Acasă · Clasa a IX-a · Lecții · Progresii aritmetice în viața de zi cu zi: dobânda simplă și costurile

Progresii aritmetice în viața de zi cu zi: dobânda simplă și costurile

Imaginează-ți că ai strâns $4000$ de lei și îi duci la bancă, la un depozit care îți aduce $5%$ pe an, calculați de fiecare dată la suma pe care ai depus-o inițial. Anul întâi îți aduce $200$ de lei. Al doilea an, tot $200$ . Al treilea, tot $200$ . Contul tău arată, la sfârșitul fiecărui an: $4200$ , $4400$ , $4600$ , $4800$ … Recunoști tiparul? De la un termen la altul se adaugă mereu aceeași cantitate. Este exact structura pe care ai studiat-o în lecțiile precedente: o progresie aritmetică.

Aceasta este lecția în care progresia aritmetică iese din caiet și intră în viață. Vei vedea că același tipar — „mereu același adaos" sau „mereu aceeași scădere" — descrie dobânda simplă a unui depozit, factura unui abonament de telefon, prețul unei curse de taxi, valoarea unui laptop care se depreciază an de an și planul de economii al unui elev care pune deoparte câte puțin în plus în fiecare lună. Programa de clasa a IX-a cere explicit ca progresiile să fie studiate în contexte practice, iar la teze și la Bacalaureat problemele „îmbrăcate" în context sunt frecvente. Vestea bună: matematica rămâne aceeași, cu cele două formule pe care deja le știi. Greul e altundeva — în a traduce enunțul în limbaj de progresie, corect și fără să sari un an.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o progresie aritmetică într-un text despre bani, costuri sau consumuri, identificând primul termen și rația.
Vei ști ce este dobânda simplă, să calculezi dobânda anuală și suma acumulată după $n$ ani, cu formula $S = C (1 + \frac{n \cdot p}{100})$ .
Vei ști să modelezi costurile cu parte fixă și parte variabilă (abonamente, taxi, transport) și să fii atent la convenția de numerotare a termenilor.
Vei ști să folosești suma primilor $n$ termeni ca să afli cât plătești sau cât economisești în total pe o perioadă.
Vei ști să compari două oferte rezolvând o inecuație și să spui, cu argument matematic, de la ce moment una devine mai avantajoasă.
Vei ști să recunoști situațiile care nu sunt progresii aritmetice, chiar dacă par.

Hai să descoperim împreună

1. Uneltele cu care lucrăm

Ai nevoie de foarte puțin ca să rezolvi toate problemele practice din această lecție. Reamintim, pe scurt, cele două formule-cheie.

Un șir $(a_{n})_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică dacă există un număr $r$ (rația) astfel încât $a_{n + 1} = a_{n} + r$ pentru orice $n \geq 1$ . Atunci:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r (termenul general),$

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ]}{2} (suma primilor n termeni) .$

Prima formulă răspunde la întrebarea „cât voi avea/plăti la momentul $n$ ?", a doua la întrebarea „cât în total, pe toată perioada?". Dacă vrei să reiei demonstrațiile, ele sunt în Termenul general al unei progresii aritmetice și în Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

Aici ne interesează altceva: cum ajungem de la un text din realitate la $a_{1}$ și $r$ .

2. Semnătura unei progresii aritmetice în realitate

Un fenomen se modelează printr-o progresie aritmetică atunci când, la fiecare pas, se adaugă (sau se scade) aceeași cantitate, exprimată în unități absolute: lei, kilometri, litri, grade. Cuvintele-cheie din enunțuri sunt: „cu $30$ de lei mai mult în fiecare lună", „scade cu $600$ de lei pe an", „crește constant cu $4$ grade".

Atenție la formularea care seamănă, dar înseamnă cu totul altceva: „cu $10%$ mai mult decât în luna precedentă". Acolo adaosul nu mai e constant, fiindcă $10%$ se calculează de fiecare dată din altă valoare, tot mai mare. Acel tip de creștere se numește geometrică și îl vei studia în Creștere și descreștere procentuală repetată.

Reprezentarea grafică lămurește diferența: punctele $(n, a_{n})$ ale unei progresii aritmetice sunt așezate pe o dreaptă. Creșterea constantă în valoare absolută înseamnă creștere „liniară" — un urcuș uniform, nu unul care se accelerează.

3. Dobânda simplă

Când depui o sumă de bani (numită capital și notată $C$ ) la o bancă, banca îți plătește o dobândă, exprimată printr-un procent anual $p %$ , numit rata dobânzii. Dobânda se numește simplă atunci când ea se calculează de fiecare dată la capitalul inițial $C$ , indiferent câți ani au trecut.

Dobânda pentru un an este așadar aceeași în fiecare an:

$D = C \cdot \frac{p}{100} .$

Pentru $C = 4000$ lei și $p = 5$ , avem $D = 4000 \cdot \frac{5}{100} = 200$ lei pe an. După $n$ ani, dobânda totală este $n \cdot D$ , iar suma din cont este

$S = C + n \cdot C \cdot \frac{p}{100} = C (1 + \frac{n \cdot p}{100}) .$

Iată contul nostru, an de an: $4200, 4400, 4600, 4800, 5000, 5200$ . Șirul sumelor de la sfârșitul fiecărui an este o progresie aritmetică cu primul termen $a_{1} = 4200$ și rația $r = 200$ ; verifici imediat: $a_{6} = 4200 + 5 \cdot 200 = 5200$ , la fel ca $C (1 + \frac{6 \cdot 5}{100}) = 4000 \cdot 1, 3 = 5200$ lei.

Reține distincția, pentru că e sursa clasică de confuzie: capitalul $C = 4000$ nu este primul termen al progresiei, ci valoarea de dinainte de primul an. Dacă vrei să numeri și momentul inițial, folosește notația $S_{0} = C$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ , … și atunci $S_{n} = C + n D$ . Ambele variante sunt corecte; ce nu e corect este să le amesteci în aceeași problemă.

Dacă dobânda nu se calculează mereu la capitalul inițial, ci se adaugă la cont și produce, la rândul ei, dobândă, procesul se numește dobândă compusă — nu mai este o progresie aritmetică și îl vei studia în Dobânda compusă și dinamica populației.

4. Costuri cu parte fixă și parte variabilă

Al doilea mare tipar practic: plătești o sumă fixă, indiferent de consum, plus o sumă proporțională cu ce ai consumat. Exemple: taxiul (tarif de pornire plus tarif pe kilometru), abonamentul telefonic (abonamentul lunar plus tariful pe minutul suplimentar), factura de energie (abonament plus prețul pe kilowat-oră).

Fie o cursă de taxi cu $3, 5$ lei tarif de pornire și $2, 5$ lei pe kilometru. Costul după $k$ kilometri este

$c (k) = 3, 5 + 2, 5 \cdot k .$

Valorile pentru $k = 0, 1, 2, 3, \dots$ sunt $3, 5$ ; $6$ ; $8, 5$ ; $11$ ; … — progresie aritmetică cu rația $2, 5$ . Pentru $15$ kilometri: $c (15) = 3, 5 + 37, 5 = 41$ lei.

Aici apare o capcană de numerotare care costă mulți elevi un punct la teză. Dacă notezi cu $a_{1}$ costul la $1$ kilometru, atunci $a_{1} = 6$ și $a_{n} = 6 + (n - 1) \cdot 2, 5$ , iar costul la $15$ km este $a_{15} = 6 + 14 \cdot 2, 5 = 41$ lei. Dacă notezi cu $a_{1}$ costul la $0$ kilometri, atunci costul la $15$ km este al șaisprezecelea termen. Rezultatul e același, $41$ de lei, cu condiția să fii consecvent. Scrie de la început, în rezolvare, ce înseamnă $a_{1}$ .

5. Când valoarea scade: rația negativă

O progresie aritmetică cu rație negativă descrie o scădere constantă. Cazul tipic este amortizarea liniară: un bun își pierde, prin convenție contabilă, aceeași sumă de valoare în fiecare an.

Un laptop cumpărat cu $4500$ de lei se amortizează cu $600$ de lei pe an. Valorile la sfârșitul anilor $1, 2, 3, \dots$ sunt

$3900, 3300, 2700, 2100, 1500, 900, 300,$

adică o progresie aritmetică cu $a_{1} = 3900$ și $r = - 600$ . După câți ani valoarea scade sub $1000$ de lei? Rezolvăm inecuația în $n$ , unde $V_{n} = 4500 - 600 n$ este valoarea după $n$ ani:

$4500 - 600 n < 1000 ⟺ 3500 < 600 n ⟺ n > \frac{35}{6} = 5, 83 \dots$

Cel mai mic număr natural care convine este $n = 6$ : după $6$ ani laptopul valorează $900$ de lei, deci sub prag. Observă și limita modelului: după $8$ ani formula ar da o valoare negativă, ceea ce în realitate nu are sens — modelul liniar se oprește la valoarea $0$ (sau la o valoare reziduală stabilită). Un model matematic bun vine mereu cu domeniul lui de valabilitate.

6. Cât în total: intră în scenă suma

Multe întrebări practice nu cer valoarea de la momentul $n$ , ci totalul pe o perioadă. Acolo folosim $S_{n}$ .

Andrei pune deoparte $120$ de lei în prima lună și, în fiecare lună următoare, cu $15$ lei mai mult decât în precedenta. Ce depune în luna a douăsprezecea și cât are strâns după un an?

Depunerile formează o progresie aritmetică cu $a_{1} = 120$ și $r = 15$ :

$a_{12} = 120 + 11 \cdot 15 = 285 lei, S_{12} = \frac{12 ( 120 + 285 )}{2} = 6 \cdot 405 = 2430 lei .$

Distincția „termen versus sumă" este esențială și e prima întrebare pe care trebuie să ți-o pui la orice problemă practică: enunțul cere cât la momentul $n$ (termen general) sau cât cu totul (sumă)? Cuvintele „în luna a douăsprezecea" cer un termen; „după un an", „în total", „pe toată perioada" cer o sumă.

7. Două oferte, o decizie

Programa cere explicit compararea a două situații modelate prin progresii și luarea unei decizii justificate. Tiparul e mereu același: scrii cele două costuri ca funcții de $n$ , apoi rezolvi ecuația sau inecuația care le compară.

Un operator oferă: abonamentul A cu $25$ de lei pe lună plus $0, 40$ lei pe minutul de convorbire, abonamentul B cu $45$ de lei pe lună plus $0, 15$ lei pe minut. Care e mai avantajos?

Pentru $m$ minute vorbite într-o lună:

$A (m) = 25 + 0, 40 m, B (m) = 45 + 0, 15 m .$

Egalăm: $25 + 0, 40 m = 45 + 0, 15 m ⟺ 0, 25 m = 20 ⟺ m = 80$ . La exact $80$ de minute ambele costă $25 + 32 = 57$ de lei. Pentru $m < 80$ este mai ieftin A (la $50$ de minute: $45$ lei față de $52, 5$ lei), iar pentru $m > 80$ este mai ieftin B (la $200$ de minute: $75$ de lei față de $105$ lei).

Concluzia se formulează cu prag, nu absolut: „B devine mai avantajos începând de la $80$ de minute pe lună". Iar decizia reală depinde de tine — mai exact, de câte minute vorbești de obicei. Aceasta este, în mic, esența modelării matematice: matematica dă pragul, omul ia decizia.

8. Ce nu este progresie aritmetică

Ca să nu aplici formulele acolo unde nu au ce căuta, ține minte trei situații care par progresii aritmetice, dar nu sunt:

Creșterea procentuală repetată. Un preț de $200$ de lei care crește cu $10%$ în fiecare an devine $220$ , apoi $242$ , apoi $266, 2$ . Adaosurile sunt $20$ , $22$ , $26, 2$ — nu sunt egale.
Sumele acumulate ale unei progresii aritmetice. Dacă depunerile lunare sunt $120, 135, 150, \dots$ (progresie aritmetică), totalurile din cont sunt $120, 255, 405, \dots$ , iar diferențele lor sunt chiar depunerile, care cresc. Totalurile nu formează o progresie aritmetică.
Datele „aproape regulate". Consumul lunar de energie $310, 305, 312, 298$ nu e o progresie: e o serie de măsurători cu variații mici. Poate fi aproximat printr-un model liniar, dar nu este o progresie aritmetică, iar despre cum decizi corect acest lucru vorbește lecția Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dobândă simplă, calcul direct

O persoană depune $8000$ de lei într-un depozit cu dobândă simplă de $6%$ pe an. Ce dobândă primește într-un an, ce dobândă totală după $5$ ani și ce sumă are în cont la sfârșitul celor $5$ ani?

Rezolvare. Dobânda anuală: $D = 8000 \cdot \frac{6}{100} = 480$ lei. Fiind dobândă simplă, ea este aceeași în fiecare an, deci după $5$ ani dobânda totală este $5 \cdot 480 = 2400$ de lei, iar suma din cont

$S = 8000 + 2400 = 10400 lei .$

Verificare cu formula: $S = 8000 (1 + \frac{5 \cdot 6}{100}) = 8000 \cdot 1, 3 = 10400$ lei. ✓

Exemplul 2 — Aflarea capitalului

După $4$ ani de dobândă simplă cu rata de $3%$ pe an, într-un cont sunt $6720$ de lei. Ce sumă a fost depusă inițial?

Rezolvare. Notăm cu $C$ capitalul depus. Din formula dobânzii simple:

$C (1 + \frac{4 \cdot 3}{100}) = 6720 ⟺ C \cdot 1, 12 = 6720 ⟺ C = \frac{6720}{1 , 12} = 6000 lei .$

Verificare: dobânda anuală ar fi $6000 \cdot 0, 03 = 180$ lei, iar în $4$ ani $720$ de lei; într-adevăr $6000 + 720 = 6720$ . ✓

Exemplul 3 — Aflarea ratei dobânzii

Un capital de $5000$ de lei devine, după $5$ ani de dobândă simplă, $6000$ de lei. Care a fost rata anuală a dobânzii?

Rezolvare. Dobânda totală este $6000 - 5000 = 1000$ de lei, deci dobânda anuală este $1000 : 5 = 200$ de lei. Rata se obține din $5000 \cdot \frac{p}{100} = 200$ , adică $p = \frac{200 \cdot 100}{5000} = 4$ . Rata dobânzii a fost de $4%$ pe an.

Exemplul 4 — Amortizare și prag

O firmă cumpără un utilaj cu $24000$ de lei, care se amortizează liniar cu $3000$ de lei pe an. După câți ani valoarea utilajului ajunge la $6000$ de lei? Dar sub $10000$ de lei?

Rezolvare. Valoarea după $n$ ani este $V_{n} = 24000 - 3000 n$ .

Pentru prima întrebare: $24000 - 3000 n = 6000 ⟺ 3000 n = 18000 ⟺ n = 6$ ani.

Pentru a doua: $24000 - 3000 n < 10000 ⟺ 14000 < 3000 n ⟺ n > \frac{14}{3} = 4, 66 \dots$ , deci $n = 5$ (după $5$ ani valoarea este $9000$ de lei, iar după $4$ ani era încă $12000$ ).

Exemplul 5 — Total plătit în rate descrescătoare

Un frigider se plătește în $12$ rate lunare, prima de $600$ de lei, fiecare următoare cu $20$ de lei mai mică decât precedenta. Cât este ultima rată și cât se plătește în total?

Rezolvare. Ratele formează o progresie aritmetică cu $a_{1} = 600$ și $r = - 20$ . Ultima rată:

$a_{12} = 600 + 11 \cdot (- 20) = 600 - 220 = 380 lei .$

Totalul plătit este suma primelor $12$ rate:

$S_{12} = \frac{12 ( 600 + 380 )}{2} = 6 \cdot 980 = 5880 lei .$

Observă cât de comod e să folosești $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ când cunoști deja primul și ultimul termen.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Într-un depozit cu dobândă simplă se depun $5000$ de lei, cu rata dobânzii de $6%$ pe an. Notăm cu $S_{n}$ suma din cont la sfârșitul anului $n$ .

a) Arătați că șirul $(S_{n})_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică și precizați rația. b) Calculați suma din cont după $3$ ani. c) Determinați cel mai mic număr de ani după care suma din cont depășește $8000$ de lei.

Rezolvare. a) Dobânda anuală este $D = 5000 \cdot \frac{6}{100} = 300$ de lei, aceeași în fiecare an, deoarece dobânda simplă se calculează mereu la capitalul inițial. Atunci $S_{n} = 5000 + 300 n$ , de unde

$S_{n + 1} - S_{n} = [5000 + 300 (n + 1)] - [5000 + 300 n] = 300,$

constant, deci $(S_{n})$ este progresie aritmetică cu rația $r = 300$ (și cu primul termen $S_{1} = 5300$ ).

b) $S_{3} = 5000 + 3 \cdot 300 = 5900$ de lei.

c) Rezolvăm $5000 + 300 n > 8000 ⟺ 300 n > 3000 ⟺ n > 10$ . Cel mai mic număr natural care convine este $n = 11$ . Atenție la strictețe: după $10$ ani suma este exact $8000$ de lei, ceea ce nu înseamnă „depășește"; abia după $11$ ani avem $8300 > 8000$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă practică, scrie mai întâi ce reprezintă $a_{1}$ și $r$ — este pasul care aduce puncte la teză și te ferește de erori de numerotare.

1. Se depun $3000$ de lei cu dobândă simplă de $5%$ pe an. Cât este dobânda pe un an și ce sumă este în cont după $4$ ani?

2. Chiria unei garsoniere este $1500$ de lei pe lună în primul an și crește cu $100$ de lei pe lună la fiecare an nou. Cât va fi chiria lunară în al șaselea an?

3. O cursă de taxi costă $4$ lei tariful de pornire plus $2, 5$ lei pe kilometru. Cât costă o cursă de $12$ kilometri?

4. Un abonament de telefon costă $30$ de lei pe lună plus $0, 20$ lei pe minutul de convorbire. Cât plătești într-o lună în care vorbești $150$ de minute?

5. Se depun $12000$ de lei cu dobândă simplă de $3%$ pe an. Calculează dobânda anuală, dobânda totală după $5$ ani și suma finală din cont.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un preț crește în fiecare an cu $10%$ din valoarea sa din anul precedent, atunci prețurile succesive formează o progresie aritmetică."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La dobânda simplă, sumele din cont de la sfârșitul fiecărui an formează o progresie aritmetică a cărei rație este egală cu dobânda dintr-un an."

8. Valoarea unui utilaj de $24000$ de lei scade cu $3000$ de lei în fiecare an. După câți ani valoarea lui ajunge la $6000$ de lei?

9. După $5$ ani de dobândă simplă cu rata de $4%$ pe an, într-un cont se află $7200$ de lei. Ce capital a fost depus inițial?

10. Un capital de $8000$ de lei devine, după $4$ ani de dobândă simplă, $9600$ de lei. Care este rata anuală a dobânzii?

11. (Problemă aplicată.) Maria depune $200$ de lei în prima lună și, în fiecare lună următoare, cu $25$ de lei mai mult decât în precedenta. Ce sumă depune în a zecea lună și cât are strâns după cele $10$ luni?

12. (Problemă aplicată.) Furnizorul de internet A cere o taxă de instalare de $120$ de lei plus $35$ de lei pe lună, iar furnizorul B nu cere taxă de instalare, dar cere $55$ de lei pe lună. Începând de la a câta lună devine A mai ieftin în total decât B?

13. Un biciclist parcurge $40$ de kilometri în prima zi de antrenament și, în fiecare zi următoare, cu $6$ kilometri mai mult decât în ziua precedentă. Câți kilometri parcurge în ziua a $15$ -a și câți în total în cele $15$ zile?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se depun $5000$ de lei cu dobândă simplă de $6%$ pe an. a) Calculați suma din cont după $3$ ani. b) Determinați cel mai mic număr de ani după care suma din cont depășește $8000$ de lei.

15. Compară două plasamente cu dobândă simplă, pe câte $6$ ani: primul, $10000$ de lei cu $5%$ pe an; al doilea, $12000$ de lei cu $3%$ pe an. Care aduce dobândă totală mai mare și cu cât?

16. O mașină de spălat se plătește în $10$ rate lunare, prima de $450$ de lei, fiecare următoare cu $30$ de lei mai mică. Cât este ultima rată și cât se plătește în total?

17. Un capital $C$ este depus cu dobândă simplă, cu rata $p %$ pe an. Notând cu $S_{n}$ suma din cont la sfârșitul anului $n$ , arată că $(S_{n})_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică, precizează primul termen și rația și scrie termenul general.

18. (Provocare.) La începutul fiecăruia dintre $5$ ani consecutivi, cineva depune câte $1000$ de lei într-un cont cu dobândă simplă de $5%$ pe an, fiecare depunere producând dobândă din momentul depunerii până la sfârșitul celui de-al cincilea an. Calculează valoarea finală a fiecărei depuneri, arată că aceste valori formează o progresie aritmetică și află suma totală din cont la sfârșitul celor $5$ ani.

Răspunsuri și explicații

1. Dobânda anuală: $3000 \cdot \frac{5}{100} = 150$ lei. După $4$ ani: $3000 + 4 \cdot 150 = 3600$ de lei (sau direct $3000 \cdot 1, 2$ ).

2. Chiriile pe ani formează o progresie aritmetică cu $a_{1} = 1500$ și $r = 100$ , deci $a_{6} = 1500 + 5 \cdot 100 = 2000$ de lei pe lună.

3. $c (12) = 4 + 12 \cdot 2, 5 = 4 + 30 = 34$ de lei.

4. $30 + 150 \cdot 0, 20 = 30 + 30 = 60$ de lei.

5. Dobânda anuală: $12000 \cdot 0, 03 = 360$ de lei; totală după $5$ ani: $5 \cdot 360 = 1800$ de lei; suma finală: $12000 + 1800 = 13800$ de lei.

6. Fals. Pornind de la $200$ de lei, prețurile ar fi $220$ , $242$ , $266, 2$ , iar diferențele $20$ , $22$ , $26, 2$ nu sunt egale. Procentul se aplică de fiecare dată altei valori, deci adaosul crește: este o creștere geometrică, nu aritmetică.

7. Adevărat. La dobânda simplă, dobânda $D = C \cdot \frac{p}{100}$ se calculează mereu la capitalul inițial, deci este aceeași în fiecare an. Din $S_{n} = C + n D$ rezultă $S_{n + 1} - S_{n} = D$ , constant — exact definiția progresiei aritmetice cu rația $D$ .

8. $24000 - 3000 n = 6000 \Rightarrow 3000 n = 18000 \Rightarrow n = 6$ ani.

9. $C (1 + \frac{5 \cdot 4}{100}) = 7200 \Rightarrow C \cdot 1, 2 = 7200 \Rightarrow C = 6000$ de lei.

10. Dobânda totală: $9600 - 8000 = 1600$ de lei, deci dobânda anuală $1600 : 4 = 400$ de lei. Din $8000 \cdot \frac{p}{100} = 400$ obținem $p = 5$ , adică $5%$ pe an.

11. Depunerile: $a_{1} = 200$ , $r = 25$ , deci $a_{10} = 200 + 9 \cdot 25 = 425$ de lei în a zecea lună. Totalul: $S_{10} = \frac{10 ( 200 + 425 )}{2} = 5 \cdot 625 = 3125$ de lei.

12. Costul total după $n$ luni: $A (n) = 120 + 35 n$ , $B (n) = 55 n$ . Din $120 + 35 n < 55 n$ rezultă $120 < 20 n$ , adică $n > 6$ : începând cu luna a șaptea, A este mai ieftin ( $365$ față de $385$ de lei). La $n = 6$ costurile sunt egale, ambele $330$ de lei.

13. $a_{15} = 40 + 14 \cdot 6 = 124$ de kilometri în ziua a $15$ -a; în total $S_{15} = \frac{15 ( 40 + 124 )}{2} = 15 \cdot 82 = 1230$ de kilometri.

14. a) Dobânda anuală este $5000 \cdot 0, 06 = 300$ de lei, deci $S_{3} = 5000 + 900 = 5900$ de lei. b) $5000 + 300 n > 8000 \Rightarrow n > 10$ , deci $n = 11$ ani (după $10$ ani suma este exact $8000$ de lei, ceea ce nu depășește pragul).

15. Primul: $10000 \cdot 0, 05 = 500$ de lei pe an, în $6$ ani $3000$ de lei. Al doilea: $12000 \cdot 0, 03 = 360$ de lei pe an, în $6$ ani $2160$ de lei. Primul plasament aduce cu $3000 - 2160 = 840$ de lei mai mult, deși capitalul e mai mic — rata contează mai mult decât suma depusă, aici.

16. $a_{10} = 450 + 9 \cdot (- 30) = 450 - 270 = 180$ de lei este ultima rată; total: $S_{10} = \frac{10 ( 450 + 180 )}{2} = 5 \cdot 630 = 3150$ de lei.

17. Dobânda anuală este $D = \frac{C p}{100}$ , constantă. Suma la sfârșitul anului $n$ este $S_{n} = C + n D$ , deci $S_{n + 1} - S_{n} = D$ pentru orice $n$ : progresie aritmetică cu primul termen $S_{1} = C + \frac{C p}{100} = C (1 + \frac{p}{100})$ și rația $r = \frac{C p}{100}$ . Termenul general: $S_{n} = C (1 + \frac{n p}{100})$ .

18. Depunerea făcută la începutul anului $k$ produce dobândă timp de $6 - k$ ani (cea din primul an, $5$ ani; cea din anul al cincilea, $1$ an). Valorile finale sunt $1000 (1 + \frac{5 ( 6 - k )}{100})$ , adică $1250$ , $1200$ , $1150$ , $1100$ , $1050$ de lei — o progresie aritmetică cu rația $- 50$ (fiecare depunere „pierde" dobânda pe un an). Totalul: $S_{5} = \frac{5 ( 1250 + 1050 )}{2} = \frac{5 \cdot 2300}{2} = 5750$ de lei, din care $5000$ de lei sunt depunerile și $750$ de lei dobânda.

De reținut

Un fenomen se modelează prin progresie aritmetică atunci când, la fiecare pas, se adaugă sau se scade aceeași cantitate absolută (lei, km, litri) — nu același procent.
Dobânda simplă se calculează mereu la capitalul inițial: $D = C \cdot \frac{p}{100}$ pe an, iar suma după $n$ ani este $S = C (1 + \frac{n p}{100})$ ; sumele anuale formează o progresie aritmetică cu rația $D$ .
Costurile cu parte fixă și parte variabilă ( $c =$ fix $+$ tarif $\cdot$ cantitate) dau progresii aritmetice, cu rația egală cu tariful unitar.
Întreabă-te mereu dacă enunțul cere un termen („în luna a zecea") sau o sumă („în total după $10$ luni"): primul se calculează cu $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , a doua cu $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ .
Compararea a două oferte se face rezolvând o ecuație sau inecuație, iar răspunsul se dă sub formă de prag: „de la $80$ de minute pe lună încolo".

Greșeli frecvente

Confuzia capital–primul termen. La dobânda simplă, $C$ este valoarea de la momentul zero, nu $a_{1}$ . Fie notezi $S_{0} = C$ și $S_{n} = C + n D$ , fie $a_{1} = C + D$ și $a_{n} = a_{1} + (n - 1) D$ — dar nu amesteca cele două convenții în aceeași rezolvare.
Aplicarea procentului ca și cum ar fi rație. „Crește cu $8%$ pe an" nu dă rația $8$ ; dacă procentul se aplică mereu valorii inițiale, rația este $\frac{8 C}{100}$ (în lei); dacă se aplică valorii din anul precedent, nu mai este deloc progresie aritmetică.
„Depășește" tratat ca „atinge". La inecuații stricte, valoarea care dă egalitate nu convine: dacă după $10$ ani ai exact $8000$ de lei, pragul de „peste $8000$ " se atinge abia în anul următor.
Termen confundat cu sumă. „Cât plătește în luna a șasea" cere $a_{6}$ ; „cât plătește în primele șase luni" cere $S_{6}$ . Citește cerința de două ori înainte de a alege formula.
Uitarea unității și a sensului. Un rezultat de tipul „valoarea utilajului după $10$ ani este $- 6000$ de lei" arată că modelul a fost folosit în afara domeniului lui de valabilitate; scrie mereu unitatea și verifică dacă rezultatul are sens practic.

Aplică acasă

Factura reală. Ia o factură de telefon, de internet sau de energie din casă și identifică partea fixă (abonamentul) și partea variabilă (tariful pe unitate). Scrie formula costului $c (x) = fix + tarif \cdot x$ și calculează cât ar fi factura la un consum dublu față de cel din factură. Este creșterea costului o progresie aritmetică? De ce?
Simulare de depozit. Alege o sumă pe care ai vrea s-o economisești (de exemplu $2500$ de lei) și o rată de $4%$ pe an. Fă un tabel cu suma din cont la sfârșitul fiecăruia dintre primii $8$ ani, în ipoteza dobânzii simple. Marchează în tabel anul în care suma depășește $3000$ de lei și verifică-l rezolvând inecuația corespunzătoare.
Două oferte, decizia ta. Caută două oferte reale pentru același serviciu (abonament la sală, transport, streaming), una cu taxă inițială mai mare și cost lunar mai mic, cealaltă invers. Scrie costurile totale ca funcții de numărul de luni, află pragul de la care prima devine mai avantajoasă și decide, în funcție de cât timp ai folosi efectiv serviciul, pe care ai alege-o.

Pentru părinți și profesori

Lecția transferă aparatul progresiei aritmetice — termen general și sumă — în contexte practice cerute explicit de programa clasei a IX-a: dobânda simplă, prețurile, costurile cu parte fixă și parte variabilă, amortizarea. Accentul nu cade pe calcule grele, ci pe modelare: extragerea din text a primului termen și a rației, alegerea între „termen" și „sumă", formularea răspunsului ca prag și verificarea faptului că rezultatul are sens în realitate.

Ce verificați în caietul elevului: (1) notează explicit ce reprezintă $a_{1}$ și $r$ , cu unitate de măsură; (2) nu confundă capitalul depus cu primul termen al progresiei; (3) la întrebările de tip „după câți ani depășește…", scrie o inecuație și interpretează corect strictețea; (4) distinge creșterea cu o sumă fixă (aritmetică) de creșterea cu un procent din valoarea precedentă (geometrică); (5) verifică dacă modelul mai are sens la valori mari ale lui $n$ . Întrebări bune de control: „De ce dobânda simplă dă o progresie aritmetică?", „Ce înseamnă rația în problema ta, în lei?", „Enunțul cere un termen sau o sumă?".

La teze și la Bacalaureat, aceste probleme apar de regulă ca subiecte cu context: se dă o situație practică, se cere să se arate că un șir este progresie aritmetică, apoi un termen și o sumă. Baremul punctează separat identificarea rației, aplicarea formulei și răspunsul final cu unitate — de aceea o rezolvare bine notată începe întotdeauna cu propoziția „notăm cu $a_{n}$ …". Semne că elevul a înțeles: poate inventa singur o problemă practică modelată de o progresie aritmetică și poate explica de ce o creștere procentuală repetată nu se încadrează.

Întrebări frecvente

Ce este dobânda simplă și cum se calculează? Dobânda simplă este dobânda calculată de fiecare dată la capitalul inițial depus, nu la suma acumulată. Dobânda pe un an este $D = C \cdot \frac{p}{100}$ , unde $C$ este capitalul și $p %$ rata anuală, iar suma din cont după $n$ ani este $S = C (1 + \frac{n p}{100})$ .

De ce dobânda simplă formează o progresie aritmetică? Pentru că în fiecare an se adaugă aceeași sumă de bani, $D$ . Din $S_{n} = C + n D$ rezultă că diferența dintre doi ani consecutivi este constant $D$ , iar constanța diferenței este chiar definiția progresiei aritmetice; rația progresiei este dobânda dintr-un an.

Care este diferența dintre a crește cu $200$ de lei pe an și a crește cu $5%$ pe an? Creșterea cu o sumă fixă dă o progresie aritmetică: adaosul este mereu același. Creșterea cu un procent din valoarea precedentă dă adaosuri tot mai mari, pentru că procentul se calculează de fiecare dată din altă valoare — este o creștere geometrică, studiată în lecțiile despre progresii geometrice.

Cum modelez matematic un abonament cu cost fix plus tarif pe minut? Scrii costul ca $c (x) = F + t \cdot x$ , unde $F$ este partea fixă, $t$ tariful unitar și $x$ consumul. Valorile pentru $x = 0, 1, 2, \dots$ formează o progresie aritmetică cu rația $t$ , iar comparația cu o altă ofertă se face rezolvând ecuația $c_{1} (x) = c_{2} (x)$ .

Cum aflu de la ce moment o ofertă devine mai avantajoasă? Scrii costul total al fiecărei oferte în funcție de numărul de luni (sau de unități consumate), pui condiția ca unul să fie mai mic decât celălalt și rezolvi inecuația. Răspunsul se dă sub formă de prag, iar valoarea unde costurile sunt egale se analizează separat.

Cum știu dacă problema îmi cere termenul general sau suma? Dacă întrebarea se referă la o singură etapă („în luna a opta", „în anul al cincilea", „la kilometrul $12$ "), calculezi un termen cu $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ . Dacă se referă la un cumul („în total", „pe toată perioada", „cât a strâns"), calculezi suma cu $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ .

Ce este amortizarea liniară și de ce e o progresie aritmetică? Este scăderea valorii unui bun cu aceeași sumă în fiecare an. Valorile succesive formează o progresie aritmetică cu rație negativă, egală cu suma pierdută anual; modelul este valabil doar până când valoarea ajunge la zero sau la o valoare reziduală stabilită.