Avem $$v(p)=0$$ și $$v(p\Leftrightarrow q)=1$$. Ce rezultă despre $$q$$?

Poate avea oricare dintre cele două valori.

Cât este v(p⇔ q) dacă ambele propoziții sunt false?

Echivalența compară valorile, iar aici ele sunt egale, ambele 0. De aceea v(p⇔ q)=1. De exemplu, pentru p: „3>5” și q: „2=7”, echivalența este adevărată, deși niciuna dintre propoziții nu este.

Este adevărată echivalența x>2⇔ x²>4 pe numerele reale?

Nu. Sensul de la stânga la dreapta este adevărat, dar reciproca eșuează: x=-3 are x²=9>4, însă x>2 este falsă. Pe numerele pozitive echivalența devine adevărată, deci domeniul contează.

Când sunt două ecuații echivalente?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Echivalența

Două ecuații sunt echivalente când au exact aceeași mulțime de soluții pe același domeniu; atunci se poate scrie săgeata dublă între ele. Exemplu: $2 x + 1 = 7$ și $x = 3$ sunt echivalente, fiindcă fiecare are doar soluția $3$ . În schimb, $x - 1 = 0$ și $x (x - 1) = 0$ nu sunt: a doua mai are soluția $0$ . O transformare corectă nu adaugă și nu pierde soluții.

Un criteriu exact trebuie să funcționeze la dus și la întors. Scrierea $p \Leftrightarrow q$ cere atât trecerea din $p$ spre $q$ , cât și trecerea inversă. Poți citi „exact atunci când” sau „dacă și numai dacă”. O justificare care acoperă doar prima trecere nu încheie demonstrația.

Pentru propoziții fixate, compară verdictele: două valori identice dau adevărat, iar două valori diferite dau fals. Astfel, perechea fals–fals este acceptată de echivalență. Nu declari adevărate afirmațiile componente; evaluezi acordul dintre valorile lor. Acest acord logic nu dovedește că una dintre situațiile descrise o cauzează pe cealaltă.

Într-o afirmație cu variabilă, citește domeniul înaintea calculelor. Un număr exclus din domeniu nu poate infirma regula, dar un număr admis cu rezultate diferite constituie un contraexemplu suficient. Pe o listă finită completă poți verifica fiecare element. Pentru toate numerele reale este necesar un argument general, dacă vrei să demonstrezi regula.

La transformarea ecuațiilor, săgeata dublă promite exact aceleași soluții. Controlează operațiile inverse și orice împărțitor care se poate anula. Verificarea valorilor găsite elimină soluțiile suplimentare greșite; controlul pașilor împiedică pierderea altor soluții. Cuvintele „necesară și suficientă” descriu tocmai un criteriu care nu acceptă cazuri greșite și nu exclude cazuri corecte.

De reținut

$p \Leftrightarrow q$ este adevărată când $p$ și $q$ au aceeași valoare
ecuații echivalente: aceeași mulțime de soluții, pe același domeniu
o echivalență se demonstrează în ambele sensuri

Greșeala tipică

Se scrie săgeata dublă după ce s-a înmulțit ecuația cu $x$ sau s-a ridicat la pătrat; aceste operații pot adăuga soluții, deci trebuie verificate valorile obținute.

Exerciții din această mini-lecție

Avem $v (p) = 0$ și $v (p \Leftrightarrow q) = 1$ . Ce rezultă despre $q$ ?
- a) Este adevărată.
- b) Poate avea oricare dintre cele două valori.
- c) Este falsă.
- d) Nu este propoziție.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Este falsă.

Echivalența adevărată cere valori identice. Cum prima este zero, și $v (q) = 0$ .
Care scriere exprimă faptul că $q$ este necesară și suficientă pentru $p$ ?
- a) $p \Rightarrow q$
- b) $q \Rightarrow p$
- c) $p \lor q$
- d) $p \Leftrightarrow q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $p \Leftrightarrow q$

Necesitatea cere $p \Rightarrow q$ , iar suficiența cere $q \Rightarrow p$ . Împreună alcătuiesc echivalența.
Pe domeniul real, care număr infirmă afirmația $x^{2} = 81 \Leftrightarrow x = 9$ ?
- a) $- 9$
- b) $9$
- c) $0$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 9$

La $x = - 9$ , pătratul este $81$ , dar numărul nu este $9$ . La $9$ ambele condiții sunt adevărate; la $0$ și $3$ sunt ambele false.

Întrebări conexe

Cât este $v (p \Leftrightarrow q)$ dacă ambele propoziții sunt false?

Echivalența compară valorile, iar aici ele sunt egale, ambele $0$ . De aceea $v (p \Leftrightarrow q) = 1$ . De exemplu, pentru $p$ : „ $3 > 5$ ” și $q$ : „ $2 = 7$ ”, echivalența este adevărată, deși niciuna dintre propoziții nu este.

Cum demonstrez echivalența $∣ x ∣ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ?

Demonstrezi ambele sensuri. Dacă $x = 0$ , atunci $∣ x ∣ = 0$ , direct din definiție. Invers, dacă $∣ x ∣ = 0$ , distanța de la $x$ la $0$ este nulă, deci $x = 0$ . Abia cu ambele implicații echivalența este dovedită.

De ce înmulțirea unei ecuații cu $x$ poate strica echivalența?

Înmulțirea cu $x$ poate adăuga soluția $x = 0$ . Ecuația $2 x = 6$ are doar soluția $3$ , dar $2 x^{2} = 6 x$ se scrie $2 x (x - 3) = 0$ și are soluțiile $0$ și $3$ . Soluția $0$ este străină, deci ecuațiile nu mai sunt echivalente.

Este adevărată echivalența $x > 2 \Leftrightarrow x^{2} > 4$ pe numerele reale?

Nu. Sensul de la stânga la dreapta este adevărat, dar reciproca eșuează: $x = - 3$ are $x^{2} = 9 > 4$ , însă $x > 2$ este falsă. Pe numerele pozitive echivalența devine adevărată, deci domeniul contează.

Pentru câte numere naturale $n \leq 10$ este adevărată „ $n$ par $\Leftrightarrow$ $n^{2}$ par”?

Pentru toate cele $11$ numere, de la $0$ la $10$ . Un număr par are pătratul par, iar un număr impar are pătratul impar, deci cele două propoziții au mereu aceeași valoare. Echivalența este adevărată pe fiecare rând al listei.

Oamenii mai întreabă și: ecuații echivalente · ecuații cu aceleași soluții · când pot scrie echivalență între ecuații · transformări echivalente ale unei ecuații

Când sunt două ecuații echivalente?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este v(p⇔q) dacă ambele propoziții sunt false?

Cum demonstrez echivalența ∣x∣=0⇔x=0?

De ce înmulțirea unei ecuații cu x poate strica echivalența?

Este adevărată echivalența x>2⇔x2>4 pe numerele reale?

Pentru câte numere naturale n≤10 este adevărată „n par ⇔ n2 par”?

Continuă cu

Cât este $v (p \Leftrightarrow q)$ dacă ambele propoziții sunt false?

Cum demonstrez echivalența $∣ x ∣ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ?

De ce înmulțirea unei ecuații cu $x$ poate strica echivalența?

Este adevărată echivalența $x > 2 \Leftrightarrow x^{2} > 4$ pe numerele reale?

Pentru câte numere naturale $n \leq 10$ este adevărată „ $n$ par $\Leftrightarrow$ $n^{2}$ par”?