Matematică pentru științe ale naturii (M2) — clasa a IX-a

Lecții de matematică pentru clasa a IX-a, specializarea științe ale naturii, organizate pe unități. Fiecare pagină este adaptată programei M2 și conține teoria explicată pas cu pas, exemple rezolvate și exerciții cu răspuns.

Pentru recapitulări de câteva minute: Învață ușor — mini-lecțiile M2 ale clasei, fiecare noțiune pe scurt, ca răspuns la o întrebare.

Programa și examenul

Traseul de mai jos urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii — OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 28 — aplicată progresiv: clasa a IX-a din 2026–2027, a X-a din 2027–2028, a XI-a din 2028–2029, a XII-a din 2029–2030. La specializarea științe ale naturii se fac 3 ore de matematică pe săptămână (planurile-cadru aprobate prin OMEC nr. 4350/2025). Programa de examen din 2014, după care se dă Bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029, e scrisă pe alt reper de ore — 4 pe săptămână în clasele a IX-a și a X-a, 3 în a XI-a și a XII-a —, de aceea în alte locuri poți găsi cifra de 4 ore.

Examenul diferă de la o generație la alta, iar asta schimbă ce ai de învățat:

• elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen aprobată prin OMEN nr. 4430/2014;
• elevii intrați în clasa a IX-a în 2026 dau Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, construită direct pe anexa nr. 28.

Unitățile marcate „Supliment Bac M2 2027–2029" acoperă teme cerute de programa de examen veche, care nu mai apar în programa nouă a clasei — sunt acolo ca să nu lipsească nimic celor care dau examenul în 2027, 2028 sau 2029.

Traseul anului, pe unități

Sub fiecare unitate, după lecții, sunt testul unității, fișa de lucru și, unde există, tema pentru acasă.

1. Mulțimea numerelor reale

• Formule de calcul prescurtat cu cuburi (M2, științe ale naturii)
• Raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată (M2, științe ale naturii)
• Modulul unui număr real: reguli de calcul (M2, științe ale naturii)
• Ordonarea și aproximarea numerelor reale (M2, științe ale naturii)
• Partea întreagă și partea fracționară (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Numere reale: calcul prescurtat și modul · fișa de lucru · tema pentru acasă

2. Elemente de logică matematică

• Propoziția logică și valoarea de adevăr (M2, științe ale naturii)
• Negația unei propoziții (M2, științe ale naturii)
• Conjuncția: propoziții legate prin «și» (M2, științe ale naturii)
• Disjuncția: propoziții legate prin «sau» (M2, științe ale naturii)
• Implicația: dacă… atunci… (M2, științe ale naturii)
• Echivalența: dacă și numai dacă (M2, științe ale naturii)
• Tabelul de adevăr al unui enunț compus (M2, științe ale naturii)
• Predicate și variabile (M2, științe ale naturii)
• Cuantificatorii universal și existențial (M2, științe ale naturii)
• Reguli de negare: De Morgan (M2, științe ale naturii)
• Negarea cuantificatorilor (M2, științe ale naturii)
• Validarea logică a unui raționament (M2, științe ale naturii)
• Metoda reducerii la absurd (M2, științe ale naturii)
• Metoda inducției matematice (M2, științe ale naturii)
• Inducția matematică: aplicații simple (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Logică matematică și metode de demonstrație · fișa de lucru · tema pentru acasă

3. Polinoame cu coeficienți reali

• Polinoame cu coeficienți reali: gradul și forma (M2, științe ale naturii)
• Operații cu polinoame și gradul rezultatului (M2, științe ale naturii)
• Funcția polinomială: valori, tabel și rădăcini (M2, științe ale naturii)
• Teorema împărțirii cu rest la polinoame (M2, științe ale naturii)
• Împărțirea la X − a și schema lui Horner (M2, științe ale naturii)
• Divizibilitatea polinoamelor. Teorema lui Bézout (M2, științe ale naturii)
• Rădăcini reale și ecuații polinomiale (M2, științe ale naturii)
• Polinoame în fizică, chimie și biologie (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Polinoame: formă algebrică și operații · test: Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner · test: Divizibilitate, Bézout și ecuații polinomiale · fișa de lucru · tema pentru acasă

4. Progresii aritmetice și progresii geometrice

• Dobânda simplă și costurile (M2, științe ale naturii)
• Șiruri: termen, rang și formulă (M2, științe ale naturii)
• Progresia aritmetică și rația (M2, științe ale naturii)
• Termenul general al PA (M2, științe ale naturii)
• Suma termenilor unei PA (M2, științe ale naturii)
• Recunoașterea modelului PA (M2, științe ale naturii)
• Dobânda compusă și dinamica populației (M2, științe ale naturii)
• Progresia geometrică și rația (M2, științe ale naturii)
• Termenul general al progresiei geometrice (M2, științe ale naturii)
• Suma unei progresii geometrice (M2, științe ale naturii)
• Procente repetate și baza de calcul (M2, științe ale naturii)
• Progresie aritmetică sau geometrică? (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Progresii aritmetice și geometrice · fișa de lucru · tema pentru acasă

5. Geometrie analitică în plan

• Reperul cartezian: axe, origine, cadrane (M2, științe ale naturii)
• Coordonatele unui punct din plan (M2, științe ale naturii)
• Distanța dintre două puncte în plan (M2, științe ale naturii)
• Coordonatele mijlocului unui segment (M2, științe ale naturii)
• Figuri în reperul cartezian: perimetre (M2, științe ale naturii)
• Coordonate în situații practice (M2, științe ale naturii)
• Panta unei drepte (M2, științe ale naturii)
• Dreapta din punct și pantă (M2, științe ale naturii)
• Dreapta prin două puncte (M2, științe ale naturii)
• Dreapta și axele (M2, științe ale naturii)
• Poziția dreptei (M2, științe ale naturii)
• Coliniaritatea a trei puncte (M2, științe ale naturii)
• Intersecția a două drepte (M2, științe ale naturii)
• Ecuația cercului: centru, rază, formă generală (M2, științe ale naturii)
• Dreapta și cercul: intersecții și tangente (M2, științe ale naturii)
• Două cercuri: poziții relative și puncte comune (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Reperul cartezian, distanțe și dreapta · test: Ecuația cercului și poziții relative · fișa de lucru · tema pentru acasă

6. Funcții — observarea proprietăților prin lecturi grafice

• Noțiunea de funcție (M2, științe ale naturii)
• Graficul și lectura grafică (M2, științe ale naturii)
• Funcția afină (M2, științe ale naturii)
• Monotonia funcției afine (M2, științe ale naturii)
• Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele (M2, științe ale naturii)
• Ecuații și inecuații rezolvate grafic (M2, științe ale naturii)
• Funcția afină ca model: costuri, tarife, viteze (M2, științe ale naturii)
• Funcția de gradul al doilea (M2, științe ale naturii)
• Parabola, vârful și simetria (M2, științe ale naturii)
• Intersecțiile parabolei cu axele (M2, științe ale naturii)
• Monotonia și extremul parabolei (M2, științe ale naturii)
• Mulțimea valorilor funcției de gradul doi (M2, științe ale naturii)
• Semnul funcției de gradul doi (M2, științe ale naturii)
• Inecuații de gradul doi pe grafic (M2, științe ale naturii)
• Maxim și minim în context (M2, științe ale naturii)
• Produsul a două funcții afine pe grafic (M2, științe ale naturii)
• Câtul a două funcții: domeniu și grafic (M2, științe ale naturii)
• Comportamentul asimptotic citit pe grafic (M2, științe ale naturii)
• Funcția putere cu exponent întreg (M2, științe ale naturii)
• Funcția radical de ordin 2 (M2, științe ale naturii)
• Domeniul de definiție al funcției cu radical (M2, științe ale naturii)
• Funcția radical de ordin 3 (M2, științe ale naturii)
• Funcția exponențială (M2, științe ale naturii)
• Creșterea exponențială (M2, științe ale naturii)
• Numărul e și exponențiala naturală (M2, științe ale naturii)
• Logaritmul: definiție (M2, științe ale naturii)
• Funcția logaritmică și graficul ei (M2, științe ale naturii)
• Logaritmul natural și logaritmul zecimal (M2, științe ale naturii)
• Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Funcții: lecturi grafice și proprietăți · fișa de lucru · tema pentru acasă

7. Elemente de trigonometrie și aplicații în geometrie

• Măsura unui arc: grade și radiani (M2, științe ale naturii)
• Cercul trigonometric: punctele asociate (M2, științe ale naturii)
• Sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric (M2, științe ale naturii)
• Valorile sin și cos pentru unghiurile de bază (M2, științe ale naturii)
• Funcția tangentă pe [0, 2π] și domeniul ei (M2, științe ale naturii)
• Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane (M2, științe ale naturii)
• Graficele funcțiilor sinus și cosinus (M2, științe ale naturii)
• Formula fundamentală a trigonometriei (M2, științe ale naturii)
• Reducerea la primul cadran: formulele pentru π − x (M2, științe ale naturii)
• Formulele pentru π + x și 2π − x (M2, științe ale naturii)
• Formulele cu π/2 − x (M2, științe ale naturii)
• Formulele pentru tangentă (M2, științe ale naturii)
• Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta (M2, științe ale naturii)
• Trigonometria în triunghiul dreptunghic, recapitulare (M2, științe ale naturii)
• Valorile funcțiilor trigonometrice din tabele și cu mijloace digitale (M2, științe ale naturii)
• Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze (M2, științe ale naturii)
• Teorema cosinusului: enunț și aplicații (M2, științe ale naturii)
• Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor (M2, științe ale naturii)
• Natura unui triunghi din lungimile laturilor (M2, științe ale naturii)
• Teorema sinusurilor: enunț și aplicații (M2, științe ale naturii)
• Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris (M2, științe ale naturii)
• Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL (M2, științe ale naturii)
• Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU (M2, științe ale naturii)
• Aria triunghiului cu formula sinusului (M2, științe ale naturii)
• Aria triunghiului: formula lui Heron (M2, științe ale naturii)
• Aria suprafețelor poligonale prin descompunere (M2, științe ale naturii)
• Măsurători indirecte: triangulație și navigație (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Trigonometrie și aplicații în geometrie · fișa de lucru · tema pentru acasă

8. Supliment Bac M2 2027–2029: vectori și calcul vectorial în plan

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Segmentul orientat și vectorul în plan (M2, științe ale naturii)
• Adunarea vectorilor: triunghi și paralelogram (M2, științe ale naturii)
• Înmulțirea unui vector cu un scalar (M2, științe ale naturii)
• Descompunerea unui vector după doi vectori (M2, științe ale naturii)
• Vectorul de poziție și raportul pe un segment (M2, științe ale naturii)
• Centrul de greutate, demonstrat vectorial (M2, științe ale naturii)
• Teorema lui Menelaus: transversala unui triunghi (M2, științe ale naturii)
• Teorema lui Ceva: trei ceviene concurente (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: vectori în plan · fișa de lucru · tema pentru acasă

9. Supliment Bac M2 2027–2029: produsul scalar și relații metrice în triunghi

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Produsul scalar a doi vectori (M2, științe ale naturii)
• Perpendicularitate cu produsul scalar (M2, științe ale naturii)
• Raza cercului înscris și raza cercului circumscris (M2, științe ale naturii)
• Teorema bisectoarei și lungimi în triunghi (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: produsul scalar · fișa de lucru · tema pentru acasă

10. Supliment Bac M2 2027–2029: formule trigonometrice de adunare și de dublu unghi

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Funcția cotangentă și periodicitatea (M2, științe ale naturii)
• Formulele sin(a ± b) și cos(a ± b) (M2, științe ale naturii)
• Formulele unghiului dublu (M2, științe ale naturii)
• Transformarea sumelor în produse (M2, științe ale naturii)

Exersezi: fișa de lucru · tema pentru acasă · test compus, de tipărit

11. Supliment Bac M2 2027–2029: funcția de gradul I și de gradul al doilea, tratare analitică

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Funcția de gradul I: ecuații și inecuații (M2, științe ale naturii)
• Sisteme de ecuații și de inecuații de gradul I (M2, științe ale naturii)
• Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor (M2, științe ale naturii)
• Relațiile lui Viète (M2, științe ale naturii)
• Sisteme cu ecuații de gradul al doilea (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: gradul I, gradul II și șiruri · fișa de lucru · tema pentru acasă

12. Supliment Bac M2 2027–2029: mulțimi, intervale și șiruri

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Mulțimi și intervale: operații și De Morgan (M2, științe ale naturii)
• Funcții egale, restricții și imaginea unei mulțimi (M2, științe ale naturii)
• Șiruri: moduri de definire și recurență (M2, științe ale naturii)
• Șiruri de numere reale: monotonie și mărginire (M2, științe ale naturii)
• Caracterizarea progresiilor prin trei termeni consecutivi (M2, științe ale naturii)
• Condiții de progresie și intercalarea termenilor (M2, științe ale naturii)

Exersezi: fișa de lucru · tema pentru acasă · test compus, de tipărit

Teste M2

Toate testele de clasa a IX-a pentru științe ale naturii, cu barem și rezolvare pas cu pas, în ordinea traseului. Se rezolvă direct pe pagină, fără cont.

• Test: Numere reale: calcul prescurtat și modul — Mulțimea numerelor reale
• Test: Logică matematică și metode de demonstrație — Elemente de logică matematică
• Test: Polinoame: formă algebrică și operații — Polinoame cu coeficienți reali
• Test: Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner — Polinoame cu coeficienți reali
• Test: Divizibilitate, Bézout și ecuații polinomiale — Polinoame cu coeficienți reali
• Test: Progresii aritmetice și geometrice — Progresii aritmetice și progresii geometrice
• Test: Reperul cartezian, distanțe și dreapta — Geometrie analitică în plan
• Test: Ecuația cercului și poziții relative — Geometrie analitică în plan
• Test: Funcții: lecturi grafice și proprietăți — Funcții — observarea proprietăților prin lecturi grafice
• Test: Trigonometrie și aplicații în geometrie — Elemente de trigonometrie și aplicații în geometrie
• Test: Supliment Bac M2: vectori în plan
• Test: Supliment Bac M2: produsul scalar
• Test: Supliment Bac M2: gradul I, gradul II și șiruri
• Evaluare sumativă — clasa a IX-a

Bacalaureatul M2

Cine intră în clasa a IX-a în 2026 dă Bacalaureatul în 2030, la proba MAT_P2, construită pe programa nouă — pe scurt, în lecția Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2. Pentru proba M2 din sesiunile 2027–2029 ai pe site:

• subiectele oficiale de Bacalaureat M2, 2010–2026: cele 92 de probe oficiale publicate cu subiect și barem — modele, simulări și sesiuni de examen —, rezolvate pas cu pas
• structura probei M2: trei subiecte, trei ore, 10 puncte din oficiu
• o simulare completă de Bacalaureat M2, scrisă de noi după programa de examen, cu rezolvări
• testele „Supliment Bac M2” ale clasei: vectori în plan · produsul scalar · gradul I, gradul II și șiruri
• traseul M2 al clasei a XII-a, unde e pregătirea propriu-zisă pentru examen

Enunțurile și baremele sunt cele oficiale, publicate de minister pe subiecte.edu.ro; rezolvările și ghidajul sunt ale noastre. Ce probă dai, după profil, și cu ce diferă M2 de M1: probele de matematică pe profiluri.

Exerciții rezolvate

Pentru științe ale naturii nu avem pagini separate de exerciții rezolvate, ca la mate-info. Exemplele rezolvate pas cu pas sunt în fiecare lecție M2, iar la finalul lecției, în secțiunea „Să exersăm”, sunt exerciții cu răspuns. Pentru exerciții cu barem: testele și fișele de lucru de mai sus.

Formulele clasei (M2)

Formulele de care ai nevoie în clasa a IX-a, la științe ale naturii: întâi cele scrise pentru programa M2, apoi temele comune cu mate-info pe care le folosești și tu. Fiecare are legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Scrise pentru M2

• Proprietățile modulului unui număr real M2 — Numere reale, modul și parte întreagă
• Partea întreagă și partea fracționară M2 — Numere reale, modul și parte întreagă
• Raționalizarea cu expresia conjugată M2 — Radicali
• Cubul sumei și cubul diferenței M2 — Formule de calcul prescurtat
• Suma și diferența de cuburi M2 — Formule de calcul prescurtat
• Sisteme de gradul I: numărul de soluții M2 — Ecuații și sisteme
• Semnul funcției de gradul I M2 — Funcția liniară și reperul cartezian
• Criteriul de monotonie a unui șir M2 — Progresii
• Produsul scalar a doi vectori M2 — Dreapta în plan
• Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari M2 — Dreapta în plan
• Vectorul de poziție al unui punct care împarte un segment M2 — Dreapta în plan
• Centrul de greutate al unui triunghi, vectorial M2 — Dreapta în plan
• Gradul sumei și al produsului a două polinoame M2 — Polinoame
• Poziția unui punct față de cerc M2 — Conice
• Pozițiile relative a două cercuri M2 — Conice

Comune cu mate-info

• Ecuații și sisteme — 1 formulă de clasa a IX-a · secțiunea M2
• Progresii — 7 formule de clasa a IX-a · secțiunea M2
• Funcția de gradul al doilea — 7 formule de clasa a IX-a
• Dreapta în plan — 7 formule de clasa a IX-a · secțiunea M2
• Trigonometrie — 11 formule de clasa a IX-a
• Relații metrice în triunghiul oarecare — 10 formule de clasa a IX-a

Dacă ești la mate-info

Specializarea matematică-informatică are altă programă și altă probă de Bacalaureat (M1): mai multe ore, teme în plus și o tratare mai adâncă a acelorași noțiuni. Traseul ei e la Matematică clasa a IX-a — mate-info (M1).

Pentru părinți

La științe ale naturii matematica se face în 3 ore pe săptămână, nu în 4 ca la mate-info, iar programa cere mai mult „citit din grafic și din tabel" și mai puțină demonstrație. Asta nu înseamnă o matematică mai ușoară, ci una mai aplicată: majoritatea temelor sunt legate de contexte din fizică, chimie, biologie și economie. Toate materialele de aici sunt gratuite și nu cer cont.

Pentru profesori

Fișele de lucru M2 de clasa a IX-a: câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului și teme pentru acasă cu alte exerciții decât fișa, gata de tipărit. Pentru planificare: planificarea calendaristică de clasa a IX-a, științe ale naturii. Toate materialele pentru profesori, pe clase: pagina pentru profesori.

Întrebări frecvente

Ce se învață la matematică în clasa a IX-a, la științe ale naturii? Pe programa nouă a specializării: mulțimea numerelor reale; elemente de logică matematică; polinoame cu coeficienți reali; progresii aritmetice și progresii geometrice; geometrie analitică în plan; funcții — observarea proprietăților prin lecturi grafice; elemente de trigonometrie și aplicații în geometrie. La ele se adaugă unitățile „Supliment Bac M2 2027–2029”: vectori și calcul vectorial în plan; produsul scalar și relații metrice în triunghi; formule trigonometrice de adunare și de dublu unghi; funcția de gradul I și de gradul al doilea, tratare analitică; mulțimi, intervale și șiruri. Lecțiile, în ordine, sunt în traseul de mai sus.

Câte lecții și teste M2 are clasa a IX-a pe Matepolis? 139 de lecții scrise pentru științe ale naturii, și 14 teste cu barem; profesorii au în plus 12 fișe de lucru și 12 teme pentru acasă. Toate sunt gratuite și nu cer cont.

Ce Bacalaureat dau dacă sunt în clasa a IX-a la științe ale naturii? Dacă ești în clasa a IX-a în anul școlar 2026–2027, dai Bacalaureatul în 2030, la proba nouă MAT_P2, construită pe programa nouă a specializării (OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 28). Ce se știe despre ea e în lecția Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2.

Ce înseamnă „Supliment Bac M2 2027–2029” în traseul de clasa a IX-a? Sunt teme care se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014, dar care nu mai sunt în programa nouă a clasei. Le-am păstrat ca unități separate, ca elevii care dau examenul în acești ani să nu rămână cu goluri. Cine intră în clasa a IX-a în 2026 și dă proba MAT_P2 în 2030 le poate sări.

Cu ce diferă matematica de clasa a IX-a la științe ale naturii față de mate-info? Are altă programă (OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 28), 3 ore pe săptămână în loc de 4 și altă probă de Bacalaureat. Capitolele comune se tratează mai aplicat, cu mai puține demonstrații. Traseul de mate-info al clasei e la Matematică clasa a IX-a — mate-info (M1).

Există fișe de lucru M2 de clasa a IX-a pentru profesori? Da: fișele de lucru M2 de clasa a IX-a au câte o fișă cu barem pe fiecare unitate, teme pentru acasă și se tipăresc direct din browser.