Termenul general al unei progresii geometrice

Știi deja că o foaie de hârtie îndoită în două de $n$ ori are $2^{n}$ straturi, iar că numărul straturilor formează o progresie geometrică. Dar ce faci dacă cineva te întreabă câte straturi are foaia după $30$ de îndoituri? Cu definiția în mână, ai porni răbdător: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ și ai înmulți cu $2$ de treizeci de ori. Se poate, dar e o pierdere de timp. Iar dacă întrebarea e „al câtelea termen al progresiei este $1024$ ?", metoda pas cu pas devine de-a dreptul nepractică.

Ne trebuie o formulă care să sară direct la termenul de rang $n$ , fără să treacă prin toți termenii dinaintea lui. Exact așa cum la progresiile aritmetice ai obținut $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , aici vei obține $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Este cea mai folosită formulă din tot capitolul: cu ea calculezi termeni de rang mare, afli rația din doi termeni oarecare, determini rangul unui termen dat și rezolvi problemele practice în care o mărime se înmulțește repetat cu același factor.

Ce vei învăța

Vei ști să deduci și să enunți formula termenului general al unei progresii geometrice, $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Vei ști să calculezi orice termen al unei progresii geometrice când cunoști primul termen și rația, inclusiv pentru rații negative sau subunitare.
Vei ști să determini rangul unui termen dat, aducând ambii membri ai unei egalități la aceeași bază.
Vei ști să folosești relația dintre doi termeni oarecare, $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ , ca să afli rația din doi termeni neconsecutivi.
Vei ști să rezolvi sisteme simple în care necunoscutele sunt $b_{1}$ și $q$ .
Vei ști să aplici formula în contexte practice de scădere sau creștere repetată cu același factor.

Hai să descoperim împreună

1. De la pas cu pas la formulă

Pornim de la definiția pe care ai învățat-o în Progresia geometrică și rația ei: $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ . Să scriem primii termeni, exprimându-i pe toți în funcție de $b_{1}$ și $q$ :

$b_{2} = b_{1} q, b_{3} = b_{2} q = (b_{1} q) q = b_{1} q^{2}, b_{4} = b_{3} q = (b_{1} q^{2}) q = b_{1} q^{3}, b_{5} = b_{1} q^{4} .$

Tiparul sare în ochi: la termenul de rang $n$ , exponentul lui $q$ este cu unu mai mic decât rangul. Motivul e simplu de povestit: ca să ajungi de la $b_{1}$ la $b_{n}$ faci $n - 1$ pași, iar la fiecare pas înmulțești o dată cu $q$ .

2. Teorema și demonstrația

Teoremă (termenul general). Dacă $(b_{n})_{n \geq 1}$ este o progresie geometrică cu primul termen $b_{1}$ și rația $q$ , atunci

$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} pentru orice n \geq 1.$

Demonstrație. Scriem relația de definiție pentru primii $n - 1$ pași și le înmulțim membru cu membru:

$b_{2} = b_{1} q, b_{3} = b_{2} q, \dots, b_{n} = b_{n - 1} q .$

Înmulțind toate cele $n - 1$ egalități obținem

$b_{2} b_{3} \dots b_{n} = (b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1}) \cdot q^{n - 1} .$

Toți termenii unei progresii geometrice sunt nenuli, deci putem simplifica produsul comun $b_{2} b_{3} \dots b_{n - 1}$ din cei doi membri; rămâne $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ . $■$

Aceeași teoremă se demonstrează elegant și prin metoda inducției matematice: pentru $n = 1$ formula dă $b_{1} = b_{1} q^{0} = b_{1}$ , adevărat; iar dacă presupunem $b_{k} = b_{1} q^{k - 1}$ , atunci $b_{k + 1} = b_{k} \cdot q = b_{1} q^{k - 1} \cdot q = b_{1} q^{k}$ , adică exact formula pentru $k + 1$ .

Compară cele două formule-surori, ca să le ții minte împreună:

$progresie aritmetic \overset{a}{˘} : a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r, progresie geometric \overset{a}{˘} : b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} .$

Peste tot unde la progresia aritmetică apare o adunare repetată, la cea geometrică apare o înmulțire repetată; „de $(n - 1)$ ori" devine „la puterea $n - 1$ ". Formula pentru progresii aritmetice o găsești demonstrată în Termenul general al unei progresii aritmetice.

3. Calculul unui termen de rang dat

Cu formula, calculul devine mecanic. Fie progresia geometrică cu $b_{1} = 3$ și $q = 2$ . Atunci

$b_{10} = 3 \cdot 2^{9} = 3 \cdot 512 = 1536.$

Atenție la exponent: pentru rangul $10$ scriem $q^{9}$ , nu $q^{10}$ . Este greșeala numărul unu la acest capitol, iar la teze costă tot punctajul exercițiului. Un truc de verificare: exponentul lui $q$ trebuie să fie $0$ la primul termen, adică $b_{1} = b_{1} q^{0}$ .

Formula merge la fel de bine cu rații subunitare sau negative:

$b_{1} = \frac{1}{3}$ , $q = 3$ : $b_{6} = \frac{1}{3} \cdot 3^{5} = \frac{243}{3} = 81$ .
$b_{1} = 3$ , $q = - 2$ : $b_{5} = 3 \cdot (- 2)^{4} = 3 \cdot 16 = 48$ (exponent par, rezultat pozitiv), iar $b_{4} = 3 \cdot (- 2)^{3} = - 24$ (exponent impar, rezultat negativ).

Merită să simți, o dată, cât de repede „fuge" o progresie geometrică față de una aritmetică. Luăm două șiruri care pornesc amândouă de la $3$ : unul aritmetic cu rația $3$ , celălalt geometric cu rația $2$ . La rangul $10$ obținem $a_{10} = 3 + 9 \cdot 3 = 30$ , dar $b_{10} = 3 \cdot 2^{9} = 1536$ ; la rangul $20$ , diferența devine de-a dreptul absurdă: $a_{20} = 60$ , în timp ce $b_{20} = 3 \cdot 2^{19} = 1572864$ . De aceea, în probleme practice, o creștere geometrică — chiar cu o rație aparent modestă — trebuie tratată cu multă atenție: după suficienți pași, ea depășește orice creștere aritmetică, indiferent cât de mare ar fi rația acesteia.

4. Aflarea rangului unui termen

Întrebarea „al câtelea termen al progresiei este numărul $N$ ?" devine, cu formula, o ecuație în care necunoscuta stă la exponent. La clasa a IX-a o rezolvi aducând ambii membri la aceeași bază.

Într-o progresie geometrică cu $b_{1} = 5$ și $q = 2$ , ce rang are termenul egal cu $320$ ?

$5 \cdot 2^{n - 1} = 320 ⟺ 2^{n - 1} = 64 ⟺ 2^{n - 1} = 2^{6} ⟺ n - 1 = 6 ⟺ n = 7.$

Ultimul pas folosește un fapt pe care îl vei studia riguros mai târziu: două puteri cu aceeași bază (pozitivă și diferită de $1$ ) sunt egale doar dacă au exponenți egali. Verificarea e imediată: $5, 10, 20, 40, 80, 160, 320$ — al șaptelea termen este chiar $320$ . ✓

Rețeta, în trei pași, este mereu aceeași: izolezi puterea rației (împărțind la $b_{1}$ ), scrii ambii membri ca puteri ale aceleiași baze (aici $64 = 2^{6}$ ) și egalezi exponenții. Al doilea pas cere un pic de antrenament cu puterile mici — merită să știi pe de rost puterile lui $2$ până la $2^{10} = 1024$ și pe cele ale lui $3$ până la $3^{6} = 729$ , pentru că apar în majoritatea exercițiilor.

Dacă ecuația nu are soluție naturală, concluzia este că numărul respectiv nu este termen al progresiei. De exemplu, în progresia de mai sus nu există niciun termen egal cu $100$ , fiindcă $2^{n - 1} = 20$ nu se poate scrie ca putere a lui $2$ .

5. Legătura dintre doi termeni oarecare

Deseori nu cunoști primul termen, ci doi termeni de undeva din mijlocul progresiei. Atunci folosești o relație foarte comodă:

$b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k} pentru orice n \geq k \geq 1.$

De ce este adevărată: din formula termenului general, $\frac{b _{n}}{b _{k}} = \frac{b _{1} q ^{n - 1}}{b _{1} q ^{k - 1}} = q^{n - k}$ , iar de aici rezultă imediat relația. Interpretarea e naturală: de la rangul $k$ la rangul $n$ faci $n - k$ pași, deci înmulțești de $n - k$ ori cu $q$ .

Aplicație. Într-o progresie geometrică, $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ . Atunci $b_{5} = b_{2} \cdot q^{3}$ , deci

$48 = 6 q^{3} ⟺ q^{3} = 8 ⟺ q = 2,$

iar $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = 3$ . Progresia este $3, 6, 12, 24, 48, 96, \dots$

Observă o deosebire importantă față de exercițiile din lecția precedentă: la $q^{3} = 8$ soluția reală este unică, $q = 2$ , pentru că puterile impare păstrează semnul. La $q^{2} = 9$ , în schimb, avem două soluții, $q = \pm 3$ . Regula: exponent par — două soluții; exponent impar — una singură.

6. Sisteme cu $b_{1}$ și $q$

Când enunțul dă două condiții, ai un sistem cu necunoscutele $b_{1}$ și $q$ . Strategia câștigătoare este să exprimi totul prin $b_{1}$ și $q$ , apoi să împarți cele două relații — astfel $b_{1}$ se simplifică și rămâne o ecuație doar în $q$ .

Într-o progresie geometrică, $b_{1} + b_{2} = 12$ și $b_{2} + b_{3} = 24$ . Aflați $b_{1}$ și $q$ .

Scriem: $b_{1} + b_{1} q = 12$ , adică $b_{1} (1 + q) = 12$ , și $b_{1} q + b_{1} q^{2} = 24$ , adică $b_{1} q (1 + q) = 24$ . Împărțim a doua relație la prima (permis, fiindcă $b_{1} (1 + q) = 12 \neq = 0$ ):

$\frac{b _{1} q ( 1 + q )}{b _{1} ( 1 + q )} = \frac{24}{12} ⟹ q = 2.$

Înlocuind în prima relație: $b_{1} \cdot 3 = 12$ , deci $b_{1} = 4$ . Progresia este $4, 8, 16, 32, \dots$ Verificare: $4 + 8 = 12$ ✓ și $8 + 16 = 24$ ✓.

7. Formula în context practic

Ori de câte ori o mărime se înmulțește repetat cu același factor, valorile ei succesive formează o progresie geometrică, iar formula termenului general îți dă valoarea după oricâți pași.

O mașină cumpărată cu $20000$ de lei își pierde în fiecare an $20%$ din valoarea pe care o avea la începutul anului. Cât valorează după $4$ ani?

A pierde $20%$ înseamnă a păstra $80%$ , adică a înmulți cu $0, 8$ . Valorile la sfârșitul fiecărui an sunt așadar

$16000; 12800; 10240; 8192 lei,$

iar cu formula, luând $V_{0} = 20000$ , obținem direct $V_{4} = 20000 \cdot 0, 8^{4} = 20000 \cdot 0, 4096 = 8192$ de lei.

Fii atent la numerotare, exact ca la progresiile aritmetice: dacă notezi $b_{1} = 16000$ (valoarea după primul an), atunci valoarea după $4$ ani este $b_{4} = 16000 \cdot 0, 8^{3} = 8192$ — același rezultat, altă indexare. De ce factorul este $0, 8$ și cum se combină mai multe procente vei vedea în Creștere și descreștere procentuală repetată.

8. Trei capcane de evitat

Exponentul greșit. $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , nu $b_{1} q^{n}$ . Testează mereu pe $n = 1$ .
Ordinea operațiilor. În $b_{1} q^{n - 1}$ se ridică la putere întâi rația, apoi se înmulțește cu $b_{1}$ : $3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48$ , nu $(3 \cdot 2)^{4}$ .
Semnul la rații negative. $(- 2)^{4} = 16$ , dar $(- 2)^{5} = - 32$ ; parantezele sunt obligatorii, fiindcă $- 2^{4} = - 16$ înseamnă cu totul altceva.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un termen de rang mare

Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 3$ și $q = 2$ . Calculați $b_{10}$ .

Rezolvare. Aplicăm formula termenului general:

$b_{10} = b_{1} \cdot q^{10 - 1} = 3 \cdot 2^{9} = 3 \cdot 512 = 1536.$

Verificare rapidă a exponentului: pentru $n = 1$ am avea $3 \cdot 2^{0} = 3 = b_{1}$ ✓, deci exponentul $n - 1$ este cel corect.

Exemplul 2 — Rație subunitară și rație negativă

Calculați: a) $b_{6}$ , dacă $b_{1} = \frac{1}{3}$ și $q = 3$ ; b) $b_{5}$ și $b_{4}$ , dacă $b_{1} = 3$ și $q = - 2$ .

Rezolvare. a) $b_{6} = \frac{1}{3} \cdot 3^{5} = \frac{243}{3} = 81$ .

b) $b_{5} = 3 \cdot (- 2)^{4} = 3 \cdot 16 = 48$ și $b_{4} = 3 \cdot (- 2)^{3} = 3 \cdot (- 8) = - 24$ . Progresia este $3, - 6, 12, - 24, 48, \dots$ , cu semne alternante, așa cum ne așteptăm la rație negativă.

Exemplul 3 — Aflarea rangului

Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 1024$ și $q = \frac{1}{2}$ . Ce rang are termenul egal cu $1$ ?

Rezolvare. Punem condiția din formula termenului general:

$1024 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = 1 ⟺ (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{1024} ⟺ (\frac{1}{2})^{n - 1} = (\frac{1}{2})^{10} .$

Prin urmare $n - 1 = 10$ , adică $n = 11$ . Verificare prin înjumătățiri succesive: $1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1$ — al unsprezecelea termen este într-adevăr $1$ . ✓

Exemplul 4 — Rația din doi termeni neconsecutivi

Într-o progresie geometrică, $b_{3} = 18$ și $b_{6} = 486$ . Aflați rația și primul termen.

Rezolvare. Folosim relația dintre doi termeni oarecare: $b_{6} = b_{3} \cdot q^{6 - 3}$ , adică

$486 = 18 \cdot q^{3} ⟺ q^{3} = 27 ⟺ q = 3$

(soluție unică, exponentul fiind impar). Din $b_{3} = b_{1} q^{2}$ obținem $18 = 9 b_{1}$ , deci $b_{1} = 2$ . Progresia este $2, 6, 18, 54, 162, 486, \dots$ ✓

Exemplul 5 — Un sistem

Într-o progresie geometrică, $b_{1} + b_{2} = 12$ și $b_{2} + b_{3} = 24$ . Determinați $b_{1}$ și $q$ .

Rezolvare. Exprimăm totul prin $b_{1}$ și $q$ :

$b_{1} (1 + q) = 12, b_{1} q (1 + q) = 24.$

Împărțind a doua relație la prima (membrul stâng al primei este $12 \neq = 0$ ) obținem $q = 2$ , apoi $b_{1} \cdot 3 = 12$ , deci $b_{1} = 4$ . Progresia este $4, 8, 16, 32, \dots$ , iar verificarea confirmă: $4 + 8 = 12$ și $8 + 16 = 24$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Fie $(b_{n})_{n \geq 1}$ o progresie geometrică cu $b_{1} = 2$ și rația $q = 3$ . a) Calculați $b_{5}$ . b) Scrieți formula termenului general $b_{n}$ . c) Determinați rangul $n$ pentru care $b_{n} = 486$ .

Rezolvare. a) $b_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$ .

b) $b_{n} = b_{1} q^{n - 1} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ , pentru orice $n \geq 1$ .

c) Rezolvăm ecuația:

$2 \cdot 3^{n - 1} = 486 ⟺ 3^{n - 1} = 243 ⟺ 3^{n - 1} = 3^{5} ⟺ n - 1 = 5 ⟺ n = 6.$

Termenul $486$ este al șaselea: progresia este $2, 6, 18, 54, 162, 486, \dots$ ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie mai întâi formula $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și abia apoi înlocuiește — te ferește de greșeala de exponent.

1. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 2$ și $q = 3$ . Calculează $b_{5}$ .

2. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 5$ și $q = 2$ . Calculează $b_{6}$ .

3. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 96$ și $q = \frac{1}{2}$ . Calculează $b_{5}$ .

4. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 1$ și $q = 3$ . Calculează $b_{7}$ .

5. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 3$ și $q = - 2$ . Calculează $b_{5}$ și precizează semnul lui $b_{6}$ , fără să-l calculezi.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o progresie geometrică cu $b_{1} = 2$ și $q = 3$ , termenul de rang $4$ este $2 \cdot 3^{4}$ ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $b_{1} > 0$ și $q > 1$ , atunci toți termenii progresiei geometrice sunt pozitivi, iar progresia este crescătoare."

8. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 5$ și $q = 2$ . Determină rangul termenului egal cu $320$ .

9. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 1024$ și $q = \frac{1}{2}$ . Determină rangul termenului egal cu $1$ .

10. Într-o progresie geometrică, $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ . Determină rația și primul termen.

11. Într-o progresie geometrică, $b_{3} = 18$ și $b_{6} = 486$ . Determină rația și primul termen.

12. (Problemă aplicată.) O mașină cumpărată cu $20000$ de lei își pierde în fiecare an $20%$ din valoarea de la începutul anului. Calculează valoarea ei după $1$ , $2$ , $3$ și $4$ ani.

13. Într-o progresie geometrică, $b_{1} + b_{2} = 12$ și $b_{2} + b_{3} = 24$ . Determină $b_{1}$ și rația.

14. Scrie formula termenului general pentru progresia $3, 6, 12, 24, \dots$ și calculează $b_{12}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Fie $(b_{n})_{n \geq 1}$ o progresie geometrică cu $b_{1} = 2$ și $q = 3$ . a) Calculați $b_{5}$ . b) Determinați rangul $n$ pentru care $b_{n} = 486$ .

16. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 4$ și $b_{3} = 36$ . Determină toate valorile posibile ale rației și calculează $b_{5}$ în fiecare caz.

17. (Problemă aplicată.) Prețul unui produs este $800$ de lei și se reduce la jumătate la fiecare val de solduri. După al câtelea val prețul scade, pentru prima dată, sub $100$ de lei?

18. (Provocare.) Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, produsul primilor trei termeni este $216$ , iar $b_{1} + b_{3} = 15$ . Determină toate progresiile care satisfac aceste condiții.

Răspunsuri și explicații

1. $b_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$ .

2. $b_{6} = 5 \cdot 2^{5} = 5 \cdot 32 = 160$ .

3. $b_{5} = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{4} = \frac{96}{16} = 6$ (progresia este $96, 48, 24, 12, 6$ ).

4. $b_{7} = 1 \cdot 3^{6} = 729$ .

5. $b_{5} = 3 \cdot (- 2)^{4} = 3 \cdot 16 = 48$ . Termenul $b_{6} = 3 \cdot (- 2)^{5}$ are exponent impar la o bază negativă, deci este negativ (mai exact $- 96$ ).

6. Fals. Termenul de rang $4$ este $b_{4} = 2 \cdot 3^{4 - 1} = 2 \cdot 27 = 54$ , nu $2 \cdot 3^{4} = 162$ (acesta este $b_{5}$ ). Exponentul rației este întotdeauna cu unu mai mic decât rangul.

7. Adevărat. Toți termenii au forma $b_{1} q^{n - 1}$ , produs de numere pozitive, deci sunt pozitivi. În plus, $b_{n + 1} - b_{n} = b_{n} (q - 1) > 0$ , fiindcă $b_{n} > 0$ și $q - 1 > 0$ ; prin urmare progresia este strict crescătoare.

8. $5 \cdot 2^{n - 1} = 320 \Rightarrow 2^{n - 1} = 64 = 2^{6} \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$ .

9. $1024 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = 1 \Rightarrow (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{1024} = (\frac{1}{2})^{10} \Rightarrow n = 11$ .

10. $b_{5} = b_{2} q^{3} \Rightarrow 48 = 6 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2$ (unică, exponent impar). Apoi $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{6}{2} = 3$ ; progresia este $3, 6, 12, 24, 48, \dots$

11. $b_{6} = b_{3} q^{3} \Rightarrow 486 = 18 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 27 \Rightarrow q = 3$ . Din $b_{3} = b_{1} q^{2}$ : $18 = 9 b_{1}$ , deci $b_{1} = 2$ .

12. Factorul anual este $1 - 0, 2 = 0, 8$ . Valorile: $20000 \cdot 0, 8 = 16000$ ; $16000 \cdot 0, 8 = 12800$ ; $12800 \cdot 0, 8 = 10240$ ; $10240 \cdot 0, 8 = 8192$ lei. Direct cu formula: $20000 \cdot 0, 8^{4} = 8192$ lei.

13. $b_{1} (1 + q) = 12$ și $b_{1} q (1 + q) = 24$ ; prin împărțire, $q = 2$ , apoi $3 b_{1} = 12$ , deci $b_{1} = 4$ . Progresia: $4, 8, 16, 32, \dots$

14. $b_{1} = 3$ , $q = \frac{6}{3} = 2$ , deci $b_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ . Atunci $b_{12} = 3 \cdot 2^{11} = 3 \cdot 2048 = 6144$ .

15. a) $b_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 162$ . b) $2 \cdot 3^{n - 1} = 486 \Rightarrow 3^{n - 1} = 243 = 3^{5} \Rightarrow n = 6$ .

16. Din $b_{3} = b_{1} q^{2}$ : $4 q^{2} = 36$ , deci $q^{2} = 9$ și $q = 3$ sau $q = - 3$ (exponent par, două soluții). În ambele cazuri $b_{5} = b_{1} q^{4} = 4 \cdot 81 = 324$ , fiindcă exponentul $4$ este par și anulează diferența de semn. Progresiile sunt $4, 12, 36, 108, 324$ și $4, - 12, 36, - 108, 324$ .

17. Prețurile după fiecare val sunt $400$ , $200$ , $100$ , $50$ de lei, adică $800 \cdot (\frac{1}{2})^{k}$ după $k$ valuri. După al treilea val prețul este exact $100$ de lei, deci încă nu a coborât sub prag; abia după al patrulea val ajunge la $50$ de lei, sub $100$ .

18. Notăm termenii $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ . Produsul lor este $b_{1} \cdot b_{1} q \cdot b_{1} q^{2} = (b_{1} q)^{3} = b_{2}^{3}$ , deci $b_{2}^{3} = 216$ și $b_{2} = 6$ . Cum $b_{1} b_{3} = b_{2}^{2} = 36$ și $b_{1} + b_{3} = 15$ , numerele $b_{1}$ și $b_{3}$ sunt soluțiile ecuației $x^{2} - 15 x + 36 = 0$ , adică $x = 3$ și $x = 12$ . Există așadar două progresii: $3, 6, 12, \dots$ (cu $q = 2$ ) și $12, 6, 3, \dots$ (cu $q = \frac{1}{2}$ ), amândouă cu termeni pozitivi, deci amândouă valabile.

De reținut

Termenul general al unei progresii geometrice este $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ : exponentul rației este cu unu mai mic decât rangul, fiindcă de la $b_{1}$ la $b_{n}$ se fac $n - 1$ înmulțiri cu $q$ .
Legătura dintre doi termeni oarecare: $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ ; ea permite aflarea rației din doi termeni neconsecutivi, prin $\frac{b _{n}}{b _{k}} = q^{n - k}$ .
Rangul unui termen se află rezolvând $b_{1} q^{n - 1} = N$ : aduci ambii membri la aceeași bază și egalezi exponenții. Dacă nu iese exponent natural, numărul nu este termen al progresiei.
La ecuațiile în $q$ : exponent par ( $q^{2} = 9$ ) înseamnă două soluții, $q = \pm 3$ ; exponent impar ( $q^{3} = 8$ ) înseamnă una singură, $q = 2$ .
În sistemele cu $b_{1}$ și $q$ , scrii totul prin $b_{1}$ și $q$ , apoi împarți relațiile: $b_{1}$ se simplifică și rămâne o ecuație doar în $q$ .

Greșeli frecvente

Exponentul $n$ în loc de $n - 1$ . $b_{4} = b_{1} q^{3}$ , nu $b_{1} q^{4}$ . Verifică formula pe cazul $n = 1$ : trebuie să obții $b_{1} q^{0} = b_{1}$ .
Înmulțirea înaintea ridicării la putere. În $3 \cdot 2^{4}$ se calculează întâi $2^{4} = 16$ și abia apoi produsul $48$ ; scrierea $(3 \cdot 2)^{4}$ dă alt număr, $1296$ .
Paranteze lipsă la rații negative. $b_{5} = 3 \cdot (- 2)^{4} = 48$ , în timp ce $3 \cdot - 2^{4}$ ar însemna $- 48$ . Rația negativă se scrie întotdeauna în paranteză.
Pierderea unei soluții la exponent par. Din $q^{2} = 9$ rezultă $q = 3$ sau $q = - 3$ ; păstrezi o singură valoare doar dacă enunțul cere termeni pozitivi sau progresie crescătoare.
Confuzia dintre rang și exponentul din context. Într-o problemă practică, valoarea „după $4$ ani" poate fi $b_{5}$ sau $b_{4}$ , după cum ai numerotat momentul inițial; scrie explicit ce reprezintă $b_{1}$ înainte de a aplica formula.

Aplică acasă

Îndoituri și puteri. Pornind de la o foaie cu un singur strat, scrie formula numărului de straturi după $n$ îndoituri, ca termen general al unei progresii geometrice. Calculează câte straturi ar avea foaia după $20$ de îndoituri și compară numărul cu populația orașului tău.
Valoarea unui obiect. Alege un obiect din casă (telefon, bicicletă, consolă) și presupune că își pierde în fiecare an $25%$ din valoare. Scrie formula valorii după $n$ ani, calculează valorile pentru $n = 1, 2, 3, 4$ și găsește primul an în care valoarea coboară sub jumătate din prețul inițial.
Detectivul de rang. Scrie o progresie geometrică cu $b_{1}$ și $q$ la alegere, calculează $b_{8}$ și dă unui coleg doar valoarea lui $b_{8}$ , rația și cerința „află rangul". Verificați împreună rezolvarea prin aducerea la aceeași bază.

Pentru părinți și profesori

Lecția livrează formula centrală a capitolului și tehnicile care decurg din ea. Elevul trebuie să treacă de la calculul pas cu pas (corect, dar lent) la folosirea formulei $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , iar apoi să o „citească invers": din termen spre rang și din doi termeni spre rație. Demonstrația prin înmulțirea relațiilor de recurență merită parcursă, pentru că explică de unde vine exponentul $n - 1$ — motiv pentru care greșeala de exponent dispare la elevii care au înțeles demonstrația.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie formula înainte de a înlocui numerele; (2) folosește exponentul $n - 1$ , nu $n$ ; (3) pune rația negativă în paranteză; (4) la $q^{2} = k$ păstrează ambele soluții, la $q^{3} = k$ doar una; (5) la aflarea rangului, aduce ambii membri la aceeași bază în loc să încerce valori la întâmplare. Întrebări bune de control: „De ce apare $n - 1$ la exponent și nu $n$ ?", „Cum afli rația dacă știi $b_{2}$ și $b_{5}$ ?", „Când are ecuația în $q$ două soluții?".

La teze și la Bacalaureat, tipul acesta de exercițiu apare frecvent la subiectele scurte: se dau $b_{1}$ și $q$ și se cere un termen; se dau doi termeni și se cere rația; se cere rangul unui termen dat. Baremul punctează separat scrierea formulei și calculul final, deci merită scrisă formula chiar dacă elevul „vede" răspunsul. Semne că elevul a înțeles: poate deduce singur relația $b_{n} = b_{k} q^{n - k}$ și explică de ce la exponent par apar două soluții pentru rație.

Întrebări frecvente

Care este formula termenului general al unei progresii geometrice? Formula este $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ , unde $b_{1}$ este primul termen, $q$ rația, iar $n$ rangul termenului căutat. Exponentul este $n - 1$ pentru că de la primul până la al $n$ -lea termen se fac exact $n - 1$ înmulțiri cu rația.

De ce exponentul este $n - 1$ și nu $n$ ? Pentru că primul termen nu se înmulțește cu nimic: $b_{1} = b_{1} q^{0}$ . Al doilea termen presupune o înmulțire, al treilea două și așa mai departe, deci al $n$ -lea presupune $n - 1$ înmulțiri. Un test rapid: înlocuiește $n = 1$ în formulă și vezi dacă obții $b_{1}$ .

Cum aflu rația dacă știu doi termeni care nu sunt consecutivi? Folosești relația $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ , adică $\frac{b _{n}}{b _{k}} = q^{n - k}$ . De exemplu, din $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ obții $q^{3} = 8$ , deci $q = 2$ . Dacă exponentul rezultat este par, nu uita că apar două soluții, una pozitivă și una negativă.

Cum determin rangul unui termen dat? Pui condiția $b_{1} q^{n - 1} = N$ , izolezi puterea rației și aduci ambii membri la aceeași bază; apoi egalezi exponenții. De exemplu, $5 \cdot 2^{n - 1} = 320$ devine $2^{n - 1} = 2^{6}$ , deci $n = 7$ .

Ce fac dacă ecuația pentru rang nu are soluție naturală? Înseamnă că numărul dat nu este termen al progresiei. De pildă, în progresia $5, 10, 20, 40, \dots$ nu există termen egal cu $100$ , fiindcă $2^{n - 1} = 20$ nu se poate scrie ca putere a lui $2$ cu exponent natural.

Cum rezolv o problemă în care se dau două relații între termeni? Exprimi ambele relații prin $b_{1}$ și $q$ , apoi le împarți membru cu membru: $b_{1}$ se simplifică și rămâne o ecuație în $q$ . După ce afli rația, revii într-una dintre relații pentru a determina primul termen și verifici rezultatul în cealaltă.

Cum folosesc formula pentru o valoare care scade cu un procent fix în fiecare an? O scădere de $20%$ înseamnă înmulțire cu $0, 8$ , deci valorile succesive formează o progresie geometrică cu $q = 0, 8$ . Valoarea după $n$ ani este valoarea inițială înmulțită cu $0, 8^{n}$ — atenție doar la modul în care ai numerotat momentul inițial.