Înmulțirea a două numere de două cifre

Ai învățat deja să înmulțești un număr de două sau de trei cifre cu un număr de o cifră. Astăzi facem un pas mare și frumos: înmulțim două numere de două cifre, de exemplu 23 · 14. Pare greu, dar e ca și cum am rezolva două înmulțiri mici și apoi le adunăm. Hai să descoperim împreună, pas cu pas, fără grabă!

Ce vei învăța

Vei ști să înmulțești două numere de două cifre, cu rezultat sub 10 000.
Vei ști să afli produsele parțiale: mai întâi înmulțesc cu unitățile, apoi cu zecile.
Vei ști să așezi corect al doilea produs parțial, mutat cu o căsuță spre stânga.
Vei ști să aduni produsele parțiale la final ca să afli răspunsul.
Vei ști să faci proba și să verifici că rezultatul este corect.

Hai să descoperim împreună

O poveste ca să înțelegem ce înmulțim

Maria are o cutie mare cu bomboane, așezate frumos ca într-un tablou. Pe fiecare rând sunt 23 de bomboane. Cutia are 14 rânduri. Câte bomboane sunt în total?

Ca să afli „de câte ori câte", folosim înmulțirea: 23 · 14. Adică numărul 23 luat de 14 ori.

A le număra una câte una ar dura o veșnicie. De aceea avem o tehnică isteață, care le numără pe toate dintr-o dată. O numim tehnica produselor parțiale.

Ideea cea mare: spargem un număr în două bucăți

Secretul este simplu. Numărul 14 este format din 4 unități și 1 zece, adică:

14 = 10 + 4

Așa că, în loc să înmulțim 23 cu 14 dintr-o dată, facem două înmulțiri mai ușoare și apoi adunăm:

mai întâi 23 · 4 (înmulțim cu unitățile);
apoi 23 · 10 (înmulțim cu zecile);
la final adunăm cele două rezultate.

Aceste două rezultate se numesc produse parțiale, pentru că fiecare este doar o parte din răspuns. „Parțial" înseamnă „o parte din întreg".

Hai să le calculăm:

23 · 4 = 92 (primul produs parțial)
23 · 10 = 230 (al doilea produs parțial)
92 + 230 = 322

Deci 23 · 14 = 322. În cutia Mariei sunt 322 de bomboane!

De ce funcționează? Trucul cu cele două grupe

Gândește-te la cele 14 rânduri din cutie. Putem să le împărțim în două grupe:

o grupă cu 4 rânduri;
o grupă cu 10 rânduri.

În grupa cu 4 rânduri sunt 23 · 4 = 92 de bomboane. În grupa cu 10 rânduri sunt 23 · 10 = 230 de bomboane. Punem grupele la loc și adunăm: 92 + 230 = 322. Vezi? Am numărat toate bomboanele, dar pe bucăți. Asta înseamnă tehnica produselor parțiale: tăiem treaba grea în două treburi ușoare.

Îți amintești de proprietatea distributivă de la lecția despre proprietățile înmulțirii? Exact ea ne ajută acum: 23 · 14 = 23 · (10 + 4) = 23 · 10 + 23 · 4. Frumos, nu?

Cum scriem totul în coloană

Matematicienii nu scriu de fiecare dată povești. Ei așază numerele unul sub altul, în coloană, ca să fie ordine. Hai să învățăm așezarea corectă pentru 23 · 14.

Pasul 1. Așezăm numerele unul sub altul. Unitățile sub unități, zecile sub zeci. Sub ele tragem o linie.

   2 3
 × 1 4
 ------

Pasul 2. Înmulțim cu cifra unităților (4).

Înmulțim 4 cu fiecare cifră a lui 23, de la dreapta la stânga:

4 · 3 = 12. Scriem 2, ținem minte 1 (zecea).
4 · 2 = 8, plus 1 ținut minte = 9. Scriem 9.

Primul produs parțial este 92.

   2 3
 × 1 4
 ------
   9 2      ← 23 · 4

Pasul 3. Înmulțim cu cifra zecilor (1).

Atenție, aici e partea cea mai importantă! Cifra 1 din numărul 14 nu este un 1 oarecare. Ea stă la locul zecilor, deci înseamnă de fapt 10. De aceea al doilea produs parțial se mută cu o căsuță spre stânga.

Mulți copii pun mai întâi un 0 la locul unităților, ca să nu uite mutarea. Apoi înmulțesc:

1 · 3 = 3. Scriem 3.
1 · 2 = 2. Scriem 2.

Al doilea produs parțial este 230.

   2 3
 × 1 4
 ------
   9 2      ← 23 · 4
 2 3 0      ← 23 · 10  (cu un 0 la unități)
 ------

Pasul 4. Adunăm produsele parțiale.

Acum adunăm în coloană cele două produse parțiale, ca la o adunare obișnuită:

   2 3
 × 1 4
 ------
   9 2
 2 3 0
 ------
 3 2 2

92 + 230 = 322. Gata! 23 · 14 = 322.

Cele patru reguli de aur

Ca să nu te încurci niciodată, ține minte aceste patru reguli:

Întâi unitățile. Înmulțesc tot numărul de sus cu cifra unităților de jos.
Apoi zecile. Înmulțesc tot numărul de sus cu cifra zecilor de jos.
Mut cu o căsuță. Al doilea produs parțial îl așez mutat cu o căsuță spre stânga (sau pun un 0 la unități).
La final adun. Adun cele două produse parțiale și aflu răspunsul.

Estimăm înainte, ca să nu greșim urât

Înainte de a calcula exact, e bine să ghicim cam cât trebuie să iasă. Asta se numește estimare. La 23 · 14, ne gândim: 23 e cam 20, iar 14 e cam 10. Deci răspunsul e cam 20 · 10 = 200. Adevăratul răspuns, 322, e aproape de estimare. Foarte bine! Dacă ne-ar fi ieșit 50 sau 5000, am ști imediat că am greșit undeva. Vom învăța mai multe despre asta la lecția estimarea produsului.

Proba: cum verificăm că am calculat bine

Înmulțirea este comutativă — adică putem schimba numerele între ele și răspunsul rămâne același. Deci ca să verificăm 23 · 14, putem calcula din nou, dar invers: 14 · 23.

14 · 3 = 42 (primul produs parțial)
14 · 20 = 280 (al doilea produs parțial)
42 + 280 = 322

A ieșit tot 322! Înseamnă că am calculat corect. Aceasta este proba înmulțirii prin schimbarea ordinii factorilor.

Recapitulăm pe alt exemplu: 32 · 13

Hai să mai facem unul împreună, ca să fim siguri. Calculăm 32 · 13.

Spargem 13 în 10 + 3.

32 · 3 = 96 (primul produs parțial)
32 · 10 = 320 (al doilea produs parțial)
96 + 320 = 416

În coloană:

   3 2
 × 1 3
 ------
   9 6      ← 32 · 3
 3 2 0      ← 32 · 10
 ------
 4 1 6

Deci 32 · 13 = 416. Vezi cât de mult seamănă cu primul? Mereu aceiași patru pași.

Un truc isteț: numărăm dintr-o dată o pădure

Imaginează-ți o livadă cu meri. Pe fiecare rând sunt 13 meri, iar livada are 12 rânduri. Câți meri sunt în toată livada?

În loc să mergem din copac în copac (am obosi!), spargem livada în două bucăți:

10 rânduri pline: 13 · 10 = 130 de meri;
încă 2 rânduri: 13 · 2 = 26 de meri.

Adunăm: 130 + 26 = 156 de meri. Vezi? Mereu același gând: spargem, înmulțim pe bucăți, adunăm. Asta înseamnă să fii isteț la matematică — nu să numeri totul unul câte unul, ci să găsești un drum scurt și sigur.

Atenție la cifra zecilor: ea nu e niciodată „doar 1"

Hai să comparăm două înmulțiri ca să vezi cât de important e locul cifrei:

La 23 · 14, cifra zecilor de jos este 1, deci al doilea produs parțial este 23 · 10 = 230.
La 23 · 24, cifra zecilor de jos este 2, deci al doilea produs parțial este 23 · 20 = 460.

Diferența uriașă vine doar din locul și valoarea cifrei de la zeci! De aceea, înainte de pasul al doilea, întreabă-te mereu: „Cu cât înmulțesc de fapt — cu 10, cu 20, cu 30?" Cifra zecilor îți spune câte zeci sunt.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — pas cu pas: 24 · 12

Înmulțim 24 cu 12.

Spargem 12 = 10 + 2.

Cu unitățile: 24 · 2 = 48.
Cu zecile: 24 · 10 = 240.
Adunăm: 48 + 240 = 288.

   2 4
 × 1 2
 ------
   4 8      ← 24 · 2
 2 4 0      ← 24 · 10
 ------
 2 8 8

Răspuns: 24 · 12 = 288.

Exemplul 2 — cu trecere peste ordin: 27 · 12

Înmulțim 27 cu 12.

Cu unitățile: 27 · 2. Calculăm: 2 · 7 = 14 (scriu 4, țin minte 1); 2 · 2 = 4, plus 1 = 5. Deci 27 · 2 = 54.
Cu zecile: 27 · 10 = 270.
Adunăm: 54 + 270 = 324.

   2 7
 × 1 2
 ------
   5 4      ← 27 · 2
 2 7 0      ← 27 · 10
 ------
 3 2 4

Răspuns: 27 · 12 = 324. Observă cum la 2 · 7 a apărut un rest de ținut minte. Asta e normal!

Exemplul 3 — numere mai mărișoare: 45 · 21

Înmulțim 45 cu 21.

Spargem 21 = 20 + 1.

Cu unitățile: 45 · 1 = 45.
Cu zecile: 45 · 20 = 900.
Adunăm: 45 + 900 = 945.

   4 5
 × 2 1
 ------
   4 5      ← 45 · 1
 9 0 0      ← 45 · 20
 ------
 9 4 5

Răspuns: 45 · 21 = 945. Aici cifra zecilor era 2, deci am înmulțit cu 20, nu cu 10. Fii atent mereu ce cifră ai la zeci!

Exemplul 4 — o problemă din viață: cutiile cu ouă

La o fermă, fiecare cofrag are 30 de ouă. Bunica a cumpărat 23 de cofraje. Câte ouă a cumpărat?

Ne gândim: „de 23 de ori câte 30". Deci calculăm 30 · 23.

Cu unitățile: 30 · 3 = 90.
Cu zecile: 30 · 20 = 600.
Adunăm: 90 + 600 = 690.

Răspuns: Bunica a cumpărat 690 de ouă. (Dacă ți-e mai ușor, fiindcă 30 se termină în zero, poți folosi și trucul de la înmulțirea numerelor terminate în zerouri: 3 · 23 = 69, apoi adaugi un zero → 690.)

Exemplul 5 — problemă cu bani: biletele la teatru

Un bilet la teatrul de păpuși costă 23 de lei. Doamna învățătoare cumpără 14 bilete, pentru toți copiii din clasă. Cât plătește în total?

Calculăm 23 · 14 (exact exemplul nostru de la început!):

23 · 4 = 92
23 · 10 = 230
92 + 230 = 322

Răspuns: Doamna învățătoare plătește 322 de lei.

Exemplul 6 — verificăm cu proba: 18 · 24

Înmulțim 18 cu 24.

Cu unitățile: 18 · 4 = 72.
Cu zecile: 18 · 20 = 360.
Adunăm: 72 + 360 = 432.

Proba (schimbăm ordinea, calculăm 24 · 18):

24 · 8 = 192.
24 · 10 = 240.
192 + 240 = 432.

A ieșit tot 432 în ambele feluri, deci răspunsul 18 · 24 = 432 este corect.

Să exersăm

Ia un creion și o foaie. Lucrează frumos, în coloană, și nu uita cele patru reguli de aur!

1. Calculează în coloană: a) 13 · 12 b) 21 · 14 c) 32 · 13 d) 24 · 12

2. Completează produsele parțiale pentru 25 · 13: 25 · 3 = ____ ; 25 · 10 = ____ ; total = ____ .

3. Calculează: a) 16 · 15 b) 27 · 12 c) 19 · 21

4. Adevărat sau fals? a) 14 · 12 = 168 b) 23 · 11 = 253 c) 22 · 14 = 298

5. Încercuiește rezultatul corect pentru 18 · 13: 224 234 244

6. Potrivește fiecare înmulțire cu rezultatul ei: 12 · 12 • • 210 15 · 14 • • 144 13 · 13 • • 169

7. Problemă. O cutie are 24 de creioane. Câte creioane sunt în 13 cutii la fel?

8. Problemă. Un caiet costă 12 lei. Câți lei costă 23 de caiete?

9. Calculează și fă proba (prin schimbarea ordinii) pentru: 17 · 15.

10. Completează căsuțele goale la 34 · 12: 34 · 2 = ____ ; 34 · 10 = ____ ; 34 · 12 = ____ .

11. Problemă. O grădină are 26 de straturi. Pe fiecare strat sunt plantate 13 fire de lalele. Câte fire de lalele sunt în toată grădina?

12. Ordonează rezultatele de la cel mai mic la cel mai mare: 12 · 23 ; 19 · 15 ; 28 · 12 .

13. Problemă. Într-o sală de spectacol sunt 33 de rânduri, fiecare cu 13 scaune. Câte scaune are sala?

14. Găsește greșeala. Un copil a scris: 35 · 14 = 175. Calculează tu corect și spune unde a greșit.

15. Problemă mai grea. Un autocar are 41 de locuri. Pentru o excursie pleacă 21 de autocare pline. Câți excursioniști pleacă în total?

Răspunsuri și explicații

1. a) 13 · 12 = 156 (13·2 = 26; 13·10 = 130; 26 + 130 = 156) b) 21 · 14 = 294 (21·4 = 84; 21·10 = 210; 84 + 210 = 294) c) 32 · 13 = 416 (32·3 = 96; 32·10 = 320; 96 + 320 = 416) d) 24 · 12 = 288 (24·2 = 48; 24·10 = 240; 48 + 240 = 288)

2. 25 · 3 = 75 ; 25 · 10 = 250 ; total = 75 + 250 = 325. Deci 25 · 13 = 325.

3. a) 16 · 15 = 240 (16·5 = 80; 16·10 = 160; 80 + 160 = 240) b) 27 · 12 = 324 (27·2 = 54; 27·10 = 270; 54 + 270 = 324) c) 19 · 21 = 399 (19·1 = 19; 19·20 = 380; 19 + 380 = 399)

4. a) Adevărat. 14·2 = 28; 14·10 = 140; 28 + 140 = 168. ✔ b) Adevărat. 23·1 = 23; 23·10 = 230; 23 + 230 = 253. ✔ c) Fals. Corect este 22 · 14 = 308 (22·4 = 88; 22·10 = 220; 88 + 220 = 308). 298 este greșit.

5. Rezultatul corect este 234. (18·3 = 54; 18·10 = 180; 54 + 180 = 234.)

6. 12 · 12 = 144 15 · 14 = 210 (15·4 = 60; 15·10 = 150) 13 · 13 = 169 (13·3 = 39; 13·10 = 130)

7. 24 · 13 = 312 creioane. (24·3 = 72; 24·10 = 240; 72 + 240 = 312.)

8. 12 · 23 = 276 lei. (12·3 = 36; 12·20 = 240; 36 + 240 = 276.) Cele 23 de caiete costă 276 de lei.

9. 17 · 15 = 255. (17·5 = 85; 17·10 = 170; 85 + 170 = 255.) Proba: 15 · 17 = 15·7 + 15·10 = 105 + 150 = 255. La fel, deci e corect. ✔

10. 34 · 2 = 68 ; 34 · 10 = 340 ; 34 · 12 = 68 + 340 = 408.

11. 26 · 13 = 338 fire de lalele. (26·3 = 78; 26·10 = 260; 78 + 260 = 338.)

12. Calculăm fiecare: 12 · 23 = 276 ; 19 · 15 = 285 ; 28 · 12 = 336. Ordonate de la mic la mare: 276 < 285 < 336, adică 12·23 ; 19·15 ; 28·12.

13. 33 · 13 = 429 scaune. (33·3 = 99; 33·10 = 330; 99 + 330 = 429.)

14. Corect: 35 · 14 = 490 (35·4 = 140; 35·10 = 350; 140 + 350 = 490). Unde a greșit copilul? A uitat să mute al doilea produs parțial cu o căsuță spre stânga: în loc de 35·10 = 350, a scris doar 35 (ca și cum cifra zecilor ar fi fost unități) și a adunat 140 + 35 = 175. Cifra 1 din 14 înseamnă o zece, deci al doilea produs parțial este 350, nu 35. Așa ajungem la răspunsul corect, 490. (O estimare rapidă ne avertiza: 35 e cam 40, 14 e cam 10, deci răspunsul trebuie să fie pe lângă 40·10 = 400 — iar 175 este mult prea mic.)

15. 41 · 21 = 861 excursioniști. (41·1 = 41; 41·20 = 820; 41 + 820 = 861.)

De reținut

Ca să înmulțesc două numere de două cifre, fac două înmulțiri mai mici și apoi le adun.
Mai întâi înmulțesc cu unitățile, apoi cu zecile: acestea sunt produsele parțiale.
Al doilea produs parțial se mută cu o căsuță spre stânga (sau pun un 0 la locul unităților), pentru că cifra zecilor înseamnă de fapt zeci.
La final adun produsele parțiale ca să aflu răspunsul.
Pot face proba schimbând ordinea numerelor: 23 · 14 trebuie să dea la fel ca 14 · 23.

Greșeli frecvente

Uită al doilea produs parțial. Mulți copii înmulțesc doar cu unitățile și se opresc. Ține minte: sunt mereu două produse parțiale, pentru că numărul de jos are două cifre.
Nu mută al doilea produs parțial. Dacă scrii 230 ca și cum ar fi 23, răspunsul iese mult prea mic. Pune un 0 la locul unităților pentru al doilea produs parțial și ai rezolvat problema.
Uită restul „ținut minte". Când 4 · 3 = 12, scrii 2 și ții minte 1. Dacă uiți să-l aduni la pasul următor, greșești. Notează micul rest deasupra cifrei, cu creionul.
Confundă unitățile cu zecile. La 21, cifra 1 sunt unitățile, iar 2 sunt zecile. Înmulțește întâi cu cifra din dreapta (unitățile), apoi cu cea din stânga (zecile).

Joc acasă

Jocul 1 — Cutia cu ouă (tablou de înmulțire). Ia un cofrag de ouă gol (sau desenează un grilaj pe o foaie). Spune-i copilului: „Pe fiecare rând sunt 12 ouă, iar cofrajul are 13 rânduri. Câte ouă încap?" Copilul calculează 12 · 13 = 156. Apoi schimbați numerele și inventați alte cofraje. Vezi cu ochii cum înmulțirea numără un tablou întreg.

Jocul 2 — Magazinul de acasă. Puneți prețuri pe câteva obiecte din casă: o jucărie „costă" 14 lei, o carte „costă" 23 de lei. Părintele spune: „Vreau 12 jucării". Copilul calculează 14 · 12 = 168 lei și „dă" bani de hârtie desenați. Schimbați rolurile. Așa exersați înmulțirea cu bani, util și pentru lecția despre leul și banul.

Jocul 3 — Duelul produselor parțiale. Scrieți pe bilețele înmulțiri de două cifre (de exemplu 15 · 14). Fiecare jucător trage un bilețel și trebuie să spună repede cele două produse parțiale (15·4 = 60 și 15·10 = 150), apoi suma (210). Cine spune corect și primul, primește un punct. Primul la 5 puncte câștigă o mică recompensă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este pasul în care copilul trece de la înmulțirea cu o cifră la înmulțirea cu două cifre. Cheia înțelegerii nu este memorarea mecanică, ci ideea că descompunem al doilea factor în zeci și unități (14 = 10 + 4) și înmulțim pe rând — adică distributivitatea, văzută concret.

Cum predați:

Începeți cu modelul vizual (tabloul de bomboane sau cofragul de ouă) înainte de algoritmul în coloană. Copilul trebuie să „vadă" de ce sunt două produse parțiale.
Insistați pe mutarea cu o căsuță a celui de-al doilea produs parțial. Cel mai sigur truc la început este să scrie un 0 colorat la locul unităților. Eliminați acel 0 abia când mecanismul e bine fixat.
Cereți-i să facă mereu o estimare înainte (20 · 10 ≈ 200) și proba după (schimbarea ordinii factorilor). Astfel își prinde singur greșelile.

Întrebări utile de pus:

„Cum desfaci numărul 14? Din ce este format?" (10 + 4)
„De ce al doilea rând începe cu un 0 la unități?" (pentru că înmulțim cu zeci, nu cu unități)
„Câte produse parțiale trebuie să ai? De ce?" (două, pentru că numărul de jos are două cifre)

Cum verificați înțelegerea: dați-i o înmulțire nouă (de exemplu 26 · 13) și rugați-l să explice cu voce tare fiecare pas, nu doar să scrie rezultatul. Dacă poate explica de ce mută al doilea produs parțial, a înțeles cu adevărat. Dacă greșește, întoarceți-vă la modelul vizual.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două numere de două cifre la clasa a III-a? Înmulțești numărul de sus mai întâi cu cifra unităților, apoi cu cifra zecilor. Obții două produse parțiale. Al doilea îl muți cu o căsuță spre stânga (sau pui un 0 la unități). La final aduni cele două produse parțiale și afli rezultatul.

Cât face 23 · 14 și cum se calculează? 23 · 14 = 322. Calculezi 23 · 4 = 92 (primul produs parțial), apoi 23 · 10 = 230 (al doilea produs parțial) și aduni: 92 + 230 = 322.

Ce sunt produsele parțiale? Sunt rezultatele celor două înmulțiri mai mici pe care le faci în drum spre răspunsul final. Primul produs parțial vine din înmulțirea cu unitățile, al doilea din înmulțirea cu zecile. Cuvântul „parțial" înseamnă „o parte din întreg".

De ce al doilea produs parțial se mută cu o căsuță spre stânga? Pentru că cifra zecilor nu este un simplu 1, ci înseamnă 10. Când înmulțești cu 10, rezultatul are un 0 la locul unităților, deci toate cifrele se mută cu o poziție spre stânga. De aceea mulți copii scriu mai întâi un 0 acolo.

Cum verific dacă am calculat corect o înmulțire de două cifre? Faci proba schimbând ordinea numerelor, fiindcă înmulțirea este comutativă. De exemplu, pentru 18 · 24 calculezi și 24 · 18. Dacă obții același rezultat (432), înmulțirea este corectă.

Câte produse parțiale am când înmulțesc două numere de două cifre? Ai exact două produse parțiale, pentru că numărul cu care înmulțești are două cifre: unul pentru unități și unul pentru zeci. Dacă uiți unul dintre ele, răspunsul iese greșit.

Pot înmulți și fără să le așez în coloană? Da. Poți descompune al doilea număr și calcula în minte: 23 · 14 = 23 · 10 + 23 · 4 = 230 + 92 = 322. Așezarea în coloană te ajută însă să nu te încurci la numerele mai mari și să nu uiți niciun pas.

Ce fac dacă apare o trecere peste ordin (un rest de ținut minte)? Scrii cifra unităților rezultatului și ții minte zecea, exact ca la înmulțirea cu o cifră. De exemplu, la 27 · 2: 2·7 = 14, scrii 4 și ții minte 1; apoi 2·2 = 4, plus 1 = 5, deci 54. Este același procedeu pe care l-ai învățat la înmulțirea cu o cifră în coloană.

Care este diferența dintre înmulțirea cu o cifră și cea cu două cifre? Când înmulțești cu un număr de o cifră, ai un singur produs parțial și gata. Când înmulțești cu un număr de două cifre, ai două produse parțiale: unul pentru unități și unul pentru zeci, iar pe al doilea îl muți cu o căsuță spre stânga și apoi le aduni. Pe scurt: cu cât are mai multe cifre numărul de jos, cu atât ai mai multe produse parțiale de adunat.

Cum înmulțesc un număr de două cifre cu un număr terminat în zero, de exemplu 23 · 20? Aici ai un truc rapid. Înmulțești fără zero (23 · 2 = 46) și apoi adaugi un zero la rezultat: 23 · 20 = 460. Funcționează pentru că 20 = 2 · 10, deci înmulțirea cu 20 înseamnă „înmulțesc cu 2 și apoi cu 10". Tocmai de aceea al doilea produs parțial dintr-o înmulțire de două cifre se termină mereu într-un zero.

Câte zerouri are al doilea produs parțial? Întotdeauna un singur zero la locul unităților, pentru că înmulțim cu zeci. De exemplu, la 45 · 21, al doilea produs parțial este 45 · 20 = 900 — observă zeroul de la unități care vine din mutarea cu o căsuță. Acel zero este semnul că ai înmulțit corect cu cifra zecilor, nu cu cea a unităților.