Cât este $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$$, unde $$G$$ este centrul de greutate al triunghiului $$ABC$$?

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$

Dacă $$A_1$$ este mijlocul laturii $$[BC]$$, cu ce este egal $$\overrightarrow{AG}$$?

$$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA_1}$$

$$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AA_1}$$

$$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}$$

Cât face suma vectorilor MA, MB și MC?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Centrul de greutate

Pentru orice punct $M$ din plan, $M A + M B + M C = 3 M G$ , unde $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$ . Se vede scriind fiecare vector prin $G$ și folosind $G A + GB + GC = 0$ . Exemplu: pentru $M$ mijlocul lui $[B C]$ , $M B + M C = 0$ , deci suma este $M A = 3 M G$ . Rezultă că $G$ se află pe mediană, la o treime de latură.

Cele trei mediane ale unui triunghi trec prin același punct, notat $G$ . Dovada pornește invers: construiești punctul dat de $r_{G} = \frac{1}{3} (r_{A} + r_{B} + r_{C})$ și verifici că el stă pe fiecare dintre mediane.

Simetria închide argumentul. Suma celor trei vectori de poziție arată la fel după orice schimbare de ordine a vârfurilor, așa că socoteala făcută pentru o mediană se repetă cuvânt cu cuvânt la celelalte. A arăta că $G$ stă pe mediana din $A$ nu dovedește concurența; demonstrația se încheie când spui, explicit, că expresia este simetrică.

Relația de recunoaștere este $G A + GB + GC = 0$ , cu vectorul nul în membrul drept, nu cu numărul $0$ . Niciun alt punct al planului nu o îndeplinește.

Formula de conversie, $M A + M B + M C = 3 M G$ , funcționează pentru orice punct $M$ și strânge trei vectori într-unul singur.

Pe mediană, partea dinspre vârf are lungimea dublă față de cea dinspre latură: $A G = \frac{2}{3} A A_{1}$ , iar $A G : G A_{1} = 2 : 1$ . Fracția este $\frac{2}{3}$ , nu $\frac{1}{3}$ , fiindcă raportul pune bucățile una lângă alta.

Nu-l amesteca pe $G$ cu centrul cercului circumscris (mediatoare), cu cel al cercului înscris (bisectoare) sau cu ortocentrul (înălțimi).

De reținut

$M A + M B + M C = 3 M G$ pentru orice punct $M$
$G A + GB + GC = 0$
$A G = \frac{1}{3} (A B + A C)$

Greșeala tipică

Se scrie $M A + M B + M C = 0$ pentru orice $M$ ; suma este nulă doar când $M = G$ , iar în rest este $3 M G$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $G A + GB + GC$ , unde $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$ ?
- a) $0$
- b) numărul $0$
- c) $3 G A$
- d) $A B + A C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$

Este relația care îl caracterizează pe $G$ : niciun alt punct din plan nu o verifică. Rezultatul se scrie cu vectorul nul, cu săgeată — o sumă de vectori nu poate fi un număr.
Dacă $A_{1}$ este mijlocul laturii $[B C]$ , cu ce este egal $A G$ ?
- a) $\frac{1}{3} A A_{1}$
- b) $\frac{2}{3} A A_{1}$
- c) $\frac{1}{2} A A_{1}$
- d) $2 A A_{1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{2}{3} A A_{1}$

Raportul $A G : G A_{1} = 2 : 1$ compară cele două bucăți între ele: mediana se împarte în trei părți, iar dinspre vârf revin două. Verificarea: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ✓.
Pentru un punct oarecare $M$ din plan, cu ce este egal $M A + M B + M C$ ?
- a) $0$
- b) $3 M G$
- c) $M G$
- d) $2 M G$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3 M G$

Scrii fiecare vector ca $M G + G A$ și aduni: cele trei $M G$ dau $3 M G$ , iar suma $G A + GB + GC$ este $0$ . Varianta a) e adevărată doar în cazul particular $M = G$ .

Întrebări conexe

Cum scriu $A G$ în funcție de $A B$ și $A C$ ?

Pornești de la $M A + M B + M C = 3 M G$ , valabilă pentru orice punct $M$ , și iei $M = A$ : $AA + A B + A C = 3 A G$ , iar primul vector este nul. Rezultă $A G = \frac{1}{3} (A B + A C)$ , o relație vectorială de tipul cerințelor scurte de la Subiectul I. Coeficienții sunt amândoi egali cu o treime.

Unde este centrul de masă a trei corpuri egale din vârfurile unui triunghi?

Cu mase egale, vectorul de poziție al centrului de masă este media vectorilor de poziție: $\frac{m r _{A} + m r _{B} + m r _{C}}{3 m} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ . Acesta este exact centrul de greutate $G$ , la intersecția medianelor.

De ce triunghiul mijloacelor are același centru de greutate cu triunghiul inițial?

Suma vectorilor de poziție ai mijloacelor este $\frac{( r _{B} + r _{C} ) + ( r _{A} + r _{C} ) + ( r _{A} + r _{B} )}{2} = r_{A} + r_{B} + r_{C}$ . Împărțind la $3$ , media vectorilor de poziție rămâne aceeași, deci punctul $G$ este comun celor două triunghiuri, deși triunghiul mijloacelor are laturile de două ori mai mici.

Coincide centrul de greutate cu centrul cercului circumscris?

Doar în triunghiul echilateral, unde medianele sunt și mediatoare. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, iar $G$ este în interiorul triunghiului, pe mediana dusă spre ipotenuză, la o treime din lungimea ei față de acel mijloc.

Unde e punctul $M$ cu $M A + M B + M C = A B$ ?

Suma din stânga este $3 M G$ , deci $M G = \frac{1}{3} A B$ . Atunci $GM = \frac{1}{3} B A$ : pornești din $G$ și te deplasezi paralel cu $A B$ , în sensul de la $B$ spre $A$ , cu o treime din lungimea lui $A B$ .

Oamenii mai întreabă și: suma vectorilor MA MB MC · MA plus MB plus MC egal 3MG · formula cu centrul de greutate pentru un punct oarecare · suma a trei vectori duși din același punct spre vârfuri