Compararea numerelor până la 1 000 000

Ai învățat deja să citești, să scrii și să descompui numere mari, până la un milion. Acum facem un pas important și foarte folositor: învățăm cum aflăm care număr este mai mare și care este mai mic. Pare greu când vezi numere cu șase cifre, dar ai să descoperi că există un truc simplu și sigur. După această lecție vei putea spune dintr-o privire dacă 324 700 este mai mare decât 89 999 și de ce. Hai să pornim cu încredere!

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două numere până la 1 000 000 și să pui semnul potrivit: <, > sau =.
• Vei ști să compari rapid, uitându-te mai întâi la numărul de cifre.
• Vei ști să compari ordin cu ordin, atunci când numerele au tot atâtea cifre.
• Vei ști să compari prin rotunjire, ca să te descurci repede cu prețuri și distanțe.
• Vei ști să citești și să scrii corect semnele < (mai mic), > (mai mare) și = (egal).

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „a compara"

A compara două numere înseamnă să răspunzi la o singură întrebare simplă: care dintre ele este mai mare? Sau pot fi la fel? Când compari, pui între ele unul dintre cele trei semne:

• semnul > se citește mai mare;
• semnul < se citește mai mic;
• semnul = se citește egal (adică sunt la fel de mari).

Gândește-te la o cumpănă, adică la un cântar cu două talere. Pui un număr pe un taler și celălalt număr pe celălalt taler. Talerul care „atârnă" mai jos are numărul mai mare.

Trucul ca să nu încurci niciodată semnul

Mulți copii încurcă semnul < cu semnul >. Există un truc care te scapă de griji. Imaginează-ți că semnul este gurița unui crocodil flămând. Crocodilul este lacom și vrea mereu să mănânce numărul cel mai mare. Așadar, gurița deschisă (partea largă) se întoarce mereu spre numărul mai mare, iar vârful ascuțit arată spre numărul mai mic.

De exemplu:

• 8 > 3 — crocodilul mănâncă pe 8, fiindcă 8 este mai mare.
• 3 < 8 — gurița este tot spre 8, dar acum 8 stă în dreapta.

Vezi? Partea deschisă a semnului „privește" întotdeauna spre numărul mare. Vârful ascuțit „arată cu degetul" spre numărul mic.

Pasul 1 — Numără cifrele

Acesta este cel mai puternic truc dintre toate. Reține-l bine:

Dintre două numere naturale, este mai mare cel care are mai multe cifre.

De ce funcționează? Pentru că fiecare cifră în plus înseamnă un ordin nou, mult mai mare. Un număr cu 6 cifre este de ordinul sutelor de mii, iar unul cu 4 cifre rămâne la mii. Nicio combinație de mii nu poate ajunge la sute de mii.

Hai să vedem:

• 2 500 are 4 cifre, iar 999 are 3 cifre. Deci 2 500 > 999, fără să mai socotim nimic.
• 120 000 are 6 cifre, iar 98 700 are 5 cifre. Deci 120 000 > 98 700.

Ai grijă să numeri cifrele corect. Tocmai de aceea, când scriem numerele mari, lăsăm un mic spațiu între grupe de câte trei cifre: 120 000 se citește mai ușor decât 120000. Spațiul te ajută să vezi clar din câte cifre e format numărul.

Atenție la o capcană: numărul 098 000 nu se scrie niciodată cu un zero în față! Zerourile din față nu se pun, pentru că nu valorează nimic. Așa că un număr „adevărat" cu 6 cifre începe întotdeauna cu o cifră de la 1 la 9. Asta înseamnă că dacă un număr chiar are 6 cifre, este sigur mai mare decât oricare număr cu 5 cifre.

Pasul 2 — Când au tot atâtea cifre, comparăm ordin cu ordin

Uneori cele două numere au același număr de cifre. Atunci trucul cu numărul de cifre nu ne mai ajută, fiindcă sunt la fel de „lungi". Ce facem? Comparăm cifră cu cifră, de la stânga la dreapta, adică pornim de la ordinul cel mai mare.

De ce de la stânga? Pentru că la stânga stau cifrele care valorează cel mai mult: sutele de mii, apoi zecile de mii, apoi miile, apoi sutele, zecile și unitățile. Cifra din stânga „decide" prima.

Hai să comparăm 452 318 cu 452 600.

Le așezăm unul sub altul, cifră sub cifră, frumos aliniate la dreapta:

  4 5 2 3 1 8
  4 5 2 6 0 0

Acum mergem de la stânga la dreapta și ne uităm la prima pereche de cifre care diferă:

• Sute de mii: 4 și 4 — la fel, mergem mai departe.
• Zeci de mii: 5 și 5 — la fel, mergem mai departe.
• Mii: 2 și 2 — la fel, mergem mai departe.
• Sute: 3 și 6 — aici diferă! 3 este mai mic decât 6.

Ne-am oprit. Numărul al doilea are 6 acolo unde primul are 3, deci 452 318 < 452 600. Restul cifrelor (1, 8 față de 0, 0) nu mai contează deloc, pentru că prima diferență a hotărât totul.

Gândește-te la o cursă de mașinuțe. Două mașinuțe pornesc la fel: amândouă au făcut 4 ture, apoi 5, apoi 2. Sunt cot la cot. Dar la următorul tur, una face 6 și cealaltă doar 3. Din clipa aceea știm cine conduce, oricât ar face mai departe. Tot așa, prima cifră care diferă, citită de la stânga, hotărăște care număr este mai mare.

Pasul 3 — Pas cu pas, regula completă

Hai să strângem totul într-o rețetă pe care o poți urma de fiecare dată:

1. Numără cifrele fiecărui număr. Cine are mai multe cifre este mai mare. Gata!
2. Dacă au tot atâtea cifre, așază-le unul sub altul, aliniate la dreapta.
3. Compară cifrele de la stânga la dreapta, una câte una.
4. Oprește-te la prima cifră care diferă. Numărul cu cifra mai mare acolo este numărul mai mare.
5. Dacă toate cifrele sunt la fel, numerele sunt egale și pui semnul =.

Compararea prin rotunjire — trucul pentru viața de zi cu zi

Uneori nu avem nevoie de un răspuns exact, ci doar de o idee rapidă: „cam care e mai mare?". Aici ne ajută rotunjirea. A rotunji înseamnă să aducem numărul la o valoare mai ușor de ținut minte, de exemplu la cea mai apropiată mie sau zece de mii.

Imaginează-ți că ești la magazin cu părinții. O bicicletă costă 1 290 lei, iar alta 990 lei. Ca să-ți dai seama repede care e mai scumpă, rotunjești: prima e „cam 1 300 lei", a doua „cam 1 000 lei". Imediat vezi că prima bicicletă este mai scumpă.

La fel cu distanțele. De la un oraș la altul sunt 312 km, iar până la altul 289 km. Rotunjite, sunt „cam 300 km" și „cam 300 km" — aproape la fel. Atunci ne uităm mai atent: 312 este mai mare decât 289, deci primul drum este mai lung.

Rotunjirea este foarte folositoare pentru a face un calcul rapid în minte, dar ține minte: pentru un răspuns sigur, exact, comparăm tot ordin cu ordin. Despre rotunjire vei învăța în amănunt la lecția Rotunjirea la zeci, sute, mii, zeci și sute de mii.

Compararea pe axa numerelor

Mai există un mod foarte frumos de a înțelege de ce un număr este mai mare decât altul: axa numerelor. Axa numerelor este o linie dreaptă pe care numerele stau în ordine, de la mic la mare, mergând spre dreapta. Pe această linie, numărul 0 stă la stânga de tot, iar pe măsură ce înaintăm spre dreapta, numerele cresc.

Regula este simplă și sigură:

Pe axa numerelor, numărul aflat mai la dreapta este întotdeauna cel mai mare.

Hai să așezăm câteva numere pe o axă, din mie în mie:

0      100 000   200 000   300 000   400 000   500 000
|---------|---------|---------|---------|---------|----->
                              ▲                   ▲
                          312 000             498 000

Vezi că 498 000 stă mai la dreapta decât 312 000, așa că 498 000 > 312 000. Nu trebuie să mai numeri nimic: ochiul vede imediat care punct este mai departe spre dreapta. Cu cât un număr stă mai aproape de capătul din dreapta, cu atât este mai mare.

Axa numerelor este foarte utilă când vrei să compari mai multe numere deodată sau când vrei să-ți imaginezi „cât de departe" sunt unul de altul. De pildă, 56 200 stă chiar lângă început, în timp ce 560 000 stă mult mai spre dreapta — diferența dintre ele „se vede" pe linie. Tot pe axă vei lucra și la lecția despre ordonarea numerelor, când vei aranja mai multe numere în șir.

O poveste scurtă

Doi frați, Andrei și Maria, au strâns puncte la un joc pe calculator. Andrei avea 204 980 de puncte, iar Maria 204 990. „Eu am mai multe, am aproape un sfert de milion!" a spus Andrei. Maria a zâmbit și a luat o foaie. A scris numerele unul sub altul:

  2 0 4 9 8 0
  2 0 4 9 9 0

„Hai să comparăm de la stânga", a zis ea. „2 și 2 — la fel. 0 și 0 — la fel. 4 și 4 — la fel. 9 și 9 — la fel. Acum: 8 și 9 — aici diferă! 9 e mai mare decât 8." Așa au descoperit împreună că 204 980 < 204 990, deci Maria avea mai multe puncte, chiar dacă numai cu zece. Lecția poveștii: nu te lua după prima impresie, ci compară ordin cu ordin!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numărul de cifre decide

Compară 76 540 și 312 008.

Gândim: Numărăm cifrele. 76 540 are 5 cifre. 312 008 are 6 cifre. Cine are mai multe cifre este mai mare.

Răspuns: 76 540 < 312 008.

Exemplul 2 — Comparăm ordin cu ordin

Compară 538 210 și 538 270.

Gândim: Amândouă au 6 cifre. Le așezăm unul sub altul și comparăm de la stânga:

  5 3 8 2 1 0
  5 3 8 2 7 0

5=5, 3=3, 8=8, 2=2. Apoi, la zeci: 1 și 7. 1 este mai mic decât 7. Ne-am oprit aici.

Răspuns: 538 210 < 538 270.

Exemplul 3 — Prima cifră hotărăște

Compară 619 999 și 620 000.

Gândim: Par foarte apropiate, dar comparăm cinstit, de la stânga:

  6 1 9 9 9 9
  6 2 0 0 0 0

Sute de mii: 6=6. Zeci de mii: 1 și 2. 1 este mai mic decât 2. Gata, ne oprim! Nu contează că primul are multe cifre de 9 după aceea.

Răspuns: 619 999 < 620 000.

Acesta e un exemplu care păcălește! Multe cifre de 9 par „mari", dar ele stau pe ordine mai mici și nu pot întrece un 2 de pe ordinul zecilor de mii.

Exemplul 4 — Numere egale

Compară 400 050 și 400 050.

Gândim: Comparăm cifră cu cifră: 4=4, 0=0, 0=0, 0=0, 5=5, 0=0. Toate cifrele sunt la fel.

Răspuns: 400 050 = 400 050.

Exemplul 5 — De la cuvinte la cifre, apoi comparăm

Compară două sute de mii trei sute cu 199 800.

Gândim: Întâi scriem primul număr cu cifre: două sute de mii trei sute = 200 300. Acum comparăm 200 300 cu 199 800. Numărăm cifrele: amândouă au 6 cifre. Comparăm de la stânga: 2 și 1 la sutele de mii. 2 este mai mare decât 1. Ne oprim imediat.

Răspuns: 200 300 > 199 800.

Exemplul 6 — O mică problemă din viața reală

În luna trecută, librăria din oraș a vândut 8 750 de cărți, iar librăria din alt oraș a vândut 12 300 de cărți. Care librărie a vândut mai multe cărți?

Gândim: Numărăm cifrele. 8 750 are 4 cifre. 12 300 are 5 cifre. Cine are mai multe cifre e mai mare.

Răspuns: 12 300 > 8 750, deci a doua librărie a vândut mai multe cărți.

Să exersăm

1. Pune semnul potrivit (<, > sau =): a) 9 999 ___ 10 002 b) 543 000 ___ 543 000 c) 80 000 ___ 79 999

2. Care număr este mai mare? Încercuiește-l: a) 215 400 sau 215 040 b) 700 000 sau 99 999 c) 333 333 sau 333 330

3. Completează cu <, > sau =: a) 100 000 ___ 99 999 b) 64 800 ___ 64 800 c) 1 000 000 ___ 999 999

4. Adevărat (A) sau fals (F)? a) 250 000 > 250 100 b) 7 cifre înseamnă un număr mai mare decât unul cu 6 cifre. c) 410 000 = 401 000

5. Așază aceste trei numere de la cel mai mic la cel mai mare: 506 200, 56 200, 560 000.

6. Scrie numerele cu cifre, apoi compară-le: a) trei sute de mii ___ 299 000 b) o sută de mii cinci ___ 100 050

7. Găsește cifra ascunsă (▢) ca propoziția să fie adevărată. Scrie o cifră potrivită: a) 4▢8 000 > 458 000 b) 23▢ 000 < 235 000

8. Compară prin rotunjire la mii și spune care e mai mare: a) 2 980 lei ___ 3 600 lei b) 41 200 km ___ 39 900 km

9. La un concurs, trei copii au strâns puncte: Ana 314 000, Bogdan 314 200, Carla 313 990. Cine a câștigat (are cele mai multe puncte)?

10. Potrivește fiecare număr din stânga cu semnul corect față de 500 000: a) 489 999 b) 500 000 c) 612 000 (folosește <, =, >)

11. Scrie un număr mai mare decât 348 700, dar mai mic decât 349 000.

12. Încercuiește numărul cel mai mare dintre: 99 099, 90 999, 99 909.

13. Adevărat sau fals: „Dacă două numere au tot atâtea cifre, este mereu mai mare cel care are cifra unităților mai mare." (A/F) Explică pe scurt.

14. Pune în ordine descrescătoare (de la mare la mic): 7 000, 700 000, 70 000, 700.

15. Mică problemă: Un stadion are 41 500 de locuri, iar altul 4 1500 — ups, scris greșit! Scrie corect al doilea număr ca să aibă 41 500 de locuri și apoi spune ce semn pui între ele.

16. Completează cu cea mai mare cifră posibilă în căsuță, ca să rămână adevărat: 6▢9 000 < 679 000.

17. Desenează „gurița crocodilului" (semnul potrivit) între: 230 000 ▢ 23 000.

18. Provocare: găsește toate cifrele care pot sta în căsuță ca să fie adevărat: 45▢ 000 < 455 000. Scrie-le pe toate.

19. Pe axa numerelor, două steaguri sunt înfipte: unul în dreptul lui 240 000, altul în dreptul lui 380 000. Care steag stă mai la dreapta și ce înseamnă asta pentru cele două numere?

20. Imaginează-ți axa numerelor de la 0 la 1 000 000. Mai aproape de capătul din dreapta (de 1 000 000) stă 920 000 sau 850 000? Pune și semnul potrivit între ele.

Răspunsuri și explicații

1. a) 9 999 <** 10 002 — 9 999 are 4 cifre, 10 002 are 5 cifre. b) 543 000 **=** 543 000 — toate cifrele la fel. c) 80 000 **> 79 999 — 80 000 are cifra zecilor de mii 8, iar 79 999 are 7; 8 > 7.

2. a) 215 400 — la sute diferă (4 față de 0): 4 > 0. b) 700 000 — are 6 cifre, 99 999 are doar 5. c) 333 333 — la unități diferă (3 față de 0): 3 > 0.

3. a) 100 000 > 99 999 — 6 cifre față de 5 cifre. b) 64 800 = 64 800 — identice. c) 1 000 000 > 999 999 — un milion are 7 cifre, 999 999 are 6.

4. a) F — 250 000 este mai mic decât 250 100 (la sute: 0 < 1). b) A — mai multe cifre înseamnă număr mai mare. c) F — 410 000 are 1 la zecile de mii, 401 000 are 0 acolo; deci 410 000 > 401 000, nu egale.

5. De la mic la mare: 56 200 < 506 200 < 560 000. 56 200 are 5 cifre (cel mai mic). Dintre cele cu 6 cifre, comparăm: 506 200 are 0 la zecile de mii, 560 000 are 6, deci 506 200 < 560 000.

6. a) trei sute de mii = 300 000; 300 000 > 299 000 (6 cifre față de 6 cifre, dar 3 > 2 la sutele de mii). b) o sută de mii cinci = 100 005; 100 005 < 100 050 (la zeci: 0 < 5).

7. (mai multe răspunsuri corecte) a) ▢ poate fi orice cifră de la 6 la 9 (de ex. 6): 468 000 > 458 000. Trebuie ca cifra zecilor de mii să fie mai mare decât 5. b) ▢ poate fi 0, 1, 2, 3 sau 4 (de ex. 4): 234 000 < 235 000. Trebuie ca cifra miilor să fie mai mică decât 5.

8. a) 2 980 ≈ 3 000; 3 600 ≈ 4 000. Deci 2 980 <** 3 600. b) 41 200 ≈ 41 000; 39 900 ≈ 40 000. Deci 41 200 **> 39 900.

9. Toate au 3 la sutele de mii și 1 la zecile de mii (la fel). La mii: Ana 4, Bogdan 4, Carla 3 — deci Carla este cea mai mică (313 990). Între Ana 314 000 și Bogdan 314 200 comparăm la sute: 0 < 2, deci Ana < Bogdan. Câștigă Bogdan, cu 314 200 de puncte.

10. a) 489 999 <** 500 000 b) 500 000 **=** 500 000 c) 612 000 **> 500 000

11. Orice număr între ele, de exemplu 348 900 (sau 348 750, 348 999). Trebuie să fie mai mare ca 348 700 și mai mic ca 349 000.

12. Cel mai mare este 99 909. Comparăm: toate au 5 cifre, încep cu 9. La zecile de mii: 9, 9, 9 (la fel). La mii: 9 (99 099), 0 (90 999), 9 (99 909) — 90 999 iese din cursă. Între 99 099 și 99 909, la sute: 0 față de 9, deci 99 909 e mai mare.

13. F (Fals). Contează prima cifră care diferă de la stânga, nu cifra unităților. De exemplu 520 000 > 519 999, deși unitățile sunt 0 < 9.

14. Descrescător: 700 000 > 70 000 > 7 000 > 700. Mai întâi cel cu mai multe cifre.

15. Numărul corect este 41 500 (nu „4 1500"). Atunci 41 500 = 41 500, deci punem semnul =.

16. Încercăm mai întâi cifra 7: 679 000 < 679 000? Nu, ar fi egale. Deci trebuie strict mai mic; cea mai mare cifră care merge este 6: 669 000 < 679 000. (Cu 7 ar deveni egale, deci nu e bine.)

17. 230 000 > 23 000 — primul are 6 cifre, al doilea are 5. Gurița deschisă spre 230 000.

18. Trebuie ca cifra ▢ (miilor) să fie mai mică decât 5: 0, 1, 2, 3, 4. (Dacă ar fi 5, am avea 455 000 = 455 000, deci nu e mai mic.)

19. Steagul din dreptul lui 380 000 stă mai la dreapta. Pe axa numerelor, cine stă mai la dreapta este mai mare, deci 380 000 > 240 000.

20. Mai aproape de capătul din dreapta stă 920 000, fiindcă este mai mare. Deci 920 000 > 850 000 (la sutele de mii: 9 > 8).

De reținut

• Dintre două numere, este mai mare cel care are mai multe cifre.
• Dacă au tot atâtea cifre, comparăm ordin cu ordin, de la stânga la dreapta, și ne oprim la prima cifră care diferă.
• Semnele sunt: > (mai mare), < (mai mic), = (egal). Gurița deschisă „mănâncă" numărul mai mare.
• Pe axa numerelor, numărul aflat mai la dreapta este cel mai mare.
• Pentru un răspuns rapid, putem rotunji; pentru un răspuns sigur, comparăm exact.

Greșeli frecvente

• Încurci semnul < cu >. Folosește trucul crocodilului: partea deschisă se întoarce mereu spre numărul mai mare.
• Crezi că multe cifre de 9 fac numărul cel mai mare. Nu! 619 999 este mai mic decât 620 000, fiindcă prima cifră care diferă (zecile de mii) decide.
• Compari de la dreapta la stânga. Mereu pornim de la stânga, de la ordinul cel mai mare.
• Numeri greșit cifrele când numerele sunt scrise lipit. Scrie numerele cu un mic spațiu la fiecare trei cifre (de ex. 120 000) ca să le numeri ușor.

Joc acasă

1. Cărțile de joc, dar cu numere mari. Scrieți împreună pe cartonașe numere de la 4 până la 6 cifre. Amestecați-le. Fiecare trage câte un cartonaș și îl așază pe masă. Câștigă cine are numărul mai mare. La egalitate de cifre, comparați împreună ordin cu ordin, cu degetul, de la stânga.

2. Vânătoarea de prețuri. Luați un pliant de magazin sau o listă de prețuri. Alegeți două produse și întrebați copilul: „Care e mai scump?" Cereți-i să rotunjească rapid și apoi să verifice exact, cifră cu cifră.

3. Crocodilul flămând. Părintele spune două numere cu voce tare, iar copilul desenează în aer, cu mâna, gurița crocodilului întoarsă spre numărul mai mare. Se schimbă rolurile. Cine greșește dă o pedeapsă veselă (un cântec, o săritură).

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează competența 2.2 din programa de clasa a IV-a. Scopul nu este doar să pună semnul corect, ci să înțeleagă de ce un ordin superior „bate" toate ordinele inferioare împreună.

Cum sprijiniți copilul:

• Insistați pe regula „numără cifrele întâi" — e cea mai sigură și mai rapidă.
• Când numerele au tot atâtea cifre, cereți-i mereu să le scrie unul sub altul, aliniate la dreapta, și să compare cu degetul de la stânga.
• Folosiți exemple concrete: prețuri, distanțe între orașe, populații, puncte la jocuri.

Întrebări bune de pus:

• „De unde începem să comparăm: de la stânga sau de la dreapta? De ce?"
• „Poate un număr cu 5 cifre să fie mai mare decât unul cu 6 cifre?" (Răspuns: nu.)
• „De ce nu contează cifrele de după prima diferență?"

Cum verificați înțelegerea: dați-i o pereche capcană, de tip 718 999 și 720 000. Dacă alege corect 720 000 și explică prin zecile de mii, a înțeles esența. Continuarea naturală este lecția Ordonarea numerelor, succesor și predecesor, unde aceeași regulă se folosește pentru a aranja mai multe numere în șir.

Întrebări frecvente

Cum compari două numere mari la clasa a 4-a? Întâi numeri cifrele: cine are mai multe cifre este mai mare. Dacă au tot atâtea cifre, compari cifrele de la stânga la dreapta și te oprești la prima care diferă; numărul cu cifra mai mare acolo este mai mare.

Ce înseamnă să compari ordin cu ordin? Înseamnă să compari cifrele care stau pe același ordin (sute de mii cu sute de mii, zeci de mii cu zeci de mii și așa mai departe), pornind de la ordinul cel mai mare, adică de la stânga.

Care semn este „mai mare", < sau >? Semnul > se citește „mai mare", iar < se citește „mai mic". Partea deschisă (largă) a semnului se întoarce mereu spre numărul mai mare, ca o guriță de crocodil flămând.

Un număr cu mai multe cifre este mereu mai mare? Da, la numerele naturale. Un număr cu 6 cifre este întotdeauna mai mare decât unul cu 5 cifre, fiindcă zerourile din față nu se scriu, deci o cifră în plus înseamnă mereu un ordin mai mare.

De ce 619 999 este mai mic decât 620 000, deși are atâtea cifre de 9? Pentru că, la comparare, contează prima cifră care diferă de la stânga. La zecile de mii, primul are 1, al doilea are 2, iar 1 < 2. Cifrele de 9 stau pe ordine mai mici și nu mai contează.

Cum compar prin rotunjire? Aduci fiecare număr la cea mai apropiată mie sau zece de mii, ca să-l ții mai ușor minte, apoi compari valorile rotunjite. E util pentru prețuri și distanțe, dar pentru un răspuns sigur compari tot exact, cifră cu cifră.

De la ce capăt încep să compar, de la stânga sau de la dreapta? Întotdeauna de la stânga, fiindcă acolo stau cifrele care valorează cel mai mult. Prima cifră care diferă, citită de la stânga, hotărăște care număr este mai mare.

Când pun semnul egal între două numere? Pui = doar când toate cifrele celor două numere sunt exact la fel, pe fiecare ordin. Dacă măcar o cifră diferă, numerele nu sunt egale.