Formule: Fracții

Tot ce se poate face cu fracțiile: amplificare și simplificare, cele patru operații, fracție dintr-un număr și transformarea zecimalelor în fracții. 12 formule, clasele 4–5.

Amplificarea — clasa 4
Simplificarea — clasa 4
Adunarea și scăderea (același numitor) — clasa 4
Adunarea (numitori diferiți) — clasa 5
Înmulțirea — clasa 5
Împărțirea — clasa 5
Puterea unei fracții — clasa 5
Fracție dintr-un număr — clasa 4
Zecimală finită → fracție — clasa 5
Zecimală periodică simplă → fracție — clasa 5
Zecimală periodică mixtă → fracție — clasa 5
Introducerea întregilor în fracție — clasa 5

Amplificarea — clasa 4

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}, k \neq = 0

$a$ este numărătorul, $b$ este numitorul, iar $k$ este numărul nenul cu care amplificăm. Înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același $k$ , iar valoarea fracției nu se schimbă — bucățile devin mai multe, dar mai mici. Amplificarea ne trebuie mai ales la aducerea fracțiilor la același numitor. Capcană: dacă înmulțești doar sus, fracția își schimbă valoarea!

Exemplu: Amplificăm $\frac{2}{3}$ cu $2$ : înmulțim și sus, și jos cu $2$ → $\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$ — aceeași bucată, tăiată în felii mai mici. • Cu $5$ : $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$ .

Simplificarea — clasa 4

\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b}, k \neq = 0

Este operația inversă amplificării: împărțim numărătorul și numitorul la același număr nenul $k$ , care trebuie să fie divizor comun al lor. Fracția păstrează exact aceeași valoare, doar e scrisă mai simplu. Dacă împărțim la cel mai mare divizor comun, obținem o fracție ireductibilă — una care nu se mai poate simplifica.

Exemplu: $\frac{6}{8}$ : și $6$ , și $8$ se împart exact la $2$ , deci $\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$ . • $\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}$ — am împărțit la $6$ , cel mai mare divizor comun, așa că fracția obținută este ireductibilă.

Adunarea și scăderea (același numitor) — clasa 4

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

$a$ și $b$ sunt numărătorii, iar $c$ este numitorul comun ( $c \neq = 0$ ). Când fracțiile au același numitor, adunăm sau scădem doar numărătorii, iar numitorul rămâne neschimbat. Capcană: nu aduna și numitorii — $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ nu face $\frac{5}{14}$ !

Exemplu: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ : numitorul $7$ rămâne, adunăm doar numărătorii $2 + 3 = 5$ , deci rezultatul este $\frac{5}{7}$ . • La scădere la fel: $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5 - 2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

Adunarea (numitori diferiți) — clasa 5

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

$a, b, c, d$ sunt numere, cu $b \neq = 0$ și $d \neq = 0$ . Formula arată metoda generală: amplificăm prima fracție cu $d$ , pe a doua cu $b$ , apoi adunăm numărătorii peste numitorul comun $b \cdot d$ . În practică e mai bine să folosim cel mai mic numitor comun (c.m.m.m.c. al numitorilor) — numerele rămân mici. Capcană: nu aduna numitorii între ei!

Exemplu: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ : numitorul comun este $6$ (c.m.m.m.c. al lui $2$ și $3$ ). Amplificăm $\frac{1}{2}$ cu $3$ → $\frac{3}{6}$ și $\frac{1}{3}$ cu $2$ → $\frac{2}{6}$ . Acum au același numitor: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .

Înmulțirea — clasa 5

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Înmulțim numărător cu numărător ( $a \cdot c$ ) și numitor cu numitor ( $b \cdot d$ ), unde $b \neq = 0$ și $d \neq = 0$ . La înmulțire nu avem nevoie de numitor comun! Truc util: simplifică „în cruce” înainte de a înmulți, ca să lucrezi cu numere mai mici.

Exemplu: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$ . • $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ — mai rapid: simplificăm întâi $3$ cu $9$ și $8$ cu $4$ , apoi înmulțim $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3}$ .

Împărțirea — clasa 5

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} (b, c, d \neq = 0)

A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei: a doua fracție se „răstoarnă” ( $\frac{c}{d}$ devine $\frac{d}{c}$ ), iar împărțirea devine înmulțire. Prima fracție rămâne neschimbată — doar a doua se întoarce! Condițiile $b, c, d \neq = 0$ sunt necesare ca să nu împărțim la zero (după răsturnare, $c$ ajunge la numitor).

Exemplu: $\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$ : păstrăm prima fracție, o „răsturnăm” pe a doua ( $\frac{2}{5}$ devine $\frac{5}{2}$ ) și înmulțim: $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}$ . • $\frac{5}{6} : \frac{5}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ .

Puterea unei fracții — clasa 5

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

Ridicăm la puterea $n$ atât numărătorul $a$ , cât și numitorul $b$ ( $b \neq = 0$ ). Asta pentru că a ridica fracția la puterea $n$ înseamnă a o înmulți cu ea însăși de $n$ ori. Capcană: mulți ridică doar numărătorul — exponentul se aplică și numitorului!

Exemplu: $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}} = \frac{4}{9}$ — și sus, și jos la pătrat. • $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1 ^{3}}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ : jumătatea jumătății unei jumătăți.

Fracție dintr-un număr — clasa 4

\frac{a}{b} din n = \frac{a \cdot n}{b}

„ $\frac{a}{b}$ din $n$ ” înseamnă $\frac{a}{b} \cdot n$ : împarți numărul $n$ în $b$ părți egale și iei $a$ dintre ele. Apare în probleme de tipul „trei sferturi din elevii clasei”. Alege ordinea de calcul care dă numere frumoase: de obicei împarți întâi la numitorul $b$ , apoi înmulțești cu numărătorul $a$ .

Exemplu: $\frac{3}{4}$ din $20$ : împărțim $20$ la numitorul $4$ → $20 : 4 = 5$ (atât valorează o pătrime), apoi înmulțim cu numărătorul $3$ → $3 \cdot 5 = 15$ . Deci $\frac{3}{4}$ din $20$ este $15$ .

Zecimală finită → fracție — clasa 5

0, ab = \frac{ab}{100}

Numărul format din zecimale ( $\overline{ab}$ ) trece la numărător, iar la numitor scriem $1$ urmat de atâtea zerouri câte zecimale are numărul: o zecimală → $10$ , două → $100$ , trei → $1000$ . La final simplificăm, dacă se poate.

Exemplu: $0, 75$ are două zecimale, deci $0, 75 = \frac{75}{100}$ ; simplificăm cu $25$ : $\frac{75 : 25}{100 : 25} = \frac{3}{4}$ . • $0, 6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ (o zecimală → numitorul $10$ ).

Zecimală periodică simplă → fracție — clasa 5

0, (ab) = \frac{ab}{99}

Perioada $\overline{ab}$ (grupul de cifre care se repetă la nesfârșit) trece la numărător, iar la numitor scriem atâția de $9$ câte cifre are perioada: o cifră → $9$ , două cifre → $99$ . Formula e valabilă când perioada începe imediat după virgulă. La final simplificăm, dacă se poate.

Exemplu: $0, (54) = 0, 5454 \dots$ are perioada $54$ , de două cifre, deci punem $99$ la numitor: $0, (54) = \frac{54}{99}$ ; simplificăm cu $9$ : $\frac{54 : 9}{99 : 9} = \frac{6}{11}$ . • $0, (3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

Zecimală periodică mixtă → fracție — clasa 5

0, a (b) = \frac{ab - a}{90}

$a$ este cifra dintre virgulă și paranteză (partea neperiodică), iar $b$ este perioada. La numărător: numărul format din toate cifrele de după virgulă ( $\overline{ab}$ ) minus partea neperiodică ( $a$ ). La numitor: câte un $9$ pentru fiecare cifră din perioadă, urmat de câte un $0$ pentru fiecare cifră neperiodică — aici $90$ .

Exemplu: $0, 4 (7) = 0, 4777 \dots$ : numărătorul este $47 - 4 = 43$ , iar numitorul este $90$ (un $9$ pentru perioada de o cifră, un $0$ pentru cifra neperiodică $4$ ). Deci $0, 4 (7) = \frac{43}{90}$ . • $0, 1 (6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ .

Introducerea întregilor în fracție — clasa 5

a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}

$a$ este numărul de întregi, iar $\frac{b}{c}$ este partea fracționară ( $c \neq = 0$ ). Înmulțim întregii cu numitorul ( $a \cdot c$ ne spune câte părți fac întregii), adunăm numărătorul $b$ și păstrăm numitorul $c$ . Așa transformăm un număr mixt într-o fracție cu care putem calcula ușor.

Exemplu: $6 \frac{3}{5}$ înseamnă $6$ întregi și încă $\frac{3}{5}$ . Fiecare întreg are $5$ cincimi, deci întregii fac $6 \cdot 5 = 30$ de cincimi; adunăm și cele $3$ cincimi: $30 + 3 = 33$ . Rezultatul: $6 \frac{3}{5} = \frac{33}{5}$ .