Formule: Rapoarte, proporții, procente

Raportul, proporția și procentele — cu regula de trei simplă, toate la un loc. 10 formule, clasele 5–6.

Procentele prietenoase — clasa 5
Raportul a două numere — clasa 6
Proprietatea fundamentală a proporției — clasa 6
Aflarea termenului necunoscut — clasa 6
p% dintr-un număr — clasa 5
Aflarea procentului — clasa 6
Aflarea întregului — clasa 6
Mărimi direct proporționale — clasa 6
Mărimi invers proporționale — clasa 6
Scara unei hărți — clasa 6

Procentele prietenoase — clasa 5

50% din n = \frac{n}{2}, 25% din n = \frac{n}{4}, 75% din n = \frac{3 n}{4}

Aici $n$ este numărul întreg din care luăm procentul. $50%$ înseamnă jumătate, $25%$ un sfert, iar $75%$ trei sferturi — le poți calcula rapid, fără regula de trei. Ține minte: $100%$ din $n$ este chiar $n$ întreg.

Exemplu: $50%$ din $80$ : împărțim la $2$ și obținem $80 : 2 = 40$ • $25%$ din $80$ : calculăm $80 : 4 = 20$ • $75%$ din $80$ : trei sferturi, adică $3 \cdot 20 = 60$

Raportul a două numere — clasa 6

\frac{a}{b} (b \neq = 0)

$a$ și $b$ sunt cele două numere comparate, iar $b \neq = 0$ pentru că nu putem împărți la zero. Raportul arată de câte ori se cuprinde $b$ în $a$ și se poate scrie ca fracție, ca număr zecimal sau cu două puncte ( $a : b$ ). Atenție: ordinea contează — raportul dintre $a$ și $b$ nu este același cu raportul dintre $b$ și $a$ .

Exemplu: Raportul dintre $6$ și $4$ : scriem $\frac{6}{4}$ , simplificăm cu $2$ și obținem $\frac{3}{2} = 1, 5$ — deci $6$ este de $1, 5$ ori mai mare decât $4$ .

Proprietatea fundamentală a proporției — clasa 6

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

$a$ și $d$ sunt extremii (capetele proporției), iar $b$ și $c$ sunt mezii (termenii din mijloc). Într-o proporție adevărată, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor — de aceea metoda se numește «înmulțirea în cruce». O folosim ca să verificăm o proporție sau ca să aflăm un termen necunoscut.

Exemplu: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ ? Verificăm: extremii dau $3 \cdot 12 = 36$ , mezii dau $4 \cdot 9 = 36$ . Produsele sunt egale, deci proporția este adevărată.

Aflarea termenului necunoscut — clasa 6

\frac{x}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{d}

$x$ este termenul necunoscut, iar $b$ , $c$ și $d$ sunt termenii cunoscuți ai proporției. Folosim înmulțirea în cruce: $x \cdot d = b \cdot c$ , apoi împărțim la $d$ . Regula practică: înmulțim cei doi termeni de pe diagonala fără $x$ și împărțim la termenul care stă pe aceeași diagonală cu $x$ .

Exemplu: $\frac{x}{8} = \frac{3}{4}$ : înmulțim în cruce și obținem $x \cdot 4 = 8 \cdot 3 = 24$ , apoi $x = 24 : 4 = 6$ . Verificare: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ , deci am aflat corect.

p% dintr-un număr — clasa 5

p % din n = \frac{p}{100} \cdot n

$p$ este procentul, iar $n$ este numărul întreg. « $p %$ » înseamnă $p$ sutimi, adică $\frac{p}{100}$ : împărțim întregul în $100$ de părți egale și luăm $p$ dintre ele. Capcană: «din» se traduce prin înmulțire, nu prin împărțire!

Exemplu: $20%$ din $350$ : scriem $\frac{20}{100} \cdot 350$ , simplificăm $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ și calculăm $350 : 5 = 70$ • rapid: $10%$ din $350$ înseamnă $35$ , deci $20%$ din $350$ înseamnă $2 \cdot 35 = 70$

Aflarea procentului — clasa 6

p % = \frac{partea}{ı ˆ ntregul} \cdot 100%

«Partea» este bucata pe care o avem, iar «întregul» este totalul din care provine ea. Împărțim partea la întreg și înmulțim cu $100%$ ca să exprimăm rezultatul în sutimi. Capcană: la numitor stă mereu întregul (totalul), nu partea!

Exemplu: Ce procent reprezintă $18$ din $60$ ? Calculăm $\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ , apoi $\frac{3}{10} \cdot 100% = 30%$ .

Aflarea întregului — clasa 6

n = \frac{partea \cdot 100}{p}

$n$ este întregul (numărul căutat), «partea» este valoarea cunoscută, iar $p$ este procentul pe care partea îl reprezintă din întreg. Practic mergem înapoi: din partea care valorează $p %$ reconstruim $100%$ . Capcană: după o reducere de $20%$ , prețul plătit reprezintă $80%$ din prețul inițial, nu $20%$ !

Exemplu: $15%$ din $n$ este $45$ . Atunci $1%$ din $n$ este $45 : 15 = 3$ , deci $n = 100 \cdot 3 = 300$ . Verificare: $15%$ din $300 = \frac{15}{100} \cdot 300 = 45$ .

Mărimi direct proporționale — clasa 6

\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}} = k

$a_{1}, a_{2}$ și $b_{1}, b_{2}$ sunt valorile pereche ale celor două mărimi, iar $k$ este coeficientul de proporționalitate. Când o mărime crește de un număr de ori, și cealaltă crește de același număr de ori, deci raportul lor rămâne constant. Așa funcționează regula de trei simplă la prețuri, rețete sau distanțe parcurse cu viteză constantă.

Exemplu: $3$ kg de mere costă $12$ lei. Cât costă $5$ kg? Prețul unui kilogram: $12 : 3 = 4$ lei, deci $5$ kg costă $5 \cdot 4 = 20$ lei.

Mărimi invers proporționale — clasa 6

a_{1} \cdot b_{1} = a_{2} \cdot b_{2} = k

$a_{1}, a_{2}$ și $b_{1}, b_{2}$ sunt valorile pereche ale celor două mărimi, iar $k$ este produsul lor constant. Când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori — ca la muncitori și zilele de lucru. Capcană: aici produsul e constant, nu raportul, deci nu aplica regula de trei simplă directă!

Exemplu: $4$ muncitori termină o lucrare în $6$ zile. Întreaga lucrare înseamnă $4 \cdot 6 = 24$ de «zile de muncitor», deci $8$ muncitori o termină în $24 : 8 = 3$ zile.

Scara unei hărți — clasa 6

scara = \frac{distan ț a pe hart a ˘}{distan ț a real a ˘}

Scara arată de câte ori au fost micșorate distanțele reale ca să încapă pe hartă; ambele distanțe se exprimă în aceeași unitate (de obicei centimetri). O scară $1 : k$ înseamnă că $1$ cm de pe hartă reprezintă $k$ cm în realitate. Capcană: nu uita conversia — $100000$ cm $= 1$ km.

Exemplu: Pe o hartă cu scara $1 : 100000$ , două orașe sunt la $7$ cm unul de altul. Distanța reală: $7 \cdot 100000 = 700000$ cm $= 7$ km.