Creșterea exponențială: de ce «explodează»

Legenda spune că inventatorul șahului i-a cerut împăratului o răsplată modestă: un bob de grâu pe prima căsuță a tablei, două pe a doua, patru pe a treia, și tot așa, dublând la fiecare căsuță. Împăratul a râs și a acceptat pe loc. Ar fi trebuit să calculeze mai întâi. Pe ultima căsuță ar fi trebuit puse $2^{63}$ boabe, iar pe toată tabla $2^{64}-1$, adică peste $18$ trilioane de boabe — cam $738$ de miliarde de tone de grâu, adică producția mondială a următorilor nouă sute de ani.

Ce s-a întâmplat aici? Creșterea a început ridicol de încet — $1$, $2$, $4$, $8$ boabe — și a devenit imposibil de plătit. Aceasta este semnătura creșterii exponențiale: la fiecare pas nu se adaugă o cantitate, ci se înmulțește cu un factor. Începutul pare inofensiv, apoi curba o ia razna. În lecția aceasta o vei compara cap la cap cu creșterea liniară, pe aceleași date, folosind graficele deprinse la funcția exponențială și rezultatele despre dobânda compusă. E, probabil, cea mai utilă lecție de matematică pentru viața ta financiară.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești o creștere liniară de una exponențială, privind datele sau graficul.
• Vei ști să calculezi valoarea unei mărimi după $n$ dublări (sau înjumătățiri) repetate.
• Vei ști să folosești formula creșterii procentuale repetate și să compari dobânda simplă cu cea compusă.
• Vei ști să estimezi timpul de dublare cu regula lui $70$.
• Vei ști să explici de ce orice creștere exponențială depășește, în cele din urmă, orice creștere liniară.
• Vei ști să recunoști descreșterea exponențială (medicamente, radioactivitate) și să eviți capcanele procentelor.

Hai să descoperim împreună

1. Tabla de șah, calculată

Numărul de boabe de pe căsuța cu numărul $n$ este $2^{n-1}$: pe prima $2^0=1$, pe a doua $2^1=2$, pe a opta $2^7=128$. Șirul boabelor este o progresie geometrică de rație $2$, exact ca la lecția despre progresia geometrică.

Primele opt căsuțe par nevinovate: $1+2+4+\cdots +128=255$ de boabe, adică o linguriță. La căsuța a $21$-a suntem deja la peste un milion de boabe. Iar pe ultima, a $64$-a, ar trebui puse $2^{63}$ boabe — un număr de nouăsprezece cifre.

Totalul se calculează cu formula sumei termenilor unei progresii geometrice, pe care o știi de la suma primilor n termeni:

$$1+2+2^2+\cdots +2^{63}=2^{64}-1=18446744073709551615.$$

Un bob de grâu cântărește aproximativ $0,04$ grame, deci totalul înseamnă în jur de $738$ de miliarde de tone. Producția mondială anuală de grâu este de circa $800$ de milioane de tone — ar fi trebuit adunată recolta întregii planete timp de peste $900$ de ani.

2. Liniar față de exponențial: aceleași date, două povești

Deosebirea se vede cel mai clar pe bani. Depui $1000$ de lei cu o dobândă de $5\%$ pe an și ai două variante:

• dobândă simplă (creștere liniară): în fiecare an primești $5\%$ din suma inițială, adică $50$ de lei. După $n$ ani ai $1000+50n$ lei. La fiecare pas se adună aceeași cantitate.
• dobândă compusă (creștere exponențială): în fiecare an suma se înmulțește cu $1,05$, pentru că dobânda se adaugă la capital și produce, la rândul ei, dobândă. După $n$ ani ai $1000\cdot 1,05^n$ lei. La fiecare pas se înmulțește cu același factor.

După primul an, cele două coloane sunt identice. După doi ani, diferența e de $2,50$ lei — nimic. După zece ani, $128,89$ lei. După treizeci, $1821,94$ lei: aproape dublu. Diferența nu crește constant, ci se accelerează — asta e toată povestea.

Cum le deosebești, privind un tabel de date? Calculează diferențele și rapoartele valorilor consecutive:

• dacă diferențele sunt constante, creșterea e liniară (progresie aritmetică);
• dacă rapoartele sunt constante, creșterea e exponențială (progresie geometrică).

La coloana liniară, diferențele sunt mereu $50$. La cea exponențială, raportul este mereu $1,05$. Este exact criteriul din lecția despre alegerea modelului.

3. Dublarea repetată

Cazul cel mai spectaculos de creștere exponențială este dublarea: factorul este $2$, iar după $n$ dublări mărimea se înmulțește cu $2^n$.

Exemplu clasic — foaia de hârtie. O coală obișnuită are grosimea de aproximativ $0,1$ milimetri. La fiecare îndoire, grosimea se dublează:

Distanța Pământ–Lună este de aproximativ $384400$ km, deci $42$ de îndoituri ar fi de ajuns. Practic nu poți îndoi o coală de mai mult de șapte-opt ori — dar matematica e neîndurătoare: fiecare îndoitură dublează, iar dublarea repetată învinge orice intuiție.

Ritmul de dublare apare peste tot: bacteriile dintr-o cultură, numărul de vizualizări ale unui clip viral, capacitatea de memorie a calculatoarelor. Formula e mereu aceeași:

$$\text{valoarea dupa˘ }n\text{ dubla˘ri}=\text{valoarea inițiala˘}\cdot 2^n.$$

4. Timpul de dublare și regula lui 70

Când creșterea este dată în procente, întrebarea firească este: în cât timp se dublează? Există o aproximare foarte comodă, folosită de economiști din toată lumea:

$$\text{timpul de dublare}\approx \frac{70}{p},\text{unde }p\text{ este procentul de creștere pe perioada˘.}$$

Aproximarea e remarcabil de bună pentru rate mici și medii. Verificare rapidă pentru $7\%$: $1,07^{10}\approx 1,97$, deci după zece ani suma aproape s-a dublat. ✓

Regula are o consecință care merită memorată: o rată de două ori mai mare înjumătățește timpul de dublare. La $10\%$ banii se dublează de două ori mai repede decât la $5\%$.

5. De ce „explodează": exponențialul învinge întotdeauna liniarul

Iată comparația care lămurește totul. Punem față în față o creștere exponențială modestă, $2^n$, și una liniară generoasă, $100n$:

Primele nouă etape, liniarul conduce autoritar — de $15$ ori mai mult la $n=5$. Apoi, în două etape, totul se răstoarnă și nu se mai întoarce niciodată.

Regula generală: orice funcție exponențială cu baza mai mare decât $1$ depășește, mai devreme sau mai târziu, orice funcție liniară, oricât de abruptă ar fi aceasta. Motivul e simplu: dreapta adaugă mereu același pas, în timp ce curba își mărește pasul de fiecare dată, pentru că pasul e proporțional cu valoarea deja atinsă. Comparat cu funcția afină, care urcă în ritm constant, exponențiala urcă tot mai repede.

De aici și cea mai importantă lecție practică: începutul unei creșteri exponențiale este înșelător de lent. Când vezi primele valori și le crezi neînsemnate, ai deja pierdut avantajul. Este exact motivul pentru care economisirea începută la $20$ de ani bate economisirea începută la $35$, chiar dacă depui sume mult mai mici.

6. Descreșterea exponențială: aceeași poveste, în oglindă

Dacă factorul de înmulțire este între $0$ și $1$, mărimea scade exponențial. Cel mai cunoscut exemplu este timpul de înjumătățire.

O doză de $200$ mg de medicament, cu timp de înjumătățire de $4$ ore, evoluează astfel:

Cantitatea se apropie de zero, dar nu ajunge niciodată exact la zero — exact comportamentul asimptotic al graficului exponențial cu bază subunitară. Același model descrie dezintegrarea radioactivă (izotopii au timpi de înjumătățire de la fracțiuni de secundă la miliarde de ani), răcirea unei cești de ceai sau scăderea unei populații într-un mediu ostil.

7. Capcanele procentelor

Creșterea exponențială înșală și în sens invers, la calcule mici. Două capcane apar la fiecare teză și în viața reală.

Procentele nu se adună. O creștere de $10\%$ urmată de altă creștere de $10\%$ nu înseamnă $20\%$, ci

$$1,1\cdot 1,1=1,21,\text{adica˘ }21\%.$$

O scădere nu anulează o creștere egală. Dacă un preț crește cu $20\%$ și apoi scade cu $20\%$, nu revine de unde a plecat:

$$1,2\cdot 0,8=0,96,\text{adica˘ o sca˘dere finala˘ de }4\%.$$

Explicația e aceeași în ambele cazuri: al doilea procent se aplică unei alte valori decât primul. Este tocmai mecanismul studiat la creștere și descreștere procentuală repetată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Bacterii care se dublează

O cultură pornește cu $500$ de bacterii, iar numărul lor se dublează la fiecare $30$ de minute. Câte bacterii sunt după $3$ ore?

Rezolvare. În $3$ ore încap $6$ intervale de câte $30$ de minute, deci au loc $6$ dublări. Numărul final este

$$500\cdot 2^6=500\cdot 64=32000\text{ bacterii}.$$

Observă cât de puțin contează numărul de plecare față de numărul de dublări: dacă am fi pornit de la $50$ de bacterii dar am fi lăsat cultura încă $3$ ore (adică $12$ dublări), am fi ajuns la $50\cdot 4096=204800$. $■$

Exemplul 2 — Dobândă simplă față de dobândă compusă

Depui $1000$ de lei cu $5\%$ pe an. Ce sumă ai după $10$ ani cu dobândă simplă și ce sumă cu dobândă compusă?

Rezolvare. Dobândă simplă: în fiecare an primești $5\%$ din $1000$, adică $50$ de lei. După $10$ ani:

$$1000+50\cdot 10=1500\text{ lei}.$$

Dobândă compusă: suma se înmulțește anual cu $1,05$. După $10$ ani:

$$1000\cdot 1,05^{10}\approx 1628,89\text{ lei}.$$

Diferența este de $128,89$ lei — nu spectaculoasă. Dar aceeași comparație la $30$ de ani dă $2500$ de lei față de $4321,94$ lei, adică o diferență de peste $1800$ de lei. Timpul este ingredientul care transformă exponențialul în avantaj. $■$

Exemplul 3 — Regula lui 70 în acțiune

O investiție crește cu $7\%$ pe an. În aproximativ cât timp se dublează? Verificați estimarea.

Rezolvare. Regula lui $70$ dă $\frac{70}{7}=10$ ani.

Verificare: $1,07^{10}\approx 1,9672$. Suma a crescut de aproape două ori — estimarea este foarte bună (valoarea exactă este de circa $10,24$ ani).

Concluzie practică: la $7\%$ pe an, $1000$ de lei devin aproximativ $2000$ în zece ani, $4000$ în douăzeci și $8000$ în treizeci. Fiecare deceniu dublează, nu adaugă. $■$

Exemplul 4 — Descreștere: medicamentul

O doză de $200$ mg are timpul de înjumătățire de $4$ ore. a) Câte miligrame rămân după $12$ ore? b) După cât timp scade cantitatea sub $20$ mg?

Rezolvare. a) În $12$ ore au loc $\frac{12}{4}=3$ înjumătățiri, deci rămân

$$200\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=200\cdot \frac{1}{8}=25\text{ mg}.$$

b) Continuăm tabelul: la $16$ ore avem $12,5$ mg, care este sub $20$ mg. Cum la $12$ ore erau încă $25$ mg, pragul de $20$ mg este trecut între ora a 12-a și a 16-a. $■$

Exemplul 5 — Clipul viral

O persoană vede un clip și îl trimite la $3$ prieteni; fiecare dintre ei face la fel a doua zi, și tot așa. Câte persoane noi văd clipul în ziua a cincea? Câte l-au văzut în total, în primele cinci zile plus ziua de plecare?

Rezolvare. În ziua $0$ îl vede $1$ persoană, în ziua $1$ îl văd $3$, în ziua $2$ îl văd $9$, și în general în ziua $n$ îl văd $3^n$ persoane noi. Deci în ziua a cincea:

$$3^5=243\text{ persoane noi}.$$

Totalul este suma progresiei geometrice de rație $3$:

$$1+3+9+27+81+243=364\text{ persoane}.$$

Observă că ultimul termen, $243$, reprezintă două treimi din tot totalul. La o creștere exponențială, ultimul pas cântărește mai mult decât toată istoria dinaintea lui — încă un motiv pentru care surprinde. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Un oraș are $100000$ de locuitori, iar populația crește cu $3\%$ pe an. a) Scrieți formula populației după $n$ ani. b) Calculați populația după $10$ ani. c) Estimați, cu regula lui $70$, după cât timp populația se dublează.

Rezolvare. a) La fiecare an populația se înmulțește cu $1,03$, deci

$$P(n)=100000\cdot 1,03^n.$$

b) $P(10)=100000\cdot 1,03^{10}\approx 134392$ de locuitori — o creștere de aproape $34\%$, deși „doar" $3\%$ pe an. (Creșterea liniară cu $3000$ de locuitori pe an ar fi dat $130000$.)

c) Regula lui $70$: $\frac{70}{3}\approx 23$ de ani. Așadar, dacă ritmul se menține, orașul va avea $200000$ de locuitori în jurul anului al $23$-lea. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Ai voie la calculator pentru puteri, dar formula o scrii tu, întâi, în formă exactă.

1. Calculează $2^0,2^1,2^2,\dots ,2^{10}$ și apoi suma lor.

2. O populație de $200$ de bacterii se dublează în fiecare oră. Câte bacterii sunt după $1$ oră, după $3$ ore și după $6$ ore?

3. Pornind de la $1000$ de lei, completează tabelul pentru $n\in \{0,1,2,5,10\}$ ani, comparând creșterea liniară $1000+50n$ cu cea exponențială $1000\cdot 1,05^n$.

4. O coală de hârtie are grosimea de $0,1$ mm. Ce grosime ar avea după $10$, $20$ și $30$ de îndoituri (exprimă în centimetri, metri și, respectiv, kilometri)?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O creștere de $10\%$ urmată de o altă creștere de $10\%$ înseamnă o creștere totală de $20\%$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O creștere exponențială cu factor mai mare decât $1$ depășește, mai devreme sau mai târziu, orice creștere liniară."

7. Ce sumă obții din $2000$ de lei depuși cu $5\%$ pe an, cu dobândă compusă, după $3$ ani?

8. Folosind regula lui $70$, estimează timpul de dublare pentru ratele de $2\%$, $5\%$ și $10\%$ pe an.

9. O doză de $200$ mg de medicament are timpul de înjumătățire de $4$ ore. Alcătuiește tabelul cantității rămase din $4$ în $4$ ore, până la $20$ de ore.

10. Un clip este văzut de $1$ persoană în ziua $0$, iar fiecare privitor îl trimite a doua zi la $3$ prieteni. Câte persoane noi îl văd în ziua a cincea? Câte în total, în zilele $0$–$5$?

11. Compară $2^n$ cu $100n$ pentru $n=5$, $n=9$, $n=10$ și $n=12$. De la ce valoare a lui $n$ conduce exponențialul?

12. (Problemă aplicată.) Ți se oferă la alegere: A) un milion de lei acum; B) un ban în prima zi, doi bani în a doua, patru în a treia, dublând timp de $30$ de zile. Ce alegi? Calculează suma primită în ziua a $30$-a și totalul, știind că $100$ de bani fac un leu.

13. Un oraș cu $100000$ de locuitori crește cu $3\%$ pe an. Ce populație are după $10$ ani? Cu cât ar fi crescut printr-o creștere liniară de $3000$ de locuitori pe an?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) O sumă de $1000$ de lei este depusă cu o dobândă de $5\%$ pe an. a) Determinați suma după $10$ ani, cu dobândă compusă. b) Comparați rezultatul cu dobânda simplă pe aceeași perioadă. c) Estimați, cu regula lui $70$, în cât timp se dublează suma.

15. Explică, în trei-patru fraze, de ce începutul unei creșteri exponențiale pare atât de lent și de ce această impresie e periculoasă.

16. O substanță radioactivă are timpul de înjumătățire de $5$ ani. Ce fracțiune din cantitatea inițială mai rămâne după $20$ de ani?

17. Prețul unui produs crește cu $20\%$, apoi scade cu $20\%$. Cu cât s-a modificat, în final, față de prețul inițial?

18. (Provocare.) Pornind de la $1$ leu, ai două variante de creștere zilnică: A) adaugi $100$ de lei în fiecare zi; B) înmulțești suma cu $1,5$ în fiecare zi. a) Care variantă e mai bună după $15$ zile? b) În ce zi preia conducerea varianta B?

Răspunsuri și explicații

1. Puterile sunt $1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024$, iar suma lor este $2047$. (Se verifică și cu formula sumei progresiei geometrice: $2^{11}-1=2047$.)

2. $200\cdot 2=400$ după o oră; $200\cdot 2^3=1600$ după trei ore; $200\cdot 2^6=12800$ după șase ore.

3. Liniar: $1000$; $1050$; $1100$; $1250$; $1500$. Exponențial: $1000$; $1050$; $1102,50$; $1276,28$; $1628,89$. Cele două coincid la $n=0$ și $n=1$, apoi exponențialul se desprinde tot mai mult.

4. $0,1\cdot 2^{10}=102,4$ mm $\approx 10,2$ cm. Apoi $0,1\cdot 2^{20}\approx 104858$ mm $\approx 105$ m. Și $0,1\cdot 2^{30}\approx 107374182$ mm $\approx 107$ km.

5. Fals. Factorii se înmulțesc: $1,1\cdot 1,1=1,21$, adică o creștere totală de $21\%$. Procentele se adună doar la creșterea liniară, unde de fiecare dată se aplică aceleiași valori inițiale.

6. Adevărat. Dreapta adaugă mereu același pas, în timp ce curba își mărește pasul proporțional cu valoarea atinsă. Chiar dacă liniarul conduce mult timp (vezi exercițiul 11, unde $100n$ conduce până la $n=9$), exponențialul îl depășește la un moment dat și nu mai este ajuns niciodată.

7. $2000\cdot 1,05^3=2000\cdot 1,157625=2315,25$ lei. (Dobânda simplă ar fi dat $2000+3\cdot 100=2300$ de lei.)

8. $\frac{70}{2}=35$ de ani; $\frac{70}{5}=14$ ani; $\frac{70}{10}=7$ ani. Valorile reale sunt $35,0$; $14,21$ și $7,27$ ani — aproximarea e foarte bună.

9. $200$ mg la ora $0$; $100$ mg la $4$ ore; $50$ mg la $8$; $25$ mg la $12$; $12,5$ mg la $16$; $6,25$ mg la $20$ de ore. Cantitatea se apropie de zero fără să îl atingă.

10. În ziua a cincea: $3^5=243$ de persoane noi. În total: $1+3+9+27+81+243=364$ de persoane. Ultima zi aduce singură două treimi din total.

11. $2^5=32<500$; $2^9=512<900$; $2^{10}=1024>1000$; $2^{12}=4096>1200$. Exponențialul preia conducerea de la $n=10$ și de atunci diferența doar crește.

12. Ziua a $30$-a aduce $2^{29}=536870912$ bani, adică $5368709,12$ lei — deja de peste cinci ori mai mult decât varianta A. Totalul celor $30$ de zile este $2^{30}-1=1073741823$ de bani, adică $10737418,23$ lei. Alegi varianta B, deși în primele două săptămâni pare ridicolă (în ziua a $14$-a primești doar $81,92$ lei).

13. $100000\cdot 1,03^{10}\approx 134392$ de locuitori. Creșterea liniară de $3000$ pe an ar fi dat $130000$ — cu aproape $4400$ de locuitori mai puțin, diferență acumulată exclusiv din faptul că procentul se aplică unei populații care crește.

14. a) $1000\cdot 1,05^{10}\approx 1628,89$ lei. b) Dobânda simplă dă $1000+50\cdot 10=1500$ lei, deci un avantaj de $128,89$ lei pentru dobânda compusă. c) $\frac{70}{5}=14$ ani (valoarea exactă fiind de circa $14,21$ ani).

15. Pentru că la început valorile sunt mici, iar factorul de înmulțire se aplică unor cantități mici: dublarea lui $2$ dă doar $4$. Impresia de „nu se întâmplă nimic" ține până când valorile devin mari — moment în care aceeași dublare adaugă enorm. E periculoasă pentru că deciziile bune (a economisi, a începe devreme, a opri o epidemie) trebuie luate exact în faza care pare neînsemnată.

16. În $20$ de ani au loc $\frac{20}{5}=4$ înjumătățiri, deci rămâne ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$ din cantitatea inițială, adică $6,25\%$.

17. Factorul total este $1,2\cdot 0,8=0,96$, deci prețul final este $96\%$ din cel inițial: o scădere de $4\%$. Creșterea s-a aplicat prețului mic, iar scăderea prețului deja mărit — de aceea nu se anulează.

18. a) După $15$ zile: varianta A dă $1+100\cdot 15=1501$ lei, iar varianta B dă $1,5^{15}\approx 437,89$ lei. Câștigă A, detașat. b) Continuăm: ziua $17$ dă $1701$ față de $985,26$; ziua $18$ dă $1801$ față de $1477,89$; ziua $19$ dă $1901$ față de $2216,84$. Deci varianta B preia conducerea în ziua a $19$-a — și de acolo diferența devine imediat uriașă (în ziua a $20$-a: $2001$ față de $3325,26$).

De reținut

• Creșterea liniară adună o cantitate fixă la fiecare pas (diferențe constante); creșterea exponențială înmulțește cu un factor fix (rapoarte constante).
• După $n$ pași, o mărime care se dublează devine de $2^n$ ori mai mare; o mărime care crește cu $p\%$ pe pas se înmulțește cu ${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$.
• Regula lui 70: la o rată de $p\%$ pe perioadă, dublarea are loc după aproximativ $\frac{70}{p}$ perioade.
• Orice creștere exponențială cu factor mai mare decât $1$ depășește, în cele din urmă, orice creștere liniară — chiar dacă la început pare mult mai lentă.
• Procentele nu se adună: două creșteri de $10\%$ dau $21\%$, iar o creștere de $20\%$ urmată de o scădere de $20\%$ lasă o pierdere de $4\%$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre „crește cu $50$" și „crește cu $5\%$". Prima e o creștere liniară (aceeași cantitate mereu), a doua e exponențială (aceeași proporție, deci o cantitate tot mai mare). Din această confuzie vine cea mai mare parte a greșelilor la probleme cu bani.
• Adunarea procentelor pe perioade succesive. Corect este să înmulțești factorii: $1,1\cdot 1,1=1,21$, nu $1,2$. La perioade multe, diferența devine substanțială.
• „O scădere de $20\%$ anulează o creștere de $20\%$." Nu: $1,2\cdot 0,8=0,96$. Cele două procente se aplică unor valori diferite.
• Extrapolarea din primele valori. Faptul că exponențialul e sub liniar la primii pași nu spune nimic despre final. Compară $2^n$ cu $100n$: liniarul conduce nouă etape, apoi pierde definitiv.
• Uitarea numărului corect de perioade. La dublare la fiecare $30$ de minute, în $3$ ore sunt $6$ dublări, nu $3$. Numără întâi câte perioade complete încap, apoi ridică la putere.

Aplică acasă

1. Simulatorul de economii. Într-o foaie de calcul (Excel sau Google Sheets), fă două coloane pe $30$ de ani, pornind de la $1000$ de lei: una cu $+50$ lei pe an, alta cu $\times 1,05$ pe an. Trasează ambele grafice pe același desen și marchează anul în care diferența depășește $500$ de lei. Discută rezultatul cu părinții — este exact calculul din spatele oricărei economii pe termen lung.

2. Experimentul îndoirii. Ia o coală A4 și îndoaie-o de câte ori poți. Notează după fiecare îndoitură grosimea estimată ($0,1$ mm înmulțit cu $2^n$) și numărul de straturi. Vei observa că, practic, te oprești pe la a șaptea îndoitură — scrie o explicație a diferenței dintre modelul matematic și realitatea fizică.

3. Vânătoarea de creșteri exponențiale în știri. Timp de o săptămână, adună trei titluri de presă care descriu o creștere (prețuri, utilizatori ai unei aplicații, cazuri într-o epidemie, populația unei specii). Pentru fiecare, decide dacă datele arată o creștere liniară sau exponențială, calculând diferențele și rapoartele valorilor consecutive. Notează care titlu folosește corect cuvântul „exponențial" — vei descoperi că multe nu îl folosesc corect.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un scop dublu: matematic și de educație financiară. Programa cere explicit ca elevii să compare tipurile de creștere și „să observe diferențele între creșterea liniară și exponențială, cu accent pe semnificația practică a rezultatelor obținute", integrând progresiile în contexte precum dobânda simplă și dobânda compusă. Totul se face numeric și grafic, fără aparat algebric suplimentar.

Întrebări bune de control: „Cum deosebești, dintr-un tabel de date, o creștere liniară de una exponențială?" (diferențe constante față de rapoarte constante); „De ce două creșteri de $10\%$ nu fac $20\%$?"; „De ce se spune că începutul unei creșteri exponențiale e înșelător?". Semne că a înțeles: calculează factorul total prin înmulțire, nu prin adunare de procente; numără corect perioadele de dublare; și explică, cu un exemplu, de ce liniarul poate conduce mult timp și totuși pierde.

La teze și la Bacalaureat, tema apare în probleme aplicate: evoluția unei sume cu dobândă compusă, creșterea unei populații, dezintegrarea radioactivă, comparații între două oferte. Merită insistat pe scrierea corectă a modelului — $P(n)=P_0\cdot q^n$ — înainte de orice calcul numeric, pentru că baremele punctează separat formula și rezultatul. Continuarea firească este studiul logaritmilor, care răspund la întrebarea inversă: „după cât timp se atinge o valoare dată?".

Întrebări frecvente

Ce înseamnă creștere exponențială? Înseamnă că mărimea se înmulțește cu același factor la intervale egale de timp, în loc să crească cu aceeași cantitate. De exemplu, o populație care se dublează în fiecare oră sau o sumă care crește cu $5\%$ în fiecare an.

Care este diferența dintre creșterea liniară și cea exponențială? La creșterea liniară, diferența dintre două valori consecutive este constantă (se adună mereu aceeași cantitate). La cea exponențială, raportul dintre două valori consecutive este constant (se înmulțește mereu cu același factor). Grafic, prima este o dreaptă, a doua o curbă care urcă tot mai abrupt.

De ce creșterea exponențială pare lentă la început? Pentru că factorul de înmulțire se aplică unor valori mici: dublarea lui $2$ adaugă doar $2$. Abia când valorile devin mari, aceeași dublare adaugă mult. De aceea diferența față de o creștere liniară apare târziu, dar apoi devine imposibil de recuperat.

Ce este regula lui 70? O aproximare rapidă pentru timpul de dublare: la o rată de $p\%$ pe perioadă, mărimea se dublează după aproximativ $\frac{70}{p}$ perioade. La $5\%$ pe an, dublarea are loc în circa $14$ ani; la $10\%$, în circa $7$ ani.

De ce două creșteri consecutive de 10% nu înseamnă 20%? Pentru că a doua creștere se aplică valorii deja mărite, nu celei inițiale. Factorii se înmulțesc: $1,1\cdot 1,1=1,21$, adică o creștere totală de $21\%$.

Ce este timpul de înjumătățire? Este intervalul după care o mărime care scade exponențial ajunge la jumătate din valoarea ei. Apare la medicamente (cât rămâne în sânge), la substanțe radioactive și la orice proces de scădere proporțională.

De ce ajunge totuși creșterea exponențială să depășească orice creștere liniară? Pentru că dreapta adaugă mereu același pas, în timp ce curba își mărește pasul proporțional cu valoarea deja atinsă. Oricât de mare ar fi pasul dreptei, curba îl depășește la un moment dat — vezi comparația dintre $2^n$ și $100n$, unde răsturnarea se produce la $n=10$.

Unde întâlnesc creșterea exponențială în viața de zi cu zi? La dobânda compusă a economiilor și a creditelor, la evoluția unei epidemii, la răspândirea unui clip viral, la creșterea populațiilor de bacterii, dar și „în oglindă", ca descreștere: eliminarea unui medicament din corp, răcirea unui lichid, dezintegrarea radioactivă.