Razele cercurilor înscris și circumscris: formulă

Formulă din tema Relații metrice în triunghiul oarecare, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$r$ este raza cercului înscris (tangent laturilor, cu centrul la intersecția bisectoarelor), iar $R$ este raza cercului circumscris (care trece prin vârfuri, cu centrul la intersecția mediatoarelor); $p$ este semiperimetrul, iar $S$ aria. Prima relație se obține descompunând triunghiul în trei triunghiuri cu vârful în centrul cercului înscris. Din trei laturi afli tot: $p$, apoi $S$ cu Heron, apoi $r$ și $R$. Cazuri particulare: în triunghiul dreptunghic $r=\frac{b+c-a}{2}$ și $R=\frac{a}{2}$; în cel echilateral $R=2r$.

Exemplu: Pentru laturile $13$, $14$, $15$: $p=21$ și $S=84$, deci $r=\frac{84}{21}=4$ și $R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=8,125$. • Pentru triunghiul dreptunghic cu laturile $3$, $4$, $5$: $r=\frac{3+4-5}{2}=1$ și $R=\frac{5}{2}=2,5$.