Numărul irațional e și funcția e^x

Imaginează-ți o bancă generoasă până la absurd: îți dă 100% dobândă pe an. Depui 1 leu și, după douăsprezece luni, ai 2 lei. Simplu. Dar bancherul îți face o ofertă și mai bună: „Îți dau 50% la șase luni, iar dobânda din prima jumătate de an intră și ea în calcul pentru a doua jumătate." Faci socoteala și obții $1,5\cdot 1,5=2,25$ lei. Ai câștigat 25 de bani doar pentru că ai primit dobânda mai des. Firește, îți vine imediat ideea: și dacă aș primi dobândă în fiecare lună? În fiecare zi? În fiecare secundă?

Instinctul spune că, dacă mărunțim la nesfârșit, suma ar trebui să crească la nesfârșit. Instinctul se înșală. Oricât de des ai capitaliza, banii se opresc undeva sub 2 lei și 72 de bani — mai precis, se apropie de un număr fix, cu zecimale care nu se termină și nu se repetă niciodată: $e=2,718281828\dots$ Acest număr, la fel de special ca $\pi$, este vedeta lecției de față. Ai întâlnit deja funcțiile de forma $a^x$ în lecția despre funcția exponențială și ai văzut cât de repede cresc în lecția despre creșterea exponențială. Acum vei descoperi de ce o anumită bază, $e$, este preferată de matematicieni, fizicieni și economiști deopotrivă.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de unde apare numărul $e$, pornind de la dobânda compusă cu capitalizare tot mai deasă.
• Vei ști să calculezi valorile expresiei ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ pentru $n$ dat și să observi cum se apropie de $e$.
• Vei ști că $e$ este irațional, cu valoarea aproximativă $2,718$, și de ce nu îl putem scrie exact ca fracție sau ca zecimală finită.
• Vei ști să descrii funcția exponențială naturală $f(x)=e^x$: domeniu, mulțimea valorilor, monotonie, puncte remarcabile.
• Vei ști să recunoști forma graficului lui $e^x$ și să îl compari cu graficele lui $2^x$ și $3^x$.
• Vei ști să citești de pe grafic soluțiile aproximative ale unei ecuații de forma $e^x=m$ și să interpretezi rezultatul într-un context practic.

Hai să descoperim împreună

1. Experimentul bancherului: capitalizăm tot mai des

Reluăm calculul de la început, sistematic. Depunem 1 leu cu dobândă de 100% pe an, dar împărțim anul în $n$ perioade egale. La fiecare perioadă primim a $n$-a parte din dobândă, adică $\frac{100\%}{n}=\frac{1}{n}$, iar suma se înmulțește cu $1+\frac{1}{n}$. Repetând de $n$ ori, la sfârșitul anului avem:

$$S_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.$$

Să calculăm, cu răbdare și cu calculatorul, pentru valori din ce în ce mai mari ale lui $n$:

Verifică singur primele rânduri, sunt calcule pe care le poți face de mână: ${\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=2,25$, iar ${\left(1+\frac{1}{4}\right)}^4={\left(\frac{5}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}=2,44140625$.

Ce observăm? Două lucruri esențiale. Primul: valorile cresc mereu — capitalizarea mai deasă chiar aduce mai mulți bani. Al doilea, cel surprinzător: creșterea se stinge. De la $n=1$ la $n=12$ am câștigat peste 61 de bani; de la $n=10000$ la $n=1000000$ am câștigat mai puțin de o zecime de ban. Șirul urcă, dar se lovește de un plafon invizibil.

2. Plafonul are un nume: numărul e

Acel plafon spre care se înghesuie valorile ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este numărul notat cu litera $e$:

$$e=2,718281828459045\dots$$

Spunem că șirul tinde către $e$ atunci când $n$ crește nemărginit. Nu îl atinge niciodată — pentru orice $n$, oricât de mare, avem ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<e$ — dar se apropie oricât de mult vrem noi. Este exact tipul de comportament pe care îl vei studia riguros, cu instrumentul numit limită, în clasele următoare. Deocamdată ne bazăm pe evidența numerică din tabel, iar aceasta e cât se poate de convingătoare.

Litera $e$ vine de la matematicianul elvețian Leonhard Euler, care a folosit-o sistematic în secolul al XVIII-lea și a calculat primele 18 zecimale ale numărului. Problema însă e mai veche: apăruse la Jacob Bernoulli, tocmai din întrebarea despre dobânda compusă pe care ai citit-o în deschiderea lecției.

3. e este irațional — și de ce contează

Numărul $e$ este irațional: nu poate fi scris ca raport a două numere întregi, deci zecimalele lui nu se termină și nu intră niciodată într-o perioadă. Demonstrația (dată de Euler) depășește nivelul clasei a IX-a, dar concluzia trebuie reținută, pentru că are consecințe practice.

Prima consecință: scriind $e=2,718$ facem o aproximare, nu o egalitate. Corect este $e\approx 2,718$. Este exact aceeași situație ca la $\pi \approx 3,14$ sau la $\sqrt{2}\approx 1,41$.

A doua consecință, mai amuzantă: începutul zecimalelor, $2,718281828$, pare că se repetă — grupul „1828" apare de două ori la rând. Este o coincidență care i-a păcălit pe mulți. Continuarea, $2,7182818284590\dots$, distruge iluzia: nicio periodicitate. Mnemotehnic, mulți elevi memorează „2,7 — 1828 — 1828" (anul nașterii lui Lev Tolstoi, repetat) și se opresc acolo, conștienți că e doar o poartă de intrare în șirul infinit.

Pentru orice calcul din clasa a IX-a îți ajung trei zecimale: $e\approx 2,718$. Calculatorul de buzunar are, de regulă, o tastă dedicată — fie scrisă direct $e$, fie obținută ca $e^1$ cu tasta $e^x$.

4. O a doua cale către e: suma inverselor factorialelor

Șirul ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este onest, dar lent: îți trebuie un milion de termeni ca să obții cinci zecimale corecte. Există o rețetă mult mai rapidă, pe care merită să o vezi, chiar dacă o vei justifica abia la analiză matematică:

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots$$

unde $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ este factorialul. Adunând termenii pe rând, obținem:

Cu doar opt termeni am prins deja patru zecimale corecte. Motivul este simplu de intuit: factorialele cresc monstruos ($7!=5040$, $10!=3628800$), deci termenii adunați devin rapid neglijabili.

5. Funcția exponențială naturală f(x) = e^x

Odată ce avem numărul $e$, îl putem folosi drept bază pentru o funcție exponențială. Cum $e\approx 2,718$ satisface condițiile $e>0$ și $e\ne 1$, definiția din lecția despre funcția exponențială se aplică fără modificări:

Definiție. Funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=e^x$, se numește funcția exponențială naturală (sau, pe scurt, „exponențiala").

Proprietățile ei se citesc direct din faptul că baza este supraunitară, $e>1$:

• Domeniul de definiție este $\mathbb{R}$: poți ridica $e$ la orice putere reală, pozitivă, negativă sau nulă.
• Mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$: $e^x$ este strict pozitiv pentru orice $x$, oricât de mic ar fi $x$. Nu există niciun $x$ real cu $e^x=0$ sau $e^x<0$.
• Trece prin punctul $(0,1)$, pentru că $e^0=1$ — regula „orice număr nenul la puterea zero dă 1".
• Trece prin punctul $(1,e)$, adică $(1;2,718\dots )$.
• Este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$: dacă $x_1<x_2$, atunci $e^{x_1}<e^{x_2}$.
• Graficul are axa Ox drept asimptotă spre stânga: pentru $x$ tot mai negativ, valorile se lipesc de $0$ fără să îl atingă.

Tabelul de valori (rotunjite la trei zecimale) arată așa:

Citește tabelul de la stânga la dreapta: valorile pornesc practic lipite de zero, trec prin 1 exact la $x=0$ și apoi urcă abrupt. La $x=3$ funcția a depășit deja 20; la $x=10$ ajunge la peste 22 000. Aceasta este semnătura creșterii exponențiale.

6. Cum arată e^x față de 2^x și 3^x

Toate funcțiile exponențiale cu baza supraunitară se aseamănă: pornesc lipite de axa Ox, trec prin $(0,1)$ și explodează spre dreapta. Diferența o face cât de repede urcă. Cum $2<e<3$, graficul lui $e^x$ se așază exact între celelalte două:

• pentru $x>0$: $2^x<e^x<3^x$. La $x=2$: $4<7,389<9$.
• pentru $x<0$: ordinea se inversează: $2^x>e^x>3^x$. La $x=-2$: $0,25>0,135>0,111$.
• la $x=0$ toate trei valorează $1$ — cele trei grafice se întâlnesc în același punct.

Inversarea de la $x<0$ nu e o capcană, ci o consecință logică: pentru exponent negativ, $a^{-k}=\frac{1}{a^k}$, iar o bază mai mare dă un numitor mai mare, deci o fracție mai mică.

7. De ce tocmai e? Creșterea continuă

Rămâne întrebarea cea mai importantă: dacă $2^x$ e mai comod de calculat, de ce se chinuie toată lumea cu $2,718\dots$? Răspunsul stă în felul în care se petrec lucrurile în natură și în economie: fără pauze.

O sumă de bani cu dobândă capitalizată în fiecare clipă, o populație de bacterii care se împart continuu, o substanță radioactivă care se dezintegrează neîntrerupt, o cană de ceai care se răcește secundă de secundă — toate aceste procese nu așteaptă sfârșitul lunii ca să se actualizeze. Iar când treci de la „din când în când" la „continuu", formula cu care lucrezi devine automat una cu baza $e$.

Un exemplu concret. Depui 1000 de lei cu 5% pe an și compari:

Observă cât de aproape sunt ultimele două rânduri: capitalizarea zilnică e practic identică cu cea continuă. Formula $1000\cdot e^{0,05}$ este însă mult mai simplu de scris și de folosit decât $1000\cdot {\left(1+\frac{0,05}{365}\right)}^{365}$. Aceasta este toată magia: $e$ nu e complicat, $e$ e comod.

În modelele reale vei întâlni funcții de forma $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$, unde $N_0$ este cantitatea inițială, iar $k$ arată viteza procesului: $k>0$ înseamnă creștere (bacterii, capital, populație), $k<0$ înseamnă descreștere (dezintegrare radioactivă, răcirea unui corp, medicamentul eliminat din sânge).

8. Ce nu facem acum

Fii atent la o delimitare importantă. În această lecție citim funcția exponențială: o evaluăm, îi desenăm graficul, îi comparăm valorile, rezolvăm aproximativ ecuații de forma $e^x=m$ uitându-ne la grafic. Rezolvarea algebrică, exactă, a ecuațiilor exponențiale — cu proprietățile puterilor și cu logaritmi — este materie de clasa a X-a. Ceea ce vine imediat, în lecțiile următoare, este întrebarea inversă: „la ce putere trebuie ridicat $e$ ca să obțin numărul $m$?" Răspunsul se numește logaritm, iar când baza este chiar $e$ îi spunem logaritm natural — subiectul lecției despre logaritm natural și logaritm zecimal.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculăm termenii șirului lui Bernoulli

Calculați ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ pentru $n=2$, $n=3$ și $n=4$, apoi comparați rezultatele cu $e$.

Rezolvare. Scriem fiecare paranteză ca fracție și ridicăm la putere:

• $n=2$: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=2,25$;
• $n=3$: ${\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}\approx 2,3704$;
• $n=4$: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}=2,44140625$.

Valorile cresc: $2,25<2,3704<2,4414$, dar toate rămân sub $e\approx 2,7183$. ✓

Exemplul 2 — Valori ale funcției exponențiale naturale

Calculați, cu calculatorul, rotunjind la trei zecimale: $e^2$, $e^{-1}$, $e^{0,5}$ și $e^{1,5}$.

Rezolvare. Folosim tasta $e^x$ (adesea scrisă deasupra tastei „ln"):

$$e^2\approx 7,389,e^{-1}\approx 0,368,e^{0,5}\approx 1,649,e^{1,5}\approx 4,482.$$

Verificare de bun-simț, fără calculator: $e^2$ trebuie să fie între $2^2=4$ și $3^2=9$ — și chiar este. Iar $e^{-1}=\frac{1}{e}\approx \frac{1}{2,718}$, adică puțin peste $0,36$. ✓

Exemplul 3 — Ordonăm valori fără calculator

Ordonați crescător numerele $e^{-2}$, $e^0$, $e^{1/2}$, $e^3$, fără să calculați efectiv.

Rezolvare. Funcția $f(x)=e^x$ este strict crescătoare, deci ordinea valorilor este exact ordinea exponenților. Cum

$$-2<0<\frac{1}{2}<3,$$

rezultă imediat

$$e^{-2}<e^0<e^{1/2}<e^3.$$

Reține procedeul: la o bază supraunitară, comparația exponenților decide totul. ✓

Exemplul 4 — Lectură grafică a unei ecuații

Folosind graficul funcției $f(x)=e^x$, aproximați soluția ecuației $e^x=5$.

Rezolvare. Intersectăm graficul cu dreapta orizontală $y=5$. Din tabelul de valori știm că $e^1\approx 2,72$ (prea mic) și $e^2\approx 7,39$ (prea mare), deci soluția e între 1 și 2. Rafinăm: $e^{1,5}\approx 4,48$ — încă prea mic; $e^{1,7}\approx 5,47$ — prea mare. Deci soluția e între $1,5$ și $1,7$, mai aproape de $1,6$: valoarea exactă, pe care o vei numi peste două lecții logaritm natural al lui 5, este $\approx 1,609$.

Observă și un detaliu structural: dreapta $y=5$ taie graficul într-un singur punct, pentru că funcția e strict crescătoare. Deci ecuația are exact o soluție. ✓

Exemplul 5 — Un model de descreștere

O probă radioactivă are inițial 100 de grame, iar masa rămasă după $t$ ore este $A(t)=100\cdot e^{-0,2t}$. Calculați masa după 5 ore și după 10 ore.

Rezolvare. Înlocuim direct:

$$A(5)=100\cdot e^{-0,2\cdot 5}=100\cdot e^{-1}\approx 100\cdot 0,3679=36,79\text{ g};$$ $$A(10)=100\cdot e^{-2}\approx 100\cdot 0,1353=13,53\text{ g}.$$

Interpretare: în primele 5 ore proba pierde aproape două treimi din masă, iar în următoarele 5 ore pierde iar cam două treimi din ce mai rămăsese. Exponentul negativ produce o descreștere care încetinește, dar nu se oprește niciodată — masa se apropie de zero fără să îl atingă, exact ca graficul care se lipește de asimptotă. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$. a) Calculați $f(0)+f(-1)\cdot e$. b) Arătați că $f(x)>0$ pentru orice $x$ real. c) Determinați, folosind graficul, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=3$ și încadrați soluția între două numere întregi consecutive.

Rezolvare. a) $f(0)=e^0=1$ și $f(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}$, deci

$$f(0)+f(-1)\cdot e=1+\frac{1}{e}\cdot e=1+1=2.$$

b) Baza $e$ este strict pozitivă, iar o putere cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitivă, indiferent de exponent. Prin urmare $e^x>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$; mulțimea valorilor funcției este $(0,+\infty )$.

c) Graficul lui $f$ este strict crescător, deci orice dreaptă orizontală $y=m$ cu $m>0$ îl taie în exact un punct: ecuația $f(x)=3$ are o singură soluție. Cum $f(1)=e\approx 2,718<3$ și $f(2)\approx 7,389>3$, soluția se află între $1$ și $2$. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La calculele cu calculatorul, rotunjește la trei zecimale și scrie semnul $\approx$, nu $=$.

1. Calculează ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ pentru $n=1$, $n=2$ și $n=4$. Ordonează crescător rezultatele și compară-le cu $e$.

2. Calculează ${\left(\frac{4}{3}\right)}^3$ ca fracție ireductibilă și ca număr zecimal cu patru zecimale. Cărui $n$ îi corespunde această valoare în tabelul lui Bernoulli?

3. Între ce două numere întregi consecutive se află numărul $e$? Justifică folosind un termen din tabel și faptul că șirul este crescător.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $e$ este rațional, pentru că îl putem scrie $e=2,718$."

5. Calculează cu calculatorul, rotunjind la trei zecimale: $e^3$, $e^{-2}$, $e^{0,5}$, $e^{-0,5}$.

6. Ordonează crescător, fără calculator: $e^{-3}$, $e^{1,5}$, $e^0$, $e^{-0,5}$, $e^2$. Explică pe ce proprietate te-ai bazat.

7. Determină $f(0)$, $f(1)$ și $f(-1)$ pentru $f(x)=e^x$ și precizează coordonatele a trei puncte de pe graficul funcției.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul funcției $f(x)=e^x$ intersectează axa $Ox$."

9. Compară $2^x$, $e^x$ și $3^x$ pentru $x=2$ și pentru $x=-2$. Ce observi despre ordinea lor în cele două cazuri?

10. Adună primii cinci termeni ai sumei $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}$ și calculează cu cât diferă rezultatul de $e\approx 2,718282$.

11. Folosind tabelul de valori din lecție, aproximează soluția ecuației $e^x=2$. Între ce două numere din tabel se află?

12. (Problemă aplicată.) Depui 1000 de lei cu dobândă de 5% pe an. Calculează suma după un an în trei situații: capitalizare anuală, capitalizare lunară $\left(1000\cdot {\left(1+\frac{0,05}{12}\right)}^{12}\right)$ și capitalizare continuă $\left(1000\cdot e^{0,05}\right)$. Comentează diferențele.

13. (Problemă aplicată.) O cultură de bacterii are $N(t)=500\cdot e^{0,4t}$ indivizi după $t$ ore. Câte bacterii sunt la momentul inițial? Dar după 3 ore?

14. (Problemă aplicată.) O cană cu ceai se răcește după legea $T(t)=20+60\cdot e^{-0,05t}$, unde $T$ e temperatura în grade Celsius, iar $t$ timpul în minute. Ce temperatură are ceaiul la început? Dar după 20 de minute? Spre ce valoare se apropie temperatura după foarte mult timp?

15. Explică, în două-trei fraze, de ce suma din experimentul bancherului nu depășește 3 lei, oricât de des am capitaliza dobânda.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$. a) Calculați $f(1)\cdot f(-1)$. b) Arătați că funcția este strict crescătoare. c) Determinați numărul soluțiilor ecuației $f(x)=-2$, justificând răspunsul.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^x-1$. a) Calculați $g(0)$. b) Precizați mulțimea valorilor funcției $g$. c) Determinați semnul lui $g(x)$ în funcție de $x$, citind graficul lui $e^x$ față de dreapta $y=1$.

18. (Provocare.) Calculează ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ pentru $n=1$, $n=2$, $n=4$ și $n=1000$. Ce observi comparativ cu ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$? Scrie o încadrare a lui $e$ folosind valorile obținute pentru $n=1000$.

Răspunsuri și explicații

1. ${\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1=2$; ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=2,25$; ${\left(\frac{5}{4}\right)}^4=2,44140625$. Ordinea crescătoare: $2<2,25<2,4414$. Toate sunt mai mici decât $e\approx 2,7183$ — șirul urcă spre $e$ fără să îl atingă.

2. ${\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}\approx 2,3704$. Corespunde lui $n=3$, pentru că $1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.

3. Numărul $e$ se află între $2$ și $3$. Justificare: șirul este crescător și pornește de la ${\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1=2$, deci $e>2$; iar toate valorile calculate ($2,25$; $2,6130$; $2,7169$; $2,71828$) rămân sub $3$, deci $e<3$.

4. Fals. $e$ este irațional: zecimalele lui nu se termină și nu se repetă periodic, deci nu poate fi scris ca raport de numere întregi. Scrierea $2,718$ este doar o aproximare cu trei zecimale; corect notăm $e\approx 2,718$.

5. $e^3\approx 20,086$; $e^{-2}\approx 0,135$; $e^{0,5}\approx 1,649$; $e^{-0,5}\approx 0,607$.

6. Ordinea exponenților este $-3<-0,5<0<1,5<2$, deci $e^{-3}<e^{-0,5}<e^0<e^{1,5}<e^2$. Proprietatea folosită: funcția $e^x$ este strict crescătoare, fiindcă baza $e>1$.

7. $f(0)=1$, $f(1)=e\approx 2,718$, $f(-1)=\frac{1}{e}\approx 0,368$. Punctele de pe grafic: $(0,1)$, $(1;2,718)$ și $(-1;0,368)$.

8. Fals. $e^x>0$ pentru orice $x$ real, deci graficul nu atinge niciodată dreapta $y=0$. Axa $Ox$ este asimptotă spre stânga: graficul se apropie oricât de mult de ea, dar nu o taie.

9. La $x=2$: $2^2=4$, $e^2\approx 7,389$, $3^2=9$, deci $2^x<e^x<3^x$. La $x=-2$: $2^{-2}=0,25$, $e^{-2}\approx 0,135$, $3^{-2}\approx 0,111$, deci $2^x>e^x>3^x$. Ordinea se inversează la trecerea prin $x=0$, unde toate trei valorează 1, pentru că la exponent negativ o bază mai mare produce o fracție mai mică.

10. $1+1+0,5+0,1\overline{6}+0,041\overline{6}=2,708\overline{3}$. Diferența față de $e$: $2,718282-2,708333\approx 0,00995$, adică sub o sutime — remarcabil de puțin pentru doar cinci termeni adunați. (Prima zecimală, 7, este deja corectă; a doua se fixează la termenul următor, când suma devine $2,7166\dots$)

11. Din tabel: $e^{0,5}\approx 1,649<2$ și $e^1\approx 2,718>2$, deci soluția se află între $0,5$ și $1$. (Valoarea exactă, logaritmul natural al lui 2, este $\approx 0,693$.)

12. Capitalizare anuală: $1000\cdot 1,05=1050$ lei. Lunară: $1000\cdot {\left(1+\frac{0,05}{12}\right)}^{12}\approx 1051,16$ lei. Continuă: $1000\cdot e^{0,05}\approx 1051,27$ lei. Diferența totală este de numai 1 leu și 27 de bani: capitalizarea mai deasă aduce ceva în plus, dar câștigul se plafonează repede — exact fenomenul care produce numărul $e$.

13. La momentul inițial: $N(0)=500\cdot e^0=500$ bacterii. După 3 ore: $N(3)=500\cdot e^{1,2}\approx 500\cdot 3,320\approx 1660$ bacterii. Populația s-a mai mult decât triplat în trei ore.

14. La început: $T(0)=20+60\cdot e^0=20+60=80$ °C. După 20 de minute: $T(20)=20+60\cdot e^{-1}\approx 20+22,07=42,07$ °C. După foarte mult timp, $e^{-0,05t}$ se apropie de 0, deci temperatura tinde spre 20 °C — temperatura camerei. Ceaiul nu coboară niciodată sub ea.

15. Pentru că mărunțirea dobânzii aduce un câștig care se micșorează la fiecare pas: fiecare fracțiune de dobândă e mai mică și lucrează pe o durată mai scurtă. Valorile ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ formează un șir crescător, dar mărginit superior, iar plafonul lui este $e\approx 2,718<3$.

16. a) $f(1)\cdot f(-1)=e\cdot \frac{1}{e}=1$. b) Fie $x_1<x_2$. Baza fiind supraunitară ($e>1$), o putere cu exponent mai mare este mai mare, deci $e^{x_1}<e^{x_2}$: funcția este strict crescătoare. c) Ecuația $f(x)=-2$ nu are nicio soluție, pentru că $e^x>0$ pentru orice $x$, iar $-2<0$. Grafic: dreapta $y=-2$ trece pe sub grafic și nu îl atinge niciodată.

17. a) $g(0)=e^0-1=1-1=0$. b) Cum $e^x$ parcurge tot intervalul $(0,+\infty )$, scăzând 1 obținem $\mathrm{Im}g=(-1,+\infty )$. c) $g(x)>0⟺e^x>1⟺x>0$ (graficul lui $e^x$ este deasupra dreptei $y=1$ la dreapta lui $0$); $g(x)=0$ pentru $x=0$; $g(x)<0$ pentru $x<0$.

18. $n=1$: $2^2=4$. $n=2$: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^3=3,375$. $n=4$: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^5\approx 3,0518$. $n=1000$: $(1,001{)}^{1001}\approx 2,7196$. Observație: aceste valori descresc spre $e$, în timp ce ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ cresc spre $e$ — cele două șiruri strâng numărul $e$ ca într-un clește. Încadrarea pentru $n=1000$: $2,7169<e<2,7197$, ceea ce confirmă $e\approx 2,718$.

De reținut

• Numărul $e$ apare ca plafon al valorilor ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ atunci când $n$ crește nemărginit: $e=2,718281828\dots$, adică $e\approx 2,718$.
• $e$ este irațional: se scrie doar aproximativ, cu semnul $\approx$, niciodată ca fracție de numere întregi.
• Funcția exponențială naturală $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=e^x$, are domeniul $\mathbb{R}$, valorile în $(0,+\infty )$, trece prin $(0,1)$ și $(1,e)$ și este strict crescătoare, pentru că $e>1$.
• Graficul lui $e^x$ are axa $Ox$ ca asimptotă spre stânga și urcă abrupt spre dreapta; se așază între graficele lui $2^x$ și $3^x$.
• Baza $e$ este alegerea naturală pentru procesele care se desfășoară continuu: dobândă cu capitalizare continuă, creșteri de populații, dezintegrare radioactivă, răcirea unui corp — modele de forma $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$.

Greșeli frecvente

• „$e=2,718$." Nu, $e\approx 2,718$. Semnul de egal transformă un număr irațional într-unul rațional și e considerat greșeală de fond, nu de formă.
• „Dacă exponentul e negativ, rezultatul e negativ." Fals: $e^{-2}\approx 0,135>0$. Exponentul negativ produce o valoare subunitară, nu una negativă. Funcția exponențială nu ia niciodată valori negative.
• „Șirul ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ crește la infinit, pentru că înmulțim mai des." Crește, dar mărginit: cei doi factori se contrabalansează (baza scade spre 1, exponentul crește), iar rezultatul se plafonează la $e$.
• Confuzia dintre $e^x$ și $x^e$ sau $e\cdot x$. În $e^x$, necunoscuta stă la exponent — de aceea funcția se numește exponențială. Funcția $x^e$ ar fi o funcție putere, cu totul altceva.
• „Graficul atinge axa $Ox$ undeva foarte în stânga." Nu o atinge niciodată. Se apropie oricât de mult, dar $e^x>0$ rămâne valabil pentru orice $x$, oricât de mic.

Aplică acasă

1. Banca ta imaginară. Folosind calculatorul telefonului, completează tabelul lui Bernoulli pentru $n=1,2,4,12,52,365$ și notează câți bani în plus aduce fiecare trecere la o capitalizare mai deasă. Formulează în scris, în două fraze, ce ai descoperit despre „câștigul suplimentar".

2. Graficul pe ecran. Deschide GeoGebra sau Desmos și trasează în același reper $y=2^x$, $y=e^x$ și $y=3^x$. Plimbă o dreaptă orizontală $y=m$ cu un cursor și citește, pentru $m=2$, $m=5$ și $m=10$, abscisele punctelor de intersecție. Notează-le într-un tabel — vei recunoaște aceste numere la lecția despre logaritmi.

3. Vânătoarea de procese continue. Găsește trei situații din viața ta care se descriu prin creștere sau descreștere continuă (bateria telefonului care se descarcă, cafeaua care se răcește, banii dintr-un depozit, o rană care se vindecă). Pentru fiecare, notează dacă exponentul $k$ din modelul $N_0\cdot e^{kt}$ ar fi pozitiv sau negativ și explică de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce numărul $e$ pe calea cea mai intuitivă din programă — dobânda compusă cu capitalizare tot mai deasă — și îl fixează ca bază privilegiată a funcției exponențiale. Accentul cade pe experiența numerică: elevul trebuie să calculeze el însuși câțiva termeni ai șirului ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ și să constate cu propriii ochi plafonarea. Studiul funcției $e^x$ se face, conform programei de trunchi comun, prin lecturi grafice: domeniu, mulțimea valorilor, monotonie, asimptotă, comparație cu alte baze — fără rezolvarea algebrică a ecuațiilor exponențiale, care este materie de clasa a X-a.

Întrebări bune de control: „De ce nu depășesc banii 3 lei, oricât de des capitalizăm?" (șirul e crescător, dar mărginit de $e$); „Poate $e^x$ să fie negativ?" (nu, niciodată — mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$); „Cum știi că ecuația $e^x=7$ are exact o soluție?" (funcția e strict crescătoare, deci orice orizontală $y=m$ cu $m>0$ o taie o singură dată). Semne că a înțeles: scrie $e\approx 2,718$, nu $e=2,718$; recunoaște că exponent negativ înseamnă valoare subunitară, nu negativă; poate încadra soluția unei ecuații între două numere întregi doar cu tabelul de valori.

La Bacalaureat, funcția exponențială naturală apare frecvent în subiectele de tip „se consideră $f(x)=e^x$": calcule de valori, semnul funcției, monotonie, mulțimea valorilor și, în anii de liceu care urmează, ecuații și derivate. Baza solidă construită acum — mai ales reflexul $e^x>0$ — economisește foarte multe puncte mai târziu.

Întrebări frecvente

Ce este numărul e în matematică? Este un număr irațional, aproximativ egal cu $2,718$, care apare ca valoare-limită a expresiei ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ atunci când $n$ crește nemărginit. Este baza „naturală" pentru toate procesele care se desfășoară continuu și joacă în analiză un rol la fel de important ca $\pi$ în geometrie.

De unde vine numărul e? Din problema dobânzii compuse: dacă depui 1 leu cu 100% dobândă pe an și primești dobânda de $n$ ori pe an, la final ai ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ lei. Mărind $n$, suma crește, dar se oprește sub 2 lei și 72 de bani — exact la $e$.

Cât este numărul e cu zecimale? $e=2,718281828459045\dots$ Zecimalele nu se termină și nu se repetă periodic, pentru că $e$ este irațional. În exerciții folosim de obicei $e\approx 2,718$.

Ce este funcția exponențială naturală? Este funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=e^x$, adică funcția exponențială având ca bază numărul $e$. Are domeniul $\mathbb{R}$, ia numai valori strict pozitive, trece prin punctul $(0,1)$ și este strict crescătoare.

Poate $e^x$ să fie zero sau negativ? Nu, niciodată. Pentru orice $x$ real, $e^x>0$. Pentru $x$ negativ valorile devin subunitare — de exemplu $e^{-3}\approx 0,05$ — și se apropie oricât de mult de zero, dar nu îl ating. De aceea axa $Ox$ este asimptotă a graficului.

De ce se folosește tocmai baza e și nu 2 sau 10? Pentru că procesele reale — dobânda capitalizată continuu, creșterea unei populații, dezintegrarea radioactivă, răcirea unui corp — nu se actualizează din când în când, ci în fiecare clipă. Formula care descrie o astfel de evoluție conține automat baza $e$, ceea ce face scrierea mult mai simplă: $1000\cdot e^{0,05}$ în loc de $1000\cdot {\left(1+\frac{0,05}{365}\right)}^{365}$.

Cum calculez e la o putere cu calculatorul? Cauți tasta marcată $e^x$ (de obicei deasupra tastei „ln", accesibilă cu Shift sau 2nd). Introduci exponentul și apeși. Pentru $e$ însuși folosești $e^1$. Verifică întotdeauna rezultatul cu bun-simț: $e^2$ trebuie să iasă între 4 și 9, pentru că $2<e<3$.

Care e diferența dintre $2^x$ și $e^x$? Ambele sunt funcții exponențiale cu bază supraunitară, deci au aceeași formă de grafic și trec prin $(0,1)$. Cum $2<e$, funcția $e^x$ crește mai repede la dreapta lui zero și scade mai repede spre zero la stânga. Practic, graficul lui $e^x$ se așază între cel al lui $2^x$ și cel al lui $3^x$.