Formule: Divizibilitate

Criteriile de divizibilitate, descompunerea în factori primi, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. 12 formule, clasele 5–6.

Criteriul cu 2 — clasa 5
Criteriul cu 5 — clasa 5
Criteriul cu 10 — clasa 5
Criteriul cu 3 — clasa 5
Criteriul cu 9 — clasa 5
Criteriul cu 4 — clasa 5
Criteriul cu 25 — clasa 5
Descompunerea în factori primi — clasa 6
C.m.m.d.c. — cel mai mare divizor comun — clasa 6
C.m.m.m.c. — cel mai mic multiplu comun — clasa 6
Legătura c.m.m.d.c. – c.m.m.m.c. — clasa 6
Numere prime între ele — clasa 6

Criteriul cu 2 — clasa 5

2 ∣ \overline{\dots u} ⟺ u \in {0, 2, 4, 6, 8}

$u$ este ultima cifră a numărului, iar $2 ∣ n$ se citește „ $2$ divide $n$ ” — adică $n$ se împarte exact la $2$ . Un număr e divizibil cu $2$ dacă și numai dacă ultima lui cifră e pară: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ sau $8$ . Restul cifrelor nu contează deloc — te uiți doar la ultima!

Exemplu: $374$ se termină în $4$ (cifră pară), deci $374$ ⋮ $2$ ; proba: $374 = 2 \cdot 187$ . • $525$ se termină în $5$ (cifră impară), deci nu se împarte exact la $2$ .

Criteriul cu 5 — clasa 5

5 ∣ \overline{\dots u} ⟺ u \in {0, 5}

$u$ este ultima cifră a numărului. Un număr se împarte exact la $5$ dacă și numai dacă se termină în $0$ sau în $5$ . Capcană: $253$ conține cifra $5$ , dar nu pe ultimul loc, deci NU se împarte la $5$ .

Exemplu: $285$ se termină în $5$ , deci $285$ ⋮ $5$ ; proba: $285 = 5 \cdot 57$ . • $940$ se termină în $0$ , deci și el se împarte la $5$ : $940 = 5 \cdot 188$ .

Criteriul cu 10 — clasa 5

10 ∣ \overline{\dots u} ⟺ u = 0

$u$ este ultima cifră a numărului. Un număr se împarte exact la $10$ doar dacă se termină în $0$ — e cel mai simplu criteriu: tai zeroul de la final și obții direct câtul.

Exemplu: $730$ se termină în $0$ , deci $730$ ⋮ $10$ ; proba: $730 = 10 \cdot 73$ . • $735$ se termină în $5$ : se împarte la $5$ , dar NU și la $10$ .

Criteriul cu 3 — clasa 5

3 ∣ n ⟺ 3 ∣ (suma cifrelor lui n)

$3 ∣ n$ înseamnă „ $3$ divide $n$ ”, adică $n$ se împarte exact la $3$ . Aici nu te uiți la ultima cifră — aduni TOATE cifrele: dacă suma lor se împarte la $3$ , atunci și numărul se împarte la $3$ . Dacă suma iese mare, poți aduna din nou cifrele ei.

Exemplu: $417$ : suma cifrelor este $4 + 1 + 7 = 12$ , iar $12 = 3 \cdot 4$ , deci $417$ ⋮ $3$ ; proba: $417 = 3 \cdot 139$ . • $416$ : $4 + 1 + 6 = 11$ , iar $11$ nu se împarte la $3$ , deci nici $416$ .

Criteriul cu 9 — clasa 5

9 ∣ n ⟺ 9 ∣ (suma cifrelor lui n)

La fel ca la criteriul cu $3$ , dar suma cifrelor trebuie să se împartă la $9$ . Capcană: orice număr divizibil cu $9$ e divizibil și cu $3$ , dar invers NU — de exemplu $15$ ⋮ $3$ , însă $15$ nu se împarte la $9$ .

Exemplu: $738$ : $7 + 3 + 8 = 18$ , iar $18 = 9 \cdot 2$ , deci $738$ ⋮ $9$ ; proba: $738 = 9 \cdot 82$ . • $528$ : $5 + 2 + 8 = 15$ — se împarte la $3$ , dar nu la $9$ ; deci $528$ ⋮ $3$ , dar $528$ NU e divizibil cu $9$ .

Criteriul cu 4 — clasa 5

4 ∣ n ⟺ 4 ∣ \overline{z u}

$\overline{z u}$ este numărul format din ultimele două cifre (zecile și unitățile). Dacă acesta se împarte la $4$ , tot numărul se împarte la $4$ , pentru că sutele sunt mereu divizibile cu $4$ ( $100 = 4 \cdot 25$ ). Capcană: nu ajunge ca ultima cifră să fie pară — $14$ e par, dar nu se împarte la $4$ .

Exemplu: $1316$ : ultimele două cifre formează numărul $16$ , iar $16 = 4 \cdot 4$ , deci $1316$ ⋮ $4$ ; proba: $1316 = 4 \cdot 329$ . • $1318$ se termină în $18$ , care nu se împarte la $4$ , deci nici $1318$ .

Criteriul cu 25 — clasa 5

25 ∣ n ⟺ \overline{z u} \in {00, 25, 50, 75}

$\overline{z u}$ este numărul format din ultimele două cifre. Un număr se împarte la $25$ doar dacă acestea sunt $00$ , $25$ , $50$ sau $75$ — adică exact multiplii lui $25$ mai mici decât $100$ . Sutele și miile nu contează, fiindcă $100 = 25 \cdot 4$ .

Exemplu: $4375$ se termină în $75$ , care e în listă, deci $4375$ ⋮ $25$ ; proba: $4375 = 25 \cdot 175$ . • $4340$ se termină în $40$ , care nu e în listă, deci nu se împarte la $25$ .

Descompunerea în factori primi — clasa 6

n = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot \dots

$p_{1}, p_{2}, \dots$ sunt numere prime (au exact doi divizori: $1$ și numărul însuși), iar exponenții $a_{1}, a_{2}, \dots$ arată de câte ori apare fiecare factor. Orice număr natural mai mare decât $1$ se scrie într-un singur mod ca produs de factori primi. Practic, împarți pe rând la $2$ , $3$ , $5$ , $7, \dots$ până ajungi la $1$ .

Exemplu: $360$ : împărțim pe rând — $360 : 2 = 180$ , $180 : 2 = 90$ , $90 : 2 = 45$ , $45 : 3 = 15$ , $15 : 3 = 5$ , $5 : 5 = 1$ . Am împărțit de $3$ ori la $2$ , de $2$ ori la $3$ și o dată la $5$ , deci $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .

C.m.m.d.c. — cel mai mare divizor comun — clasa 6

(a; b) = factorii comuni, la puterea cea mai mic \overset{a}{˘}

$(a; b)$ se citește „cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ ” — cel mai mare număr care le împarte exact pe amândouă. Algoritm: descompui ambele numere în factori primi, păstrezi doar factorii care apar în AMBELE descompuneri, fiecare la puterea cea mai mică, apoi îi înmulțești. Nu-l confunda cu c.m.m.m.c.: divizorul comun e cel mult egal cu cel mai mic dintre numere, niciodată mai mare.

Exemplu: Căutăm $(24; 36)$ . Pasul 1: descompunem — $24 = 2^{3} \cdot 3$ și $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ . Pasul 2: factorii comuni sunt $2$ și $3$ ; luăm puterile cele mai mici: $2^{2}$ și $3^{1}$ . Pasul 3: $(24; 36) = 2^{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ . Proba: $24 : 12 = 2$ și $36 : 12 = 3$ — amândouă exact.

C.m.m.m.c. — cel mai mic multiplu comun — clasa 6

[a; b] = to ț i factorii, la puterea cea mai mare

$[a; b]$ se citește „cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ și $b$ ” — cel mai mic număr diferit de $0$ care se împarte exact și la $a$ , și la $b$ . Algoritm: descompui ambele numere în factori primi, iei TOȚI factorii care apar (comuni sau nu), fiecare la puterea cea mai mare, apoi îi înmulțești. Îl folosești mereu la adunarea fracțiilor: numitorul comun este chiar c.m.m.m.c.-ul numitorilor.

Exemplu: Căutăm $[24; 36]$ . Pasul 1: $24 = 2^{3} \cdot 3$ și $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ . Pasul 2: factorii care apar sunt $2$ și $3$ ; luăm puterile cele mai mari: $2^{3}$ și $3^{2}$ . Pasul 3: $[24; 36] = 2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ . Proba: $72 : 24 = 3$ și $72 : 36 = 2$ — amândouă exact.

Legătura c.m.m.d.c. – c.m.m.m.c. — clasa 6

(a; b) \cdot [a; b] = a \cdot b

$(a; b)$ = cel mai mare divizor comun, $[a; b]$ = cel mai mic multiplu comun. Produsul lor este întotdeauna egal cu produsul $a \cdot b$ . E o probă perfectă după ce le-ai calculat pe amândouă — și o scurtătură: dacă știi unul dintre ele, îl afli pe celălalt printr-o simplă împărțire.

Exemplu: Pentru $24$ și $36$ : $(24; 36) = 12$ și $[24; 36] = 72$ , iar $12 \cdot 72 = 864$ și $24 \cdot 36 = 864$ — egale! • Dacă știi doar că $(24; 36) = 12$ , atunci $[24; 36] = 24 \cdot 36 : 12 = 864 : 12 = 72$ .

Numere prime între ele — clasa 6

(a; b) = 1

Două numere sunt prime între ele dacă singurul lor divizor comun este $1$ , adică $(a; b) = 1$ . Capcană: numerele NU trebuie să fie ele însele prime — $8$ și $15$ nu sunt numere prime, dar sunt prime între ele. Așa recunoști fracțiile ireductibile: o fracție nu se mai simplifică atunci când numărătorul și numitorul sunt prime între ele.

Exemplu: Divizorii lui $8$ : $1, 2, 4, 8$ ; divizorii lui $15$ : $1, 3, 5, 15$ . Singurul divizor comun este $1$ , deci $(8; 15) = 1$ — sunt prime între ele. • $9$ și $12$ NU sunt prime între ele, pentru că $(9; 12) = 3$ .