Formule: Operațiile și proprietățile lor

Cele patru operații, ordinea lor și probele care te scapă de greșeli. 10 formule, clasele 1–5.

Proba adunării — clasa 1
Proba scăderii — clasa 1
Proba înmulțirii — clasa 2
Împărțirea cu rest (teorema împărțirii) — clasa 4
Comutativitatea adunării — clasa 1
Comutativitatea înmulțirii — clasa 2
Asociativitatea — clasa 2
Distributivitatea — clasa 4
Ordinea operațiilor — clasa 3
Factorul comun — clasa 5

Proba adunării — clasa 1

a + b = s \Rightarrow s - a = b ș i s - b = a

$a$ și $b$ sunt termenii adunării, iar $s$ este suma (rezultatul). Ca să verifici o adunare, scazi din sumă unul dintre termeni: trebuie să obții exact celălalt termen. Așa afli singur dacă ai calculat corect, fără să întrebi pe nimeni!

Exemplu: Adunăm: $7 + 5 = 12$ . Facem proba: $12 - 7 = 5$ ✓ și $12 - 5 = 7$ ✓ — adunarea este corectă!

Proba scăderii — clasa 1

a - b = d \Rightarrow d + b = a

$a$ este descăzutul (numărul din care scădem), $b$ este scăzătorul (numărul pe care îl scădem), iar $d$ este diferența (rezultatul). Proba scăderii se face prin adunare: diferența plus scăzătorul trebuie să dea descăzutul. Atenție: descăzutul este întotdeauna numărul cel mai mare!

Exemplu: Scădem: $15 - 6 = 9$ . Facem proba: $9 + 6 = 15$ ✓ — am obținut exact descăzutul, deci scăderea este corectă!

Proba înmulțirii — clasa 2

a \cdot b = p \Rightarrow p : a = b (a \neq = 0)

$a$ și $b$ sunt factorii, iar $p$ este produsul (rezultatul înmulțirii). Proba se face prin împărțire: împarți produsul la unul dintre factori și trebuie să obții celălalt factor. Condiția $a \neq = 0$ ne amintește că nu avem voie să împărțim la zero.

Exemplu: Înmulțim: $6 \cdot 4 = 24$ . Facem proba: $24 : 6 = 4$ ✓ și $24 : 4 = 6$ ✓ — înmulțirea este corectă!

Împărțirea cu rest (teorema împărțirii) — clasa 4

D = \hat{I} \cdot C + R, R < \hat{I}

$D$ = deîmpărțitul (numărul pe care îl împărțim), $\hat{I}$ = împărțitorul, $C$ = câtul, $R$ = restul. Regula de aur: restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul — dacă restul tău iese mai mare sau egal, câtul e prea mic și trebuie mărit! Formula e și proba împărțirii cu rest.

Exemplu: $23 : 4$ : câtul este $5$ , pentru că $4 \cdot 5 = 20$ , iar restul este $23 - 20 = 3$ . Verificăm: $4 \cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23$ ✓ și $3 < 4$ ✓.

Comutativitatea adunării — clasa 1

a + b = b + a

$a$ și $b$ sunt termenii adunării. Oricum i-ai așeza, suma rămâne aceeași! Truc util: pornește mereu de la numărul mai mare și adaugă-l pe cel mic — numeri mai puțin și greșești mai rar.

Exemplu: $3 + 8 = 11$ și $8 + 3 = 11$ — aceeași sumă! E mai ușor să pornim de la $8$ și să mai numărăm $3$ : $9$ , $10$ , $11$ .

Comutativitatea înmulțirii — clasa 2

a \cdot b = b \cdot a

$a$ și $b$ sunt factorii înmulțirii. Poți schimba locul factorilor, produsul nu se schimbă: 4 rânduri a câte 25 de puncte înseamnă tot atâtea puncte ca 25 de rânduri a câte 4. Alege ordinea în care calculezi mai ușor!

Exemplu: $4 \cdot 25 = 100$ și $25 \cdot 4 = 100$ — același produs! • La fel: $2 \cdot 9 = 9 \cdot 2 = 18$ .

Asociativitatea — clasa 2

(a + b) + c = a + (b + c) (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Când adunăm sau înmulțim trei numere, le putem grupa cum ne convine — rezultatul nu se schimbă. Parantezele arată doar ce calculăm întâi. Truc: grupează numerele care dau $10$ , $100$ sau alt număr „rotund” și calculul devine floare la ureche!

Exemplu: $(7 + 9) + 1 = 16 + 1 = 17$ și $7 + (9 + 1) = 7 + 10 = 17$ — a doua grupare e mai ușoară, pentru că $9 + 1 = 10$ . • La înmulțire: $(2 \cdot 5) \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$ .

Distributivitatea — clasa 4

a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c

$a$ , $b$ și $c$ sunt numere oarecare: ca să înmulțești $a$ cu o sumă (sau o diferență), înmulțești $a$ cu fiecare termen și aduni (sau scazi) rezultatele. Este trucul perfect pentru calcul rapid în minte: spargi numărul greu într-o sumă de numere ușoare.

Exemplu: $6 \cdot 103 = 6 \cdot (100 + 3) = 6 \cdot 100 + 6 \cdot 3 = 600 + 18 = 618$ . • Cu scădere: $6 \cdot 98 = 6 \cdot (100 - 2) = 600 - 12 = 588$ .

Ordinea operațiilor — clasa 3

1. () [] {} 2. \cdot, : 3. +, -

Ordinea corectă a calculelor: mai întâi parantezele — rotunde ( ), apoi drepte [ ], apoi acolade { } — apoi înmulțirile și împărțirile (în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta), iar la final adunările și scăderile. Capcana clasică: să calculezi de la stânga la dreapta fără să ții cont de ordine!

Exemplu: $2 + 3 \cdot 4$ : întâi înmulțirea $3 \cdot 4 = 12$ , apoi adunarea $2 + 12 = 14$ (nu $5 \cdot 4 = 20$ !). • Cu paranteze e altfel: $(2 + 3) \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ .

Factorul comun — clasa 5

a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)

$a$ este factorul comun — numărul care apare în ambele produse. Îl „scoatem în față” și adunăm ce rămâne în paranteză. Este distributivitatea citită invers și te salvează la calcule care par grele: adesea paranteza dă un număr rotund!

Exemplu: $27 \cdot 92 + 27 \cdot 8$ : factorul comun este $27$ , deci $= 27 \cdot (92 + 8) = 27 \cdot 100 = 2700$ — calcul de o secundă, fără să înmulțim $27 \cdot 92$ !