Funcția exponențială f(x) = a^x

Gândește-te la arborele tău genealogic. Ai $2$ părinți, $4$ bunici, $8$ străbunici, $16$ stră-străbunici. La fiecare generație în urmă, numărul se dublează: după $10$ generații ajungi la $1024$ de strămoși, după $20$ la peste un milion. Numărul de strămoși din generația a $n$-a este $2^n$ — și, dintr-odată, exponentul a devenit variabila care ne interesează, iar baza a rămas fixă.

Aceasta este o răsturnare de perspectivă. Până acum, la $x^2$ sau la $x^3$, baza era necunoscuta și exponentul era fix. De acum, la $2^x$, exponentul este necunoscuta. Funcțiile obținute astfel se numesc funcții exponențiale și descriu tot ce se înmulțește la intervale regulate: populații, economii cu dobândă, doze de medicament care se elimină din corp, vizualizări ale unui clip care devine viral. În lecția aceasta le construim graficul și le citim proprietățile direct de pe desen, exact cum ai făcut la funcția radical de ordin 2 și la funcția de gradul al doilea. Ce anume face creșterea exponențială atât de spectaculoasă vei vedea în lecția următoare, despre creșterea exponențială.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă $a^x$ atunci când exponentul $x$ este orice număr real, nu doar un număr întreg.
• Vei ști să explici de ce baza trebuie să respecte condițiile $a>0$ și $a\ne 1$.
• Vei ști să construiești tabelul de valori și graficul funcției exponențiale, pentru $a>1$ și pentru $0<a<1$.
• Vei ști să citești de pe grafic mulțimea valorilor, punctul fix $(0,1)$, monotonia și comportamentul asimptotic.
• Vei ști să compari valori ale funcției exponențiale folosind monotonia, fără calculator.
• Vei ști să rezolvi grafic probleme de tipul „câte soluții are $a^x=m$" și „unde se află graficele una față de alta".

Hai să descoperim împreună

1. De la puteri cunoscute la o funcție

Știi de mult să calculezi puteri cu exponent natural: $2^3=8$, $2^5=32$. Știi și ce înseamnă exponentul zero și exponenții negativi:

$$2^0=1,2^{-1}=\frac{1}{2}=0,5,2^{-3}=\frac{1}{2^3}=0,125.$$

Punem toate aceste rezultate într-un tabel, cu exponentul pe primul rând:

Se vede deja tiparul: la fiecare pas spre dreapta, valoarea se dublează; la fiecare pas spre stânga, se înjumătățește. Valorile scad spre stânga fără să ajungă vreodată la zero, și cresc spre dreapta fără nicio limită.

2. Ce înseamnă un exponent care nu e întreg

Ca să obținem o funcție definită pe toată axa, avem nevoie de $2^x$ și pentru valori precum $x=0,5$ sau $x=\sqrt{2}$. Ideea este aproximarea: încadrăm exponentul între fracții tot mai apropiate și urmărim ce se întâmplă cu puterile.

Pentru $x=\sqrt{2}\approx 1,41421$ calculăm, cu ajutorul calculatorului de buzunar:

Valorile se apropie tot mai mult una de alta, „strângându-se" în jurul numărului $2^{\sqrt{2}}\approx 2,66514$. Exact așa se definește puterea cu exponent real: ca valoarea către care se apropie puterile cu exponenți raționali apropiați. La clasa a IX-a nu avem nevoie de mai multă precizie — reține doar că $a^x$ are sens pentru orice $x$ real și că valoarea lui se obține cu calculatorul, folosind tasta cu simbolul de putere.

3. Definiția funcției exponențiale

Definiție. Fie $a$ un număr real cu $a>0$ și $a\ne 1$. Funcția

$$f:\mathbb{R}\to (0,+\infty ),f(x)=a^x$$

se numește funcția exponențială de bază $a$.

De ce cele două condiții asupra bazei?

De ce $a>0$? Dacă baza ar fi negativă, funcția s-ar „rupe". De exemplu, pentru $a=-4$ am avea $(-4{)}^2=16$, dar $(-4{)}^{0,5}$ ar însemna $\sqrt{-4}$, care nu există în mulțimea numerelor reale. Nu am putea defini funcția pe toată axa, deci nu am avea un grafic continuu.

De ce $a\ne 1$? Pentru că $1^x=1$ pentru orice $x$: am obține funcția constantă, al cărei grafic este o dreaptă orizontală. Nu e greșit, dar nu e interesant — și, mai ales, nu are niciuna dintre proprietățile pe care le studiem aici.

De ce codomeniul este $(0,+\infty )$? Pentru că o putere cu bază strict pozitivă este mereu strict pozitivă, oricât de mic ar fi exponentul. $2^{-100}$ este un număr minuscul, dar pozitiv. Funcția exponențială nu ia niciodată valoarea zero și nu ia niciodată valori negative.

4. Graficul pentru $a>1$: creștere

Reprezentăm punctele din tabelul de la punctul 1 într-un sistem de axe și le unim printr-o curbă netedă.

Ce se citește imediat pe desen:

• curba este în întregime deasupra axei $Ox$ — nicio valoare nu este negativă sau nulă;
• curba taie axa $Oy$ în punctul $(0,1)$ și nu taie niciodată axa $Ox$;
• spre dreapta, curba urcă tot mai abrupt: de la $x=3$ la $x=4$ valoarea sare de la $8$ la $16$;
• spre stânga, curba coboară spre axa $Ox$ și se lipește de ea, fără să o atingă vreodată. Spunem că axa $Ox$ este asimptotă orizontală.

Aceeași formă o are graficul oricărei funcții exponențiale cu $a>1$: $3^x$, $10^x$, $1,5^x$. Cu cât baza este mai mare, cu atât curba urcă mai repede la dreapta lui $0$ și se lipește mai repede de axă la stânga.

5. Graficul pentru $0<a<1$: descreștere

Luăm acum baza $a=\frac{1}{2}$ și refacem tabelul:

Este exact tabelul de la $2^x$, citit invers. Prin urmare graficul lui ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ este oglinda graficului lui $2^x$ față de axa $Oy$: coboară de la stânga la dreapta, pornind foarte sus și lipindu-se de axa $Ox$ spre dreapta.

6. Proprietățile citite de pe grafic

Adunăm totul într-un tabel de sinteză, valabil pentru orice bază admisă:

Trei observații merită reținute separat.

Punctul $(0,1)$ este comun tuturor. Oricare ar fi baza, $a^0=1$. Dacă vezi un grafic exponențial care nu trece prin $(0,1)$, atunci funcția a fost mutată sau înmulțită cu un factor — nu mai este exponențială „pură".

Graficul trece și prin $(1,a)$. De aici se citește baza direct de pe desen: dacă graficul trece prin $(1,5)$, atunci $a=5$.

Funcția nu are puncte de extrem. Fiind strict monotonă pe toată axa, nu are nici maxim, nici minim: valorile cresc (sau scad) la nesfârșit într-un capăt și se apropie de zero în celălalt.

7. Monotonia ca unealtă de comparare

Monotonia strictă îți permite să compari valori fără să le calculezi.

Pentru $a>1$ (funcție crescătoare), exponentul mai mare dă valoarea mai mare:

$$2^{1,3}<2^{1,7},5^{-3}<5^{-2}.$$

(A doua comparație surprinde uneori: $-3<-2$, deci $5^{-3}<5^{-2}$; într-adevăr, $0,008<0,04$.)

Pentru $0<a<1$ (funcție descrescătoare), ordinea se inversează:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,5}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,5}.$$

(Într-adevăr, $0,577>0,192$.) Regula de aur: întâi te uiți la bază, ca să știi în ce sens merge funcția, și abia apoi compari exponenții.

8. Lecturi grafice: ecuații și comparații

Graficul răspunde direct la întrebările tipice, în spiritul lecției despre lectura grafică.

Ecuația $a^x=m$. Numărul soluțiilor este numărul punctelor în care dreapta orizontală $y=m$ taie curba:

• dacă $m>0$: exact o soluție (curba acoperă toată banda de deasupra axei, o singură dată pentru fiecare înălțime);
• dacă $m\le 0$: nicio soluție, pentru că graficul nu coboară niciodată la nivelul axei sau sub ea.

Când $m$ este chiar o putere a bazei, soluția se citește direct: $2^x=8$ dă $x=3$. Când nu este, soluția se încadrează: din $2^3=8<10<16=2^4$ deducem că soluția ecuației $2^x=10$ se află între $3$ și $4$.

Inecuația $a^x>m$ se citește ca „porțiunea de grafic aflată deasupra dreptei $y=m$". Pentru $f(x)=2^x$ și $m=4$: curba e deasupra dreptei pentru $x>2$, deci soluția este intervalul $(2,+\infty )$.

Două exponențiale una față de alta. Graficele lui $2^x$ și $3^x$ se întâlnesc în punctul comun $(0,1)$. La dreapta lui zero, baza mai mare dă valori mai mari ($3^2=9>4=2^2$); la stânga lui zero, se inversează ($3^{-2}\approx 0,11<0,25=2^{-2}$).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori ale funcției

Se consideră $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=2^x$. Calculați $f(0)$, $f(3)$, $f(-2)$ și $f\left(\frac{1}{2}\right)$.

Rezolvare. $f(0)=2^0=1$; $f(3)=2^3=8$; $f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}=0,25$; iar $f\left(\frac{1}{2}\right)=2^{0,5}=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Observă că toate valorile sunt strict pozitive, indiferent de semnul exponentului. $■$

Exemplul 2 — Tabel și grafic pentru baza 3

Construiți tabelul de valori al funcției $g(x)=3^x$ pentru $x\in \{-2,-1,0,1,2\}$ și descrieți forma graficului.

Rezolvare.

Baza este $3>1$, deci graficul este strict crescător: pornește lipit de axa $Ox$ în stânga, trece prin $(0,1)$ și urcă abrupt spre dreapta. Comparat cu graficul lui $2^x$, urcă mai repede la dreapta lui $0$ și coboară mai repede spre axă la stânga. $■$

Exemplul 3 — Comparări prin monotonie

Comparați, fără calculator: a) $2^{1,3}$ și $2^{1,7}$; b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^7$; c) $5^{-2}$ și $5^{-3}$.

Rezolvare. a) Baza $2>1$, deci funcția e crescătoare. Cum $1,3<1,7$, rezultă $2^{1,3}<2^{1,7}$.

b) Baza $\frac{1}{2}<1$, deci funcția e descrescătoare. Cum $4<7$, ordinea se inversează: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4>{\left(\frac{1}{2}\right)}^7$. (Verificare: $0,0625>0,0078$.)

c) Baza $5>1$, funcție crescătoare. Cum $-3<-2$, rezultă $5^{-3}<5^{-2}$, adică $0,008<0,04$. $■$

Exemplul 4 — Determinarea bazei din grafic

Graficul unei funcții exponențiale $f(x)=a^x$ trece prin punctul $(2,9)$. Determinați baza $a$ și precizați monotonia funcției.

Rezolvare. Din condiția dată, $a^2=9$. Cum baza trebuie să fie strict pozitivă, singura variantă acceptabilă este $a=3$ (valoarea $-3$ se exclude prin definiție).

Baza fiind mai mare decât $1$, funcția $f(x)=3^x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. $■$

Exemplul 5 — Ecuații citite pe grafic

Folosind graficul funcției $f(x)=2^x$, precizați numărul soluțiilor ecuațiilor: a) $2^x=8$; b) $2^x=0$; c) $2^x=-3$; d) $2^x=10$.

Rezolvare. a) O soluție, citită direct: dreapta $y=8$ taie curba în punctul de abscisă $x=3$.

b) Nicio soluție: dreapta $y=0$ este chiar axa $Ox$, de care curba se apropie fără să o atingă.

c) Nicio soluție: dreapta $y=-3$ este sub axa $Ox$, iar curba este mereu deasupra.

d) O soluție, dar nu un număr întreg. Din $2^3=8$ și $2^4=16$ deducem $8<10<16$, deci soluția se află între $3$ și $4$. Valoarea exactă se va putea scrie abia după ce vei învăța logaritmii. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=2^x$. a) Calculați $f(0)+f(2)+f(-1)$. b) Determinați, citind graficul, soluția ecuației $f(x)=\frac{1}{4}$. c) Determinați intervalul pe care $f(x)>4$.

Rezolvare. a) $f(0)+f(2)+f(-1)=1+4+\frac{1}{2}=5,5$.

b) Căutăm exponentul care dă $\frac{1}{4}=0,25$. Din tabel, $2^{-2}=0,25$, deci soluția este $x=-2$. Grafic: dreapta $y=0,25$ taie curba exact în punctul $(-2;0,25)$.

c) Dreapta $y=4$ taie curba în punctul $(2,4)$. Cum funcția este strict crescătoare, valorile depășesc $4$ exact la dreapta acestui punct:

$$f(x)>4⟺x\in (2,+\infty ).$$

$■$ Observă că nu am „rezolvat" nicio ecuație cu calcule: monotonia și graficul au fost suficiente.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Folosește calculatorul doar acolo unde ți se cere explicit o aproximare — restul se rezolvă din tabel, din grafic și din monotonie.

1. Calculează: $2^0$, $2^3$, $2^{-2}$, $3^2$, $3^{-1}$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$.

2. Completează tabelul de valori al funcției $f(x)=2^x$ pentru $x\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ și desenează graficul pe hârtie cu pătrățele.

3. Completează tabelul funcției $g(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ pentru aceleași valori și compară graficul cu cel de la exercițiul 2. Ce simetrie observi?

4. Precizează domeniul, mulțimea valorilor și intersecțiile cu axele pentru $h(x)=3^x$.

5. Explică, în două-trei fraze, de ce în definiția funcției exponențiale se cere $a>0$ și $a\ne 1$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul oricărei funcții exponențiale trece prin punctul $(0,1)$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există un număr real $x$ pentru care $2^x=0$."

8. Compară, fără calculator: a) $2^{1,3}$ și $2^{1,7}$; b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,5}$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,5}$; c) $5^{-2}$ și $5^{-3}$.

9. Precizează monotonia funcțiilor: $2^x$, $(0,5{)}^x$, $10^x$, ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, $(1,5{)}^x$.

10. Determină baza $a$, știind că graficul funcției $f(x)=a^x$ trece prin punctul: a) $(2,9)$; b) $\left(3,\frac{1}{8}\right)$.

11. Citind graficul funcției $f(x)=2^x$, determină soluțiile ecuațiilor $2^x=8$, $2^x=1$ și $2^x=0,5$.

12. Câte soluții are ecuația $2^x=m$ pentru: a) $m=4$; b) $m=0$; c) $m=-3$? Justifică folosind dreapta orizontală $y=m$.

13. (Problemă aplicată.) O cultură de bacterii pornește de la $100$ de bacterii și se dublează în fiecare oră, deci după $t$ ore avem $N(t)=100\cdot 2^t$ bacterii. a) Câte bacterii sunt după $0$, $1$ și $3$ ore? b) Între ce ore întregi depășește cultura pragul de $1000$ de bacterii?

14. Pe același desen sunt reprezentate graficele funcțiilor $2^x$ și $3^x$. a) În ce punct se intersectează? b) Care grafic este deasupra pentru $x>0$? Dar pentru $x<0$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=2^x$. a) Calculați $f(0)+f(2)+f(-1)$. b) Determinați soluția ecuației $f(x)=\frac{1}{4}$. c) Determinați intervalul pe care $f(x)>4$.

16. Descrie comportamentul graficului lui $f(x)=2^x$ atunci când $x$ scade nelimitat, respectiv al lui $g(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ atunci când $x$ crește nelimitat. Cum se numește dreapta de care se apropie curbele?

17. Pentru $g(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, ordonează crescător valorile $g(-1)$, $g(0)$ și $g(2)$, folosind monotonia.

18. (Provocare.) Pe același sistem de axe sunt trasate graficele funcțiilor $y=2^x$ și $y=x+1$. Câte puncte comune au și care sunt acestea? Ce poți spune despre poziția curbei față de dreaptă în afara punctelor comune?

Răspunsuri și explicații

1. $2^0=1$; $2^3=8$; $2^{-2}=\frac{1}{4}=0,25$; $3^2=9$; $3^{-1}=\frac{1}{3}$; ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}=0,125$; ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$.

2. Valorile sunt $0,125$; $0,25$; $0,5$; $1$; $2$; $4$; $8$. Curba urcă de la stânga la dreapta, trece prin $(0,1)$ și se apropie de axa $Ox$ fără să o atingă.

3. Valorile sunt $8$; $4$; $2$; $1$; $0,5$; $0,25$; $0,125$ — adică aceleași, citite invers. Graficul lui $g$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Oy$, iar cele două curbe se întâlnesc în punctul $(0,1)$.

4. Domeniul este $\mathbb{R}$; mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$; graficul taie axa $Oy$ în $(0,1)$ și nu taie axa $Ox$, de care doar se apropie.

5. Dacă baza ar fi negativă, expresia $a^x$ nu ar avea sens pentru toți exponenții (de exemplu $(-4{)}^{0,5}=\sqrt{-4}$ nu există în $\mathbb{R}$), deci nu am putea defini funcția pe toată axa. Dacă baza ar fi $1$, am obține $1^x=1$, adică o funcție constantă, fără monotonie și fără interesul unei creșteri sau descreșteri.

6. Adevărat. Oricare ar fi baza admisă $a$, avem $a^0=1$, deci punctul $(0,1)$ aparține graficului. Este singurul punct comun tuturor funcțiilor exponențiale.

7. Fals. O putere cu bază strict pozitivă este mereu strict pozitivă. Valorile lui $2^x$ se apropie oricât de mult de zero când $x$ scade, dar nu ating niciodată zero: mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$, interval deschis în $0$.

8. a) Baza $2>1$, funcție crescătoare, $1,3<1,7$, deci $2^{1,3}<2^{1,7}$. b) Baza $\frac{1}{3}<1$, funcție descrescătoare, deci ordinea se inversează: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0,5}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,5}$. c) Baza $5>1$ și $-3<-2$, deci $5^{-3}<5^{-2}$.

9. Strict crescătoare: $2^x$, $10^x$, $(1,5{)}^x$ (baze mai mari decât $1$). Strict descrescătoare: $(0,5{)}^x$ și ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ (baze între $0$ și $1$).

10. a) $a^2=9$ și $a>0$, deci $a=3$ (funcția e crescătoare). b) $a^3=\frac{1}{8}$, deci $a=\frac{1}{2}$ (funcția e descrescătoare).

11. $2^x=8\Rightarrow x=3$; $2^x=1\Rightarrow x=0$; $2^x=0,5\Rightarrow x=-1$. Toate se citesc direct din tabelul de valori sau, grafic, ca abscise ale punctelor în care orizontalele $y=8$, $y=1$, $y=0,5$ taie curba.

12. a) O soluție ($x=2$): dreapta $y=4$ taie curba o dată. b) Nicio soluție: $y=0$ este axa $Ox$, de care curba se apropie fără să o atingă. c) Nicio soluție: dreapta $y=-3$ trece pe sub axa $Ox$, unde graficul nu ajunge niciodată.

13. a) $N(0)=100$, $N(1)=200$, $N(3)=100\cdot 8=800$. b) $N(3)=800<1000$, iar $N(4)=100\cdot 16=1600>1000$. Deci pragul este depășit între ora a treia și a patra.

14. a) În punctul $(0,1)$, pentru că $2^0=3^0=1$. b) Pentru $x>0$ este deasupra graficul lui $3^x$ (de exemplu $3^2=9>4=2^2$); pentru $x<0$ este deasupra graficul lui $2^x$ (de exemplu $2^{-2}=0,25>\frac{1}{9}\approx 0,11=3^{-2}$).

15. a) $1+4+0,5=5,5$. b) $\frac{1}{4}=2^{-2}$, deci $x=-2$. c) Funcția fiind strict crescătoare și $f(2)=4$, avem $f(x)>4$ exact pentru $x\in (2,+\infty )$.

16. Când $x$ scade nelimitat, valorile lui $2^x$ se apropie de $0$ rămânând pozitive, deci curba se lipește de axa $Ox$ din partea de sus. La fel se comportă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ atunci când $x$ crește nelimitat. Dreapta de care se apropie curbele se numește asimptotă orizontală — aici, axa $Ox$.

17. Funcția este strict descrescătoare (baza $\frac{1}{2}<1$), deci ordinii $-1<0<2$ îi corespunde ordinea inversă a valorilor: $g(2)<g(0)<g(-1)$, adică $0,25<1<2$.

18. Punctele comune sunt $(0,1)$ și $(1,2)$: pentru $x=0$ avem $2^0=1=0+1$, iar pentru $x=1$ avem $2^1=2=1+1$. Nu există altele. Între cele două puncte comune, adică pe intervalul $(0,1)$, dreapta este deasupra curbei (la $x=0,5$: $2^{0,5}\approx 1,41<1,5$), iar în afara intervalului $[0,1]$ curba este deasupra dreptei — spectaculos spre dreapta, unde $2^x$ crește mult mai repede decât $x+1$ (la $x=10$ avem $1024$ față de $11$).

De reținut

• Funcția exponențială este $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, cu baza $a>0$ și $a\ne 1$. Necunoscuta stă la exponent, nu la bază.
• Valorile funcției sunt întotdeauna strict pozitive: mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$, deci graficul nu taie niciodată axa $Ox$.
• Graficul trece prin punctul $(0,1)$, indiferent de bază, și prin $(1,a)$ — de unde se citește baza direct de pe desen.
• Monotonia depinde de bază: pentru $a>1$ funcția este strict crescătoare, pentru $0<a<1$ este strict descrescătoare. Graficele celor două baze inverse, $a$ și $\frac{1}{a}$, sunt simetrice față de axa $Oy$.
• Axa $Ox$ este asimptotă orizontală: curba se apropie oricât de mult de ea, fără să o atingă. Ecuația $a^x=m$ are exact o soluție pentru $m>0$ și niciuna pentru $m\le 0$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $x^2$ și $2^x$. La $x^2$ variabila e baza, la $2^x$ variabila e exponentul. Valorile lor sunt complet diferite: $x^2$ dă $0$ în $x=0$, iar $2^x$ dă $1$; $x^2$ e pozitivă și la stânga, dar are un minim, în timp ce $2^x$ nu are niciun punct de extrem.
• „$2^{-3}$ este un număr negativ." Exponentul negativ nu face valoarea negativă, ci subunitară: $2^{-3}=\frac{1}{8}=0,125>0$. Funcția exponențială nu ia niciodată valori negative.
• Uitarea condiției asupra bazei. Baza trebuie să fie strict pozitivă și diferită de $1$. La exerciții de tipul „graficul trece prin $(2,9)$", răspunsul este $a=3$; varianta $a=-3$ se exclude din start.
• Compararea exponenților fără să te uiți la bază. Pentru baze subunitare, ordinea se inversează: din $4<7$ rezultă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4>{\left(\frac{1}{2}\right)}^7$. Verifică mereu întâi dacă baza e mai mare sau mai mică decât $1$.
• „Curba atinge axa $Ox$ undeva foarte departe." Nu o atinge niciodată. Se apropie oricât de mult, dar valoarea rămâne strict pozitivă — de aceea axa este asimptotă, nu punct de intersecție.

Aplică acasă

1. Arborele strămoșilor. Desenează pe o foaie primele cinci generații din arborele tău genealogic și numără persoanele din fiecare generație: $2$, $4$, $8$, $16$, $32$. Continuă tabelul, fără desen, până la generația a $20$-a. Compară numărul obținut cu populația unui oraș pe care îl cunoști și discută în familie de ce, totuși, strămoșii reali sunt mult mai puțini decât spune formula.

2. Graficul cu foaia de calcul. Deschide o foaie de calcul (Excel, Google Sheets) sau GeoGebra și trasează, pe același desen, graficele funcțiilor $2^x$, $3^x$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ pentru $x$ între $-4$ și $4$. Verifică vizual toate proprietățile din tabelul de sinteză: punctul comun $(0,1)$, monotonia după bază, apropierea de axa $Ox$.

3. Vânătoarea de exponențiale. Caută trei situații din viața ta descrise de o funcție exponențială: soldul unui cont cu dobândă, numărul de vizualizări ale unui clip în primele zile, doza de medicament rămasă în corp după fiecare interval. Pentru fiecare, notează baza (factorul de înmulțire la fiecare pas) și spune dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce funcția exponențială la nivelul cerut de trunchiul comun: prin grafic și prin lecturi grafice, nu prin calcul algebric cu exponenți. Programa cere explicit ca definirea puterilor cu exponent real să se facă intuitiv, prin ideea de aproximare, valorile obținându-se cu calculatorul. De aceea în lecție nu apar ecuații exponențiale rezolvate algebric — ele nu fac parte din programa clasei a IX-a la acest nivel — ci doar citirea numărului de soluții și încadrarea lor între numere întregi.

Întrebări bune de control: „Prin ce punct trece graficul oricărei funcții exponențiale și de ce?" (prin $(0,1)$, pentru că $a^0=1$); „Poate $2^x$ să fie zero sau negativ?" (nu, niciodată); „Cum îți dai seama, doar privind baza, dacă funcția urcă sau coboară?" (baza mai mare decât $1$ urcă, baza între $0$ și $1$ coboară). Semne că a înțeles: nu mai confundă $x^2$ cu $2^x$, explică asimptota orizontală în cuvinte proprii și compară corect puteri cu baze subunitare.

La teze și la Bacalaureat, funcția exponențială apare în exerciții de citire grafică (mulțimea valorilor, monotonie, numărul soluțiilor unei ecuații $f(x)=m$), în determinarea bazei dintr-un punct dat al graficului și, mai ales, în probleme aplicate de creștere — dobândă, populații, procese de scădere. Continuarea firească este lecția despre creșterea exponențială, unde se compară pe aceleași date modelul liniar cu cel exponențial.

Întrebări frecvente

Ce este funcția exponențială? Este funcția $f(x)=a^x$, cu baza $a$ un număr fix, strict pozitiv și diferit de $1$, iar exponentul $x$ variabila. Ea descrie mărimile care se înmulțesc cu același factor la intervale egale de timp.

De ce baza funcției exponențiale trebuie să fie pozitivă și diferită de 1? Pozitivă, pentru că altfel puterile cu exponent fracționar nu ar exista în mulțimea numerelor reale (de exemplu $(-4{)}^{0,5}$ ar însemna $\sqrt{-4}$). Diferită de $1$, pentru că $1^x=1$ pentru orice $x$, deci am obține o funcție constantă, fără nicio creștere sau descreștere.

Prin ce punct trec toate graficele funcțiilor exponențiale? Prin punctul $(0,1)$, deoarece orice număr nenul ridicat la puterea zero dă $1$. Este punctul de întâlnire al tuturor curbelor exponențiale, indiferent de bază.

Poate funcția exponențială să ia valoarea zero? Nu. Valorile ei sunt întotdeauna strict pozitive, oricât de mic ar fi exponentul. Graficul se apropie de axa $Ox$ fără să o atingă vreodată — axa este asimptotă orizontală.

Cum știu dacă funcția exponențială crește sau scade? Te uiți doar la bază. Dacă baza este mai mare decât $1$, funcția este strict crescătoare; dacă baza este între $0$ și $1$, funcția este strict descrescătoare. Nu contează exponentul, ci doar baza.

Ce înseamnă că axa Ox este asimptotă orizontală? Înseamnă că, mergând spre unul dintre capetele axei $Ox$, curba se apropie oricât de mult de ea, dar nu o atinge și nu o traversează niciodată. Pentru $a>1$ apropierea are loc spre stânga, pentru $0<a<1$ spre dreapta.

Câte soluții are ecuația $a^x=m$? Exact una, dacă $m$ este strict pozitiv — dreapta orizontală $y=m$ taie curba într-un singur punct. Niciuna, dacă $m$ este zero sau negativ, pentru că graficul rămâne mereu deasupra axei $Ox$.

Care e diferența dintre $x^2$ și $2^x$? La $x^2$ variabila este baza, iar exponentul este fix; graficul este o parabolă cu vârf. La $2^x$ variabila este exponentul, iar baza este fixă; graficul urcă tot mai abrupt și nu are niciun punct de extrem. Pentru valori mari ale lui $x$, $2^x$ depășește categoric $x^2$.