Formule: Relații metrice în triunghiul oarecare

Teoremele care rezolvă orice triunghi, nu doar pe cel dreptunghic: cosinus, sinusuri, arii și ceviene. 10 formule, clasa 9.

Teorema cosinusului — clasa 9
Teorema sinusurilor — clasa 9
Aria cu sinusul unghiului dintre laturi — clasa 9
Formula lui Heron — clasa 9
Razele cercurilor înscris și circumscris — clasa 9
Teorema bisectoarei — clasa 9
Relația lui Stewart — clasa 9
Lungimea medianei — clasa 9
Teorema lui Menelaus — clasa 9
Teorema lui Ceva — clasa 9

Teorema cosinusului — clasa 9

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A, cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

$a$ , $b$ , $c$ sunt laturile triunghiului, iar $A$ este unghiul opus laturii $a$ — latura calculată și unghiul din formulă sunt mereu opuse. O folosești în două situații: două laturi și unghiul dintre ele (afli a treia latură) sau trei laturi (afli un unghi). Teorema lui Pitagora este cazul particular $A = 9 0^{\circ}$ , când $cos A = 0$ . Capcană: la unghi obtuz $cos A$ este negativ, deci termenul $- 2 b c cos A$ devine pozitiv și mărește latura opusă.

Exemplu: Pentru $b = 5$ , $c = 8$ și $A = 6 0^{\circ}$ : $a^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ , deci $a = 7$ . • Pentru laturile $4$ , $5$ , $6$ : $cos A = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{45}{60} = 0, 75 > 0$ , deci unghiul opus laturii de $4$ este ascuțit.

Teorema sinusurilor — clasa 9

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

$a$ , $b$ , $c$ sunt laturile, $A$ , $B$ , $C$ unghiurile opuse lor, iar $R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Latura și unghiul dintr-un raport sunt mereu opuse. Ca să pornești ai nevoie de o pereche completă — o latură împreună cu unghiul opus ei; dacă ai două unghiuri, afli întâi al treilea din suma de $18 0^{\circ}$ . De aici $R = \frac{a}{2 sin A}$ , fără să construiești centrul cercului, și $a = 2 R sin A \leq 2 R$ : nicio latură nu depășește diametrul. Capcană: sinusul nu distinge unghiurile suplementare ( $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ ), deci un unghi aflat cu sinusul poate avea două valori.

Exemplu: Pentru $a = 10$ , $A = 3 0^{\circ}$ și $B = 4 5^{\circ}$ : $2 R = \frac{10}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{10}{0 , 5} = 20$ , deci $R = 10$ și $b = 20 sin 4 5^{\circ} = 102$ . • În triunghiul dreptunghic ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci $R = \frac{ipotenuza}{2}$ .

Aria cu sinusul unghiului dintre laturi — clasa 9

S = \frac{1}{2} ab sin C

$S$ este aria triunghiului, $a$ și $b$ sunt două laturi, iar $C$ este unghiul dintre ele — jumătate din produsul laturilor, înmulțit cu sinusul unghiului cuprins. Formula rămâne valabilă și pentru unghi obtuz, pentru că $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$ . Se citește și invers: $sin C = \frac{2 S}{ab}$ , cu două valori posibile pentru $C$ . Capcană: unghiul trebuie să fie cel dintre cele două laturi folosite, nu oricare. Dintre două laturi fixate, aria este maximă când unghiul dintre ele este drept.

Exemplu: Pentru $a = 6$ , $b = 10$ și $C = 3 0^{\circ}$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15$ . • Pentru $a = 4$ , $b = 5$ și $C = 15 0^{\circ}$ : $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , deci $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5$ .

Formula lui Heron — clasa 9

S = p (p - a) (p - b) (p - c), p = \frac{a + b + c}{2}

$S$ este aria, $a$ , $b$ , $c$ sunt laturile, iar $p$ este semiperimetrul (jumătate din perimetru). Este singura formulă care dă aria din laturi, fără niciun unghi și fără nicio înălțime. Capcană: $p$ se calculează o singură dată, la început, iar în paranteze intră $p$ minus fiecare latură — nu perimetrul întreg. Dacă una dintre paranteze iese negativă, laturile nu formează triunghi.

Exemplu: Pentru laturile $13$ , $14$ , $15$ : $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ , deci $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84$ . • Pentru $3$ , $4$ , $5$ : $p = 6$ și $S = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36 = 6$ , cât dă și $\frac{3 \cdot 4}{2}$ .

Razele cercurilor înscris și circumscris — clasa 9

S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p}, S = \frac{ab c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{ab c}{4 S}

$r$ este raza cercului înscris (tangent laturilor, cu centrul la intersecția bisectoarelor), iar $R$ este raza cercului circumscris (care trece prin vârfuri, cu centrul la intersecția mediatoarelor); $p$ este semiperimetrul, iar $S$ aria. Prima relație se obține descompunând triunghiul în trei triunghiuri cu vârful în centrul cercului înscris. Din trei laturi afli tot: $p$ , apoi $S$ cu Heron, apoi $r$ și $R$ . Cazuri particulare: în triunghiul dreptunghic $r = \frac{b + c - a}{2}$ și $R = \frac{a}{2}$ ; în cel echilateral $R = 2 r$ .

Exemplu: Pentru laturile $13$ , $14$ , $15$ : $p = 21$ și $S = 84$ , deci $r = \frac{84}{21} = 4$ și $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8, 125$ . • Pentru triunghiul dreptunghic cu laturile $3$ , $4$ , $5$ : $r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ și $R = \frac{5}{2} = 2, 5$ .

Teorema bisectoarei — clasa 9

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow B D = \frac{a c}{b + c}, D C = \frac{ab}{b + c}

În triunghiul $A B C$ , $A D$ este bisectoarea din $A$ , iar $D$ se află pe latura $B C$ ; notațiile sunt cele obișnuite: $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ . Bisectoarea împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate, deci segmentul mai mare stă lângă latura mai mare. Capcană: proporția leagă $B D$ de $A B$ și $D C$ de $A C$ — respectă ordinea, altfel rezultatul iese pe dos.

Exemplu: Pentru $A B = 6$ , $A C = 4$ și $B C = 5$ : $B D = \frac{5 \cdot 6}{4 + 6} = 3$ și $D C = \frac{5 \cdot 4}{10} = 2$ . Verificare: $B D + D C = 5 = B C$ ✓ și $\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$ ✓

Relația lui Stewart — clasa 9

b^{2} \cdot B D + c^{2} \cdot D C = a (A D^{2} + B D \cdot D C)

$D$ este un punct oarecare de pe latura $B C$ , iar $A D$ este ceviana dusă din $A$ ; $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ . Relația dă lungimea oricărei ceviene când știi laturile și cele două bucăți în care este împărțită latura $B C$ . Regula de memorare: fiecare latură la pătrat merge cu segmentul depărtat de ea. Metoda din spatele ei este teorema cosinusului aplicată de două ori pentru același unghi, o dată în triunghiul mic și o dată în cel mare.

Exemplu: Pentru $a = 5$ , $b = 4$ , $c = 6$ , cu bisectoarea din $A$ ( $B D = 3$ , $D C = 2$ ): $16 \cdot 3 + 36 \cdot 2 = 48 + 72 = 120$ , iar $5 (A D^{2} + 6) = 120$ dă $A D^{2} = 18$ , deci $A D = 32$ .

Lungimea medianei — clasa 9

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}

$m_{a}$ este mediana dusă din vârful $A$ , adică segmentul până la mijlocul laturii $a = B C$ ; $b$ și $c$ sunt celelalte două laturi. Formula este cazul particular al relației lui Stewart în care punctul $D$ este chiar mijlocul laturii. Verificare rapidă: în triunghiul dreptunghic cu ipotenuza $a$ , formula dă exact $m_{a} = \frac{a}{2}$ , adică mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză.

Exemplu: Pentru $a = 6$ , $b = 5$ , $c = 7$ : $m_{a}^{2} = \frac{2 \cdot 25 + 2 \cdot 49 - 36}{4} = \frac{50 + 98 - 36}{4} = 28$ , deci $m_{a} = 27$ . • Pentru triunghiul dreptunghic cu $b = 3$ , $c = 4$ și ipotenuza $a = 5$ : $m_{a}^{2} = \frac{18 + 32 - 25}{4} = \frac{25}{4}$ , deci $m_{a} = 2, 5 = \frac{a}{2}$ ✓

Teorema lui Menelaus — clasa 9

M, N, P coliniare \Rightarrow \frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1

O transversală taie dreptele $B C$ , $C A$ , $A B$ ale triunghiului $A B C$ în punctele $M$ , $N$ , respectiv $P$ . Rapoartele se scriu urmând laturile în ordine ciclică, iar fiecare vârf apare exact o dată la numărător și o dată la numitor. Regula parității: o transversală lasă mereu un număr impar de puncte în afara laturilor (unu sau trei) — o dreaptă nu poate tăia toate cele trei laturi. Reciproca este un test de coliniaritate: produs $= 1$ plus paritate impară implică puncte coliniare; fără condiția de paritate, afirmația este falsă.

Exemplu: În triunghiul $A B C$ , o transversală taie $B C$ în $M$ cu $\frac{M B}{M C} = \frac{3}{2}$ și $C A$ în $N$ cu $\frac{N C}{N A} = \frac{4}{3}$ . Atunci $\frac{P A}{P B} = \frac{1}{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{1}{2}$ .

Teorema lui Ceva — clasa 9

A M, B N, C P concurente \Rightarrow \frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1

Cevienele sunt segmentele care unesc un vârf cu un punct de pe latura opusă: $M \in B C$ , $N \in C A$ , $P \in A B$ . Produsul este identic cu cel din teorema lui Menelaus — deosebirea stă în paritatea numărului de puncte aflate în afara laturilor: impar înseamnă puncte coliniare (Menelaus), par înseamnă ceviene concurente (Ceva). Reciproca este testul de concurență. Cu ea se demonstrează în câteva rânduri concurența medianelor (toate rapoartele egale cu $1$ ), a bisectoarelor și a înălțimilor.

Exemplu: La mediane, $M$ , $N$ , $P$ sunt mijloacele laturilor, deci fiecare raport este $1$ , iar produsul $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ : medianele sunt concurente, în centrul de greutate. • La bisectoare, rapoartele sunt $\frac{c}{b}$ , $\frac{a}{c}$ , $\frac{b}{a}$ , cu produsul $1$ .