Scrierea unui număr ca produs de doi sau trei factori

Salut, matematician isteț! Astăzi învățăm un truc tare de tot: cum să luăm un număr și să-l „desfacem" în bucăți care se înmulțesc între ele. E ca atunci când demontezi o jucărie din piese LEGO ca să vezi din ce e făcută. Numărul nostru va fi jucăria, iar piesele se vor numi factori. La final vei ști să scrii un număr ca produs de doi factori sau chiar de trei factori, și vei folosi acest lucru ca să calculezi mult mai ușor. Hai să începem!

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii un număr ca produs de doi factori (de exemplu 24 = 4 · 6).
• Vei ști să scrii un număr ca produs de trei factori (de exemplu 24 = 2 · 3 · 4).
• Vei ști să găsești mai multe descompuneri pentru același număr.
• Vei ști să alegi factorii potriviți ca să faci un calcul greu să devină ușor.
• Vei ști să verifici dacă o descompunere este corectă.

Hai să descoperim împreună

Mai întâi, ne reamintim ce este un factor

Când înmulțim două numere, fiecare număr înmulțit are un nume special. Uită-te aici:

În egalitatea 4 · 6 = 24:

• numărul 4 este un factor;
• numărul 6 este un factor;
• numărul 24 este produsul (rezultatul înmulțirii).

Deci factorii sunt numerele pe care le înmulțim, iar produsul este ce iese după ce le înmulțim. Ține minte cuvântul produs — el înseamnă „rezultatul înmulțirii", la fel cum suma înseamnă „rezultatul adunării". Dacă vrei să-ți reamintești mai bine cum funcționează înmulțirea, poți reciti lecția despre recapitularea tablei înmulțirii.

Ce înseamnă „a scrie un număr ca produs de factori"

Până acum am mers mereu într-o singură direcție: aveam doi factori și căutam produsul. De exemplu, ni se dădea 4 · 6 și răspundeam 24.

Astăzi mergem invers! Pornim de la produs și căutăm factorii. Adică pornim de la 24 și ne întrebăm: „Ce două numere, înmulțite între ele, îmi dau 24?"

Răspunsul este: 24 = 4 · 6.

Asta înseamnă a scrie un număr ca produs de doi factori: să găsești două numere care, înmulțite, dau exact numărul de la care ai pornit. Se mai spune și a descompune numărul în factori. „A descompune" înseamnă pur și simplu „a desface în bucăți".

Povestea biscuiților din cutie

Hai să înțelegem cu o poveste. Bunica a copt 24 de biscuiți și vrea să-i așeze frumos pe o tavă, în rânduri egale.

• Dacă pune 4 rânduri cu câte 6 biscuiți în fiecare rând, are 4 · 6 = 24 de biscuiți. Perfect!
• Dacă pune 3 rânduri cu câte 8 biscuiți, are 3 · 8 = 24 de biscuiți. Tot perfect!
• Dacă pune 2 rânduri cu câte 12 biscuiți, are 2 · 12 = 24. Iar perfect!

Vezi ce interesant? Același număr, 24, poate fi scris ca produs de doi factori în mai multe feluri! Fiecare aranjare frumoasă în rânduri egale ne dă o descompunere. Numărul nu se schimbă — rămâne 24 — doar felul în care îl „desfacem" se schimbă.

Cum găsim factorii, pas cu pas

Ca să găsim cu ce putem scrie un număr ca produs, ne plimbăm prin tabla înmulțirii și ne întrebăm de fiecare dată: „Câte grupe egale pot face?"

Hai să descompunem numărul 18. Mergem ordonat, de la cel mai mic factor:

1. Începem cu 1. Orice număr este 1 înmulțit cu el însuși: 18 = 1 · 18. Asta merge mereu, dar nu e prea interesantă, fiindcă nu am desfăcut numărul în bucăți adevărate.
2. Încercăm cu 2. Ne întrebăm: 2 înmulțit cu cât dă 18? Răspuns: 2 · 9 = 18. Deci 18 = 2 · 9. ✅
3. Încercăm cu 3. 3 înmulțit cu cât dă 18? 3 · 6 = 18. Deci 18 = 3 · 6. ✅
4. Încercăm cu 4. 4 · 4 = 16, 4 · 5 = 20. Sărim peste 18, deci 4 nu merge.
5. Încercăm cu 5. 5 · 3 = 15, 5 · 4 = 20. Iar sărim peste 18, deci 5 nu merge.
6. Încercăm cu 6. 6 · 3 = 18. Dar asta e aceeași pereche cu 3 · 6, doar întoarsă! Ne putem opri aici.

Pentru 18, perechile cu ambii factori mai mari decât 1 sunt 18 = 2 · 9 și 18 = 3 · 6. Descompunerea 18 = 1 · 18 rămâne corectă; doar condiția aleasă o exclude din această listă.

Observă un lucru: am mers cu factorul mic în sus (1, 2, 3, 4, 5...) și ne-am oprit când perechile au început să se repete întoarse. E ca atunci când cauți pantofii potriviți pentru o pereche — odată ce ai găsit toate perechile, restul sunt aceleași perechi privite din partea cealaltă.

Înmulțirea este comutativă — perechile pot fi întoarse

Îți amintești o regulă importantă pe care ai învățat-o la proprietățile înmulțirii? Înmulțirea este comutativă: putem schimba ordinea factorilor și produsul rămâne același.

• 4 · 6 = 24 și 6 · 4 = 24.

De aceea, când scriem un număr ca produs de doi factori, 4 · 6 și 6 · 4 sunt considerate aceeași descompunere, doar întoarsă. Nu le numărăm de două ori. Asta ne ajută să nu ne încurcăm.

Acum, partea super: produsul de TREI factori

Până aici am desfăcut un număr în două bucăți. Dar putem merge și mai departe și să-l desfacem în trei bucăți!

Să luăm din nou prietenul nostru 24. Știm că 24 = 4 · 6. Dar uite ce facem: numărul 4 poate fi și el desfăcut! Pentru că 4 = 2 · 2. Iar 6 poate fi desfăcut și el: 6 = 2 · 3.

Hai să luăm 24 = 4 · 6 și să desfacem doar pe 6 în 2 · 3:

24 = 4 · 6 = 4 · 2 · 3

Iar dacă le rearanjăm frumos, în ordine crescătoare, putem scrie: 24 = 2 · 3 · 4.

Hai să verificăm că e adevărat. Înmulțim cei trei factori pas cu pas, ca la proprietățile înmulțirii unde am învățat că putem grupa factorii cum vrem:

• Întâi 2 · 3 = 6.
• Apoi 6 · 4 = 24. ✅

Sau altfel:

• Întâi 3 · 4 = 12.
• Apoi 2 · 12 = 24. ✅

Vezi? Indiferent în ce ordine îi grupăm, tot 24 iese. Aceasta este asociativitatea: putem schimba parantezele, de exemplu (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4), fără să schimbăm produsul. Dacă schimbăm și ordinea factorilor, folosim comutativitatea.

Factorul 1 este permis, dacă cerința nu îl exclude

Un produs de trei factori poate conține și 1. Dacă exercițiul cere ca toți factorii să fie mai mari decât 1, respectăm această condiție. Compară:

• 24 = 1 · 4 · 6 este un produs corect de trei factori.
• 24 = 2 · 3 · 4 este un produs corect de trei factori, toți mai mari decât 1.

Citește condiția cerută. În exemplele următoare exersăm și produse cu toți factorii mai mari decât 1, dar nu orice număr natural permite trei asemenea factori: de exemplu, 6 nu permite, deoarece 2 · 2 · 2 = 8 > 6.

De ce ne ajută toate astea? Ca să calculăm mai ușor!

Acum vine cea mai utilă parte a lecției. Descompunerea în factori nu e doar un joc — ea ne ajută să facem calcule grele în minte, fără să scriem în coloană!

Exemplul magic: Cât face 25 · 8? Pare cam greu de făcut în cap, nu? Dar uite trucul.

Desfacem pe 8 în 8 = 4 · 2. Atunci:

25 · 8 = 25 · 4 · 2

Acum alegem cu grijă ordinea. Înmulțim întâi 25 · 4, fiindcă noi știm că 25 · 4 = 100 (un sfert de 100, de patru ori — un număr rotund, prietenos!).

25 · 8 = (25 · 4) · 2 = 100 · 2 = 200.

Vezi ce s-a întâmplat? Am ales factorii astfel încât să apară un număr rotund (100), iar cu numerele rotunde calculăm foarte ușor. Înmulțirea cu numere rotunde ai exersat-o la înmulțirea cu 10 și cu 100.

Încă un exemplu: Cât face 5 · 14? Desfacem pe 14 în 2 · 7. Atunci:

5 · 14 = 5 · 2 · 7 = (5 · 2) · 7 = 10 · 7 = 70.

Am grupat 5 · 2 ca să iasă 10, un număr rotund și ușor. Apoi 10 · 7 = 70. Gata, fără coloană, fără efort!

Așadar, secretul este: caută o grupare în care apar numere rotunde (10, 100, 20, 50), pentru că acelea sunt cele mai blânde la calcul.

Încă o poveste: cutiile de ouă ale lui Vlad

Hai să mai vedem o dată cât de practic e acest truc, cu o poveste. Vlad ajută la fermă și trebuie să numere ouăle. Are 6 cutii, iar în fiecare cutie sunt 15 ouă. Câte ouă sunt în total?

Vlad ar trebui să calculeze 6 · 15. Pare cam greu pentru calcul în minte. Dar el e isteț și a învățat trucul nostru! Desface pe 6 în 2 · 3:

6 · 15 = 2 · 3 · 15

Acum se uită ce poate grupa frumos. Vede că 2 · 15 = 30, un număr rotund! Grupează așa:

6 · 15 = (2 · 15) · 3 = 30 · 3 = 90.

Sunt 90 de ouă în total. Vlad a rezolvat în minte, fără să scrie nimic în coloană, doar pentru că a știut să descompună un factor și să-l grupeze cu altul ca să iasă un număr rotund. Vezi cât de puternic e acest truc?

Numerele care nu se pot desface frumos

Mai trebuie să știi un lucru. Unele numere naturale mai mari decât 1 nu se pot scrie ca produs de doi factori naturali mai mari decât 1. De exemplu numărul 7: oricât am căuta în tabla înmulțirii, singura cale este 7 = 1 · 7. La fel, 5 = 1 · 5 și 11 = 1 · 11. Numerele naturale mai mari decât 1 care au numai perechea de factori pozitivi 1 și numărul însuși se numesc numere prime. Numărul 1 nu este prim.

În schimb, numere ca 12, 18, 24 sau 36 se pot desface în multe feluri frumoase. Cu cât un număr are mai multe perechi de factori, cu atât avem mai multe variante de a-l aranja în rânduri egale și de a calcula mai ușor.

Să găsim toate descompunerile unui număr mai mare

Acum că ne-am încălzit, hai să folosim metoda noastră ordonată pe un număr mai mare: 48. Mergem la pas, cu factorul mic crescând, și verificăm de fiecare dată dacă găsim o pereche:

1. Cu 1: 48 = 1 · 48 este corect. În lista și desenul de mai jos alegem numai perechile cu ambii factori mai mari decât 1.
2. Cu 2: 2 · 24 = 48. Da! Deci 48 = 2 · 24. ✅
3. Cu 3: 3 · 16 = 48. Da! Deci 48 = 3 · 16. ✅
4. Cu 4: 4 · 12 = 48. Da! Deci 48 = 4 · 12. ✅
5. Cu 5: 5 · 9 = 45, 5 · 10 = 50. Sărim peste 48, deci 5 nu merge.
6. Cu 6: 6 · 8 = 48. Da! Deci 48 = 6 · 8. ✅
7. Cu 7: 7 · 6 = 42, 7 · 7 = 49. Sărim peste 48, deci 7 nu merge.
8. Cu 8: 8 · 6 = 48 — dar asta e aceeași pereche cu 6 · 8, întoarsă. Ne-am întâlnit cu o pereche pe care o știm deja, semn că ne putem opri.

Așadar, perechile lui 48 cu ambii factori mai mari decât 1 sunt: 2 · 24, 3 · 16, 4 · 12 și 6 · 8. Patru aranjări diferite în rânduri egale, pentru același număr!

Reține trucul prin care știm când să ne oprim: când factorul mic pe care îl încercăm a ajuns să fie mai mare decât perechea lui (sau egal cu ea), toate perechile noi ar fi doar repetări întoarse ale celor găsite. Atunci ne oprim liniștiți, siguri că le-am prins pe toate.

Cum verificăm o descompunere

De fiecare dată când ai scris un număr ca produs, înmulțește factorii la loc și vezi dacă obții numărul de la care ai pornit. Dacă da — descompunerea e corectă. Dacă nu — caută din nou.

• Am scris 30 = 5 · 6? Verific: 5 · 6 = 30. ✅ Corect.
• Am scris 30 = 4 · 7? Verific: 4 · 7 = 28, nu 30. ❌ Greșit, 4 nu e factor al lui 30.

Verificarea e ca proba pe care o faci mereu în matematică. Te ajută să fii sigur de răspuns.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scriem 20 ca produs de doi factori

Cerință: Scrie numărul 20 ca produs de doi factori naturali mai mari decât 1, în toate felurile, fără a repeta perechile întoarse.

Rezolvare pas cu pas. Ne plimbăm prin tabla înmulțirii și căutam ce perechi dau 20:

• 20 = 2 · 10 (pentru că 2 · 10 = 20) ✅
• 20 = 4 · 5 (pentru că 4 · 5 = 20) ✅
• 20 = 5 · 4 — dar e aceeași pereche ca 4 · 5, întoarsă, deci nu o numărăm separat.

Răspuns: 20 = 2 · 10 și 20 = 4 · 5.

Exemplul 2 — Scriem 16 ca produs de trei factori

Cerință: Scrie numărul 16 ca produs de trei factori.

Rezolvare. Pornim de la o descompunere în doi factori: 16 = 2 · 8. Acum desfacem pe 8 în 8 = 2 · 4. Înlocuim:

16 = 2 · 8 = 2 · 2 · 4

Verificăm: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 4 = 16. ✅

Răspuns: 16 = 2 · 2 · 4.

(Există și descompunerea 16 = 2 · 2 · 2 · 2, dar aceea are patru factori. Noi am cerut trei, așa că ne oprim la 2 · 2 · 4.)

Exemplul 3 — Calculăm mai ușor cu 4 · 25

Cerință: Calculează repede, în minte, cât face 4 · 25 · 3.

Rezolvare. Avem trei factori. Ne uităm care doi, înmulțiți, dau un număr rotund. Vedem 4 · 25 = 100. Grupăm pe ei mai întâi:

4 · 25 · 3 = (4 · 25) · 3 = 100 · 3 = 300.

Răspuns: 300. Am folosit asocierea ca să apară 100, un număr rotund și ușor de înmulțit.

Exemplul 4 — Transformăm un calcul greu într-unul ușor

Cerință: Calculează 15 · 6 folosind descompunerea în factori.

Rezolvare. Înmulțirea 15 · 6 pare cam greoaie. Desfacem pe 6 în 2 · 3:

15 · 6 = 15 · 2 · 3

Grupăm 15 · 2 = 30 (un număr rotund și prietenos):

15 · 6 = (15 · 2) · 3 = 30 · 3 = 90.

Verificăm: 15 · 6, gândit ca 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 90. ✅

Răspuns: 90.

Exemplul 5 — Mai multe descompuneri pentru 36

Cerință: Găsește toate perechile de factori naturali mai mari decât 1 care au produsul 36, fără a repeta perechile întoarse.

Rezolvare. Mergem ordonat, de la factorul mic:

• 36 = 2 · 18 ✅
• 36 = 3 · 12 ✅
• 36 = 4 · 9 ✅
• 36 = 6 · 6 ✅ (aici factorii sunt egali, e o pereche specială)

Mai departe 9 · 4, 12 · 3, 18 · 2 sunt aceleași perechi întoarse, deci ne oprim.

Răspuns: 36 = 2 · 18, 36 = 3 · 12, 36 = 4 · 9 și 36 = 6 · 6.

Exemplul 6 — O mică problemă cu rânduri

Cerință: Andrei are 12 mașinuțe și vrea să le așeze pe raft în cel puțin 2 rânduri egale, cu cel puțin 2 mașinuțe în fiecare rând. În câte feluri poate face asta?

Rezolvare. „Rânduri egale" înseamnă că trebuie să scriem 12 ca produs de doi factori, fiecare mai mare sau egal cu 2:

• 2 rânduri a câte 6: 2 · 6 = 12 ✅
• 3 rânduri a câte 4: 3 · 4 = 12 ✅
• 4 rânduri a câte 3: 4 · 3 = 12 ✅
• 6 rânduri a câte 2: 6 · 2 = 12 ✅

Răspuns: În 4 feluri. (Aici numărăm și 2 · 6 și 6 · 2 separat, pentru că „2 rânduri de câte 6" arată altfel pe raft decât „6 rânduri de câte 2" — sunt aranjări diferite, chiar dacă produsul e același.)

Să exersăm

Ia un creion și o foaie. Rezolvă pe rând, de la ușor la greu. Răspunsurile sunt mai jos, dar încearcă întâi singur!

1. Completează: în 7 · 8 = 56, numerele 7 și 8 se numesc ______, iar 56 se numește ______.

2. Scrie numărul 10 ca produs de doi factori (găsește o pereche frumoasă, fără 1).

3. Scrie numărul 14 ca produs de doi factori naturali mai mari decât 1.

4. Adevărat sau fals? 21 = 3 · 7.

5. Adevărat sau fals? 20 = 6 · 3.

6. Completează căsuța: 27 = 3 · ☐.

7. Completează căsuța: 40 = ☐ · 8.

8. Scrie toate perechile de factori naturali mai mari decât 1 cu produsul 18, fără a repeta perechile întoarse.

9. Încercuiește numerele care sunt factori ai lui 24: 3, 5, 6, 7, 8, 9.

10. Potrivește fiecare număr cu o descompunere corectă a sa:

• a) 15 →
• b) 28 →
• c) 30 →

Variante: (2 · 15), (3 · 5), (4 · 7).

11. Scrie numărul 8 ca produs de trei factori.

12. Scrie numărul 20 ca produs de trei factori.

13. Calculează mai ușor, descompunând: 5 · 18 = 5 · 2 · 9 = ☐.

14. Calculează mai ușor: 25 · 4 · 2 = ☐.

15. Calculează mai ușor: 2 · 50 · 7 = ☐.

16. Mică problemă: Maria are 16 jetoane și le așază în 4 cutii, în mod egal. Câte jetoane intră într-o cutie? Scrie egalitatea de înmulțire potrivită.

17. Desenează (sau imaginează) un dreptunghi din pătrățele cu 3 rânduri și 5 coloane. Câte pătrățele are? Scrie numărul ca produs de doi factori.

18. Provocare: găsește un produs de trei factori care să dea 30. (Indiciu: pornește de la 30 = 5 · 6, apoi desfă pe 6.)

19. Scrie toate descompunerile lui 32 în produs de doi factori (fără 1).

20. Provocare de calcul rapid: cât face 4 · 17 · 25? (Indiciu: care doi factori, grupați, dau 100?)

Răspunsuri și explicații

1. 7 și 8 se numesc factori, iar 56 se numește produs. (Factorii sunt numerele înmulțite, produsul e rezultatul.)

2. 10 = 2 · 5. Verific: 2 · 5 = 10. ✅

3. 14 = 2 · 7. Verific: 2 · 7 = 14. ✅ (Singura descompunere frumoasă, fără 1.)

4. Adevărat. 3 · 7 = 21. ✅

5. Fals. 6 · 3 = 18, nu 20. Corect ar fi, de exemplu, 20 = 4 · 5 sau 20 = 2 · 10.

6. 27 = 3 · 9, fiindcă 3 · 9 = 27. În căsuță scriem 9.

7. 40 = 5 · 8, fiindcă 5 · 8 = 40. În căsuță scriem 5.

8. 18 = 2 · 9 și 18 = 3 · 6. Verific: 2 · 9 = 18 ✅ și 3 · 6 = 18 ✅.

9. Încercuim 3, 6, 8 — pentru că 24 = 3 · 8, 24 = 6 · 4 (deci și 6 e factor), 24 = 8 · 3. Numerele 5, 7 și 9 nu sunt factori ai lui 24 (24 nu se împarte exact la ele).

10. a) 15 → 3 · 5 (3 · 5 = 15); b) 28 → 4 · 7 (4 · 7 = 28); c) 30 → 2 · 15 (2 · 15 = 30).

11. 8 = 2 · 2 · 2. Verific: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 2 = 8. ✅

12. 20 = 2 · 2 · 5. Verific: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 5 = 20. ✅ (Am pornit de la 20 = 4 · 5 și am desfăcut pe 4 în 2 · 2.)

13. 5 · 18 = 5 · 2 · 9 = (5 · 2) · 9 = 10 · 9 = 90. Am grupat 5 · 2 = 10 ca să fie ușor.

14. 25 · 4 · 2 = (25 · 4) · 2 = 100 · 2 = 200. Am folosit 25 · 4 = 100.

15. 2 · 50 · 7 = (2 · 50) · 7 = 100 · 7 = 700. Am grupat 2 · 50 = 100.

16. 16 jetoane în 4 cutii egale: în fiecare cutie intră 4 jetoane, pentru că 4 · 4 = 16. (Sau gândit ca împărțire: 16 : 4 = 4.)

17. Dreptunghiul are 15 pătrățele, fiindcă 3 rânduri · 5 coloane = 3 · 5 = 15.

18. 30 = 5 · 2 · 3 (am pornit de la 5 · 6 și am desfăcut 6 = 2 · 3). Verific: 5 · 2 = 10, apoi 10 · 3 = 30. ✅ (Și 30 = 2 · 3 · 5 e același lucru, doar rearanjat.)

19. 32 = 2 · 16 și 32 = 4 · 8. Verific: 2 · 16 = 32 ✅ și 4 · 8 = 32 ✅. (Perechile 16 · 2 și 8 · 4 sunt aceleași, întoarse, deci nu le numărăm separat.)

20. 4 · 17 · 25 = (4 · 25) · 17 = 100 · 17 = 1 700. Am grupat 4 · 25 = 100, ca să rămână doar o înmulțire cu un număr rotund.

De reținut

• A scrie un număr ca produs de factori înseamnă a-l desface în numere care, înmulțite, dau exact numărul de la care ai pornit (exemplu: 24 = 4 · 6).
• Un număr poate avea mai multe descompuneri în produs de doi factori (24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6).
• Un produs de trei factori poate conține și 1. Folosim numai factori mai mari decât 1 când cerința precizează asta (exemplu: 24 = 2 · 3 · 4).
• Putem alege ordinea și gruparea factorilor ca să apară numere rotunde (10, 100) și să calculăm mai ușor: 25 · 8 = 25 · 4 · 2 = 100 · 2 = 200.
• Verifică mereu o descompunere înmulțind factorii la loc.

Greșeli frecvente

• Confunzi factorii cu produsul. Factorii sunt numerele pe care le înmulțești, produsul e rezultatul. În 4 · 6 = 24, factorii sunt 4 și 6, iar produsul e 24. Cum eviți: spune cu voce tare „factor · factor = produs" de câteva ori.
• Scrii o pereche greșită, fără să verifici. De exemplu, „24 = 5 · 5" — dar 5 · 5 = 25, nu 24! Cum eviți: după fiecare descompunere, înmulțește factorii la loc și vezi dacă iese numărul corect.
• Nu respecți condiția asupra factorilor. 24 = 1 · 4 · 6 este corect, dar nu respectă o cerință care impune trei factori mai mari decât 1. În acel caz poți scrie 24 = 2 · 3 · 4.
• Numeri de două ori aceeași pereche întoarsă. 4 · 6 și 6 · 4 sunt aceeași descompunere a lui 24. Cum eviți: scrie mereu factorul mai mic primul și oprește-te când perechile încep să se repete.

Joc acasă

1. Tava cu nasturi (sau fasole, sau biscuiți). Ia 12 nasturi. Așază-i în cel puțin 2 rânduri egale, cu cel puțin 2 nasturi pe fiecare rând, și descoperă în câte feluri poți. Vei găsi: 2 rânduri de 6, 3 rânduri de 4, 4 rânduri de 3, 6 rânduri de 2. De fiecare dată spune egalitatea cu voce tare („3 · 4 = 12"). Apoi încearcă cu 18 sau cu 24 de nasturi.

2. Vânătoarea de factori prin casă. Părintele spune un număr, de exemplu 16. Copilul ia 16 jetoane și le așază întâi în 2 grupe de câte 8, apoi în 4 grupe de câte 4. Spune egalitățile 2 · 8 = 16 și 4 · 4 = 16. Câștigi un punct pentru fiecare descompunere corectă.

3. Cursa numerelor rotunde. Părintele scrie un calcul de tipul 5 · 2 · 9 sau 25 · 4 · 3. Copilul trebuie să găsească repede cei doi factori care, grupați, dau un număr rotund (10 sau 100) și apoi să termine calculul. Cine găsește mai repede gruparea câștigă!

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă tabla înmulțirii (deja stăpânită) de o gândire nouă: mersul invers, de la produs către factori. E o etapă importantă, fiindcă pregătește împărțirea, descompunerea în factori primi din clasele următoare și calculul mental rapid.

Cum predați pas cu pas:

• Începeți concret, cu obiecte așezate în rânduri egale (matricea/rețeaua dreptunghiulară). Vizualizarea „rânduri × coloane" face descompunerea naturală și de înțeles.
• Treceți apoi la limbajul simbolic (24 = 4 · 6) doar după ce copilul a manipulat obiecte.
• Insistați pe verificarea prin reînmulțire. E cel mai bun obicei matematic pe care îl puteți forma acum.

Întrebări bune de pus:

• „Cu ce alt număr poți să mai scrii 24 ca produs?" (caută mai multe descompuneri)
• „Cum ai putea desface pe 6 din 4 · 6 ca să ai trei factori?"
• „Ce factori am putea grupa ca să iasă un număr rotund?" (dezvoltă strategia de calcul)

Cum verificați că a înțeles: dați-i un număr (de exemplu 30) și cereți-i două descompuneri în doi factori plus una în trei factori, apoi rugați-l să le verifice singur. Dacă reușește fără ajutor și își verifică rezultatele, lecția este însușită. Dacă se blochează, întoarceți-vă la nasturi.

Atenție la o capcană tipică: copilul poate scrie corect 24 = 4 · 6 dar să nu vadă că 4 · 6 și 6 · 4 sunt aceeași pereche. Lăsați-l să descopere singur, întorcând tava cu nasturi, că e tot atâta — nu îl corectați direct.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să scrii un număr ca produs de factori la clasa a 3-a? Înseamnă să găsești numere care, înmulțite între ele, dau exact numărul de la care ai pornit. De exemplu, 24 = 4 · 6 sau 24 = 2 · 3 · 4. Numerele înmulțite se numesc factori, iar rezultatul se numește produs.

Care este diferența dintre factor și produs? Factorii sunt numerele pe care le înmulțești, iar produsul este rezultatul înmulțirii. În egalitatea 4 · 6 = 24, numerele 4 și 6 sunt factori, iar 24 este produsul. E ca la adunare, unde numerele adunate sunt termeni, iar rezultatul e suma.

De ce 24 = 4 · 6, dar și 24 = 3 · 8? Pentru că un număr poate avea mai multe descompuneri în produs de doi factori. Atât 4 · 6 cât și 3 · 8 dau 24, deci ambele sunt corecte. La fel, 24 = 2 · 12. Toate sunt feluri diferite de a desface același număr.

Cum scriu un număr ca produs de trei factori? Pornești de la o descompunere în doi factori, apoi mai desfaci unul dintre factori. De exemplu: 24 = 4 · 6, apoi desfaci 6 = 2 · 3, și obții 24 = 4 · 2 · 3, adică 24 = 2 · 3 · 4. Folosește numai factori mai mari decât 1 dacă cerința precizează această condiție; altfel, 1 este și el permis.

De ce ne ajută descompunerea în factori la calcul? Pentru că putem grupa factorii astfel încât să apară numere rotunde, ușor de înmulțit. De exemplu, 25 · 8 = 25 · 4 · 2 = 100 · 2 = 200. Numerele rotunde precum 10 și 100 fac calculul mult mai simplu, fără să mai scrii în coloană.

Pot scrie orice număr ca produs de factori? Da, orice număr natural n poate fi scris n = 1 · n, inclusiv 0 = 1 · 0. Un număr natural mai mare decât 1 este prim dacă singura sa pereche de factori pozitivi, fără a repeta ordinea inversă, este 1 și numărul însuși. Exemple: 7, 11, 13. Numerele 0 și 1 nu sunt prime.

Cum verific dacă am descompus corect un număr? Înmulțești factorii la loc și vezi dacă obții numărul de la care ai pornit. Dacă ai scris 30 = 5 · 6, verifici: 5 · 6 = 30, deci e corect. Dacă rezultatul nu se potrivește, descompunerea e greșită și trebuie să cauți din nou.

Contează ordinea factorilor în produs? Nu, pentru valoarea produsului ordinea nu contează, pentru că înmulțirea este comutativă: 4 · 6 = 6 · 4 = 24. De aceea, 4 · 6 și 6 · 4 le considerăm aceeași descompunere. Putem schimba ordinea și gruparea ca să calculăm mai ușor, fără ca rezultatul să se schimbe.