Matematică pentru științe ale naturii (M2) — clasa a XI-a

Lecții de matematică pentru clasa a XI-a, specializarea științe ale naturii, organizate pe unități. Fiecare pagină este adaptată programei M2 și conține teoria explicată pas cu pas, exemple rezolvate și exerciții cu răspuns.

Pentru recapitulări de câteva minute: Învață ușor — mini-lecțiile M2 ale clasei, fiecare noțiune pe scurt, ca răspuns la o întrebare.

Programa și examenul

Traseul de mai jos urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii — OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 28 — aplicată progresiv: clasa a IX-a din 2026–2027, a X-a din 2027–2028, a XI-a din 2028–2029, a XII-a din 2029–2030. La specializarea științe ale naturii se fac 3 ore de matematică pe săptămână (planurile-cadru aprobate prin OMEC nr. 4350/2025). Programa de examen din 2014, după care se dă Bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029, e scrisă pe alt reper de ore — 4 pe săptămână în clasele a IX-a și a X-a, 3 în a XI-a și a XII-a —, de aceea în alte locuri poți găsi cifra de 4 ore.

Examenul diferă de la o generație la alta, iar asta schimbă ce ai de învățat:

• elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen aprobată prin OMEN nr. 4430/2014;
• elevii intrați în clasa a IX-a în 2026 dau Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, construită direct pe anexa nr. 28.

Unitățile marcate „Supliment Bac M2 2027–2029" acoperă teme cerute de programa de examen veche, care nu mai apar în programa nouă a clasei — sunt acolo ca să nu lipsească nimic celor care dau examenul în 2027, 2028 sau 2029.

Traseul anului, pe unități

Sub fiecare unitate, după lecții, sunt testul unității, fișa de lucru și, unde există, tema pentru acasă.

1. Matrice și determinanți

• Matrice: tabelul de date care se poate calcula (M2, științe ale naturii)
• Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr (M2, științe ale naturii)
• Înmulțirea matricelor și ordinea factorilor (M2, științe ale naturii)
• Matrice în practică: costuri, transport, doze (M2, științe ale naturii)
• Determinanți de ordinul 2 și 3 (M2, științe ale naturii)
• Proprietățile determinanților, la lucru (M2, științe ale naturii)
• Determinantul de ordinul 4, pe o linie (M2, științe ale naturii)
• Matrice inversabilă: criteriul determinantului (M2, științe ale naturii)
• Inversa unei matrice, cu matricea adjunctă (M2, științe ale naturii)
• Coliniaritate și dreapta, cu determinant (M2, științe ale naturii)
• Aria triunghiului calculată cu un determinant (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Matrice: operații și contexte practice · test: Determinanți de ordinul 2, 3 și 4 · test: Matrice inversabile și aplicații geometrice · fișa de lucru · tema pentru acasă

2. Limite de funcții și continuitate

• Intervale, mărginire și vecinătăți (M2, științe ale naturii)
• Limita într-un punct, citită de pe grafic (M2, științe ale naturii)
• Limite laterale: când există limita unei funcții (M2, științe ale naturii)
• Limite la plus infinit și la minus infinit (M2, științe ale naturii)
• Limitele funcțiilor polinomiale și raționale (M2, științe ale naturii)
• Limite de putere și radical (M2, științe ale naturii)
• Limite cu exponențială și logaritm (M2, științe ale naturii)
• Operații cu limite și cazurile exceptate (M2, științe ale naturii)
• Infinit minus infinit: trucul conjugatei (M2, științe ale naturii)
• Asimptote verticale și orizontale (M2, științe ale naturii)
• Asimptota oblică: când există și cum se află (M2, științe ale naturii)
• Continuitatea: într-un punct și pe interval (M2, științe ale naturii)
• Parametrul care face continuă o funcție pe ramuri (M2, științe ale naturii)
• Funcții continue: operații și semn pe interval (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Limite de funcții: noțiune, limite laterale și la infinit · test: Limitele funcțiilor uzuale și nedeterminările · test: Asimptote și continuitate · fișa de lucru · tema pentru acasă

3. Derivabilitate

• Derivata unei funcții: panta tangentei la grafic (M2, științe ale naturii)
• Funcție derivabilă și funcția derivată (M2, științe ale naturii)
• Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale (M2, științe ale naturii)
• Reguli de derivare: suma, produsul și câtul (M2, științe ale naturii)
• Regula lanțului: derivezi dinafară înăuntru (M2, științe ale naturii)
• Derivata a doua și curbura graficului (M2, științe ale naturii)
• Ecuația tangentei la graficul unei funcții (M2, științe ale naturii)
• Normala la graficul unei funcții (M2, științe ale naturii)
• Tangente și normale, ca la examen (M2, științe ale naturii)
• Cum derivezi orice funcție de la examen (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Derivata: definiție, tabel și reguli de derivare · test: Funcții compuse, tangenta și normala la grafic · fișa de lucru · tema pentru acasă

4. Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

• Regula lui l'Hôspital, fără demonstrație (M2, științe ale naturii)
• Nedeterminările reduse la l'Hôspital (M2, științe ale naturii)
• Monotonia, citită din semnul derivatei (M2, științe ale naturii)
• Puncte critice și puncte de extrem (M2, științe ale naturii)
• Convexitate, concavitate și derivata a doua (M2, științe ale naturii)
• Puncte de inflexiune: schimbarea de curbură (M2, științe ale naturii)
• Tabelul de variație, cap-coadă (M2, științe ale naturii)
• Imaginea unei funcții pe un interval (M2, științe ale naturii)
• Funcții bijective pe intervale (M2, științe ale naturii)
• Probleme de optimizare: perimetre, arii și volume (M2, științe ale naturii)
• Viteza și accelerația, aflate cu derivata (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Regula lui L’Hospital, monotonia și punctele de extrem · test: Convexitate, inflexiune și tabelul de variație · test: Bijectivitate, optimizare și aplicații în științe · fișa de lucru · tema pentru acasă

5. Supliment Bac M2 2027–2029: ecuații matriceale, sisteme liniare, Darboux și reprezentarea grafică

Supliment Bac M2 2027–2029. Temele de mai jos nu mai sunt în programa nouă a clasei, dar se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029.

• Ecuații matriceale: AX = B și XA = B (M2, științe ale naturii)
• Forma matriceală a unui sistem cu 3 necunoscute (M2, științe ale naturii)
• Metoda lui Cramer, la cel mult 3 necunoscute (M2, științe ale naturii)
• Sistemul rezolvat cu X = A⁻¹B, cu proba pe loc (M2, științe ale naturii)
• Proprietatea lui Darboux (M2, științe ale naturii)
• Reprezentarea grafică: schema în șapte pași (M2, științe ale naturii)
• Graficele celor patru familii de funcții (M2, științe ale naturii)

Exersezi: test: Supliment Bac M2: ecuații matriceale și sisteme liniare · test: Supliment Bac M2: proprietatea lui Darboux și reprezentarea grafică · fișa de lucru · tema pentru acasă

Teste M2

Toate testele de clasa a XI-a pentru științe ale naturii, cu barem și rezolvare pas cu pas, în ordinea traseului. Se rezolvă direct pe pagină, fără cont.

• Test: Matrice: operații și contexte practice — Matrice și determinanți
• Test: Determinanți de ordinul 2, 3 și 4 — Matrice și determinanți
• Test: Matrice inversabile și aplicații geometrice — Matrice și determinanți
• Test: Limite de funcții: noțiune, limite laterale și la infinit — Limite de funcții și continuitate
• Test: Limitele funcțiilor uzuale și nedeterminările — Limite de funcții și continuitate
• Test: Asimptote și continuitate — Limite de funcții și continuitate
• Test: Derivata: definiție, tabel și reguli de derivare — Derivabilitate
• Test: Funcții compuse, tangenta și normala la grafic — Derivabilitate
• Test: Regula lui L’Hospital, monotonia și punctele de extrem — Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor
• Test: Convexitate, inflexiune și tabelul de variație — Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor
• Test: Bijectivitate, optimizare și aplicații în științe — Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor
• Test: Supliment Bac M2: ecuații matriceale și sisteme liniare
• Test: Supliment Bac M2: proprietatea lui Darboux și reprezentarea grafică
• Evaluare sumativă — clasa a XI-a

Bacalaureatul M2

Pentru cine e acum în clasa a XI-a, examenul e Bacalaureatul M2 din 2028, pe programa de examen din 2014. Pentru proba M2 din sesiunile 2027–2029 ai pe site:

• subiectele oficiale de Bacalaureat M2, 2010–2026: cele 92 de probe oficiale publicate cu subiect și barem — modele, simulări și sesiuni de examen —, rezolvate pas cu pas
• structura probei M2: trei subiecte, trei ore, 10 puncte din oficiu
• o simulare completă de Bacalaureat M2, scrisă de noi după programa de examen, cu rezolvări
• testele „Supliment Bac M2” ale clasei: ecuații matriceale și sisteme liniare · proprietatea lui Darboux și reprezentarea grafică
• traseul M2 al clasei a XII-a, unde e pregătirea propriu-zisă pentru examen
• ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2

Enunțurile și baremele sunt cele oficiale, publicate de minister pe subiecte.edu.ro; rezolvările și ghidajul sunt ale noastre. Ce probă dai, după profil, și cu ce diferă M2 de M1: probele de matematică pe profiluri.

Exerciții rezolvate

Pentru științe ale naturii nu avem pagini separate de exerciții rezolvate, ca la mate-info. Exemplele rezolvate pas cu pas sunt în fiecare lecție M2, iar la finalul lecției, în secțiunea „Să exersăm”, sunt exerciții cu răspuns. Pentru exerciții cu barem: testele și fișele de lucru de mai sus.

Formulele clasei (M2)

Formulele de care ai nevoie în clasa a XI-a, la științe ale naturii: întâi cele scrise pentru programa M2, apoi temele comune cu mate-info pe care le folosești și tu. Fiecare are legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Scrise pentru M2

• Limitele-etalon ale funcțiilor putere, radical, exponențială și logaritm M2 — Limite de funcții și continuitate
• Nedeterminarea infinit minus infinit și expresia conjugată M2 — Limite de funcții și continuitate
• Ecuația normalei la graficul unei funcții M2 — Derivate
• Reducerea nedeterminărilor la un raport M2 — Derivate
• Viteza și accelerația ca derivate M2 — Derivate
• Imaginea unei funcții pe un interval de monotonie M2 — Studiul variației funcțiilor
• Bijectivitatea pe un interval prin stricta monotonie M2 — Studiul variației funcțiilor

Comune cu mate-info

• Matrice și operații cu matrice — 9 formule de clasa a XI-a
• Determinanți și matrice inversabile — 12 formule de clasa a XI-a
• Sisteme de ecuații liniare — 9 formule de clasa a XI-a
• Limite de funcții și continuitate — 9 formule de clasa a XI-a · secțiunea M2
• Derivate — 11 formule de clasa a XI-a · secțiunea M2
• Studiul variației funcțiilor — 8 formule de clasa a XI-a · secțiunea M2

Dacă ești la mate-info

Specializarea matematică-informatică are altă programă și altă probă de Bacalaureat (M1): mai multe ore, teme în plus și o tratare mai adâncă a acelorași noțiuni. Traseul ei e la Matematică clasa a XI-a — mate-info (M1).

Pentru părinți

La științe ale naturii matematica se face în 3 ore pe săptămână, nu în 4 ca la mate-info, iar programa cere mai mult „citit din grafic și din tabel" și mai puțină demonstrație. Asta nu înseamnă o matematică mai ușoară, ci una mai aplicată: majoritatea temelor sunt legate de contexte din fizică, chimie, biologie și economie. Toate materialele de aici sunt gratuite și nu cer cont.

Pentru profesori

Fișele de lucru M2 de clasa a XI-a: câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului și teme pentru acasă cu alte exerciții decât fișa, gata de tipărit. Toate materialele pentru profesori, pe clase: pagina pentru profesori.

Întrebări frecvente

Ce se învață la matematică în clasa a XI-a, la științe ale naturii? Pe programa nouă a specializării: matrice și determinanți; limite de funcții și continuitate; derivabilitate; aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor. La ele se adaugă unitățile „Supliment Bac M2 2027–2029”: ecuații matriceale, sisteme liniare, Darboux și reprezentarea grafică. Lecțiile, în ordine, sunt în traseul de mai sus.

Câte lecții și teste M2 are clasa a XI-a pe Matepolis? 53 de lecții scrise pentru științe ale naturii, și 14 teste cu barem; profesorii au în plus 5 fișe de lucru și 5 teme pentru acasă. Toate sunt gratuite și nu cer cont.

Ce Bacalaureat dau dacă sunt în clasa a XI-a la științe ale naturii? Dacă ești în clasa a XI-a în anul școlar 2026–2027, dai Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în 2028, pe programa de examen aprobată prin OMEN nr. 4430/2014. De aceea traseul are și unitățile „Supliment Bac M2 2027–2029”. Cum arată proba: structura probei M2.

Ce înseamnă „Supliment Bac M2 2027–2029” în traseul de clasa a XI-a? Sunt teme care se cer la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014, dar care nu mai sunt în programa nouă a clasei. Le-am păstrat ca unități separate, ca elevii care dau examenul în acești ani să nu rămână cu goluri. Cine intră în clasa a IX-a în 2026 și dă proba MAT_P2 în 2030 le poate sări.

Cu ce diferă matematica de clasa a XI-a la științe ale naturii față de mate-info? Are altă programă (OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 28), 3 ore pe săptămână în loc de 4 și altă probă de Bacalaureat. Capitolele comune se tratează mai aplicat, cu mai puține demonstrații. Traseul de mate-info al clasei e la Matematică clasa a XI-a — mate-info (M1).

Există fișe de lucru M2 de clasa a XI-a pentru profesori? Da: fișele de lucru M2 de clasa a XI-a au câte o fișă cu barem pe fiecare unitate, teme pentru acasă și se tipăresc direct din browser.