Distanța dintre două puncte în plan

Deschizi o hartă digitală și cauți traseul de acasă până la școală. Aplicația îți spune „1,4 km pe jos", dar afișează și un număr mai mic, „distanța în linie dreaptă: 1 km". Primul număr ține cont de străzi, de sensuri unice și de trecerile de pietoni. Al doilea este pur matematic: lungimea segmentului care unește cele două puncte, ca și cum ai putea zbura peste clădiri. Aplicația nu măsoară nimic cu ruleta — are doar două perechi de coordonate și o formulă.

Formula aceea este subiectul lecției de azi și, spre deosebire de multe altele din matematică, o poți deduce singur în trei rânduri. Ai deja tot ce îți trebuie: reperul cartezian, în care fiecare punct are o adresă numerică, și teorema lui Pitagora, învățată în gimnaziu. Ideea genială e că orice două puncte din plan, oricât de ciudat ar fi așezate, sunt automat capetele ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ascuns — trebuie doar să-l vezi. De aici încolo, distanțele nu se mai măsoară, se calculează.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi distanța dintre două puncte situate pe aceeași orizontală sau pe aceeași verticală, folosind modulul diferenței coordonatelor.
• Vei ști să deduci formula generală a distanței din teorema lui Pitagora, nu doar să o memorezi.
• Vei ști să aplici formula $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ pentru orice două puncte, inclusiv cu coordonate negative.
• Vei ști să lași rezultatul în formă exactă, cu radicalul simplificat, și să estimezi valoarea zecimală când problema o cere.
• Vei ști să folosești distanțele pentru a verifica proprietăți ale unei figuri: laturi egale, triunghi isoscel, natura unui triunghi.
• Vei ști să determini un punct necunoscut dintr-o condiție de distanță — de exemplu un punct de pe o axă egal depărtat de două puncte date.

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de plecare: distanța pe o axă

Pe axa numerelor, distanța dintre două puncte este un lucru pe care îl știi din clasa a VI-a: modulul diferenței. Dacă pe axă avem punctele de abscise $-3$ și $5$, distanța dintre ele este $|5-(-3)|=8$, iar dacă le luăm în ordine inversă, $|-3-5|=|-8|=8$ — același rezultat. Modulul e cel care ne scapă de grija ordinii: distanța nu are semn și nu are direcție, e o lungime.

Reține această observație, pentru că e sămânța întregii lecții:

$$d(A,B)=|x_B-x_A|\text{pe o axa˘}.$$

În plan avem însă două direcții de mișcare, nu una. Un punct nu mai e descris de un singur număr, ci de o pereche, așa cum ai văzut în lecția despre coordonatele unui punct din plan. Ne trebuie deci o formulă care să combine cele două „deplasări".

2. Două cazuri ușoare: orizontal și vertical

Începem cu situațiile în care nu avem nimic de combinat, pentru că una dintre deplasări lipsește.

Cazul orizontal. Dacă punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ au aceeași ordonată ($y_A=y_B$), segmentul $AB$ este paralel cu axa $Ox$ (sau chiar pe ea). Toată diferența dintre puncte stă în abscise, deci:

$$AB=|x_B-x_A|.$$

De exemplu, pentru $A(-4,3)$ și $B(7,3)$: $AB=|7-(-4)|=11$.

Cazul vertical. Dacă punctele au aceeași abscisă ($x_A=x_B$), segmentul este paralel cu axa $Oy$, iar:

$$AB=|y_B-y_A|.$$

Pentru $C(2,-3)$ și $D(2,5)$: $CD=|5-(-3)|=8$.

Aceste două cazuri nu sunt „excepții" de la formula generală, ci exemple particulare ale ei — vom verifica asta imediat ce o obținem.

3. Cazul general: triunghiul dreptunghic ascuns

Luăm acum două puncte oarecare, $A(1,2)$ și $B(4,6)$, așezate „în diagonală" unul față de celălalt. Segmentul $AB$ nu e nici orizontal, nici vertical, deci niciuna dintre formulele de mai sus nu se aplică direct.

Trucul: construim un al treilea punct, $C$, care are abscisa lui $B$ și ordonata lui $A$ — adică $C(4,2)$. Ce câștigăm? Un triunghi $ABC$ în care:

• segmentul $AC$ este orizontal (ambele puncte au ordonata $2$), cu $AC=|4-1|=3$;
• segmentul $CB$ este vertical (ambele puncte au abscisa $4$), cu $CB=|6-2|=4$;
• unghiul din $C$ este drept, pentru că o dreaptă paralelă cu $Ox$ și una paralelă cu $Oy$ sunt perpendiculare (axele reperului sunt perpendiculare prin definiție).

Triunghiul $ABC$ este deci dreptunghic în $C$, cu catetele $3$ și $4$, iar $AB$ este ipotenuza. Teorema lui Pitagora dă:

$$A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2=3^2+4^2=9+16=25\Rightarrow AB=5.$$

Observă că punctul $C$ nu a apărut din senin: el este colțul „scării" pe care o urci mergând întâi la dreapta și apoi în sus. Am fi putut alege la fel de bine celălalt colț, $C^{\prime }(1,6)$ — triunghiul iese simetric, cu aceleași catete, deci același rezultat.

4. Formula distanței

Repetăm raționamentul cu litere în loc de cifre și obținem formula generală.

Teoremă (distanța dintre două puncte). Dacă $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ sunt două puncte din planul raportat la un reper cartezian, atunci:

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$$

Demonstrație. Considerăm punctul $C(x_B,y_A)$. Segmentul $AC$ are ordonatele egale, deci $AC=|x_B-x_A|$; segmentul $CB$ are abscisele egale, deci $CB=|y_B-y_A|$. Cum $AC\parallel Ox$ și $CB\parallel Oy$, iar axele sunt perpendiculare, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$. Din teorema lui Pitagora:

$$A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2=|x_B-x_A{|}^2+|y_B-y_A{|}^2=(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2.$$

(La ultimul pas am folosit că $|t{|}^2=t^2$ pentru orice număr real $t$ — modulul dispare la ridicarea la pătrat.) Cum $AB$ este o lungime, deci un număr nenegativ, extragem radicalul aritmetic și obținem formula anunțată. Dacă $A$ și $B$ coincid sau sunt pe aceeași orizontală ori verticală, triunghiul degenerează, dar formula rămâne valabilă: unul dintre termenii de sub radical devine $0$ și regăsim exact cazurile de la punctul 2. $■$

Merită să observi de ce ordinea punctelor nu contează: $(x_B-x_A{)}^2=(x_A-x_B{)}^2$, pentru că numerele opuse au același pătrat. Poți scădea în ce ordine vrei, atâta timp cât ridici la pătrat.

5. Ce se citește din formulă

Formula nu e doar un instrument de calcul; ea conține trei proprietăți fundamentale ale distanței, pe care le folosim mereu în raționamente:

1. Distanța este nenegativă: sub radical avem o sumă de pătrate, deci $AB\ge 0$ mereu.
2. Distanța este zero doar pentru puncte care coincid: $AB=0$ înseamnă $(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2=0$; o sumă de două pătrate e nulă doar dacă ambele sunt nule, deci $x_A=x_B$ și $y_A=y_B$, adică $A=B$.
3. Distanța este simetrică: $AB=BA$, din motivul explicat mai sus.

Un caz particular folosit foarte des: distanța de la origine. Dacă $O(0,0)$ și $P(x,y)$, formula se simplifică imediat:

$$OP=\sqrt{x^2+y^2}.$$

De exemplu, punctul $P(-8,15)$ se află la distanța $\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ de origine — semnul minus dispare la ridicarea la pătrat, cum era de așteptat: originea nu „știe" în ce cadran stai, doar cât de departe ești.

6. Rezultate exacte și rezultate aproximative

În exercițiile școlare, numerele sunt de obicei alese astfel încât suma de sub radical să fie pătrat perfect și distanța să iasă întreagă (aceste perechi de catete — $3$ și $4$, $6$ și $8$, $5$ și $12$, $8$ și $15$ — se numesc triplete pitagoreice). Dar nu e o regulă: de multe ori rezultatul este irațional și atunci se lasă în formă exactă, cu radicalul simplificat.

De pildă, pentru $A(-1,-2)$ și $B(3,6)$:

$$AB=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(6-(-2){)}^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}.$$

Răspunsul corect este $4\sqrt{5}$, nu „$8,94$". Valoarea zecimală se dă doar dacă problema o cere explicit (de exemplu într-o aplicație practică, unde vrei metri, nu radicali) și atunci se precizează aproximarea: $AB\approx 8,94$.

7. Distanța ca instrument de verificare

Puterea reală a formulei nu stă în calculul unei lungimi izolate, ci în ceea ce poți decide cu ajutorul ei. Dacă ai coordonatele vârfurilor unei figuri, poți calcula toate laturile și apoi să răspunzi la întrebări de geometrie fără să măsori nimic:

• triunghi isoscel? — două laturi trebuie să iasă egale;
• triunghi echilateral? — toate trei egale;
• triunghi dreptunghic? — pătratul celei mai lungi laturi să fie egal cu suma pătratelor celorlalte două (reciproca teoremei lui Pitagora);
• patrulater cu laturi egale? — cele patru distanțe consecutive să fie egale.

Un sfat de calcul pe care îl vei binecuvânta la examen: pentru comparații, lucrează cu pătratele distanțelor, nu cu distanțele. Dacă vrei să arăți că $AB=AC$, e mai comod (și fără radicali) să arăți că $A{B}^2=A{C}^2$ — fiind lungimi nenegative, egalitatea pătratelor este echivalentă cu egalitatea lor. Această idee se dezvoltă sistematic în lecția despre figuri în reperul cartezian, iar împreună cu coordonatele mijlocului unui segment îți dă practic tot arsenalul de verificări din geometria analitică de clasa a IX-a.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a formulei

Calculați distanța dintre punctele $A(1,2)$ și $B(4,6)$.

Rezolvare. Scădem coordonatele de același fel, ridicăm la pătrat și adunăm:

$$AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Deci $AB=5$. (Recunoști tripletul $3,4,5$ din triunghiul dreptunghic al lecției.) $■$

Exemplul 2 — Segmente paralele cu axele

Calculați $AB$ pentru $A(-4,3)$, $B(7,3)$ și $CD$ pentru $C(2,-3)$, $D(2,5)$.

Rezolvare. Punctele $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci segmentul e orizontal:

$$AB=\sqrt{(7+4{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{121+0}=11.$$

Punctele $C$ și $D$ au aceeași abscisă, deci segmentul e vertical:

$$CD=\sqrt{(2-2{)}^2+(5+3{)}^2}=\sqrt{0+64}=8.$$

În ambele cazuri puteam scrie direct modulul diferenței: $|7-(-4)|=11$ și $|5-(-3)|=8$. Formula generală „știe" singură să se reducă la cazul simplu. $■$

Exemplul 3 — Coordonate negative și radical de simplificat

Calculați distanța dintre $A(-1,-2)$ și $B(3,6)$.

Rezolvare. Atenție la scăderea numerelor negative — scădem, nu adunăm la întâmplare:

$$x_B-x_A=3-(-1)=4,y_B-y_A=6-(-2)=8.$$

$$AB=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}.$$

Simplificăm radicalul scoțând cel mai mare pătrat perfect din $80$: $80=16\cdot 5$, deci $AB=4\sqrt{5}\approx 8,94$. Forma exactă a răspunsului este $4\sqrt{5}$. $■$

Exemplul 4 — Distanța de la origine

Aflați distanța de la origine la punctul $P(-8,15)$.

Rezolvare. Cu $O(0,0)$, formula devine $OP=\sqrt{x^2+y^2}$:

$$OP=\sqrt{(-8{)}^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17.$$

Punctul stă în cadranul al doilea (abscisă negativă, ordonată pozitivă), dar distanța este pozitivă — cadranul influențează direcția, nu depărtarea. $■$

Exemplul 5 — O coordonată necunoscută

Se dau punctele $A(2,1)$ și $B(6,y)$. Determinați valorile lui $y$ pentru care $AB=5$.

Rezolvare. Punem condiția în formulă și ridicăm ambii membri la pătrat (ambii sunt nenegativi, deci ecuațiile sunt echivalente):

$$(6-2{)}^2+(y-1{)}^2=25\Rightarrow 16+(y-1{)}^2=25\Rightarrow (y-1{)}^2=9.$$

De aici $y-1=3$ sau $y-1=-3$, adică $y=4$ sau $y=-2$.

Verificare: $B(6,4)$ dă $\sqrt{16+9}=5$ ✓, iar $B(6,-2)$ dă $\sqrt{16+9}=5$ ✓. Două soluții — firesc, pentru că sunt două puncte pe verticala $x=6$ aflate la distanța $5$ de $A$, unul deasupra și unul dedesubtul lui $A$. Când o problemă de distanțe are $(\cdot {)}^2=k$ cu $k>0$, așteaptă-te aproape mereu la două răspunsuri. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat: punct egal depărtat, situat pe o axă

Se consideră punctele $A(1,2)$ și $B(5,6)$. Determinați coordonatele punctului $M$ situat pe axa $Ox$, egal depărtat de $A$ și de $B$.

Rezolvare. Un punct de pe axa $Ox$ are ordonata $0$, deci îl scriem $M(x,0)$ — o singură necunoscută. Condiția $MA=MB$ o traducem prin pătrate, ca să scăpăm de radicali:

$$M{A}^2=M{B}^2⟺(x-1{)}^2+(0-2{)}^2=(x-5{)}^2+(0-6{)}^2.$$

Desfacem pătratele:

$$x^2-2x+1+4=x^2-10x+25+36.$$

Termenii $x^2$ se reduc — acesta e mecanismul care face ecuația de gradul întâi:

$$-2x+5=-10x+61\Rightarrow 8x=56\Rightarrow x=7.$$

Deci $M(7,0)$. Verificare: $MA=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ și $MB=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ ✓ — distanțele coincid, deși niciuna nu e „rotundă". $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată explicit diferențele $x_B-x_A$ și $y_B-y_A$ înainte de a le ridica la pătrat — acolo se pierd cele mai multe puncte, la semne. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă, cu radicalul simplificat.

1. Calculează distanța dintre $A(2,1)$ și $B(5,5)$.

2. Calculează distanța dintre $A(-3,2)$ și $B(1,-1)$.

3. Calculează distanța dintre $A(-5,2)$ și $B(7,7)$.

4. Calculează $AB$ pentru $A(2,-3)$ și $B(2,9)$. Ce observi despre poziția segmentului?

5. Calculează $AB$ pentru $A(-6,4)$ și $B(3,4)$, fără să folosești radicalul.

6. Calculează distanța de la origine la punctul $P(-7,24)$.

7. Calculează distanța dintre $A(1,-2)$ și $B(9,4)$.

8. Calculează distanța dintre $A(1,1)$ și $B(4,3)$, lăsând rezultatul în formă exactă.

9. Calculează distanța dintre $A(-2,-3)$ și $B(2,5)$ și simplifică radicalul.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două puncte au aceeași ordonată, distanța dintre ele este $|x_B-x_A|$."

11. Determină valorile lui $a$ pentru care punctele $A(1,2)$ și $B(a,6)$ se află la distanța $5$ unul de celălalt.

12. Calculează distanța de la origine la punctul $P(-9,12)$ și arată că este de trei ori mai mare decât distanța de la origine la $Q(-3,4)$.

13. (Problemă aplicată.) Pe planul cartografic al unui oraș, școala se află în punctul $S(2,1)$, iar biblioteca în $B(10,7)$. O unitate pe plan reprezintă $100$ de metri. Câți metri sunt, în linie dreaptă, de la școală la bibliotecă?

14. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(-2,-1)$, $B(4,-1)$, $C(1,3)$ este isoscel și precizează care este baza lui.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră punctele $A(1,3)$ și $B(5,1)$. a) Calculați lungimea segmentului $AB$. b) Determinați coordonatele punctului $C$ situat pe axa $Ox$, egal depărtat de $A$ și de $B$.

16. Determină punctele situate pe axa $Ox$ care se află la distanța $5$ de punctul $A(3,4)$.

17. (Raționament.) Pornind de la formula generală a distanței, demonstrează că dacă $y_A=y_B$, atunci $AB=|x_B-x_A|$. De ce este necesar modulul și nu putem scrie simplu $x_B-x_A$?

18. (Provocare.) Se dau punctele $A(-1,2)$ și $B(5,2)$. Determină toate punctele $C$ pentru care triunghiul $ABC$ este isoscel cu $CA=CB=5$. Câte soluții are problema și de ce?

Răspunsuri și explicații

1. $AB=\sqrt{(5-2{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

2. $AB=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$. Diferența negativă nu deranjează: pătratul o face pozitivă.

3. $AB=\sqrt{(7+5{)}^2+(7-2{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.

4. $AB=\sqrt{0+(9+3{)}^2}=12$. Punctele au aceeași abscisă ($x=2$), deci segmentul este vertical, paralel cu axa $Oy$; distanța e chiar $|9-(-3)|=12$.

5. Punctele au aceeași ordonată ($y=4$), deci segmentul e orizontal și $AB=|3-(-6)|=9$.

6. $OP=\sqrt{(-7{)}^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.

7. $AB=\sqrt{(9-1{)}^2+(4+2{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.

8. $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$. Numărul $13$ nu are factori pătrate perfecte, deci radicalul nu se simplifică: răspunsul rămâne $\sqrt{13}\approx 3,61$.

9. $AB=\sqrt{(2+2{)}^2+(5+3{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$.

10. Adevărat. Dacă $y_A=y_B$, atunci $(y_B-y_A{)}^2=0$ și formula devine $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2}=|x_B-x_A|$, deoarece $\sqrt{t^2}=|t|$ pentru orice număr real $t$.

11. Condiția $AB=5$ se scrie $(a-1{)}^2+(6-2{)}^2=25$, deci $(a-1{)}^2=9$, de unde $a-1=\pm 3$: $a=4$ sau $a=-2$. Ambele verifică: distanțele sunt $\sqrt{9+16}=5$.

12. $OP=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ și $OQ=\sqrt{9+16}=5$, deci $OP=3\cdot OQ$. Explicația: coordonatele lui $P$ sunt exact triplul celor ale lui $Q$, iar la triplarea ambelor coordonate suma de sub radical se înmulțește cu $9$, deci radicalul se înmulțește cu $3$.

13. $SB=\sqrt{(10-2{)}^2+(7-1{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unități. Cum o unitate înseamnă $100$ de metri, distanța în linie dreaptă este $10\cdot 100=1000$ de metri, adică $1$ km. (Pe jos vei merge mai mult — străzile nu sunt segmente.)

14. $AB=\sqrt{(4+2{)}^2+0}=6$; $BC=\sqrt{(1-4{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$; $CA=\sqrt{(-2-1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Cum $BC=CA=5$, triunghiul este isoscel, cu baza $AB=6$ (latura diferită) și vârful în $C$.

15. a) $AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. b) Punctul căutat are forma $C(x,0)$, iar condiția $C{A}^2=C{B}^2$ dă $(x-1{)}^2+9=(x-5{)}^2+1$, adică $x^2-2x+10=x^2-10x+26$, deci $8x=16$ și $x=2$. Așadar $C(2,0)$; verificare: $CA=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ și $CB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ ✓.

16. Un punct de pe $Ox$ are forma $P(x,0)$, iar condiția $PA=5$ devine $(x-3{)}^2+(0-4{)}^2=25$, deci $(x-3{)}^2=9$ și $x-3=\pm 3$: $x=6$ sau $x=0$. Punctele sunt $P_1(6,0)$ și $P_2(0,0)$ — al doilea este chiar originea, ceea ce se verifică imediat: $OA=\sqrt{9+16}=5$.

17. Dacă $y_A=y_B$, termenul $(y_B-y_A{)}^2$ este nul și rămâne $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2}$. Radicalul aritmetic al unui pătrat este modulul bazei, nu baza: $\sqrt{t^2}=|t|$. Modulul e necesar pentru că diferența $x_B-x_A$ poate fi negativă (dacă $B$ e la stânga lui $A$), iar o distanță nu poate fi negativă. Fără modul am obține, pentru $A(5,1)$ și $B(2,1)$, valoarea $-3$ — absurd.

18. Punctele $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci orice punct egal depărtat de ele are abscisa $x=2$ (mijlocul dintre $-1$ și $5$); scriem $C(2,y)$. Din $CA=5$: $(2+1{)}^2+(y-2{)}^2=25$, deci $9+(y-2{)}^2=25$, adică $(y-2{)}^2=16$ și $y-2=\pm 4$. Obținem $C_1(2,6)$ și $C_2(2,-2)$. Problema are două soluții, simetrice față de dreapta care conține segmentul $AB$: una „deasupra" ei și una „dedesubt". Verificare pentru $C_1$: $C_{1}A=\sqrt{9+16}=5$ și $C_{1}B=\sqrt{9+16}=5$ ✓; identic pentru $C_2$.

De reținut

• Formula distanței: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ — se deduce din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele.
• Cazuri particulare: segment orizontal ($y_A=y_B$) $\to AB=|x_B-x_A|$; segment vertical ($x_A=x_B$) $\to AB=|y_B-y_A|$; distanța de la origine $\to OP=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Ordinea punctelor nu contează, pentru că numerele opuse au același pătrat: $AB=BA$.
• Rezultatul se lasă exact, cu radicalul simplificat ($\sqrt{80}=4\sqrt{5}$); valoarea zecimală se dă doar dacă problema o cere.
• Pentru a compara sau a egala distanțe, lucrează cu pătratele lor: $AB=AC\iff A{B}^2=A{C}^2$, iar ecuațiile devin mult mai simple.

Greșeli frecvente

• Adunarea coordonatelor în loc de scădere. Se scrie $\sqrt{(x_A+x_B{)}^2+(y_A+y_B{)}^2}$. Formula cere diferențe — deplasarea pe orizontală și pe verticală, nu suma pozițiilor.
• Amestecarea coordonatelor. Se calculează $(x_B-y_A{)}^2$ sau $(x_B-x_A{)}^2+(y_A-y_B{)}^2$ combinate greșit. Regula: abscisă cu abscisă, ordonată cu ordonată, mereu.
• Semnul la coordonate negative. Pentru $A(-1,-2)$ și $B(3,6)$, diferența este $3-(-1)=4$, nu $3-1=2$. Scrie scăderea cu paranteze, apoi calculează.
• Uitarea radicalului. Se obține $A{B}^2=25$ și se răspunde „$AB=25$". Ultimul pas al formulei este extragerea radicalului: $AB=5$.
• Radical nesimplificat sau înlocuit cu zecimale. $\sqrt{80}$ nu este răspuns final (se scrie $4\sqrt{5}$), iar „$8,94$" nu este răspuns exact. La examen, forma exactă este cea punctată.

Aplică acasă

1. Harta cartierului tău. Desenează pe hârtie milimetrică un caroiaj cu axe și marchează cu coordonate întregi cinci locuri pe care le știi bine: casa, școala, magazinul, parcul, stația de autobuz. Alege o scară (de exemplu $1$ unitate $=100$ m) și calculează distanțele în linie dreaptă între casă și fiecare dintre celelalte patru puncte. Compară-le apoi cu distanțele „pe stradă" date de o aplicație de hărți: cu cât e mai lung drumul real decât linia dreaptă?

2. Ecranul telefonului. Deschide o aplicație de desen și marchează două puncte oarecare. Estimează coordonatele lor în pixeli (multe aplicații le afișează), calculează distanța cu formula și verifică apoi cu unealta de măsurare a aplicației. Ține minte că pe ecran axa verticală e orientată în jos — distanța iese totuși la fel, pentru că diferența se ridică la pătrat.

3. Terenul de sport. Alege terenul de handbal sau de baschet de la școală ca reper: un colț e originea, liniile lungi și scurte sunt axele, iar unitatea e $1$ metru. Notează coordonatele a patru puncte importante (colțuri, centru, punctul de aruncare) și calculează prin formulă distanțele dintre ele. Verifică una singură cu ruleta sau cu pașii măsurați — restul le vei ști fără să te miști din loc.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima formulă propriu-zisă a geometriei analitice din programa de clasa a IX-a și este cea mai folosită dintre toate: pe ea se sprijină calculul perimetrelor, verificarea naturii unui triunghi, recunoașterea patrulaterelor particulare și, mai târziu, orice problemă care combină algebra cu figura. Esențial pentru elev nu este memorarea formulei, ci înțelegerea faptului că ea este teorema lui Pitagora, scrisă cu coordonate: orice două puncte determină un triunghi dreptunghic cu catetele paralele cu axele.

Întrebări bune de control: „De ce apare radicalul în formulă?" (pentru că ea provine din $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2$); „Contează ordinea în care iau punctele?" (nu, diferențele se ridică la pătrat); „Ce se întâmplă cu formula dacă punctele au aceeași ordonată?" (unul dintre termeni se anulează și rămâne modulul diferenței absciselor); „De ce, când căutăm un punct egal depărtat de alte două, obținem o ecuație de gradul întâi?" (termenii $x^2$ se reduc). Semne că a înțeles: scrie diferențele corect la coordonate negative, lasă rezultatul cu radical simplificat, folosește pătratele distanțelor când compară lungimi și verifică singur soluțiile obținute.

La teze și la Bacalaureat, distanța dintre două puncte apare fie ca cerință directă („calculați lungimea segmentului $AB$"), fie ca prim pas într-o problemă mai lungă: se cere perimetrul unui triunghi cu vârfuri date, natura acestuia sau un punct de pe o axă care îndeplinește o condiție metrică. Formulările „arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel" și „determinați punctul de pe axa $Ox$ egal depărtat de $A$ și $B$" sunt cele mai frecvente și merită exersate până devin reflex.

Întrebări frecvente

Care este formula distanței dintre două puncte în plan? Pentru $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$, distanța este $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$: scazi abscisele, scazi ordonatele, ridici ambele diferențe la pătrat, le aduni și extragi radicalul.

De unde vine formula distanței dintre două puncte? Din teorema lui Pitagora. Se construiește punctul $C(x_B,y_A)$, care transformă segmentul $AB$ în ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele paralele cu axele, de lungimi $|x_B-x_A|$ și $|y_B-y_A|$.

Contează ordinea punctelor în formula distanței? Nu. Diferențele se ridică la pătrat, iar numerele opuse au același pătrat, deci $AB=BA$. Poți scădea în ordinea care ți se pare mai comodă, de obicei cea care evită semnele negative.

Cum calculez distanța de la origine la un punct? Înlocuiești $O(0,0)$ în formulă și obții $OP=\sqrt{x^2+y^2}$, unde $x$ și $y$ sunt coordonatele punctului. Semnele lor nu contează, pentru că apar la pătrat.

Cum aflu dacă un triunghi cu vârfuri date prin coordonate este isoscel? Calculezi lungimile celor trei laturi cu formula distanței și compari: dacă exact două ies egale, triunghiul este isoscel; dacă toate trei sunt egale, este echilateral. Pentru comparație e mai comod să folosești pătratele distanțelor.

Ce fac dacă rezultatul distanței iese cu radical? Îl lași în formă exactă, simplificând radicalul: scoți de sub el cel mai mare pătrat perfect, de exemplu $\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$. Valoarea zecimală aproximativă se dă doar dacă problema o cere.

Cum găsesc un punct de pe axa $Ox$ egal depărtat de două puncte date? Îl scrii sub forma $M(x,0)$, pui condiția $M{A}^2=M{B}^2$, desfaci pătratele și reduci termenii $x^2$. Rămâne o ecuație de gradul întâi, cu o singură soluție. Pentru un punct de pe $Oy$ procedezi identic, scriindu-l $M(0,y)$.

Distanța dintre două puncte poate fi negativă sau zero? Negativă niciodată: sub radical stă o sumă de pătrate, iar radicalul aritmetic este nenegativ. Zero poate fi, dar doar într-un singur caz: când cele două puncte coincid, adică au și abscisele, și ordonatele egale.