Matematică pentru științe ale naturii (M2) — clasa a XII-a

Lecții de matematică pentru clasa a XII-a, specializarea științe ale naturii, organizate pe unități. Fiecare pagină este adaptată programei M2 și conține teoria explicată pas cu pas, exemple rezolvate și exerciții cu răspuns.

Pentru recapitulări de câteva minute: Învață ușor — mini-lecțiile M2 ale clasei, fiecare noțiune pe scurt, ca răspuns la o întrebare.

Programa și examenul

Traseul de mai jos urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii — OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 28 — aplicată progresiv: clasa a IX-a din 2026–2027, a X-a din 2027–2028, a XI-a din 2028–2029, a XII-a din 2029–2030. La specializarea științe ale naturii se fac 3 ore de matematică pe săptămână (planurile-cadru aprobate prin OMEC nr. 4350/2025). Programa de examen din 2014, după care se dă Bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029, e scrisă pe alt reper de ore — 4 pe săptămână în clasele a IX-a și a X-a, 3 în a XI-a și a XII-a —, de aceea în alte locuri poți găsi cifra de 4 ore.

Examenul diferă de la o generație la alta, iar asta schimbă ce ai de învățat:

• elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen aprobată prin OMEN nr. 4430/2014;
• elevii intrați în clasa a IX-a în 2026 dau Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, construită direct pe anexa nr. 28.

Unitățile marcate „Supliment Bac M2 2027–2029" acoperă teme cerute de programa de examen veche, care nu mai apar în programa nouă a clasei — sunt acolo ca să nu lipsească nimic celor care dau examenul în 2027, 2028 sau 2029.

Traseul anului, pe unități

Sub fiecare unitate, după lecții, sunt testul unității, fișa de lucru și, unde există, tema pentru acasă.

1. Sisteme de ecuații liniare

• Sisteme liniare: forma matriceală și soluțiile (M2, științe ale naturii)
• Cramer la sisteme cu patru necunoscute (M2, științe ale naturii)
• Rangul unei matrice (M2, științe ale naturii)
• Compatibilitatea unui sistem, prin rang (M2, științe ale naturii)
• Reducerea la tip Cramer. Sisteme cu parametru (M2, științe ale naturii)
• Sisteme liniare: amestecuri, doze, bilanțuri (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Sisteme de ecuații liniare: rang și compatibilitate · fișa de lucru · tema pentru acasă

2. Elemente de geometrie analitică în spațiu

• Reperul Oxyz: coordonatele unui punct (M2, științe ale naturii)
• Distanța dintre două puncte în spațiu (M2, științe ale naturii)
• Condiția de coplanaritate a patru puncte (M2, științe ale naturii)
• Volumul tetraedrului (M2, științe ale naturii)
• Ecuația generală a planului (M2, științe ale naturii)
• Planul determinat de trei puncte necoliniare (M2, științe ale naturii)
• Plane particulare: de coordonate și paralele (M2, științe ale naturii)
• Pozițiile relative a două plane (M2, științe ale naturii)
• Trei plane citite dintr-un sistem liniar (M2, științe ale naturii)
• Geometrie în spațiu, rezolvată analitic (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Reperul în spațiu: distanțe, coplanaritate și volume · test: Plane în spațiu: ecuații și poziții relative · fișa de lucru · tema pentru acasă

3. Primitivele unei funcții continue

• Primitive: problema inversă a derivării (M2, științe ale naturii)
• Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită (M2, științe ale naturii)
• Liniaritatea integralei nedefinite (M2, științe ale naturii)
• Tabelul primitivelor uzuale: puteri și radicali (M2, științe ale naturii)
• Primitive cu exponențială și logaritm (M2, științe ale naturii)
• Primitive trigonometrice și cu arctangentă (M2, științe ale naturii)
• Ce funcții admit primitive (M2, științe ale naturii)
• Primitiva care trece printr-un punct dat (M2, științe ale naturii)
• Primitive: cum recunoști funcția la examen (M2, științe ale naturii)
• De la rată la cantitate: primitive în științe (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Primitive și tabelul primitivelor · test: Existența primitivelor și aplicații · fișa de lucru · tema pentru acasă

4. Ecuații diferențiale

• Ecuații diferențiale: ce este o soluție (M2, științe ale naturii)
• Ecuații cu variabile separabile (M2, științe ale naturii)
• Ecuații diferențiale de ordinul I (M2, științe ale naturii)
• Ecuații diferențiale de ordinul al doilea (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Ecuații diferențiale · fișa de lucru · tema pentru acasă

5. Integrala definită

• Integrala definită: aria de sub grafic (M2, științe ale naturii)
• Estimarea unei integrale de pe grafic (M2, științe ale naturii)
• Formula Leibniz-Newton, de la primitivă la arie (M2, științe ale naturii)
• Liniaritate, monotonie, aditivitate la integrală (M2, științe ale naturii)
• Integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul (M2, științe ale naturii)
• Integrarea prin părți (M2, științe ale naturii)
• Integrarea prin părți aplicată de două ori (M2, științe ale naturii)
• Schimbarea de variabilă (M2, științe ale naturii)
• Substituțiile care se dau la examen (M2, științe ale naturii)
• Cum alegi metoda de calcul al unei integrale (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Integrala definită și formula Leibniz–Newton · test: Metode de integrare: părți și substituție · fișa de lucru · tema pentru acasă

6. Aplicații ale integralei definite

• Aria subgraficului, cu schimbare de semn (M2, științe ale naturii)
• Aria dintre două curbe (M2, științe ale naturii)
• Volumul unui corp de rotație (M2, științe ale naturii)
• Volumele sferei, cilindrului și conului (M2, științe ale naturii)
• Lungimea unei curbe și aria laterală (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Aplicații ale integralei: arii și volume · fișa de lucru · tema pentru acasă

7. Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Legea de compoziție internă și tabla operației (M2, științe ale naturii)
• Proprietățile unei legi de compoziție (M2, științe ale naturii)
• Grupul: definiție și grupuri numerice (M2, științe ale naturii)
• Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n (M2, științe ale naturii)
• Grupuri de matrice (M2, științe ale naturii)
• Morfisme și izomorfisme de grupuri (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: legi de compoziție și grupuri · fișa de lucru · tema pentru acasă

8. Supliment Bac M2 2027–2029: inele și corpuri

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Inelul: definiție și exemple (M2, științe ale naturii)
• Inele de matrice și inele de funcții reale (M2, științe ale naturii)
• Corpul: corpuri numerice și clase modulo p (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: inele și corpuri · fișa de lucru · tema pentru acasă

9. Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Polinoame peste un corp: formă și operații (M2, științe ale naturii)
• Teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner (M2, științe ale naturii)
• Teorema lui Bézout și rădăcinile polinomului (M2, științe ale naturii)
• C.m.m.d.c. și descompunerea în factori (M2, științe ale naturii)
• Relațiile lui Viète, până la gradul 4 (M2, științe ale naturii)
• Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice (M2, științe ale naturii)
• Rădăcini conjugate: raționali și reali (M2, științe ale naturii)
• Ecuații binome și ecuații bipătrate (M2, științe ale naturii)
• Ecuații reciproce de gradul 3 și 4 (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: polinoame, împărțire și divizibilitate · test: Supliment Bac M2: ecuații algebrice și relațiile lui Viète · fișa de lucru · tema pentru acasă

10. Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Descompunerea în fracții simple (M2, științe ale naturii)
• Integrale raționale: numitor de grad cel mult 4 (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: fracții simple și integrale raționale · fișa de lucru

11. Pregătire pentru Bacalaureat M2

• Structura probei: 3 ore, 3 subiecte, 10 puncte (M2, științe ale naturii)
• Subiectul I: cele șase cerințe scurte (M2, științe ale naturii)
• Subiectul al II-lea: matrice și sisteme (M2, științe ale naturii)
• Subiectul al II-lea: structuri și polinoame (M2, științe ale naturii)
• Subiectul al III-lea: derivate și integrale (M2, științe ale naturii)
• Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2 (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Simulare de Bacalaureat M2 — clasa a XII-a · fișa de lucru · tema pentru acasă

Teste M2

Toate testele de clasa a XII-a pentru științe ale naturii, cu barem și rezolvare pas cu pas, în ordinea traseului. Se rezolvă direct pe pagină, fără cont.

• Test: Sisteme de ecuații liniare: rang și compatibilitate — Sisteme de ecuații liniare
• Test: Reperul în spațiu: distanțe, coplanaritate și volume — Elemente de geometrie analitică în spațiu
• Test: Plane în spațiu: ecuații și poziții relative — Elemente de geometrie analitică în spațiu
• Test: Primitive și tabelul primitivelor — Primitivele unei funcții continue
• Test: Existența primitivelor și aplicații — Primitivele unei funcții continue
• Test: Ecuații diferențiale — Ecuații diferențiale
• Test: Integrala definită și formula Leibniz–Newton — Integrala definită
• Test: Metode de integrare: părți și substituție — Integrala definită
• Test: Aplicații ale integralei: arii și volume — Aplicații ale integralei definite
• Test: Supliment Bac M2: legi de compoziție și grupuri
• Test: Supliment Bac M2: inele și corpuri
• Test: Supliment Bac M2: polinoame, împărțire și divizibilitate
• Test: Supliment Bac M2: ecuații algebrice și relațiile lui Viète
• Test: Supliment Bac M2: fracții simple și integrale raționale
• Simulare de Bacalaureat M2 — clasa a XII-a — Pregătire pentru Bacalaureat M2

Bacalaureatul M2

Pentru cine e acum în clasa a XII-a, examenul e Bacalaureatul M2 din 2027, pe programa de examen din 2014. Pentru proba M2 din sesiunile 2027–2029 ai pe site:

• subiectele oficiale de Bacalaureat M2, 2010–2026: cele 92 de probe oficiale publicate cu subiect și barem — modele, simulări și sesiuni de examen —, rezolvate pas cu pas
• structura probei M2: trei subiecte, trei ore, 10 puncte din oficiu
• o simulare completă de Bacalaureat M2, scrisă de noi după programa de examen, cu rezolvări
• testele „Supliment Bac M2” ale clasei: legi de compoziție și grupuri · inele și corpuri · polinoame, împărțire și divizibilitate · ecuații algebrice și relațiile lui Viète · fracții simple și integrale raționale
• ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2

Enunțurile și baremele sunt cele oficiale, publicate de minister pe subiecte.edu.ro; rezolvările și ghidajul sunt ale noastre. Ce probă dai, după profil, și cu ce diferă M2 de M1: probele de matematică pe profiluri.

Exerciții rezolvate

Pentru științe ale naturii nu avem pagini separate de exerciții rezolvate, ca la mate-info. Exemplele rezolvate pas cu pas sunt în fiecare lecție M2, iar la finalul lecției, în secțiunea „Să exersăm”, sunt exerciții cu răspuns. Pentru exerciții cu barem: testele și fișele de lucru de mai sus.

Formulele clasei (M2)

Formulele de care ai nevoie în clasa a XII-a, la științe ale naturii: întâi cele scrise pentru programa M2, apoi temele comune cu mate-info pe care le folosești și tu. Fiecare are legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Scrise pentru M2

• Distanța dintre două puncte în spațiu M2 — Geometrie analitică în spațiu
• Condiția de coplanaritate a patru puncte M2 — Geometrie analitică în spațiu
• Volumul tetraedrului cu determinant M2 — Geometrie analitică în spațiu
• Ecuația generală a planului și vectorul normal M2 — Geometrie analitică în spațiu
• Planul determinat de trei puncte necoliniare M2 — Geometrie analitică în spațiu
• Pozițiile relative a două plane M2 — Geometrie analitică în spațiu
• Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea și al patrulea M2 — Polinoame
• Ecuația reciprocă de gradul al patrulea M2 — Polinoame
• Ecuația cu variabile separabile și modelul exponențial M2 — Primitive și integrala nedefinită
• Ecuația diferențială liniară de ordinul I cu coeficienți constanți M2 — Primitive și integrala nedefinită
• Ecuația diferențială de ordinul al doilea și ecuația caracteristică M2 — Primitive și integrala nedefinită
• Încadrarea integralei între două dreptunghiuri M2 — Integrala definită
• Lungimea graficului unei funcții M2 — Aplicații ale integralei definite
• Aria suprafeței de rotație M2 — Aplicații ale integralei definite

Comune cu mate-info

• Legi de compoziție și clase de resturi — 13 formule de clasa a XII-a
• Grupuri — 14 formule de clasa a XII-a
• Inele, corpuri și polinoame — 15 formule de clasa a XII-a
• Primitive și integrala nedefinită — 14 formule de clasa a XII-a · secțiunea M2
• Integrala definită — 16 formule de clasa a XII-a · secțiunea M2
• Aplicații ale integralei definite — 13 formule de clasa a XII-a · secțiunea M2

Dacă ești la mate-info

Specializarea matematică-informatică are altă programă și altă probă de Bacalaureat (M1): mai multe ore, teme în plus și o tratare mai adâncă a acelorași noțiuni. Traseul ei e la Matematică clasa a XII-a — mate-info (M1).

Pentru părinți

La științe ale naturii matematica se face în 3 ore pe săptămână, nu în 4 ca la mate-info, iar programa cere mai mult „citit din grafic și din tabel" și mai puțină demonstrație. Asta nu înseamnă o matematică mai ușoară, ci una mai aplicată: majoritatea temelor sunt legate de contexte din fizică, chimie, biologie și economie. Toate materialele de aici sunt gratuite și nu cer cont.

Pentru profesori

Fișele de lucru M2 de clasa a XII-a: câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului și teme pentru acasă cu alte exerciții decât fișa, gata de tipărit. Toate materialele pentru profesori, pe clase: pagina pentru profesori.

Întrebări frecvente

Ce se învață la matematică în clasa a XII-a, la științe ale naturii? Pe programa nouă a specializării: sisteme de ecuații liniare; elemente de geometrie analitică în spațiu; primitivele unei funcții continue; ecuații diferențiale; integrala definită; aplicații ale integralei definite. La ele se adaugă unitățile „Supliment Bac M2 2027–2029”: grupuri; inele și corpuri; polinoame peste un corp comutativ; integrale de funcții raționale. Lecțiile, în ordine, sunt în traseul de mai sus.

Câte lecții și teste M2 are clasa a XII-a pe Matepolis? 71 de lecții scrise pentru științe ale naturii, și 15 teste cu barem; profesorii au în plus 11 fișe de lucru și 10 teme pentru acasă. Toate sunt gratuite și nu cer cont.

Ce Bacalaureat dau dacă sunt în clasa a XII-a la științe ale naturii? Dacă ești în clasa a XII-a în anul școlar 2026–2027, dai Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în 2027, pe programa de examen aprobată prin OMEN nr. 4430/2014. De aceea traseul are și unitățile „Supliment Bac M2 2027–2029”. Cum arată proba: structura probei M2.

Ce înseamnă „Supliment Bac M2 2027–2029” în traseul de clasa a XII-a? Sunt teme care se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014, dar care nu mai sunt în programa nouă a clasei. Le-am păstrat ca unități separate, ca elevii care dau examenul în acești ani să nu rămână cu goluri. Cine intră în clasa a IX-a în 2026 și dă proba MAT_P2 în 2030 le poate sări.

Cu ce diferă matematica de clasa a XII-a la științe ale naturii față de mate-info? Are altă programă (OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 28), 3 ore pe săptămână în loc de 4 și altă probă de Bacalaureat. Capitolele comune se tratează mai aplicat, cu mai puține demonstrații. Traseul de mate-info al clasei e la Matematică clasa a XII-a — mate-info (M1).

Există fișe de lucru M2 de clasa a XII-a pentru profesori? Da: fișele de lucru M2 de clasa a XII-a au câte o fișă cu barem pe fiecare unitate, teme pentru acasă și se tipăresc direct din browser.