Coordonatele unui punct din plan

Atingi ecranul telefonului și, în mai puțin de o miime de secundă, aplicația știe exact unde ai apăsat. Nu „undeva sus, în stânga", ci precis: două numere, de exemplu $340$ și $1120$ . Atât îi trebuie ca să deschidă butonul potrivit și nu pe cel de alături. Aceleași două numere descriu poziția unui pixel într-o imagine, a unei celule într-un tabel, a unei nave în jocul „bătălia navală" sau a unui oraș pe glob (latitudine și longitudine).

Ideea că poziția unui punct în plan poate fi codificată prin exact două numere este una dintre cele mai productive din toată matematica. În lecția precedentă ai construit reperul cartezian: două axe perpendiculare, o origine, o unitate. Acum îl folosim pentru ceea ce a fost inventat — să dăm fiecărui punct o adresă numerică și, invers, să găsim punctul care corespunde unei adrese date. De aici încolo, geometria poate fi făcută cu calcule, iar calculele pot fi văzute ca desene.

Ce vei învăța

Vei ști ce sunt abscisa și ordonata unui punct și cum se obțin ele prin proiecție pe axe.
Vei ști să citești coordonatele unui punct reprezentat într-un reper, fără ezitări și fără să inversezi numerele.
Vei ști să plasezi în reper un punct dat prin coordonate, inclusiv când acestea sunt negative sau nule.
Vei ști de ce coordonatele formează o pereche ordonată și când două puncte sunt egale.
Vei ști să recunoști punctele situate pe axe și să determini un parametru dintr-o astfel de condiție.
Vei ști să calculezi distanțele de la un punct la cele două axe și să folosești coordonatele în situații reale (ecran, hartă, tabel de valori).

Hai să descoperim împreună

1. De la punct la pereche de numere

Fixăm un reper cartezian $x O y$ și luăm un punct oarecare $A$ din plan. Cum îi descriem poziția folosind doar numere?

Ducem prin $A$ o paralelă la axa $O y$ ; ea taie axa $O x$ într-un punct. Numărul care corespunde acestui punct pe axa $O x$ se numește abscisa lui $A$ și se notează $x_{A}$ . Apoi ducem prin $A$ o paralelă la axa $O x$ ; ea taie axa $O y$ , iar numărul obținut este ordonata lui $A$ , notată $y_{A}$ .

Cele două numere, luate în această ordine, se numesc coordonatele carteziene ale punctului și se scriu între paranteze, lipite de numele punctului:

$A (x_{A}, y_{A}) .$

Se citește „punctul $A$ de coordonate $x_{A}$ și $y_{A}$ ". Mereu abscisa prima, ordonata a doua.

Denumirile vin din latină: abscissa înseamnă „tăiată", iar ordinata „așezată în ordine". Cuvintele acestea au peste trei secole și supraviețuiesc pentru că separă clar cele două roluri: primul număr spune cât de departe la dreapta sau la stânga, al doilea cât de sus sau de jos.

2. Corespondența în ambele sensuri

Construcția de mai sus se poate face pornind de la orice punct și dă un singur rezultat: fiecărui punct îi corespunde o singură pereche de numere reale. Reciproc, dacă pornim de la o pereche $(a, b)$ , ridicăm perpendiculara pe $O x$ în punctul de abscisă $a$ și perpendiculara pe $O y$ în punctul de ordonată $b$ ; cele două drepte se intersectează într-un singur punct, care are exact aceste coordonate.

Așadar, între punctele planului și perechile de numere reale există o corespondență bijectivă — fiecare punct are o adresă, fiecare adresă are un punct, fără dubluri și fără locuri rămase libere. Mulțimea tuturor perechilor de numere reale se notează $R \times R$ sau $R^{2}$ , iar planul raportat la un reper se identifică cu ea. Această identificare este chiar temelia geometriei analitice: de acum, „punct" și „pereche de numere" înseamnă același lucru.

3. Cum citești coordonatele de pe desen

Rețeta, în trei mișcări, când ai punctul desenat și vrei numerele:

Coboară sau urcă vertical de la punct până la axa $O x$ și citește numărul de acolo — aceasta e abscisa;
Mergi orizontal de la punct până la axa $O y$ și citește numărul — aceasta e ordonata;
Scrie perechea în ordine, abscisa prima: $A (x_{A}, y_{A})$ .

Verificarea de bun-simț: dacă punctul e la dreapta axei $O y$ , abscisa trebuie să iasă pozitivă; dacă e deasupra axei $O x$ , ordonata trebuie să iasă pozitivă. Un punct desenat clar în stânga jos nu poate avea coordonate pozitive — dacă ți-au ieșit așa, ai inversat ceva.

4. Cum plasezi un punct dat prin coordonate

Sensul invers e la fel de important, iar ordinea mișcărilor e aceeași:

Pleci din origine și te deplasezi pe orizontală cu $x_{A}$ unități: la dreapta dacă e pozitiv, la stânga dacă e negativ;
Din locul unde ai ajuns te deplasezi pe verticală cu $y_{A}$ unități: în sus dacă e pozitiv, în jos dacă e negativ;
Marchezi punctul și îl notezi cu litera lui.

Pentru $A (3, 2)$ : trei unități la dreapta, două în sus. Pentru $B (- 4, 1)$ : patru la stânga, una în sus. Pentru $C (0, - 3)$ : nu te miști pe orizontală deloc (abscisa e zero), cobori trei — punctul cade pe axa $O y$ . Pentru $D (2, 0)$ : două la dreapta, nicio deplasare verticală — punctul cade pe axa $O x$ .

5. Perechea este ordonată

Coordonatele nu formează o simplă mulțime de două numere, ci o pereche ordonată: ordinea contează. Punctele $M (2, 3)$ și $N (3, 2)$ sunt puncte diferite — primul e mai sus, al doilea mai la dreapta. Sunt simetrice unul altuia față de dreapta care trece prin origine și prin punctele cu abscisa egală cu ordonata (prima bisectoare), dar nu coincid.

De aici rezultă și regula de egalitate a două puncte:

$A (x_{A}, y_{A}) = B (x_{B}, y_{B}) ⟺ x_{A} = x_{B} ș i y_{A} = y_{B} .$

Ambele egalități, simultan. Această echivalență e folosită des în probleme: dintr-o egalitate de puncte obții un sistem de două ecuații, câte una pentru fiecare coordonată.

6. Puncte cu poziții speciale

Anumite poziții se recunosc direct din coordonate și trebuie să le știi pe de rost:

Originea este singurul punct cu ambele coordonate nule: $O (0, 0)$ .
Un punct se află pe axa $O x$ dacă și numai dacă ordonata lui este $0$ ; forma lui generală este $(a, 0)$ .
Un punct se află pe axa $O y$ dacă și numai dacă abscisa lui este $0$ ; forma lui generală este $(0, b)$ .
Punctele cu aceeași abscisă se aliniază pe o verticală; cele cu aceeași ordonată, pe o orizontală.
Punctele cu abscisa egală cu ordonata (de forma $(a, a)$ : $(1, 1)$ , $(- 3, - 3)$ , $(0, 0)$ ) se află pe prima bisectoare a reperului.

Prima regulă de mai sus e cea mai productivă la examene. Când o problemă spune „punctul $A (m + 1, 2 m - 6)$ se află pe axa $O x$ ", ea îți dă de fapt o ecuație: $2 m - 6 = 0$ . Traducerea „pe $O x$ $\Rightarrow$ ordonata zero" este tot ce trebuie.

7. Distanțele de la un punct la axe

Coordonatele nu spun doar în ce direcție e punctul, ci și cât de departe este de fiecare axă:

$d (A, O x) = ∣ y_{A} ∣, d (A, O y) = ∣ x_{A} ∣.$

Atenție la încrucișare, care surprinde mulți elevi: distanța până la axa orizontală e dată de coordonata verticală și invers. Explicația e simplă — ca să ajungi de la punct la axa $O x$ mergi vertical, iar lungimea acestui drum este chiar $∣ y_{A} ∣$ .

Modulul e necesar pentru că o distanță nu poate fi negativă: punctul $P (- 6, 4)$ se află la $4$ unități de axa $O x$ și la $6$ unități de axa $O y$ , chiar dacă abscisa lui e $- 6$ .

8. Coordonate în lumea din jur

Sistemul de coordonate nu e o invenție de manual; îl folosești zilnic, adesea fără să știi.

Ecranul. Fiecare pixel are o pereche de coordonate. Există însă o diferență care merită reținută: la ecrane, originea e în colțul din stânga sus, iar axa verticală e orientată în jos. Un punct „la $(540, 1200)$ " pe un ecran de $1080 \times 2400$ pixeli se află la mijloc pe orizontală și la jumătatea înălțimii — deci în centrul ecranului. Matematica rămâne aceeași, doar convenția de orientare diferă.

Hărțile și GPS-ul. Latitudinea și longitudinea sunt tot o pereche ordonată de numere care fixează un punct — de data aceasta pe o sferă, nu într-un plan, dar principiul e identic. Aplicațiile de navigație lucrează cu ele exact cum lucrezi tu cu $(x, y)$ .

Tabelele de valori. Când vei studia funcțiile, fiecare rând al unui tabel („pentru $x = 2$ , valoarea este $5$ ") va deveni un punct $(2, 5)$ în reper, iar șirul de puncte va desena graficul. Legătura dintre un tabel de numere și o curbă desenată trece exact prin ideea de coordonate.

Orientarea pe teren. Un plan de oraș cu caroiaj, o schemă de sală de spectacol, harta unui parc de aventuri — toate folosesc coordonate, uneori cu litere pe o axă și cifre pe cealaltă. Vei lucra pe larg cu asemenea situații în lecția despre coordonate în situații practice de orientare, iar imediat după aceea vei învăța să calculezi distanța dintre două puncte pornind chiar de la coordonatele lor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea coordonatelor dintr-o descriere

Un punct $A$ se află la $4$ unități la dreapta axei $O y$ și la $3$ unități deasupra axei $O x$ . Un punct $B$ se află la $2$ unități la stânga axei $O y$ și la $5$ unități sub axa $O x$ . Scrieți coordonatele celor două puncte.

Rezolvare. „La dreapta axei $O y$ " înseamnă abscisă pozitivă, „deasupra axei $O x$ " înseamnă ordonată pozitivă, deci $A (4, 3)$ .

Pentru $B$ : „la stânga" dă abscisă negativă, „sub" dă ordonată negativă, deci $B (- 2, - 5)$ .

Observă că distanțele sunt numere pozitive, iar semnul îl adaugi tu, din direcție. $■$

Exemplul 2 — Plasarea punctelor în reper

Reprezentați în reperul cartezian punctele $A (3, 2)$ , $B (- 4, 1)$ , $C (0, - 3)$ , $D (2, 0)$ , $E (- 2, - 5)$ .

Rezolvare. Pornim de fiecare dată din origine, întâi pe orizontală, apoi pe verticală:

$A (3, 2)$ : $3$ la dreapta, $2$ în sus;
$B (- 4, 1)$ : $4$ la stânga, $1$ în sus;
$C (0, - 3)$ : nicio deplasare orizontală, $3$ în jos — punctul cade pe axa $O y$ ;
$D (2, 0)$ : $2$ la dreapta, nicio deplasare verticală — punctul cade pe axa $O x$ ;
$E (- 2, - 5)$ : $2$ la stânga, $5$ în jos.

Verificare rapidă a semnelor: $A$ trebuie să iasă sus-dreapta, $B$ sus-stânga, $E$ jos-stânga, iar $C$ și $D$ chiar pe axe. $■$

Exemplul 3 — Un punct pe o axă

Determinați valoarea lui $m$ pentru care punctul $A (m - 3, 5)$ se află pe axa $O y$ .

Rezolvare. Un punct se află pe axa $O y$ exact atunci când abscisa lui este nulă:

$m - 3 = 0 \Rightarrow m = 3.$

Pentru $m = 3$ punctul devine $A (0, 5)$ , situat pe axa $O y$ , la $5$ unități deasupra originii ✓. Observă că ordonata $5$ nu a intrat deloc în calcul — condiția „pe $O y$ " privește doar abscisa. $■$

Exemplul 4 — Distanțele până la axe

Calculați distanțele de la punctul $P (- 6, 4)$ la fiecare dintre axele reperului.

Rezolvare. Distanța până la axa $O x$ este modulul ordonatei, iar cea până la axa $O y$ este modulul abscisei:

$d (P, O x) = ∣4∣ = 4, d (P, O y) = ∣ - 6∣ = 6.$

Punctul se află deci la $4$ unități de axa orizontală și la $6$ unități de cea verticală, în cadranul al doilea (abscisă negativă, ordonată pozitivă). $■$

Exemplul 5 — Egalitatea a două puncte

Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care punctele $A (2 a - 1, 5)$ și $B (3, b + 2)$ coincid.

Rezolvare. Două puncte sunt egale dacă și numai dacă au respectiv aceeași abscisă și aceeași ordonată. Obținem un sistem format din două ecuații independente:

$2 a - 1 = 3 ș i 5 = b + 2.$

Din prima, $2 a = 4$ , deci $a = 2$ ; din a doua, $b = 3$ . Verificare: $A (2 \cdot 2 - 1, 5) = A (3, 5)$ și $B (3, 3 + 2) = B (3, 5)$ ✓ — punctele coincid. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat: parametru și poziție

Se consideră punctul $A (m + 1, 2 m - 6)$ , unde $m$ este un număr real. a) Determinați $m$ astfel încât $A$ să se afle pe axa $O x$ . b) Determinați $m$ astfel încât $A$ să se afle pe axa $O y$ . c) Poate punctul $A$ să coincidă cu originea?

Rezolvare. a) Pe axa $O x$ ordonata este nulă:

$2 m - 6 = 0 \Rightarrow m = 3, ș i atunci A (4, 0) .$

b) Pe axa $O y$ abscisa este nulă:

$m + 1 = 0 \Rightarrow m = - 1, ș i atunci A (0, - 8) .$

c) Originea cere ambele coordonate nule simultan, adică $m + 1 = 0$ și $2 m - 6 = 0$ în același timp — deci $m = - 1$ și $m = 3$ deodată, ceea ce este imposibil. Prin urmare, punctul $A$ nu poate coincide cu originea pentru nicio valoare a lui $m$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Desenează un reper cu unitatea de $1$ cm pentru exercițiile de reprezentare și verifică-ți de fiecare dată semnele: dreapta/sus înseamnă plus, stânga/jos înseamnă minus.

1. Scrie coordonatele punctului situat la $4$ unități la dreapta axei $O y$ și la $3$ unități sub axa $O x$ .

2. Scrie coordonatele punctului situat la $5$ unități la stânga axei $O y$ și la $2$ unități deasupra axei $O x$ .

3. Reprezintă într-un reper cartezian punctele $A (3, 2)$ , $B (- 4, 1)$ , $C (0, - 3)$ , $D (2, 0)$ , $E (- 2, - 5)$ .

4. Precizează abscisa și ordonata fiecăruia dintre punctele $A (- 7, 3)$ , $B (0, - 4)$ , $C (6, 0)$ și spune care dintre ele se află pe o axă.

5. Determină valoarea lui $m$ pentru care punctul $A (m - 3, 5)$ se află pe axa $O y$ .

6. Determină valoarea lui $n$ pentru care punctul $B (4, 2 n + 8)$ se află pe axa $O x$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctele $M (2, 3)$ și $N (3, 2)$ coincid, pentru că au aceleași numere în coordonate."

8. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care punctele $A (2 a - 1, 5)$ și $B (3, b + 2)$ coincid.

9. Calculează distanțele de la punctul $P (- 6, 4)$ la cele două axe ale reperului.

10. Un punct se află la $3$ unități de axa $O x$ , la $5$ unități de axa $O y$ și are ambele coordonate negative. Scrie coordonatele lui.

11. Se dau punctele $A (2, - 1)$ , $B (2, 5)$ și $C (2, 0)$ . Ce au în comun și cum sunt așezate unele față de altele? Dar punctele $D (- 3, 4)$ , $E (1, 4)$ , $F (6, 4)$ ?

12. (Problemă aplicată.) Pe planul unui parc, intrarea este în punctul $I (0, 0)$ , fântâna în $F (5, 3)$ , iar terenul de joacă în $J (- 2, 6)$ . O unitate reprezintă $10$ metri. Câți metri spre est și câți metri spre nord trebuie să meargă cineva de la intrare până la fântână? Dar de la intrare până la terenul de joacă?

13. Scrie trei puncte diferite care au abscisa egală cu ordonata și explică unde sunt situate toate punctele cu această proprietate.

14. (Problemă aplicată.) Ecranul unui telefon are $1080$ de pixeli pe orizontală și $2400$ pe verticală, cu originea în colțul din stânga sus și axa verticală orientată în jos. Ce punct se află exact în centrul ecranului? În ce colț se află pixelul de coordonate $(0, 2400)$ ?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră punctul $A (m + 1, 2 m - 6)$ , cu $m$ număr real. a) Determinați $m$ astfel încât punctul $A$ să se afle pe axa $O x$ . b) Determinați $m$ astfel încât punctul $A$ să se afle pe axa $O y$ .

16. Scrie coordonatele punctului de pe axa $O x$ care are abscisa $- 4$ și ale punctului de pe axa $O y$ care are ordonata $7$ .

17. (Raționament.) Explică de ce coordonatele unui punct formează o pereche ordonată și ce s-ar întâmpla cu descrierea planului dacă ordinea celor două numere nu ar conta.

18. (Provocare.) Determină toate punctele cu coordonate numere naturale nenule pentru care abscisa este cu $3$ mai mare decât ordonata, iar suma coordonatelor nu depășește $11$ .

Răspunsuri și explicații

1. „La dreapta" $\to$ abscisă pozitivă, „sub axa $O x$ " $\to$ ordonată negativă: punctul este $(4, - 3)$ .

2. „La stânga" $\to$ abscisă negativă, „deasupra" $\to$ ordonată pozitivă: punctul este $(- 5, 2)$ .

3. $A (3, 2)$ în cadranul I; $B (- 4, 1)$ în cadranul al II-lea; $C (0, - 3)$ pe axa $O y$ , sub origine; $D (2, 0)$ pe axa $O x$ , la dreapta originii; $E (- 2, - 5)$ în cadranul al III-lea. (Verifică pe desen: doar $C$ și $D$ trebuie să cadă pe axe.)

4. $A$ : abscisa $- 7$ , ordonata $3$ ; $B$ : abscisa $0$ , ordonata $- 4$ ; $C$ : abscisa $6$ , ordonata $0$ . Pe axe se află $B$ (pe $O y$ , având abscisa nulă) și $C$ (pe $O x$ , având ordonata nulă).

5. Condiția „pe axa $O y$ " înseamnă abscisă nulă: $m - 3 = 0$ , deci $m = 3$ , iar punctul devine $A (0, 5)$ .

6. Condiția „pe axa $O x$ " înseamnă ordonată nulă: $2 n + 8 = 0$ , deci $n = - 4$ , iar punctul devine $B (4, 0)$ .

7. Fals. Coordonatele formează o pereche ordonată: primul număr este abscisa, al doilea ordonata. Punctul $M (2, 3)$ are abscisa $2$ și ordonata $3$ , iar $N (3, 2)$ invers, deci sunt puncte distincte (ambele în cadranul I, dar în poziții diferite).

8. Egalitatea punctelor cere $2 a - 1 = 3$ și $5 = b + 2$ , deci $a = 2$ și $b = 3$ . Verificare: ambele puncte devin $(3, 5)$ ✓.

9. $d (P, O x) = ∣ y_{P} ∣ = ∣4∣ = 4$ și $d (P, O y) = ∣ x_{P} ∣ = ∣ - 6∣ = 6$ . Distanța până la axa orizontală se citește din ordonată, iar cea până la axa verticală, din abscisă.

10. Distanța $3$ până la $O x$ înseamnă $∣ y ∣ = 3$ , iar distanța $5$ până la $O y$ înseamnă $∣ x ∣ = 5$ . Cum ambele coordonate sunt negative, obținem $x = - 5$ și $y = - 3$ : punctul este $(- 5, - 3)$ , situat în cadranul al III-lea.

11. Punctele $A$ , $B$ , $C$ au toate abscisa $2$ , deci se află pe aceeași verticală (dreapta paralelă cu $O y$ care taie axa $O x$ în punctul de abscisă $2$ ). Punctele $D$ , $E$ , $F$ au toate ordonata $4$ , deci sunt pe aceeași orizontală, la $4$ unități deasupra axei $O x$ .

12. De la $I (0, 0)$ la $F (5, 3)$ : $5$ unități pe orizontală și $3$ pe verticală, adică $50$ de metri spre est și $30$ de metri spre nord. De la $I$ la $J (- 2, 6)$ : abscisa este negativă, deci deplasarea orizontală este de $20$ de metri spre vest, iar cea verticală de $60$ de metri spre nord.

13. De exemplu $(1, 1)$ , $(- 3, - 3)$ și $(0, 0)$ . Toate punctele cu abscisa egală cu ordonata se află pe prima bisectoare a reperului — dreapta care trece prin origine și „taie în două" cadranele I și III.

14. Centrul ecranului are jumătate din fiecare dimensiune: $(540, 1200)$ . Pixelul $(0, 2400)$ are abscisa minimă (extrema stângă) și ordonata maximă; cum axa verticală e orientată în jos, el se află în colțul din stânga jos. (Într-un reper matematic obișnuit, cu $O y$ orientată în sus, același punct ar fi în stânga sus — orientarea axei schimbă interpretarea, nu calculul.)

15. a) Pe axa $O x$ ordonata este nulă: $2 m - 6 = 0$ , deci $m = 3$ și $A (4, 0)$ . b) Pe axa $O y$ abscisa este nulă: $m + 1 = 0$ , deci $m = - 1$ și $A (0, - 8)$ .

16. Un punct de pe axa $O x$ are ordonata nulă, deci este $(- 4, 0)$ . Un punct de pe axa $O y$ are abscisa nulă, deci este $(0, 7)$ .

17. Pentru că cele două numere au roluri diferite: primul măsoară deplasarea pe orizontală, al doilea pe verticală. Dacă ordinea nu ar conta, perechea ${2, 3}$ ar descrie simultan două puncte distincte, $(2, 3)$ și $(3, 2)$ , iar corespondența dintre puncte și perechi nu ar mai fi bijectivă: o „adresă" ar indica două locuri, iar descrierea planului prin numere și-ar pierde utilitatea. Ordinea este exact ce face adresa lipsită de ambiguitate.

18. Notăm ordonata cu $y \in N^{*}$ ; atunci abscisa este $y + 3$ , iar condiția devine $(y + 3) + y \leq 11$ , adică $2 y \leq 8$ , deci $y \leq 4$ . Cum $y$ este natural nenul, avem $y \in {1, 2, 3, 4}$ , cărora le corespund punctele $(4, 1)$ , $(5, 2)$ , $(6, 3)$ , $(7, 4)$ . Toate au coordonate pozitive, deci se află în cadranul I, iar pe desen apar așezate „în scară", fiecare cu o unitate mai la dreapta și una mai sus decât precedentul.

De reținut

Coordonatele unui punct sunt o pereche ordonată: $A (x_{A}, y_{A})$ , cu abscisa prima (deplasarea pe orizontală) și ordonata a doua (deplasarea pe verticală).
Între punctele planului și perechile de numere reale există o corespondență unu la unu: fiecare punct are exact o adresă, fiecare adresă exact un punct.
Două puncte sunt egale doar dacă au ambele coordonate respectiv egale; de aici, dintr-o egalitate de puncte obții un sistem de două ecuații.
Pe axa $O x$ ordonata este $0$ ; pe axa $O y$ abscisa este $0$ ; originea are ambele coordonate nule. Punctele cu aceeași abscisă stau pe o verticală, cele cu aceeași ordonată pe o orizontală.
Distanțele până la axe se citesc „încrucișat": $d (A, O x) = ∣ y_{A} ∣$ și $d (A, O y) = ∣ x_{A} ∣$ .

Greșeli frecvente

Inversarea coordonatelor. Se scrie $(3, 5)$ pentru un punct aflat la $5$ la dreapta și $3$ în sus. Regula fixă: prima este abscisa, adică deplasarea pe orizontală.
Uitarea semnelor la plasare. Punctul $B (- 4, 1)$ se marchează la dreapta originii. Abscisa negativă înseamnă stânga, ordonata negativă înseamnă jos.
Confundarea condițiilor „pe $O x$ " și „pe $O y$ ". Se rezolvă „abscisa $= 0$ " pentru un punct de pe $O x$ . Corect: pe $O x$ se anulează ordonata, pentru că axa $O x$ este mulțimea punctelor de „înălțime" zero.
Distanțele la axe, luate direct. Pentru $P (- 6, 4)$ se răspunde „distanța până la $O y$ este $- 6$ ". Distanțele sunt nenegative, deci se ia modulul: $6$ .
Rezolvarea unei singure ecuații la egalitatea punctelor. Din $A (2 a - 1, 5) = B (3, b + 2)$ se află doar $a$ . Egalitatea punctelor dă două condiții, câte una pentru fiecare coordonată.

Aplică acasă

Harta camerei tale. Desenează pe hârtie milimetrică planul camerei, alegând un colț ca origine și doi pereți ca axe, cu unitatea de $1$ metru. Notează coordonatele a șase obiecte (pat, birou, ușă, fereastră, dulap, lampă). Dă lista unui membru al familiei și cere-i să identifice obiectele doar din coordonate — dacă reușește, adresele tale sunt corecte.
Bătălia navală cu coordonate reale. Joacă o partidă în care, în loc de „B7", anunți perechi de numere întregi dintr-un reper cu ambele axe de la $- 5$ la $5$ , incluzând deci și valori negative. Vei observa rapid cât de important e să respecți ordinea: $(3, - 2)$ și $(- 2, 3)$ sunt cu totul alte locuri.
Coordonatele din aplicații. Deschide o hartă digitală și apasă lung pe trei locuri cunoscute; aplicația îți arată perechea latitudine–longitudine. Notează-le și compară: care număr se schimbă când te deplasezi spre nord și care când te deplasezi spre est? Descoperi astfel că orice sistem de coordonate funcționează pe același principiu ca $(x, y)$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează noțiunea centrală a întregii unități: identificarea unui punct al planului cu o pereche ordonată de numere reale. Competența din programă este „identificarea, într-un reper cartezian, a poziției unui punct ale cărui coordonate sunt cunoscute", completată de utilizarea limbajului geometriei analitice în situații concrete. Deși elevul a mai lucrat cu coordonate în gimnaziu, la liceu se adaugă rigoarea: corespondența bijectivă punct–pereche, egalitatea a două puncte ca sistem de două ecuații și traducerea condițiilor de poziție („pe $O x$ ", „pe $O y$ ") în ecuații cu parametru.

Întrebări bune de control: „Care număr se scrie primul și de ce?" (abscisa, deplasarea pe orizontală); „Ce condiție îndeplinește un punct de pe axa $O x$ ?" (ordonata este zero); „Cum arăți că două puncte coincid?" (ambele coordonate respectiv egale); „La ce distanță de axa $O x$ se află punctul $(- 6, 4)$ ?" (la $4$ , modulul ordonatei). Semne că a înțeles: plasează corect punctele cu coordonate negative, nu confundă condițiile pentru cele două axe și rezolvă ambele ecuații la egalitatea a două puncte.

La teze și la Bacalaureat, cerințele bazate direct pe această lecție sunt de tip „determinați $m$ astfel încât punctul $A$ să se afle pe axa $O x$ " sau „determinați $a$ și $b$ știind că punctele coincid" și apar de obicei ca prim punct al unei probleme mai ample. Mai important însă este rolul de fundament: fără citirea și scrierea sigură a coordonatelor, nici distanțele, nici mijloacele, nici lecturile grafice de mai târziu nu pot fi stăpânite.

Întrebări frecvente

Ce sunt abscisa și ordonata unui punct? Abscisa este primul număr din pereche și arată deplasarea pe orizontală, măsurată pe axa $O x$ ; ordonata este al doilea număr și arată deplasarea pe verticală, măsurată pe axa $O y$ . Punctul se notează $A (x_{A}, y_{A})$ .

Cum citesc coordonatele unui punct de pe desen? Cobori (sau urci) vertical de la punct până la axa $O x$ și citești numărul — este abscisa; apoi mergi orizontal până la axa $O y$ și citești ordonata. Le scrii în această ordine, între paranteze.

Cum plasez în reper un punct dat prin coordonate? Pornești din origine, te deplasezi pe orizontală cu valoarea abscisei (la dreapta dacă e pozitivă, la stânga dacă e negativă), apoi pe verticală cu valoarea ordonatei (în sus dacă e pozitivă, în jos dacă e negativă).

De ce contează ordinea numerelor în scrierea coordonatelor? Pentru că cele două numere au roluri diferite: unul măsoară deplasarea orizontală, celălalt pe cea verticală. Punctele $(2, 3)$ și $(3, 2)$ sunt distincte, deși conțin aceleași cifre.

Ce condiție îndeplinesc coordonatele unui punct situat pe axa $O x$ ? Ordonata lui este zero, deci punctul are forma $(a, 0)$ . Simetric, un punct de pe axa $O y$ are abscisa zero, adică forma $(0, b)$ , iar originea are ambele coordonate nule.

Cum aflu distanța de la un punct la axele reperului? Distanța până la axa $O x$ este modulul ordonatei, iar distanța până la axa $O y$ este modulul abscisei. Se ia modul pentru că distanțele nu pot fi negative.

Când sunt egale două puncte date prin coordonate? Când au simultan abscisele egale și ordonatele egale. Dacă apar parametri, egalitatea se transformă într-un sistem de două ecuații, câte una pentru fiecare coordonată.

Coordonatele unui punct pot fi numere care nu sunt întregi? Da. Coordonatele sunt numere reale oarecare: pot fi fracții, numere zecimale sau iraționale, de exemplu $(\frac{3}{2}, - 0, 75)$ sau $(2, 1)$ . Pe desen le plasezi aproximativ, dar în calcule le folosești exact.