Formule: Rapoarte, proporții, procente

Raportul, proporția și procentele — cu regula de trei simplă, toate la un loc. 14 formule, clasele 5–10.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Formulele tale de la tehnologic sunt primele, imediat mai jos: Pentru filiera tehnologică (M3) ↓

Procentele prietenoase — clasa 5
Raportul a două numere — clasa 6
Proprietatea fundamentală a proporției — clasa 6
Aflarea termenului necunoscut — clasa 6
p% dintr-un număr — clasa 5
Aflarea procentului — clasa 6
Aflarea întregului — clasa 6
Mărimi direct proporționale — clasa 6
Mărimi invers proporționale — clasa 6
Scara unei hărți — clasa 6

Procentele prietenoase — clasa 5

50% din n = \frac{n}{2}, 25% din n = \frac{n}{4}, 75% din n = \frac{3 n}{4}

Aici $n$ este numărul întreg din care luăm procentul. $50%$ înseamnă jumătate, $25%$ un sfert, iar $75%$ trei sferturi — le poți calcula rapid, fără regula de trei. Ține minte: $100%$ din $n$ este chiar $n$ întreg.

Exemplu: $50%$ din $80$ : împărțim la $2$ și obținem $80 : 2 = 40$ • $25%$ din $80$ : calculăm $80 : 4 = 20$ • $75%$ din $80$ : trei sferturi, adică $3 \cdot 20 = 60$

Raportul a două numere — clasa 6

\frac{a}{b} (b \neq = 0)

$a$ și $b$ sunt cele două numere comparate, iar $b \neq = 0$ pentru că nu putem împărți la zero. Raportul arată de câte ori se cuprinde $b$ în $a$ și se poate scrie ca fracție, ca număr zecimal sau cu două puncte ( $a : b$ ). Atenție: ordinea contează — raportul dintre $a$ și $b$ nu este același cu raportul dintre $b$ și $a$ .

Exemplu: Raportul dintre $6$ și $4$ : scriem $\frac{6}{4}$ , simplificăm cu $2$ și obținem $\frac{3}{2} = 1, 5$ — deci $6$ este de $1, 5$ ori mai mare decât $4$ .

Proprietatea fundamentală a proporției — clasa 6

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

$a$ și $d$ sunt extremii (capetele proporției), iar $b$ și $c$ sunt mezii (termenii din mijloc). Într-o proporție adevărată, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor — de aceea metoda se numește «înmulțirea în cruce». O folosim ca să verificăm o proporție sau ca să aflăm un termen necunoscut.

Exemplu: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ ? Verificăm: extremii dau $3 \cdot 12 = 36$ , mezii dau $4 \cdot 9 = 36$ . Produsele sunt egale, deci proporția este adevărată.

Aflarea termenului necunoscut — clasa 6

\frac{x}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{d}

$x$ este termenul necunoscut, iar $b$ , $c$ și $d$ sunt termenii cunoscuți ai proporției. Folosim înmulțirea în cruce: $x \cdot d = b \cdot c$ , apoi împărțim la $d$ . Regula practică: înmulțim cei doi termeni de pe diagonala fără $x$ și împărțim la termenul care stă pe aceeași diagonală cu $x$ .

Exemplu: $\frac{x}{8} = \frac{3}{4}$ : înmulțim în cruce și obținem $x \cdot 4 = 8 \cdot 3 = 24$ , apoi $x = 24 : 4 = 6$ . Verificare: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ , deci am aflat corect.

p% dintr-un număr — clasa 5

p % din n = \frac{p}{100} \cdot n

$p$ este procentul, iar $n$ este numărul întreg. « $p %$ » înseamnă $p$ sutimi, adică $\frac{p}{100}$ : împărțim întregul în $100$ de părți egale și luăm $p$ dintre ele. Capcană: «din» se traduce prin înmulțire, nu prin împărțire!

Exemplu: $20%$ din $350$ : scriem $\frac{20}{100} \cdot 350$ , simplificăm $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ și calculăm $350 : 5 = 70$ • rapid: $10%$ din $350$ înseamnă $35$ , deci $20%$ din $350$ înseamnă $2 \cdot 35 = 70$

Aflarea procentului — clasa 6

p % = \frac{partea}{ı ˆ ntregul} \cdot 100%

«Partea» este bucata pe care o avem, iar «întregul» este totalul din care provine ea. Împărțim partea la întreg și înmulțim cu $100%$ ca să exprimăm rezultatul în sutimi. Capcană: la numitor stă mereu întregul (totalul), nu partea!

Exemplu: Ce procent reprezintă $18$ din $60$ ? Calculăm $\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ , apoi $\frac{3}{10} \cdot 100% = 30%$ .

Aflarea întregului — clasa 6

n = \frac{partea \cdot 100}{p}

$n$ este întregul (numărul căutat), «partea» este valoarea cunoscută, iar $p$ este procentul pe care partea îl reprezintă din întreg. Practic mergem înapoi: din partea care valorează $p %$ reconstruim $100%$ . Capcană: după o reducere de $20%$ , prețul plătit reprezintă $80%$ din prețul inițial, nu $20%$ !

Exemplu: $15%$ din $n$ este $45$ . Atunci $1%$ din $n$ este $45 : 15 = 3$ , deci $n = 100 \cdot 3 = 300$ . Verificare: $15%$ din $300 = \frac{15}{100} \cdot 300 = 45$ .

Mărimi direct proporționale — clasa 6

\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}} = k

$a_{1}, a_{2}$ și $b_{1}, b_{2}$ sunt valorile pereche ale celor două mărimi, iar $k$ este coeficientul de proporționalitate. Când o mărime crește de un număr de ori, și cealaltă crește de același număr de ori, deci raportul lor rămâne constant. Așa funcționează regula de trei simplă la prețuri, rețete sau distanțe parcurse cu viteză constantă.

Exemplu: $3$ kg de mere costă $12$ lei. Cât costă $5$ kg? Prețul unui kilogram: $12 : 3 = 4$ lei, deci $5$ kg costă $5 \cdot 4 = 20$ lei.

Mărimi invers proporționale — clasa 6

a_{1} \cdot b_{1} = a_{2} \cdot b_{2} = k

$a_{1}, a_{2}$ și $b_{1}, b_{2}$ sunt valorile pereche ale celor două mărimi, iar $k$ este produsul lor constant. Când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori — ca la muncitori și zilele de lucru. Capcană: aici produsul e constant, nu raportul, deci nu aplica regula de trei simplă directă!

Exemplu: $4$ muncitori termină o lucrare în $6$ zile. Întreaga lucrare înseamnă $4 \cdot 6 = 24$ de «zile de muncitor», deci $8$ muncitori o termină în $24 : 8 = 3$ zile.

Scara unei hărți — clasa 6

scara = \frac{distan ț a pe hart a ˘}{distan ț a real a ˘}

Scara arată de câte ori au fost micșorate distanțele reale ca să încapă pe hartă; ambele distanțe se exprimă în aceeași unitate (de obicei centimetri). O scară $1 : k$ înseamnă că $1$ cm de pe hartă reprezintă $k$ cm în realitate. Capcană: nu uita conversia — $100000$ cm $= 1$ km.

Exemplu: Pe o hartă cu scara $1 : 100000$ , două orașe sunt la $7$ cm unul de altul. Distanța reală: $7 \cdot 100000 = 700000$ cm $= 7$ km.

Pentru științe ale naturii (M2)

Cele 3 formule de mai jos sunt folosite de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasa a X-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a X-a.

TVA: prețul cu taxă și fără taxă M2 — clasa 10
Amortizarea liniară M2 — clasa 10
Pragul de rentabilitate M2 — clasa 10

TVA: prețul cu taxă și fără taxă M2 — clasa 10

P_{cu} = P_{f \overset{a}{˘} r \overset{a}{˘}} (1 + \frac{c}{100}), P_{f \overset{a}{˘} r \overset{a}{˘}} = \frac{P _{cu}}{1 + \frac{c}{100}}, TVA = P_{cu} \cdot \frac{c}{100 + c}

$c$ este cota de TVA, în procente: din august $2025$ (Legea nr. $141/2025$ ) cota standard în România este $21%$ , iar cea redusă $11%$ . Taxa se aplică prețului fără TVA, deci prețul de raft reprezintă $100 + c$ procente din baza de impozitare. De aici capcana: taxa cuprinsă într-un preț de raft este $\frac{c}{100 + c}$ din el, nu $\frac{c}{100}$ . Verifică întotdeauna cota în vigoare la data problemei.

Exemplu: Un produs de $1000$ de lei fără TVA, la cota standard: taxa este $210$ lei, iar prețul de raft $1210$ lei. • Invers, din $1210$ lei: $1210 \cdot \frac{21}{121} = 210$ lei taxă și $1210 : 1, 21 = 1000$ de lei bază. Aplicând din greșeală $21%$ chiar prețului de raft ar ieși $254, 10$ lei, cu $44, 10$ lei mai mult decât taxa reală.

Amortizarea liniară M2 — clasa 10

A = \frac{V - R}{n}, V_{k} = V - k \cdot A

$V$ este valoarea investiției, $R$ valoarea reziduală (cu cât se poate vinde la sfârșit, $R = 0$ dacă enunțul nu spune altceva), $n$ durata de folosință în ani, $A$ amortizarea anuală, iar $V_{k}$ valoarea rămasă după $k$ ani. Sumele amortizate an de an sunt egale; cele care formează o progresie aritmetică sunt valorile rămase, cu rația $- A$ . Uitarea valorii reziduale este greșeala cea mai frecventă: ea se scade înainte de împărțire.

Exemplu: Un aparat de $24000$ de lei, folosit $5$ ani și revândut cu $4000$ de lei: $A = \frac{24 000 - 4000}{5} = 4000$ de lei pe an, iar după trei ani valoarea rămasă este $24000 - 3 \cdot 4000 = 12000$ de lei. • Fără valoare reziduală, $18000$ de lei pe $6$ ani dau $A = 3000$ de lei, iar după $4$ ani rămân $6000$ de lei.

Pragul de rentabilitate M2 — clasa 10

C = F + n \cdot v, n_{prag} = \frac{F}{p - v}, profit = (p - v) n - F

$F$ sunt costurile fixe ale perioadei, $v$ costul variabil al unei bucăți, $p$ prețul de vânzare, $n$ numărul de bucăți, iar $C$ costul total. Diferența $p - v$ se numește marjă unitară, iar pragul de rentabilitate este numărul de bucăți de la care veniturile acoperă costurile: se împarte la marjă, nu la preț și nici la costul variabil. Prețul de cost al unei bucăți este $\frac{C}{n}$ și scade când producția crește, fiindcă partea fixă se împarte la mai multe bucăți.

Exemplu: Cu $F = 6000$ de lei, $v = 40$ de lei și $p = 100$ de lei: pragul este $\frac{6000}{60} = 100$ de bucăți. • La o producție de $250$ de bucăți, costul total este $16000$ de lei, prețul de cost al unei bucăți $64$ de lei (nu $40$ ), iar profitul $60 \cdot 250 - 6000 = 9000$ de lei.

Pentru filiera tehnologică (M3)

Formula de mai jos e scrisă pentru elevii de la liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), în clasa a X-a; lecțiile lor sunt pe traseul tehnologic al clasei a X-a.

Procente, TVA și dobânzi M3 — clasa 10

Procente, TVA și dobânzi — clasa 10

V_{nou} = V \cdot (1 \pm \frac{p}{100}), V = \frac{V _{nou}}{1 \pm \frac{p}{100}}, T = B \cdot \frac{c}{100}, total = B \cdot (1 + \frac{c}{100}), P = V - C, V = \frac{P}{p /100}, T = n \cdot o + a, K = T - S

Rândurile se citesc separat, fiecare cu literele lui. În primul, $V$ este valoarea de plecare, $p$ procentul (plus la scumpire, minus la ieftinire), iar a doua egalitate întoarce drumul. În al doilea, $B$ este baza, $c$ cota TVA, $T$ taxa. În al treilea, $V$ este venitul, $C$ costul, $P$ profitul, $p$ partea profitului din venit, în procente, cu $p > 0$ . În ultimul, $n$ este numărul de luni, $o$ obligația lunară, $a$ taxa plătită o singură dată, $S$ suma primită, iar $K$ costul creditului. Capcană: $+ 10%$ urmat de $- 10%$ nu ajunge unde ai plecat. Control: $K$ iese pozitiv.

Exemplu: O firmă de construcții cumpără un compactor cu prețul de listă de $18000$ lei fără TVA și primește un rabat de $10%$ : $V_{nou} = 18000 \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 16200$ lei. TVA de $21%$ este $T = 16200 \cdot \frac{21}{100} = 3402$ lei, deci totalul este $16200 \cdot (1 + \frac{21}{100}) = 19602$ lei. Drumul înapoi: $\frac{16 200}{1 - \frac{10}{100}} = 18000$ . Creditul de $19602$ lei are 24 de rate de câte $850$ lei și un comision de analiză de $300$ lei: $T = 24 \cdot 850 + 300 = 20700$ , iar $K = 20700 - 19602 = 1098$ lei, sub cei $1200$ lei acceptați. Lucrarea costă $C = 22000$ lei, iar firma vrea profit de $12%$ din venit. Pentru $V = 25000$ lei: $P = V - C = 25000 - 22000 = 3000$ lei și $\frac{3 000}{12/100} = 25000$ , deci venitul de $25000$ lei dă exact $12%$ .