — Câte dreptunghiuri are desfășurarea unei cutii?

Enunț: O cutie de pantofi (paralelipiped dreptunghic) este desfăcută și întinsă pe masă. Din câte dreptunghiuri este formată desfășurarea ei și cum sunt grupate?

Rezolvare: Corpul are 6 fețe, deci desfășurarea are 6 dreptunghiuri. Pentru că fețele opuse sunt egale, ele formează 3 perechi: fața jos = fața sus, fața-spate = fața-față, stânga = dreapta.

Răspuns: Desfășurarea are 6 dreptunghiuri, grupate în 3 perechi egale. (Spre deosebire de cub, unde toate cele 6 pătrate sunt egale între ele.)

Exemplul 7 — Numim fețele și muchiile cu litere

Enunț: Un paralelipiped dreptunghic este notat $A B C D E F G H$ , cu vârfurile $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pe fața de jos și $E$ , $F$ , $G$ , $H$ exact deasupra lor. (a) Cum se numește fața de jos? (b) Dar fața de sus? (c) Dă un exemplu de muchie verticală.

Rezolvare: Folosim regula: o față se numește cu cele 4 vârfuri de pe conturul ei, iar o muchie cu cele 2 vârfuri dintre care pornește.

(a) Fața de jos are vârfurile $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , deci se numește fața $A B C D$ .
(b) Fața de sus are vârfurile $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , deci este fața $E F G H$ .
(c) O muchie verticală leagă un vârf de jos cu cel de deasupra lui: de exemplu $A E$ (sau $B F$ , $C G$ , $D H$ ).

Răspuns: (a) fața $A B C D$ ; (b) fața $E F G H$ ; (c) o muchie verticală este, de pildă, $A E$ .

Să exersăm

1. Completează: Un cub are ____ fețe, ____ muchii și ____ vârfuri.

2. Completează: Un paralelipiped dreptunghic are ____ fețe, ____ muchii și ____ vârfuri.

3. Adevărat sau fals? La un cub, toate fețele sunt pătrate egale.

4. Adevărat sau fals? Cubul și paralelipipedul dreptunghic au numere diferite de vârfuri.

5. Încercuiește obiectele care sunt cuburi: zar, cutie de pantofi, cub de zahăr, frigider, cub Rubik, cărămidă.

6. Potrivește fiecare element cu definiția lui: a) Față b) Muchie c) Vârf I. colțul unde se întâlnesc trei muchii II. suprafața plană care închide corpul III. segmentul unde se întâlnesc două fețe

7. Câte muchii are conturul feței de sus a unui cub?

8. Un cub are muchia de 7 cm. Cât este lungimea totală a celor 12 muchii?

9. Un paralelipiped dreptunghic are lungimea 10 cm, lățimea 6 cm și înălțimea 2 cm. Câte muchii au lungimea de 6 cm?

10. Câte pătrate are desfășurarea unui cub?

11. Câte dreptunghiuri are desfășurarea unui paralelipiped dreptunghic și în câte perechi egale se grupează?

12. Adevărat sau fals? Pătratul este un corp geometric.

13. Desenează (cu ajutorul liniarului) o desfășurare a cubului folosind 6 pătrate egale, în formă de cruce.

14. Un paralelipiped dreptunghic are toate cele trei dimensiuni egale, fiecare de 4 cm. Ce corp este de fapt? Justifică.

15. O sârmă lungă de 48 cm este îndoită ca să formeze toate muchiile unui cub. Cât este muchia cubului?

16. Privește o cutie de cereale. Câte perechi de fețe egale are? Descrie cele trei perechi.

17. Un paralelipiped dreptunghic are lungimea 9 cm, lățimea 5 cm și înălțimea 3 cm. Cât este lungimea totală a tuturor muchiilor?

18. Mică problemă: Pentru o lecție de tehnologie, Vlad vrea să construiască scheletul unui cub din bețișoare egale și plastilină pentru colțuri. De câte bețișoare și de câte biluțe de plastilină are nevoie?

19. Un cub este notat $A B C D E F G H$ (vârfurile $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pe fața de jos, iar $E$ , $F$ , $G$ , $H$ exact deasupra lor). Câte litere folosim ca să numim o muchie? Dar o față? Scrie numele feței de jos și al feței de sus.

20. La același cub $A B C D E F G H$ , muchia $A E$ este de jos, de sus sau verticală? Justifică pe scurt.

Răspunsuri și explicații

1. 6 fețe, 12 muchii, 8 vârfuri. (Numere de memorat: 6 – 12 – 8.)

2. 6 fețe, 12 muchii, 8 vârfuri. (Exact aceleași numere ca la cub — diferă doar forma fețelor.)

3. Adevărat. Aceasta este chiar definiția cubului.

4. Fals. Amândouă au câte 8 vârfuri.

5. Cuburi: zar, cub de zahăr, cub Rubik. (Cutia de pantofi, frigiderul și cărămida sunt paralelipipede dreptunghice.)

6. a–II (fața = suprafața), b–III (muchia = segmentul dintre două fețe), c–I (vârful = colțul cu trei muchii).

7. 4 muchii. (Conturul unei fețe pătrate are 4 laturi.)

8. 12 × 7 = 84 cm.

9. 4 muchii. (Lățimea apare la 4 muchii; lungimea la alte 4, înălțimea la alte 4.)

10. 6 pătrate egale.

11. 6 dreptunghiuri, grupate în 3 perechi egale (fețele opuse sunt egale).

12. Fals. Pătratul este o figură plană (are 2 dimensiuni). Corpul geometric cu fețe pătrate este cubul.

13. Verificare: figura ta trebuie să aibă exact 6 pătrate egale, dispuse ca o cruce (4 în rând, unul sus, unul jos). Dacă, pliată în minte, se închide ca o cutie fără suprapuneri, e corectă.

14. Este un cub. Justificare: un paralelipiped dreptunghic cu lungimea = lățimea = înălțimea are toate fețele pătrate egale, deci este, prin definiție, un cub.

15. Cubul are 12 muchii egale, deci muchia = 48 : 12 = 4 cm.

16. Are 3 perechi de fețe egale: (1) fața din față și fața din spate, (2) fața de sus și fața de jos, (3) fața din stânga și fața din dreapta. În fiecare pereche, cele două fețe sunt dreptunghiuri identice.

17. 4 × (9 + 5 + 3) = 4 × 17 = 68 cm.

18. Cubul are 12 muchii și 8 vârfuri, deci Vlad are nevoie de 12 bețișoare (muchiile) și 8 biluțe de plastilină (vârfurile).

19. O muchie o numim cu 2 litere (cele două vârfuri ale ei), iar o față cu 4 litere (cele patru vârfuri de pe contur). Fața de jos este $A B C D$ , iar fața de sus este $E F G H$ .

20. Muchia $A E$ este verticală. Vârful $A$ se află pe fața de jos, iar $E$ este chiar deasupra lui, pe fața de sus; deci $A E$ leagă cele două fețe — este unul dintre cei 4 „stâlpi" verticali.

De reținut

Corpurile geometrice au trei dimensiuni (lungime, lățime, înălțime) și ocupă spațiu; figurile plane au doar două dimensiuni.
Cubul și paralelipipedul dreptunghic au amândouă 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri.
La cub, fețele sunt pătrate egale și toate muchiile sunt egale; la paralelipipedul dreptunghic, fețele sunt dreptunghiuri (3 perechi egale), iar muchiile pot avea trei lungimi (lungime, lățime, înălțime).
Desfășurarea este corpul „deschis și întins pe masă": la cub = 6 pătrate egale (există 11 desfășurări); la paralelipiped = 6 dreptunghiuri în 3 perechi.
Cubul este un caz special de paralelipiped dreptunghic, cu toate dimensiunile egale.

Greșeli frecvente

Confuzi figura plană cu corpul geometric. Pătratul este figură plană; cubul este corpul. Reține: pătratul stă lipit de masă, cubul iese în sus.
Numeri greșit muchiile sau vârfurile. Numără mereu pe grupe: 4 jos + 4 sus + 4 verticale = 12 muchii; 4 jos + 4 sus = 8 vârfuri. Așa nu sari și nu numeri de două ori.
Crezi că orice 6 pătrate formează un cub. Trebuie să fie 6 pătrate egale și, pliate, să nu se suprapună. Nu orice așezare merge — de aceea există fix 11 desfășurări valide.
Confuzi muchia cu fața. Muchia este o linie (segment), fața este o suprafață. Muchia o atingi cu o singură trecere a degetului; fața o acoperi cu palma.

Joc acasă

1. Vânătoarea de corpuri geometrice. Plimbă-te prin casă timp de 5 minute și notează pe o foaie 10 obiecte. Scrie în dreptul fiecăruia dacă este cub sau paralelipiped dreptunghic. Provocare: găsește măcar 2 cuburi adevărate (cu toate fețele pătrate egale) — sunt mai rare decât crezi!

2. Desface și măsoară. Ia o cutie goală de carton (pastă de dinți, ceai, cereale). Numără-i fețele, muchiile și vârfurile înainte să o desfaci. Apoi dezlipește-o cu grijă și întinde-o pe masă: ai obținut desfășurarea! Numără dreptunghiurile și caută perechile egale punându-le unul peste altul.

3. Vânătoarea celor 11 desfășurări ale cubului. Decupează din carton 6 pătrate egale (de exemplu 4 cm pe 4 cm) și lipește-le cu bandă adezivă în diferite forme (cruce, T, scară). De fiecare dată încearcă să le pliezi într-un cub. Notează câte forme diferite reușești să „închizi" corect — campionii ajung la toate 11!

Pentru părinți și învățători

Această lecție face trecerea de la geometria plană la cea în spațiu, un pas mare și foarte concret pentru un elev de clasa a V-a. Cel mai bun sprijin pe care îl puteți oferi este manipularea de obiecte reale: un zar și o cutie de pantofi valorează cât zece desene.

Întrebări utile de pus copilului:

„Arată-mi o față. Acum o muchie. Acum un vârf." (verifică dacă distinge cele trei tipuri de elemente)
„Câte muchii are? Numără-le cu voce tare, pe grupe." (întăriți strategia de numărare ordonată)
„Prin ce se deosebește cubul de cutia de pantofi, dacă amândouă au 6 fețe?" (răspuns țintă: forma fețelor — pătrate egale vs. dreptunghiuri)
„Dacă desfacem cutia, ce obținem?" (introduce noțiunea de desfășurare)

Cum verificați înțelegerea: dați-i un obiect nou (o gumă, o carte) și cereți-i să spună ce corp este și de ce. Dacă justifică prin forma fețelor, a înțeles. Greșeala cea mai des întâlnită este numărarea aiurea a muchiilor — insistați pe gruparea 4+4+4. Activitatea de decupat și pliat (jocul 2 și 3) consolidează cel mai bine noțiunea de desfășurare, care va fi reluată la calculul ariei totale și al volumului.

Întrebări frecvente

Câte fețe, muchii și vârfuri are un cub? Un cub are 6 fețe (toate pătrate egale), 12 muchii (toate egale) și 8 vârfuri. Aceleași numere le are și paralelipipedul dreptunghic; diferă doar forma fețelor.

Care este diferența dintre cub și paralelipipedul dreptunghic? Amândouă au 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri. La cub, toate fețele sunt pătrate egale și toate muchiile sunt egale. La paralelipipedul dreptunghic, fețele sunt dreptunghiuri (în 3 perechi egale), iar muchiile pot avea trei lungimi diferite: lungime, lățime și înălțime.

Ce este desfășurarea unui cub? Desfășurarea este figura plană pe care o obții dacă „desfaci" cubul și îl întinzi pe masă. Ea este formată din 6 pătrate egale lipite pe muchii. Pliată corect pe linii, desfășurarea redă cubul.

Câte desfășurări diferite are cubul? Cubul are 11 desfășurări diferite. Toate sunt formate din exact 6 pătrate egale, dar așezate în forme diferite (cruce, T, scară etc.). Le poți descoperi decupând și pliind 6 pătrate de carton.

Cubul este un paralelipiped dreptunghic? Da. Cubul este un caz special de paralelipiped dreptunghic, acela în care lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale. La fel cum pătratul este un dreptunghi cu toate laturile egale, cubul este o „cutie" cu toate dimensiunile egale.

Ce obiecte din jurul nostru sunt paralelipipede dreptunghice? Cutia de pantofi, cărămida, frigiderul, cutia de cereale, un acvariu, un dulap, o gumă de șters sau un container de marfă. Toate au fețe dreptunghiulare și forma unei „cutii drepte".

Care este diferența dintre un pătrat și un cub? Pătratul este o figură plană, cu doar două dimensiuni — încape pe o foaie. Cubul este un corp geometric, cu trei dimensiuni, și are 6 fețe care sunt pătrate. Pe scurt: pătratul este o singură față, cubul este corpul întreg.

Cum se notează un cub cu litere? Dăm câte o literă mare fiecărui vârf: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pentru vârfurile feței de jos și $E$ , $F$ , $G$ , $H$ pentru cele de sus, așezate exact deasupra. Corpul îl numim atunci cubul $A B C D E F G H$ . O muchie o numim cu 2 litere (de exemplu $A B$ ), iar o față cu 4 litere (de exemplu $A B C D$ ). Aceeași regulă se folosește și la paralelipipedul dreptunghic.

Ce este o muchie a unui corp geometric? Muchia este segmentul de dreaptă în care se întâlnesc două fețe vecine. La cub și la paralelipipedul dreptunghic sunt 12 muchii. Muchia este o linie, spre deosebire de față, care este o suprafață, și de vârf, care este un punct (colțul).