O secantă taie dreptele $$m$$ și $$n$$. Unghiurile alterne interne formate au măsurile $$m(\widehat{1}) = 47°$$ și $$m(\widehat{2}) = 47°$$. Ce poți afirma despre dreptele $$m$$ și $$n$$?

Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne interne congruente.

Sunt perpendiculare, deoarece unghiurile alterne sunt egale.

Nu sunt paralele, deoarece unghiurile alterne interne ar trebui să fie suplementare.

Nu se poate preciza nimic despre paralelismul dreptelor.

Unghiurile interne de aceeași parte a secantei au măsurile $$m(\widehat{1}) = 112°$$ și $$m(\widehat{2}) = 68°$$. Ce poți concluziona despre cele două drepte tăiate de secantă?

Sunt paralele, prin criteriul internelor de aceeași parte suplementare, deoarece $$112° + 68° = 180°$$.

Nu sunt paralele, deoarece unghiurile nu sunt congruente.

Sunt paralele, deoarece diferența lor este $$44°$$.

Nu se poate decide fără să măsurăm și celelalte unghiuri.

O secantă taie dreptele $$p$$ și $$q$$. Unghiurile alterne externe formate au măsurile $$m(\widehat{1}) = 63°$$ și $$m(\widehat{2}) = 63°$$. Ce poți afirma despre dreptele $$p$$ și $$q$$?

Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne (externe) congruente.

Sunt perpendiculare, deoarece unghiurile alterne sunt egale.

Nu sunt paralele, deoarece unghiurile alterne externe ar trebui să fie suplementare.

Nu se poate preciza nimic despre paralelismul dreptelor.

Cum demonstrez că două drepte sunt paralele?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Criterii de paralelism (reciprocul unghiurilor)

Cauți o secantă care le taie pe amândouă și te uiți la unghiurile formate. Dacă o pereche de unghiuri alterne, interne sau externe, are aceeași măsură, dreptele sunt paralele; la fel se întâmplă când două unghiuri corespondente sunt egale. A treia cale cere ca unghiurile interne de aceeași parte să dea împreună $180°$ . Justificarea se scrie în patru pași: ce se dă, ce pereche recunoști, ce criteriu aplici și ce concluzie tragi.

Un criteriu de paralelism este reciprocul unei proprietăți: pornim de la unghiuri și ajungem la paralelism, nu invers. Pentru două drepte $a$ și $b$ tăiate de o secantă $s$ , avem trei criterii:

Criteriul 1 (alterne): unghiuri alterne interne (sau externe) congruente $\Rightarrow a ∥ b$ .
Criteriul 2 (corespondente): unghiuri corespondente congruente $\Rightarrow a ∥ b$ .
Criteriul 3 (interne de aceeași parte): suma unghiurilor interne de aceeași parte este $180°$ $\Rightarrow a ∥ b$ .

O justificare corectă are patru pași: ipoteză → identific perechea → aplic criteriul → concluzie ( $a ∥ b$ ).

Exemplu: unghiuri corespondente $m (1) = 74°$ și $m (2) = (2 x + 10) °$ . Pentru paralelism: $2 x + 10 = 74 \Rightarrow x = 32$ , deci unghiurile devin egale ( $74°$ ) și dreptele sunt paralele.

De reținut

alterne congruente înseamnă drepte paralele
corespondente congruente înseamnă drepte paralele
interne de aceeași parte cu suma $180°$ înseamnă drepte paralele
când două drepte cad perpendicular pe una și aceeași dreaptă, ele nu se întâlnesc niciodată

Greșeala tipică

Se caută egalitatea și la unghiurile interne de aceeași parte, deși acolo criteriul cere suma de $180°$ . Egalitatea funcționează la alterne și la corespondente, nu la perechea dinăuntru, de aceeași parte a secantei.

Exerciții din această mini-lecție

O secantă taie dreptele $m$ și $n$ . Unghiurile alterne interne formate au măsurile $m (1) = 47°$ și $m (2) = 47°$ . Ce poți afirma despre dreptele $m$ și $n$ ?
- a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne interne congruente.
- b) Sunt perpendiculare, deoarece unghiurile alterne sunt egale.
- c) Nu sunt paralele, deoarece unghiurile alterne interne ar trebui să fie suplementare.
- d) Nu se poate preciza nimic despre paralelismul dreptelor.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne interne congruente.

Unghiurile alterne interne sunt congruente ( $47° = 47°$ , deci $1 \equiv 2$ ). Prin Criteriul 1 (al alternelor), rezultă $m ∥ n$ . Criteriul internelor de aceeași parte, care cere sumă $180°$ , nu se aplică aici, deoarece unghiurile sunt alterne, nu interne de aceeași parte.
Unghiurile interne de aceeași parte a secantei au măsurile $m (1) = 112°$ și $m (2) = 68°$ . Ce poți concluziona despre cele două drepte tăiate de secantă?
- a) Sunt paralele, prin criteriul internelor de aceeași parte suplementare, deoarece $112° + 68° = 180°$ .
- b) Nu sunt paralele, deoarece unghiurile nu sunt congruente.
- c) Sunt paralele, deoarece diferența lor este $44°$ .
- d) Nu se poate decide fără să măsurăm și celelalte unghiuri.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt paralele, prin criteriul internelor de aceeași parte suplementare, deoarece $112° + 68° = 180°$ .

Criteriul internelor de aceeași parte nu cere egalitate, ci sumă $180°$ . Aici $112° + 68° = 180°$ , deci unghiurile sunt suplementare. Prin Criteriul 3, dreptele tăiate de secantă sunt paralele; faptul că unghiurile diferă ca măsură ( $112° \neq = 68°$ ) nu contează pentru acest criteriu.
O secantă taie dreptele $p$ și $q$ . Unghiurile alterne externe formate au măsurile $m (1) = 63°$ și $m (2) = 63°$ . Ce poți afirma despre dreptele $p$ și $q$ ?
- a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne (externe) congruente.
- b) Sunt perpendiculare, deoarece unghiurile alterne sunt egale.
- c) Nu sunt paralele, deoarece unghiurile alterne externe ar trebui să fie suplementare.
- d) Nu se poate preciza nimic despre paralelismul dreptelor.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne (externe) congruente.

Unghiurile alterne externe sunt congruente ( $63° = 63°$ , deci $1 \equiv 2$ ). Prin Criteriul 1 (al alternelor), valabil și pentru alternele externe, rezultă $p ∥ q$ . Criteriul internelor de aceeași parte, care cere sumă $180°$ , nu se aplică aici.

Întrebări conexe

Cum recunosc secanta într-o figură cu mai multe drepte?

Este dreapta care le taie pe celelalte două, în două puncte diferite. O găsești urmărind linia care traversează, nu pe cele care par să meargă alături. După ce o identifici, numeri cele opt unghiuri formate și le grupezi în perechi față de ea.

Cât este $x$ dacă unghiurile corespondente au $58°$ și $(3 x - 5) °$ ?

Pentru ca dreptele să iasă paralele, cele două măsuri trebuie să fie egale, deci $3 x - 5 = 58$ , de unde $3 x = 63$ și $x = 21$ . Înlocuind, al doilea unghi ajunge tot la $58°$ , ceea ce confirmă rezultatul.

Cum arăt paralelismul folosind două perpendiculare?

Dacă două drepte cad amândouă perpendicular pe una și aceeași dreaptă, atunci ele sunt paralele între ele. Unghiurile corespondente formate cu acea dreaptă măsoară fiecare $90°$ , deci sunt congruente, iar criteriul se aplică imediat. Justificarea aceasta se scurtează la un singur rând în redactare.

Cum se notează paralelismul a două drepte?

Cu două liniuțe verticale între numele lor: $a ∥ b$ se citește dreapta $a$ este paralelă cu dreapta $b$ . În desen, paralelismul se marchează cu săgeți identice pe fiecare dintre cele două drepte.

Ce fac dacă în figură nu apare nicio secantă?

O construiești singur: unești un punct de pe prima dreaptă cu un punct de pe a doua și ai obținut o secantă. Pe ea se citesc apoi perechile de unghiuri cerute de criteriu. Punctele se aleg astfel încât unghiurile din enunț să apară chiar în figura ta.

Oamenii mai întreabă și: cum demonstrez paralelismul · criterii de paralelism · când sunt două drepte paralele · demonstrarea paralelismului cu unghiuri