Reperul cartezian: axe, origine, cadrane

Îi spui unui prieten să te aștepte „lângă copacul mare din parc". El ajunge, se uită în jur și vede patru copaci mari. Îi trimiți un mesaj: „la $50$ de metri". La $50$ de metri de ce, și în ce direcție? Problema nu e că informația ta e prea puțină — problema e că nu ați stabilit un punct de plecare și niște direcții comune. Fără ele, orice număr rămâne suspendat în aer.

Rezolvarea acestei probleme, găsită în secolul al XVII-lea de matematicianul și filosoful francez René Descartes, a schimbat matematica pentru totdeauna. Ideea lui: fixezi un punct de referință și două direcții perpendiculare, iar apoi orice loc din plan poate fi indicat prin două numere. Din acel moment, figurile geometrice au putut fi descrise prin ecuații, iar ecuațiile au putut fi desenate. Lecția de față construiește exact acest cadru — reperul cartezian — cu tot vocabularul lui: axe, origine, unitate, cadrane. Pe el se sprijină apoi tot ce urmează: coordonatele unui punct, distanțele, mijloacele, dreptele, graficele funcțiilor.

Ce vei învăța

Vei ști să descrii elementele reperului cartezian: cele două axe, originea, sensurile pozitive și unitatea de măsură.
Vei ști de ce un singur număr nu ajunge pentru a fixa un punct în plan și de ce sunt necesare exact două.
Vei ști să identifici cele patru cadrane și să reții semnele coordonatelor în fiecare.
Vei ști să stabilești în ce cadran se află un punct, inclusiv când coordonatele lui depind de un parametru.
Vei ști de ce punctele situate pe axe nu aparțin niciunui cadran.
Vei ști să determini simetricele unui punct față de axe și față de origine și să urmărești cum sar acestea dintr-un cadran în altul.

Hai să descoperim împreună

1. Un număr nu ajunge

Pe o dreaptă, lucrurile sunt simple. Fixezi un punct $O$ , alegi un sens și o unitate de măsură, iar apoi fiecare punct al dreptei primește un număr: axa numerelor, pe care o folosești din clasa a V-a. Un singur număr, o singură poziție — corespondența e perfectă.

În plan, însă, un număr nu mai e de ajuns. Dacă spui doar „ $3$ ", nu se știe dacă e vorba de trei pași la dreapta, trei în sus sau trei pe o direcție oblică. Planul are două dimensiuni, adică două direcții independente de mișcare, deci ne trebuie două numere: unul pentru fiecare direcție. Toată construcția care urmează are drept scop să facă această idee precisă.

2. Construcția reperului

Un reper cartezian ortogonal în plan se construiește astfel:

Se aleg două drepte perpendiculare, numite axe de coordonate. Cea orizontală se notează $O x$ și se numește axa absciselor; cea verticală se notează $O y$ și se numește axa ordonatelor.
Punctul lor de intersecție se numește originea reperului și se notează cu $O$ . El este punctul de plecare pentru orice măsurătoare.
Pe fiecare axă se alege un sens pozitiv: prin convenție, spre dreapta pe $O x$ și în sus pe $O y$ (marcate cu săgeți în desen).
Se alege o unitate de măsură, aceeași pe ambele axe. De obicei $1$ cm sau $1$ pătrățel de caiet.

Reperul astfel construit se notează $x O y$ — se citește „reperul $x$ - $O$ - $y$ " și conține în notație exact elementele esențiale: cele două axe și originea dintre ele.

Cuvântul „ortogonal" înseamnă „cu axe perpendiculare" — există și repere cu axe oblice, dar în liceu lucrăm exclusiv cu cele ortogonale, iar la ele perpendicularitatea axelor este ceea ce face posibilă folosirea teoremei lui Pitagora în calculul distanțelor.

Adjectivul „cartezian" vine de la numele latinizat al lui Descartes, Cartesius. Legenda spune că ideea i-a venit privind o muscă pe tavanul camerei sale și întrebându-se cum ar putea descrie poziția insectei prin numere; oricât de romanțată ar fi povestea, ea prinde perfect esența: reperul e răspunsul la întrebarea „unde, mai exact?".

3. Ce face reperul, de fapt

Odată fixat reperul, planul se „umple" de informație. Fiecare punct capătă o adresă formată din două numere reale, iar fiecare pereche de numere reale indică un punct și numai unul. Această corespondență în ambele sensuri este ceea ce transformă geometria în calcul.

Ceva important de reținut: reperul nu schimbă figura, ci doar numerele cu care o descriem. Același triunghi, așezat altfel față de axe, are alte coordonate ale vârfurilor, dar aceleași laturi, aceleași unghiuri, aceeași arie. De aceea, atunci când tu ești cel care alege reperul (în probleme unde figura e descrisă în cuvinte), ai libertatea de a-l alege convenabil: cu originea într-un vârf al figurii sau în centrul ei de simetrie și cu axele de-a lungul laturilor. O alegere inspirată poate reduce la jumătate calculele.

4. Cele patru cadrane

Cele două axe împart planul în patru regiuni, numite cadrane. Ele se numerotează cu cifre romane, pornind din regiunea „dreapta-sus" și mergând în sens invers acelor de ceasornic (sensul trigonometric):

Cadranul I — dreapta sus;
Cadranul al II-lea — stânga sus;
Cadranul al III-lea — stânga jos;
Cadranul al IV-lea — dreapta jos.

Fiecare cadran are o „semnătură" proprie, dată de semnele coordonatelor punctelor din el:

Cadran	Poziție	Abscisa $x$	Ordonata $y$	Exemplu
I	dreapta sus	$x > 0$	$y > 0$	$(3, 5)$
II	stânga sus	$x < 0$	$y > 0$	$(- 2, 4)$
III	stânga jos	$x < 0$	$y < 0$	$(- 1, - 7)$
IV	dreapta jos	$x > 0$	$y < 0$	$(6, - 3)$

Modul cel mai sigur de a reține tabelul nu este memorarea lui, ci reconstruirea în două secunde: semnul abscisei îți spune dreapta (plus) sau stânga (minus), semnul ordonatei îți spune sus (plus) sau jos (minus). Din cele două direcții rezultă imediat regiunea, iar numerotarea o pornești din dreapta sus și mergi invers acelor de ceas.

5. Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran

Un detaliu pe care examenele îl testează des: cadranele sunt regiunile deschise dintre axe, iar axele nu fac parte din ele. Un punct situat pe o axă are cel puțin o coordonată nulă, iar zero nu este nici pozitiv, nici negativ — deci punctul nu poate îndeplini condiția de semn a niciunui cadran.

Prin urmare:

$(0, 4)$ se află pe axa $O y$ , nu în cadranul I sau II;
$(- 5, 0)$ se află pe axa $O x$ , nu în cadranul II sau III;
$O (0, 0)$ este originea, punctul comun al ambelor axe.

Răspunsul corect la întrebarea „în ce cadran se află punctul $(0, - 2)$ ?" este deci „în niciunul; punctul se află pe axa $O y$ ".

6. Simetrii față de axe și față de origine

Reperul are trei simetrii remarcabile, iar în coordonate ele se reduc la simple schimbări de semn. Fie $A (x, y)$ un punct oarecare:

simetricul față de axa $O x$ este $A_{1} (x, - y)$ — punctul „se oglindește" pe verticală, deci își păstrează abscisa și își schimbă semnul ordonatei;
simetricul față de axa $O y$ este $A_{2} (- x, y)$ — oglindire pe orizontală: ordonata rămâne, abscisa își schimbă semnul;
simetricul față de origine este $A_{3} (- x, - y)$ — ambele coordonate își schimbă semnul.

Pentru $A (3, - 5)$ , de exemplu, obținem $A_{1} (3, 5)$ , $A_{2} (- 3, - 5)$ și $A_{3} (- 3, 5)$ .

Merită urmărit cum sar punctele între cadrane. Un punct din cadranul I, oglindit față de $O x$ , ajunge în cadranul al IV-lea; oglindit față de $O y$ , ajunge în al II-lea; oglindit față de origine, sare în cadranul „diagonal opus", al III-lea. Regula generală: simetria față de origine leagă întotdeauna cadranele diagonal opuse — I cu III și II cu IV.

Aceste simetrii nu sunt doar curiozități: ele explică de ce, atunci când o figură are o axă de simetrie, e inteligent să așezi acea axă chiar peste $O x$ sau $O y$ . Coordonatele devin atunci perechi de forma $\pm a$ , iar calculele se scurtează considerabil.

7. Repere în lumea reală

Ideea reperului e atât de utilă, încât apare peste tot, uneori cu mici modificări de convenție:

Ecranele (telefon, calculator) folosesc un reper cu originea în colțul din stânga sus și cu axa verticală orientată în jos — de aceea, în programare, „ $y$ mai mare" înseamnă „mai jos pe ecran". Practic, tot planul de lucru este cadranul al IV-lea al unui reper matematic obișnuit, cu semnele răsturnate.
Hărțile și GPS-ul folosesc latitudinea și longitudinea, adică tot două numere măsurate față de niște referințe fixate prin convenție (Ecuatorul și meridianul zero).
Tabla de șah, planurile de sală, tabelele de calcul folosesc versiuni „discrete" ale aceleiași idei: o coordonată dată de literă, alta de cifră.
Graficele din presă și din științe — evoluția temperaturii, a prețurilor, a unei populații — sunt toate desenate într-un reper, cu timpul pe orizontală și mărimea măsurată pe verticală.

Vei folosi aceste modele concrete în lecția despre coordonate în situații practice de orientare, unde reperul devine unealtă de lucru, nu doar obiect de studiu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea cadranului

Precizați în ce cadran se află fiecare dintre punctele $A (3, 5)$ , $B (- 2, 4)$ , $C (- 1, - 7)$ , $D (6, - 3)$ .

Rezolvare. Citim perechea de semne pentru fiecare punct:

$A (3, 5)$ : $x > 0$ , $y > 0$ $\to$ cadranul I;
$B (- 2, 4)$ : $x < 0$ , $y > 0$ $\to$ cadranul al II-lea;
$C (- 1, - 7)$ : $x < 0$ , $y < 0$ $\to$ cadranul al III-lea;
$D (6, - 3)$ : $x > 0$ , $y < 0$ $\to$ cadranul al IV-lea.

Cele patru puncte acoperă exact cele patru cadrane, câte unul în fiecare. $■$

Exemplul 2 — Puncte care nu sunt în niciun cadran

Stabiliți poziția punctelor $E (0, 4)$ , $F (- 5, 0)$ și $O (0, 0)$ .

Rezolvare. Punctul $E$ are abscisa nulă, deci se află pe axa $O y$ , la $4$ unități deasupra originii. Punctul $F$ are ordonata nulă, deci se află pe axa $O x$ , la $5$ unități la stânga originii. Punctul $O$ are ambele coordonate nule și este chiar originea reperului.

Niciunul dintre ele nu aparține vreunui cadran, pentru că fiecare cadran cere ca ambele coordonate să fie nenule, cu semne bine precizate. $■$

Exemplul 3 — Cadranul unui punct cu parametru

Se consideră punctul $A (m, - 3)$ , unde $m$ este un număr real. Discutați poziția punctului în funcție de valorile lui $m$ .

Rezolvare. Ordonata este $- 3 < 0$ pentru orice $m$ , deci punctul se află mereu sub axa $O x$ . Rămâne să discutăm semnul abscisei:

dacă $m > 0$ : $x > 0$ și $y < 0$ $\to$ cadranul al IV-lea;
dacă $m < 0$ : $x < 0$ și $y < 0$ $\to$ cadranul al III-lea;
dacă $m = 0$ : punctul devine $A (0, - 3)$ și se află pe axa $O y$ , în niciun cadran.

Observă că discuția trebuie să includă și cazul $m = 0$ — el este cel mai des uitat la examene. $■$

Exemplul 4 — Simetricele unui punct

Determinați simetricele punctului $A (3, - 5)$ față de axa $O x$ , față de axa $O y$ și față de origine, precizând cadranul fiecăruia.

Rezolvare. Aplicăm cele trei reguli de schimbare a semnelor:

față de $O x$ : $A_{1} (3, 5)$ — abscisa neschimbată, ordonata cu semn schimbat; cadranul I;
față de $O y$ : $A_{2} (- 3, - 5)$ — ordonata neschimbată, abscisa cu semn schimbat; cadranul al III-lea;
față de origine: $A_{3} (- 3, 5)$ — ambele semne schimbate; cadranul al II-lea.

Punctul inițial era în cadranul al IV-lea, iar simetricul față de origine a ajuns în al II-lea — cadranul diagonal opus, exact cum spune regula. $■$

Exemplul 5 — De la semne la cadran

Un punct $P$ are abscisa negativă, iar distanța lui până la axa $O x$ este $4$ , punctul fiind situat sub această axă. În ce cadran se află $P$ și ce formă au coordonatele lui?

Rezolvare. „Sub axa $O x$ " înseamnă ordonată negativă, iar distanța $4$ până la $O x$ înseamnă $∣ y ∣ = 4$ ; combinând, $y = - 4$ . Abscisa este negativă, deci $x < 0$ . Cu $x < 0$ și $y < 0$ , punctul se află în cadranul al III-lea, iar coordonatele lui au forma $P (x, - 4)$ cu $x < 0$ — de exemplu $(- 1, - 4)$ , $(- 7, - 4)$ și așa mai departe. Poziția pe verticală este complet determinată, cea pe orizontală doar parțial. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat: parametru și cadran

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care punctul $A (m - 2, m + 1)$ se află în cadranul al II-lea.

Rezolvare. Cadranul al II-lea cere abscisă negativă și ordonată pozitivă, adică ambele condiții simultan:

${m - 2 < 0 m + 1 > 0 ⟺ {m < 2 m > - 1.$

Soluția este intersecția celor două mulțimi: $m \in (- 1, 2)$ .

Verificare pentru o valoare din interval, de pildă $m = 1$ : punctul devine $A (- 1, 2)$ , cu abscisa negativă și ordonata pozitivă — într-adevăr în cadranul al II-lea ✓. Verificare pentru o valoare din afară, $m = 3$ : $A (1, 4)$ , cadranul I ✗, deci restricția era necesară. Observă că extremitățile se exclud: la $m = 2$ punctul ar avea abscisa nulă și ar cădea pe axa $O y$ , iar la $m = - 1$ ordonata s-ar anula. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Desenează un reper cu unitatea de $1$ cm și verifică-ți răspunsurile marcând efectiv punctele — ochiul prinde imediat greșelile de semn.

1. Precizează cadranul fiecăruia dintre punctele $A (3, 5)$ , $B (- 2, 4)$ , $C (- 1, - 7)$ , $D (6, - 3)$ .

2. Precizează cadranul fiecăruia dintre punctele $P (- 8, 2)$ , $Q (7, - 1)$ , $R (- 4, - 4)$ , $S (9, 6)$ .

3. Stabilește poziția punctelor $E (0, 4)$ , $F (- 5, 0)$ și $O (0, 0)$ față de axele reperului.

4. Completează pe caiet tabelul cu semnele coordonatelor în fiecare dintre cele patru cadrane și dă câte un exemplu de punct pentru fiecare.

5. Ce semne au coordonatele unui punct situat în cadranul al III-lea? Dar în cadranul al IV-lea?

6. Se dă punctul $A (m, - 3)$ . În ce cadran se află el dacă $m > 0$ ? Dar dacă $m < 0$ ? Ce se întâmplă pentru $m = 0$ ?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul $(0, - 2)$ se află în cadranul al III-lea."

8. Determină simetricele punctului $A (3, - 5)$ față de axa $O x$ , față de axa $O y$ și față de origine.

9. Determină simetricul punctului $B (- 2, 6)$ față de origine și precizează cadranele în care se află cele două puncte.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Simetricul față de origine al unui punct din cadranul al II-lea se află în cadranul al IV-lea."

11. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care punctul $A (m + 3, m - 5)$ se află în cadranul al IV-lea.

12. (Problemă aplicată.) Pe planul unui oraș, primăria este luată ca origine, direcția est ca sens pozitiv al axei $O x$ și direcția nord ca sens pozitiv al axei $O y$ ; o unitate reprezintă $1$ km. Gara se află la $3$ km est și $2$ km nord, spitalul la $4$ km vest și $1$ km nord, stadionul la $2$ km vest și $5$ km sud, iar școala la $6$ km est și $3$ km sud. Scrie coordonatele fiecărui obiectiv și precizează cadranul în care se află.

13. În ce cadran se află punctul $A (m^{2} + 1, - 3)$ , oricare ar fi numărul real $m$ ? Justifică.

14. (Problemă aplicată.) Pe ecranul unui telefon, originea este în colțul din stânga sus, axa orizontală este orientată spre dreapta, iar cea verticală în jos. Dacă un buton se află la $(200, 900)$ și altul la $(200, 300)$ , care dintre ele este mai sus pe ecran? Explică diferența față de reperul matematic obișnuit.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care punctul $A (m - 2, m + 1)$ se află în cadranul al II-lea.

16. Determină simetricele față de axa $O x$ ale punctelor $(2, 3)$ , $(- 1, 4)$ și $(0, - 5)$ . Ce observi la ultimul dintre ele?

17. (Raționament.) Explică de ce punctele situate pe axe nu aparțin niciunui cadran, pornind de la condițiile de semn care definesc cadranele.

18. (Provocare.) Se consideră punctul $A (m^{2} - 4, m + 2)$ , unde $m$ este număr real. a) Determină valorile lui $m$ pentru care $A$ se află pe axa $O y$ . b) Pentru care dintre valorile găsite punctul $A$ coincide cu originea reperului?

Răspunsuri și explicații

1. $A (3, 5)$ — cadranul I ( $x > 0$ , $y > 0$ ); $B (- 2, 4)$ — cadranul al II-lea ( $x < 0$ , $y > 0$ ); $C (- 1, - 7)$ — cadranul al III-lea (ambele negative); $D (6, - 3)$ — cadranul al IV-lea ( $x > 0$ , $y < 0$ ).

2. $P (- 8, 2)$ — cadranul al II-lea; $Q (7, - 1)$ — cadranul al IV-lea; $R (- 4, - 4)$ — cadranul al III-lea; $S (9, 6)$ — cadranul I.

3. $E (0, 4)$ are abscisa nulă, deci se află pe axa $O y$ , la $4$ unități deasupra originii. $F (- 5, 0)$ are ordonata nulă, deci se află pe axa $O x$ , la $5$ unități la stânga originii. $O (0, 0)$ este originea. Niciunul nu aparține vreunui cadran.

4. Cadranul I: $x > 0$ , $y > 0$ , de exemplu $(2, 5)$ . Cadranul al II-lea: $x < 0$ , $y > 0$ , de exemplu $(- 3, 1)$ . Cadranul al III-lea: $x < 0$ , $y < 0$ , de exemplu $(- 4, - 2)$ . Cadranul al IV-lea: $x > 0$ , $y < 0$ , de exemplu $(5, - 6)$ .

5. În cadranul al III-lea, ambele coordonate sunt negative ( $x < 0$ și $y < 0$ ). În cadranul al IV-lea, abscisa este pozitivă și ordonata negativă ( $x > 0$ , $y < 0$ ).

6. Ordonata $- 3$ este negativă indiferent de $m$ , deci punctul e mereu sub axa $O x$ . Dacă $m > 0$ , punctul este în cadranul al IV-lea; dacă $m < 0$ , în cadranul al III-lea; dacă $m = 0$ , punctul devine $(0, - 3)$ și se află pe axa $O y$ , deci în niciun cadran.

7. Fals. Punctul $(0, - 2)$ are abscisa nulă, iar zero nu este număr negativ, deci nu îndeplinește condiția $x < 0$ a cadranului al III-lea. Punctul se află pe axa $O y$ , sub origine.

8. Față de $O x$ : $(3, 5)$ ; față de $O y$ : $(- 3, - 5)$ ; față de origine: $(- 3, 5)$ . (Reține: $O x$ schimbă semnul ordonatei, $O y$ pe cel al abscisei, originea pe amândouă.)

9. Simetricul lui $B (- 2, 6)$ față de origine este $B^{'} (2, - 6)$ . Punctul $B$ se află în cadranul al II-lea, iar $B^{'}$ în cadranul al IV-lea — cadrane diagonal opuse.

10. Adevărat. Un punct din cadranul al II-lea are $x < 0$ și $y > 0$ . Simetricul său față de origine are coordonatele $(- x, - y)$ , adică abscisă pozitivă și ordonată negativă — exact condițiile cadranului al IV-lea. Regula generală: simetria față de origine schimbă cadranul I cu al III-lea și al II-lea cu al IV-lea.

11. Cadranul al IV-lea cere $x > 0$ și $y < 0$ , adică $m + 3 > 0$ și $m - 5 < 0$ , deci $m > - 3$ și $m < 5$ . Soluția: $m \in (- 3, 5)$ . Verificare pentru $m = 1$ : punctul devine $(4, - 4)$ , într-adevăr în cadranul al IV-lea ✓.

12. Gara: $3$ km est și $2$ km nord $\to (3, 2)$ , cadranul I. Spitalul: vestul înseamnă abscisă negativă $\to (- 4, 1)$ , cadranul al II-lea. Stadionul: vest și sud $\to (- 2, - 5)$ , cadranul al III-lea. Școala: est și sud $\to (6, - 3)$ , cadranul al IV-lea.

13. Oricare ar fi $m$ real, $m^{2} \geq 0$ , deci $m^{2} + 1 \geq 1 > 0$ : abscisa este întotdeauna pozitivă. Ordonata este $- 3 < 0$ . Cu $x > 0$ și $y < 0$ , punctul se află mereu în cadranul al IV-lea, indiferent de valoarea lui $m$ .

14. Mai sus pe ecran este butonul de la $(200, 300)$ : axa verticală fiind orientată în jos, o ordonată mai mică înseamnă o poziție mai apropiată de marginea de sus. În reperul matematic obișnuit, unde $O y$ este orientată în sus, situația ar fi inversă — ordonata mai mare ar însemna mai sus. Convenția schimbă interpretarea, nu calculele.

15. Cadranul al II-lea cere $m - 2 < 0$ și $m + 1 > 0$ , adică $m < 2$ și $m > - 1$ . Soluția: $m \in (- 1, 2)$ . Pentru $m = 1$ , de exemplu, punctul este $(- 1, 2)$ ✓.

16. Simetria față de $O x$ păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei: $(2, 3) \to (2, - 3)$ ; $(- 1, 4) \to (- 1, - 4)$ ; $(0, - 5) \to (0, 5)$ . La ultimul punct observăm că, fiind situat pe axa $O y$ , simetricul lui rămâne tot pe această axă — axa $O y$ este perpendiculară pe „oglinda" $O x$ , deci se transformă în ea însăși.

17. Fiecare cadran este definit prin două inegalități stricte de semn (de exemplu, cadranul I prin $x > 0$ și $y > 0$ ). Un punct situat pe o axă are cel puțin o coordonată egală cu zero, iar zero nu verifică nici „ $> 0$ ", nici „ $< 0$ " — deci punctul nu poate aparține niciunui cadran. Axele formează, împreună cu originea, „granițele" dintre cele patru regiuni, iar granițele nu se includ în niciuna dintre ele.

18. a) Punctul se află pe axa $O y$ dacă și numai dacă abscisa lui este nulă: $m^{2} - 4 = 0$ , deci $m^{2} = 4$ și $m \in {- 2, 2}$ . Pentru $m = 2$ obținem $A (0, 4)$ , iar pentru $m = - 2$ obținem $A (0, 0)$ . Ambele valori sunt bune, fiindcă originea aparține axei $O y$ . b) Originea cere ca ambele coordonate să fie nule: $m^{2} - 4 = 0$ și $m + 2 = 0$ , adică $m \in {- 2, 2}$ și $m = - 2$ simultan. Singura valoare care le satisface pe amândouă este $m = - 2$ , pentru care $A (0, 0) = O$ .

De reținut

Reperul cartezian ortogonal $x O y$ este format din două axe perpendiculare — $O x$ (a absciselor, orizontală) și $O y$ (a ordonatelor, verticală) — cu originea $O$ la intersecția lor, sensuri pozitive alese (dreapta și sus) și aceeași unitate de măsură pe ambele axe.
Un singur număr fixează un punct pe o dreaptă; în plan sunt necesare două, câte unul pentru fiecare direcție independentă.
Axele împart planul în patru cadrane, numerotate din dreapta sus, în sens invers acelor de ceasornic; semnele coordonatelor sunt $(+, +)$ , $(-, +)$ , $(-, -)$ , $(+, -)$ .
Punctele situate pe axe nu aparțin niciunui cadran, pentru că au cel puțin o coordonată nulă, iar zero nu este nici pozitiv, nici negativ.
Simetrii: față de $O x$ $\to (x, - y)$ ; față de $O y$ $\to (- x, y)$ ; față de origine $\to (- x, - y)$ . Simetria față de origine leagă cadranele diagonal opuse.

Greșeli frecvente

Numerotarea greșită a cadranelor. Se numără în sensul acelor de ceasornic sau se pornește din stânga sus. Corect: se pleacă din dreapta sus și se merge invers acelor de ceasornic.
Plasarea punctelor de pe axe într-un cadran. Se răspunde că $(0, - 2)$ e în cadranul al III-lea. Punctele cu o coordonată nulă sunt pe axe, în afara oricărui cadran.
Confundarea axelor. Se citește abscisa pe verticală. $O x$ este axa orizontală (a absciselor), $O y$ cea verticală (a ordonatelor) — notația $x O y$ le dă chiar în această ordine.
Uitarea cazului nul la discuția cu parametru. Pentru $A (m, - 3)$ se tratează doar $m > 0$ și $m < 0$ . Cazul $m = 0$ există și dă un punct pe axa $O y$ .
Confuzia dintre simetriile față de axe. Se schimbă semnul abscisei la simetria față de $O x$ . Reține logica oglinzii: oglindirea față de axa orizontală mișcă punctul pe verticală, deci schimbă ordonata.

Aplică acasă

Reperul din camera ta. Alege un colț al camerei drept origine și două margini ale podelei drept axe, cu unitatea de $1$ metru. Marchează pe o schiță pozițiile a cinci obiecte și scrie-le coordonatele. Apoi mută originea în mijlocul camerei, păstrând direcțiile, și recalculează toate coordonatele: vei obține numere negative și vei vedea cum aceleași obiecte ajung în cadrane diferite, deși nimic nu s-a mișcat.
Cartierul în patru cadrane. Ia primăria, școala sau o intersecție cunoscută drept origine și direcțiile est–vest, nord–sud drept axe. Notează cinci locuri familiare cu coordonatele lor aproximative în kilometri și grupează-le pe cadrane. Care cadran e cel mai „aglomerat" pentru tine? Ai fi ales alt punct ca origine, ca să iasă numere mai comode?
Vânătoarea de repere. Timp de o zi, notează toate situațiile în care întâlnești un sistem de coordonate: un grafic la știri, o hartă, o tablă de șah, un plan de sală, o foaie de calcul, un joc video. Pentru fiecare, identifică unde este originea și încotro cresc valorile pe fiecare axă. Vei descoperi că multe au originea în alt loc decât cel din manual — și că principiul rămâne același.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de geometrie analitică și fixează cadrul în care se va lucra în toate lecțiile următoare. Competența din programă vizată direct este identificarea, într-un reper cartezian, a poziției unui punct ale cărui coordonate sunt cunoscute, alături de modelarea poziției unor obiecte reale prin elemente ale planului cartezian. Deși noțiunile par familiare din gimnaziu, la liceu se adaugă rigoarea limbajului (reper ortogonal, axa absciselor, sensuri pozitive, unitate) și tratarea corectă a cazurilor-limită: puncte pe axe, discuții cu parametru, condiții de semn scrise ca sistem de inegalități.

Întrebări bune de control: „Care sunt elementele unui reper cartezian?" (două axe perpendiculare, originea, sensurile pozitive, unitatea); „De ce sunt necesare două numere pentru a fixa un punct în plan?" (planul are două direcții independente); „În ce cadran se află punctul $(0, - 2)$ ?" (în niciunul, e pe axa $O y$ ); „Unde ajunge un punct din cadranul I după simetria față de origine?" (în cadranul al III-lea). Semne că a înțeles: numerotează corect cadranele fără să se uite în caiet, tratează separat cazul coordonatei nule în problemele cu parametru și deduce semnele în loc să le memoreze.

La teze și la Bacalaureat, materialul acestei lecții apare mai ales în cerințe scurte de tipul „determinați valorile lui $m$ pentru care punctul $A$ se află în cadranul al II-lea" sau „determinați $m$ astfel încât punctul să fie situat pe axa $O x$ " — exerciții care se rezolvă printr-un sistem de două condiții de semn, respectiv printr-o ecuație. Sunt cerințe accesibile, cu punctaj integral pentru o rezolvare corectă, dar care se pierd frecvent din cauza cazurilor-limită tratate superficial.

Întrebări frecvente

Ce este reperul cartezian? Este sistemul format din două axe perpendiculare — $O x$ , orizontală, și $O y$ , verticală — care se intersectează în origine, împreună cu sensurile pozitive alese pe fiecare axă și cu o unitate de măsură comună. El permite descrierea poziției oricărui punct din plan prin două numere.

Ce sunt axa $O x$ și axa $O y$ ? $O x$ este axa orizontală, numită axa absciselor, iar $O y$ este axa verticală, numită axa ordonatelor. Punctul lor de intersecție se numește origine și se notează $O$ ; el are coordonatele $(0, 0)$ .

Câte cadrane are reperul cartezian și cum se numerotează? Patru. Numerotarea începe din regiunea dreapta-sus (cadranul I) și continuă în sens invers acelor de ceasornic: al II-lea în stânga sus, al III-lea în stânga jos, al IV-lea în dreapta jos.

Ce semne au coordonatele în fiecare cadran? În cadranul I ambele coordonate sunt pozitive; în al II-lea abscisa e negativă și ordonata pozitivă; în al III-lea ambele sunt negative; în al IV-lea abscisa e pozitivă și ordonata negativă.

În ce cadran se află un punct situat pe o axă? În niciunul. Cadranele sunt definite prin inegalități stricte, iar un punct de pe o axă are cel puțin o coordonată nulă. Se spune corect că punctul „se află pe axa $O x$ " sau „pe axa $O y$ ", iar dacă ambele coordonate sunt nule, este chiar originea.

Cum aflu simetricul unui punct față de axe sau față de origine? Față de axa $O x$ schimbi semnul ordonatei: $(x, y) \to (x, - y)$ . Față de axa $O y$ schimbi semnul abscisei: $(x, y) \to (- x, y)$ . Față de origine schimbi ambele semne: $(x, y) \to (- x, - y)$ .

De ce se numește „cartezian" acest reper? De la numele latinizat al lui René Descartes, Cartesius, matematicianul și filosoful francez care a introdus, în secolul al XVII-lea, ideea descrierii punctelor din plan prin perechi de numere — temelia geometriei analitice.

Pot alege eu unde pun originea și axele? Da, atunci când problema nu îți dă coordonatele. Reperul nu schimbă figura, ci doar numerele care o descriu, așa că e recomandat să pui originea într-un vârf sau în centrul de simetrie al figurii și axele de-a lungul laturilor ori al axelor de simetrie — calculele ies mult mai simple.