Coordonate în situații practice: orientare și hărți

Deschizi aplicația de hărți de pe telefon și ceri drumul până la un magazin. În câteva zecimi de secundă, ecranul îți arată o linie albastră și un număr: „1,4 km". Ca să facă asta, aplicația nu „vede" orașul așa cum îl vezi tu. Ea lucrează cu perechi de numere: fiecare intersecție, fiecare colț de bloc, fiecare intrare de magazin este pentru ea o pereche $(x,y)$. Poziția ta e o pereche, poziția magazinului e altă pereche, iar distanța dintre voi este rezultatul unui calcul făcut exclusiv cu aceste numere.

Exact asta faci și tu în această lecție: iei o situație reală — un cartier, un campus, un teren, o hartă turistică — și o traduci într-un reper cartezian, ca să poți răspunde cu calcul, nu cu aproximări, la întrebări de tipul „cât de departe e?", „unde ne întâlnim la jumătatea drumului?", „care variantă de traseu e mai scurtă?". Toate uneltele le ai deja: axele, coordonatele, formula distanței, coordonatele mijlocului. Ce adaugă lecția de față este arta de a alege reperul și disciplina de a citi corect rezultatele înapoi în realitate, cu unități de măsură cu tot.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi un reper cartezian convenabil pentru o situație practică: unde pui originea, cum orientezi axele, cât valorează o unitate.
• Vei ști să citești și să scrii coordonatele unor obiecte reale de pe un plan sau de pe o hartă, fără să inversezi abscisa cu ordonata.
• Vei ști să legi punctele cardinale de semnele coordonatelor și de cadrane, ca să descrii o poziție în cuvinte, nu doar în cifre.
• Vei ști să calculezi distanța reală dintre două obiecte, în linie dreaptă, folosind scara hărții sau unitatea aleasă.
• Vei ști să compari distanța în linie dreaptă cu drumul efectiv parcurs pe străzi și să explici diferența.
• Vei ști să determini punctul de întâlnire de la jumătatea unui traseu și să rezolvi probleme de perimetru și de arie pentru terenuri desenate în reper.

Hai să descoperim împreună

1. De la caroiajul hărții la reperul cartezian

Orice hartă turistică pliată are pe margini litere și cifre: cauți „Muzeul de Istorie" în index, găsești „C4" și știi în ce dreptunghi să te uiți. Este strămoșul direct al reperului cartezian: o rețea de linii care transformă „undeva pe hartă" în „la intersecția coloanei C cu rândul 4".

Caroiajul are însă o limită serioasă: îți dă un dreptunghi, nu un punct. Muzeul e undeva în C4, dar unde anume? Reperul cartezian rezolvă exact această imprecizie, înlocuind literele și cifrele grosiere cu numere reale: poziția devine $(2,7;4,3)$, iar precizia depinde doar de câte zecimale accepți să scrii. Trecerea de la caroiaj la coordonate este trecerea de la „aproximativ acolo" la „exact acolo" — și, odată făcută, deschide toate calculele: distanțe, mijloace, arii, trasee.

2. Alegerea reperului: originea, axele, unitatea

Într-o problemă practică, reperul nu îți este dat — tu îl alegi. Și de această alegere depinde dacă vei lucra cu numere prietenoase sau cu un coșmar de zecimale. Trei decizii, în ordine:

Unde pun originea? Într-un punct important și ușor de recunoscut: intrarea principală în școală, fântâna din piață, turnul de control al portului, colțul de sud-vest al terenului. Regula practică: alege originea astfel încât cât mai multe obiecte importante să cadă pe axe sau să aibă coordonate întregi.

Cum orientez axele? Prin convenție universală în orientare: $Ox$ spre est (deci sensul pozitiv al abscisei = est) și $Oy$ spre nord. Așa, semnele coordonatelor devin instantaneu direcții cardinale, iar harta ta se citește ca orice hartă din lume, cu nordul în sus.

Cât valorează o unitate? Alegi o unitate care face coordonatele comode: $1$ unitate $=100$ m pentru un cartier, $1$ unitate $=10$ m pentru o curte de școală, $1$ unitate $=1$ km pentru o zonă întinsă. Unitatea trebuie scrisă explicit lângă desen; fără ea, coordonatele sunt numere fără sens fizic.

Ultimul pas, deloc formal: după ce ai ales reperul, notează convenția în scris — „origine în fântână, $Ox$ spre est, $Oy$ spre nord, $1$ u $=100$ m". Este primul rând al oricărei rezolvări corecte, iar la teză se punctează.

3. Citirea unei poziții: ordinea coordonatelor nu e negociabilă

Un punct se scrie $A(x_A,y_A)$, unde $x_A$ este abscisa (deplasarea pe orizontală, est–vest), iar $y_A$ este ordonata (deplasarea pe verticală, nord–sud). Ordinea este fixă: întâi abscisa, apoi ordonata. Punctele $M(0,7)$ și $N(7,0)$ sunt poziții complet diferite — primul e la $700$ m nord de origine, al doilea la $700$ m est.

Merită să știi o capcană reală: în coordonatele geografice de pe telefon, ordinea este inversă față de cea matematică. GPS-ul afișează „latitudine, longitudine", adică întâi coordonata nord–sud și abia apoi cea est–vest. Când transpui o poziție GPS într-un reper cartezian, longitudinea devine abscisă și latitudinea devine ordonată. Este exact genul de detaliu care, ignorat, mută un punct de pe hartă cu sute de kilometri.

Pentru citirea de pe desen, procedura e mecanică: din punct cobori (sau urci) o perpendiculară pe $Ox$ și citești abscisa; din același punct duci o perpendiculară pe $Oy$ și citești ordonata.

4. Punctele cardinale și semnele coordonatelor

Cu $Ox$ spre est și $Oy$ spre nord, semnele coordonatelor devin un limbaj:

• $x>0$ înseamnă est de origine, $x<0$ înseamnă vest;
• $y>0$ înseamnă nord de origine, $y<0$ înseamnă sud;
• $x=0$ înseamnă „exact pe axa nord–sud", $y=0$ înseamnă „exact pe axa est–vest".

Combinând, cele patru cadrane primesc nume de busolă: cadranul I ($x>0$, $y>0$) este nord-est, cadranul II ($x<0$, $y>0$) este nord-vest, cadranul III ($x<0$, $y<0$) este **sud-vest**, iar cadranul IV ($x>0$, $y<0$) este sud-est. Așa poți traduce imediat: gara $G(-4,3)$ se află „la $400$ m vest și $300$ m nord de fântână", adică în zona de nord-vest a cartierului.

Traducerea funcționează și invers, iar acesta e sensul folosit cel mai des în probleme: „la $900$ m est și $1200$ m nord de far", cu unitatea de $100$ m, înseamnă punctul $(9,12)$.

5. Deplasări: cât te-ai mutat pe fiecare direcție

Când te muți din $A(x_A,y_A)$ în $B(x_B,y_B)$, deplasarea se descompune în două mișcări independente:

$$\Delta x=x_B-x_A(\text{est–vest}),\Delta y=y_B-y_A(\text{nord–sud}).$$

Semnul spune sensul: $\Delta x>0$ te-ai deplasat spre est, $\Delta x<0$ spre vest; la fel pentru $\Delta y$ cu nord și sud. De la $A(1,-3)$ la $B(9,3)$ avem $\Delta x=8$ și $\Delta y=6$: opt unități spre est și șase spre nord.

Invers, dacă știi punctul de plecare și deplasările, afli sosirea prin simplă adunare. Un drumeț pleacă din $P(-2,5)$, merge $6$ unități spre est și $3$ unități spre sud; ajunge în $(-2+6,5-3)=(4,2)$. Reține că „spre sud" înseamnă scădere din ordonată — semnul e tot ce ai nevoie ca să nu greșești direcția.

6. Distanța în linie dreaptă și distanța pe străzi

Odată descompusă deplasarea, distanța în linie dreaptă apare din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele $|\Delta x|$ și $|\Delta y|$:

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$$

Pentru $A(-3,-2)$ și $B(9,3)$: $AB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ unități. Cu unitatea de $100$ m, cele două puncte sunt la $1300$ m unul de altul.

În oraș însă nu mergi în linie dreaptă: mergi pe străzi, iar dacă rețeaua stradală e în caroiaj, drumul real are lungimea $|\Delta x|+|\Delta y|$. De la casa $R(-6,2)$ la școala $S(2,8)$, cu $|\Delta x|=8$ și $|\Delta y|=6$, ai:

$$\text{ıˆn linie dreapta˘: }\sqrt{8^2+6^2}=10\text{ u}=1000\text{ m},\text{pe stra˘zi: }8+6=14\text{ u}=1400\text{ m}.$$

Diferența de $400$ m nu e o eroare de calcul, ci fizica orașului: ipotenuza e mereu mai scurtă decât suma catetelor. Exact acest raport îl compară aplicațiile de navigație când îți arată „distanța în linie dreaptă" față de „distanța pe traseu".

7. Când harta vine cu scară

Pe hărțile tipărite, legătura dintre desen și realitate e dată de scară, scrisă ca raport: $1:25000$ înseamnă că $1$ cm măsurat pe hartă corespunde la $25000$ cm reali, adică $250$ m. Procedura este mereu aceeași, în doi pași: măsori pe hartă (sau calculezi cu formula distanței, în centimetri de hartă), apoi înmulțești cu scara.

Dacă două sate sunt la $6,4$ cm pe o hartă $1:25000$, distanța reală este $6,4\cdot 25000=160000$ cm $=1600$ m $=1,6$ km. Atenție la conversii: rezultatul brut iese în centimetri, iar răspunsul se dă, de regulă, în metri sau kilometri.

8. Punctul de întâlnire și figurile de pe plan

Dacă doi prieteni vor să se întâlnească „la jumătatea drumului direct" dintre casele lor $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$, punctul căutat este mijlocul segmentului:

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Pentru $R(-6,2)$ și $S(2,8)$ obținem $M(-2,5)$, aflat la $500$ m de fiecare casă — exact jumătate din cei $1000$ m ai segmentului $RS$.

Ultimul pas al lecției: figurile. Trei case, trei puncte, un triunghi; patru colțuri de teren, un patrulater. Odată ce ai coordonatele, poți calcula perimetre (sumă de distanțe) și arii (cu formulele de geometrie pe care le știi, aplicate lungimilor calculate). Pentru cartierul nostru — $R(-6,2)$, $S(2,8)$, $T(2,-4)$ — avem $RS=10$, $RT=10$ și $ST=12$ unități: triunghi isoscel, cu perimetrul de $32$ u $=3200$ m. Mijlocul lui $ST$ este $(2,2)$, iar distanța de la $R$ până la el este $8$ u; cum într-un triunghi isoscel mediana din vârf este și înălțime, aria este $\frac{12\cdot 8}{2}=48$ u${}^2$. O unitate pătrată înseamnă $100\cdot 100=10000$ m${}^2$, deci terenul are $480000$ m${}^2$, adică $48$ hectare.

Ce urmează: până acum am descris puncte. Pasul următor este să descriem direcții și drumuri drepte — și pentru asta ai nevoie de un singur număr nou, panta unei drepte, care măsoară cât de repede urcă sau coboară un traseu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Așezarea reperului pe un campus

Într-un campus, poarta principală este punctul de referință. Cantina se află la $150$ m est și $200$ m nord de poartă. Alegeți un reper convenabil, scrieți coordonatele cantinei și calculați distanța în linie dreaptă până la ea.

Rezolvare. Fixăm originea în poartă, $Ox$ spre est, $Oy$ spre nord și unitatea $1$ u $=50$ m (divizor comun al valorilor date, deci coordonatele ies întregi). Atunci $150:50=3$ și $200:50=4$, deci cantina este $C(3,4)$.

$$OC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ u}=5\cdot 50=250\text{ m}.$$

Alegerea unității a fost decisivă: cu $1$ u $=100$ m am fi lucrat cu $(1,5;2)$ și cu radicali urâți. $■$

Exemplul 2 — Un traseu în trei etape

Un curier pleacă din $P(-4,1)$, merge $7$ unități spre est, apoi $5$ unități spre nord, apoi $2$ unități spre vest. Unde ajunge, ce drum a parcurs și la ce distanță în linie dreaptă se află de punctul de plecare? (O unitate $=100$ m.)

Rezolvare. Aplicăm deplasările pe rând, adunând la abscisă pentru est și la ordonată pentru nord:

$$(-4,1)\stackrel{+7\text{ est}}{\to }(3,1)\stackrel{+5\text{ nord}}{\to }(3,6)\stackrel{-2\text{ vest}}{\to }Q(1,6).$$

Drumul parcurs este $7+5+2=14$ u $=1400$ m. Distanța în linie dreaptă:

$$PQ=\sqrt{(1+4{)}^2+(6-1{)}^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}\approx 7,07\text{ u}\approx 707\text{ m}.$$

Curierul a mers de aproape două ori mai mult decât distanța „la zbor de pasăre". $■$

Exemplul 3 — Distanța reală de pe o hartă cu scară

Pe o hartă la scara $1:25000$, două cabane apar în punctele $A(2,3)$ și $B(8,11)$, unitatea desenului fiind $1$ cm. Ce distanță reală le separă?

Rezolvare. Întâi distanța pe hartă:

$$AB=\sqrt{(8-2{)}^2+(11-3{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$

Apoi trecerea la realitate: $10\cdot 25000=250000$ cm $=2500$ m $=2,5$ km. Ordinea contează — calculăm întâi pe hartă și înmulțim o singură dată cu scara, la final. $■$

Exemplul 4 — Punctul de întâlnire

Radu locuiește în $R(-6,2)$, Sabina în $S(2,8)$, unitatea fiind $100$ m. Unde se întâlnesc, dacă vor să parcurgă fiecare aceeași distanță pe drumul direct?

Rezolvare. Punctul căutat este mijlocul segmentului $RS$:

$$M\left(\frac{-6+2}{2},\frac{2+8}{2}\right)=M(-2,5).$$

Verificăm: $RS=\sqrt{8^2+6^2}=10$ u, iar $RM=\sqrt{(-2+6{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$ u $=500$ m — exact jumătate. Fiecare merge $500$ m. $■$

Exemplul 5 — Reperul ales cu cap: simetria

O piațetă dreptunghiulară are $60$ m pe $80$ m. Alegeți un reper în care cele patru colțuri să aibă coordonate cât mai simple și calculați lungimea diagonalei.

Rezolvare. Punem originea în centrul piațetei, cu axele paralele cu laturile, și luăm $1$ u $=10$ m. Jumătățile laturilor sunt $30$ m $=3$ u și $40$ m $=4$ u, deci colțurile sunt $(3,4)$, $(-3,4)$, $(-3,-4)$ și $(3,-4)$ — patru puncte care diferă doar prin semne. Diagonala unește două colțuri opuse:

$$d=\sqrt{(3+3{)}^2+(4+4{)}^2}=\sqrt{36+64}=10\text{ u}=100\text{ m}.$$

Dacă am fi pus originea într-un colț, am fi obținut aceleași $100$ m, dar cu numere mai mari și fără simetria care face verificarea instantanee. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În reperul cartezian $xOy$, cu unitatea de $100$ m, se consideră punctele $R(-6,2)$, $S(2,8)$ și $T(2,-4)$, care reprezintă trei case dintr-un cartier. a) Arătați că triunghiul $RST$ este isoscel. b) Determinați coordonatele mijlocului $N$ al segmentului $ST$. c) Calculați aria triunghiului $RST$, în hectare.

Rezolvare. a) Calculăm cele trei laturi:

$$RS=\sqrt{8^2+6^2}=10,RT=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10,ST=\sqrt{0^2+12^2}=12.$$

Cum $RS=RT=10$, triunghiul este isoscel cu vârful în $R$.

b) $N\left(\frac{2+2}{2},\frac{8-4}{2}\right)=N(2,2)$.

c) În triunghiul isoscel, mediana din vârf este și înălțime, deci $RN\perp ST$, iar $RN=\sqrt{(2+6{)}^2+0^2}=8$. Rezultă

$$\mathcal{A}=\frac{ST\cdot RN}{2}=\frac{12\cdot 8}{2}=48{\text{ u}}^2.$$

Cum $1$ u${}^2=100\cdot 100=10000$ m${}^2$, aria este $480000$ m${}^2=48$ ha. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, scrie mai întâi convenția de reper (unde e originea, ce înseamnă o unitate) și fă un desen sumar — jumătate din greșeli dispar din desen.

1. Pe un plan cu originea în fântâna din piață, $Ox$ spre est, $Oy$ spre nord și $1$ u $=100$ m, farmacia se află în $F(3,4)$. La câți metri, în linie dreaptă, este farmacia de fântână?

2. Pe același plan, gara este în $G(-4,3)$. Descrie poziția ei față de fântână folosind puncte cardinale și precizează cadranul în care se află.

3. Spitalul este în $H(6,-8)$. Calculează distanța în linie dreaptă până la fântână și distanța parcursă dacă mergi pe străzi, doar spre est și spre sud.

4. Un drumeț pleacă din $P(-2,5)$, merge $6$ unități spre est și apoi $3$ unități spre sud. În ce punct ajunge?

5. Un curier pleacă din $A(1,-3)$ și ajunge în $B(9,3)$. Cu cât s-a deplasat pe direcția est–vest, cu cât pe direcția nord–sud și ce distanță în linie dreaptă separă cele două puncte?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctele $M(0,7)$ și $N(7,0)$ indică aceeași poziție pe hartă."

7. Pe o hartă la scara $1:25000$, două sate apar la $6,4$ cm unul de altul. Care este distanța reală dintre ele, în kilometri?

8. Într-un reper cu unitatea de $100$ m, două antene se află în $A(-3,-2)$ și $B(9,3)$. Câți metri le separă?

9. Școala este în $S(2,8)$, terenul de sport în $T(2,-4)$, iar unitatea este de $100$ m. Determină punctul aflat la jumătatea drumului direct dintre ele și calculează distanța de la acest punct până la casa $R(-6,2)$.

10. (Problemă aplicată.) Trei prieteni locuiesc în $A(-6,2)$, $B(2,8)$ și $C(2,-4)$, cu $1$ u $=100$ m. Calculează perimetrul triunghiului $ABC$, în metri, și arată că triunghiul este isoscel.

11. Pentru triunghiul de la exercițiul anterior, calculează aria terenului delimitat de cele trei case, exprimată în hectare.

12. O dronă se află în $D(4,3)$ și zboară $5$ unități spre vest, apoi $7$ unități spre sud. Scrie coordonatele poziției finale și precizează cadranul.

13. Un far se află în originea reperului, iar o navă la $900$ m est și $1200$ m nord de el. Scrie coordonatele navei pentru unitatea de $100$ m și calculează distanța navă–far.

14. Colțurile unei grădini sunt $A(-5,-3)$, $B(7,-3)$, $C(7,2)$ și $D(-5,2)$, cu $1$ u $=10$ m. Arată că $ABCD$ este dreptunghi, apoi calculează perimetrul și aria grădinii în unități reale.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Pe planul unui port, cu originea în turnul de control și unitatea de $100$ m, macaraua se află în $A(6,0)$, iar farul în $B(0,8)$. a) Calculați distanța dintre macara și far. b) Determinați coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$. c) Arătați că turnul de control se află la aceeași distanță de $M$ ca și macaraua.

16. Un teren are colțurile $P(-2,1)$, $Q(6,1)$ și $R(6,7)$. Arată că triunghiul $PQR$ este dreptunghic și calculează lungimea laturii $PR$.

17. (Problemă aplicată.) Un teren de fotbal are $100$ m lungime și $64$ m lățime. Alege un reper în care centrul terenului să fie originea și $1$ u $=1$ m, scrie coordonatele celor patru colțuri și calculează lungimea unei diagonale, cu o zecimală.

18. (Provocare.) Un magazin trebuie construit pe bulevardul principal, care coincide cu axa $Ox$, la egală distanță de casele $A(-2,3)$ și $B(6,5)$. Determină coordonatele magazinului.

Răspunsuri și explicații

1. $OF=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ u, deci $5\cdot 100=500$ m. Este triunghiul dreptunghic $3$–$4$–$5$, util de recunoscut din prima.

2. Abscisa negativă înseamnă vest, ordonata pozitivă înseamnă nord: gara este la $400$ m vest și $300$ m nord de fântână, adică în zona de nord-vest, în cadranul II. Distanța până la fântână este tot $\sqrt{16+9}=5$ u $=500$ m.

3. În linie dreaptă: $\sqrt{6^2+8^2}=10$ u $=1000$ m. Pe străzi: $|6|+|-8|=14$ u $=1400$ m. Diferența de $400$ m arată cât „pierzi" mergând în trepte în loc de ipotenuză.

4. Est înseamnă $+6$ la abscisă, sud înseamnă $-3$ la ordonată: $(-2+6,5-3)=(4,2)$.

5. $\Delta x=9-1=8$ (opt unități spre est), $\Delta y=3-(-3)=6$ (șase unități spre nord). Distanța: $\sqrt{64+36}=10$ u.

6. Fals. Ordinea coordonatelor este fixă: $M(0,7)$ are abscisa $0$ și ordonata $7$, deci se află pe axa nord–sud, la $7$ unități nord de origine; $N(7,0)$ se află pe axa est–vest, la $7$ unități est. Sunt puncte distincte, simetrice față de prima bisectoare.

7. $6,4\cdot 25000=160000$ cm $=1600$ m $=1,6$ km.

8. $AB=\sqrt{(9+3{)}^2+(3+2{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ u, deci $1300$ m.

9. Mijlocul: $\left(\frac{2+2}{2},\frac{8-4}{2}\right)=(2,2)$. Distanța până la $R(-6,2)$: $\sqrt{(2+6{)}^2+0^2}=8$ u $=800$ m (segmentul e orizontal, deci lungimea e diferența absciselor).

10. $AB=\sqrt{64+36}=10$, $AC=\sqrt{64+36}=10$, $BC=\sqrt{0+144}=12$. Perimetrul: $10+10+12=32$ u $=3200$ m. Cum $AB=AC$, triunghiul este isoscel cu vârful în $A$.

11. Mijlocul lui $BC$ este $(2,2)$, iar înălțimea din $A$ măsoară $8$ u (în triunghiul isoscel mediana din vârf este și înălțime). Aria: $\frac{12\cdot 8}{2}=48$ u${}^2$. Cum $1$ u${}^2=10000$ m${}^2$, aria este $480000$ m${}^2$; împărțind la $10000$ m${}^2$ (un hectar), obținem $48$ ha.

12. Vest înseamnă $-5$ la abscisă, sud înseamnă $-7$ la ordonată: $(4-5,3-7)=(-1,-4)$, punct cu ambele coordonate negative, deci în cadranul III (sud-vest).

13. Cu $1$ u $=100$ m avem $900:100=9$ și $1200:100=12$, deci nava este în $(9,12)$. Distanța: $\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ u $=1500$ m.

14. $A$ și $B$ au aceeași ordonată, la fel $D$ și $C$, deci $AB\parallel DC$ și ambele sunt orizontale; $B$ și $C$ au aceeași abscisă, la fel $A$ și $D$, deci $BC$ și $AD$ sunt verticale. Laturile alăturate sunt perpendiculare, deci $ABCD$ este dreptunghi cu $AB=12$ u $=120$ m și $BC=5$ u $=50$ m. Perimetrul: $2(120+50)=340$ m; aria: $120\cdot 50=6000$ m${}^2$.

15. a) $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$ u $=1000$ m. b) $M\left(\frac{6+0}{2},\frac{0+8}{2}\right)=M(3,4)$. c) $OM=\sqrt{9+16}=5$ u, iar $MA=\frac{AB}{2}=5$ u; deci $OM=MA=500$ m. (Geometric: triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, iar mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză.)

16. $PQ=\sqrt{8^2+0^2}=8$ (segment orizontal), $QR=\sqrt{0^2+6^2}=6$ (segment vertical). Fiind una orizontală și cealaltă verticală, $PQ\perp QR$, deci triunghiul este dreptunghic în $Q$. Atunci $PR=\sqrt{8^2+6^2}=10$ (sau direct din coordonate: $\sqrt{(6+2{)}^2+(7-1{)}^2}=10$).

17. Cu originea în centru și axele paralele cu laturile, jumătățile dimensiunilor sunt $50$ m și $32$ m, deci colțurile sunt $(50,32)$, $(-50,32)$, $(-50,-32)$ și $(50,-32)$. Diagonala: $\sqrt{100^2+64^2}=\sqrt{10000+4096}=\sqrt{14096}\approx 118,7$ m.

18. Magazinul fiind pe $Ox$, are forma $M(x,0)$. Punem condiția $MA=MB$, echivalentă cu $M{A}^2=M{B}^2$:

$$(x+2{)}^2+9=(x-6{)}^2+25\Rightarrow x^2+4x+13=x^2-12x+61\Rightarrow 16x=48\Rightarrow x=3.$$

Deci $M(3,0)$. Verificare: $MA=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ și $MB=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ ✓. Ridicarea la pătrat e permisă pentru că ambele distanțe sunt pozitive.

De reținut

• Într-o problemă practică, reperul îl alegi tu: scrie explicit unde e originea, cum sunt orientate axele ($Ox$ spre est, $Oy$ spre nord) și cât valorează o unitate.
• Ordinea coordonatelor este fixă: $A(x_A,y_A)$, abscisa întâi. Semnele dau direcțiile: $+x$ est, $-x$ vest, $+y$ nord, $-y$ sud.
• Deplasarea se descompune în $\Delta x=x_B-x_A$ și $\Delta y=y_B-y_A$; distanța în linie dreaptă este $\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$, iar drumul „pe străzi" în caroiaj este $|\Delta x|+|\Delta y|$.
• Cu o hartă la scara $1:k$, distanța reală = distanța de pe hartă $\times k$; abia la final faci conversia în metri sau kilometri.
• Punctul de la jumătatea unui traseu direct este mijlocul segmentului: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ — el se află la distanță egală de capete.

Greșeli frecvente

• Inversarea abscisei cu ordonata. Se scrie $(4,3)$ pentru „$300$ m est și $400$ m nord". Corect: abscisa e deplasarea est–vest, deci $(3,4)$. La coordonatele GPS, ordinea afișată este inversă (latitudine, longitudine) — tradu cu grijă.
• Uitarea unității de măsură. Se răspunde „distanța este $5$", fără să se precizeze că sunt $5$ unități, adică $500$ m. Rezultatul unei probleme practice se dă în metri, kilometri sau hectare, nu în „unități".
• Confuzia dintre distanța directă și drumul parcurs. Cele două coincid doar dacă traseul este un segment. În caroiaj de străzi, drumul este $|\Delta x|+|\Delta y|$, mereu mai mare decât distanța directă (afară de cazul când una dintre deplasări e nulă).
• Aplicarea greșită a scării. Se înmulțește fiecare coordonată cu scara și abia apoi se calculează distanța, cu riscuri de eroare inutile; corect este să calculezi distanța pe hartă, apoi să înmulțești o singură dată. Atenție și la conversia finală: $25000$ cm înseamnă $250$ m, nu $250$ cm.
• Reper ales prost. Origine într-un punct oarecare și unitate nepotrivită duc la coordonate cu multe zecimale. Alege originea într-un punct-cheie (centru, colț, intrare) și unitatea ca divizor comun al datelor.

Aplică acasă

1. Harta cartierului tău. Desenează pe o foaie de matematică planul zonei în care locuiești. Pune originea la ieșirea din bloc sau din casă, orientează $Ox$ spre est și $Oy$ spre nord, alege $1$ u $=100$ m și marchează cinci locuri pe care le folosești des (școala, magazinul, stația, parcul, casa unui prieten). Scrie coordonatele fiecăruia, apoi calculează distanța în linie dreaptă până la școală și compar-o cu drumul pe care îl faci efectiv.

2. Verificarea cu aplicația de hărți. Alege două locuri din desenul anterior și cere aplicației de pe telefon distanța pe jos dintre ele. Compară cu ce ai calculat tu ca $|\Delta x|+|\Delta y|$. Dacă diferența e mare, întreabă-te de ce: străzile nu sunt perfect în caroiaj, există un scurt cu diagonală, un pasaj sau un ocol.

3. Terenul de sport al școlii. Măsoară cu pasul (un pas ≈ $0,75$ m) lungimea și lățimea terenului de sport. Pune originea în centrul terenului, alege $1$ u $=1$ m și scrie coordonatele celor patru colțuri. Calculează diagonala cu formula distanței, apoi verific-o măsurând-o direct cu pasul. Cu cât te-ai înșelat, procentual?

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea „Reperul cartezian și punctele în plan" și are rol de integrare: tot ce s-a învățat separat — coordonate, distanță, mijloc de segment — se aplică acum într-un context real. Competențele vizate din programa de trunchi comun sunt IX.CS.1.3 (identificarea coordonatelor punctelor în situații practice de orientare), IX.CS.5.3 (analizarea relațiilor de poziționare dintre obiecte prin reprezentare în planul cartezian) și IX.CS.6.3 (modelarea unor situații practice cu instrumentele geometriei analitice). Accentul nu cade pe formule noi, ci pe modelare: alegerea reperului, traducerea datelor, interpretarea rezultatului cu unități de măsură.

Întrebări bune de control: „Unde ai pus originea și de ce acolo?"; „Ce înseamnă o unitate pe desenul tău?"; „Ce direcție cardinală corespunde semnului minus la abscisă?"; „De ce drumul pe străzi este mai lung decât distanța directă?"; „Pe o hartă $1:25000$, la cât corespunde un centimetru?". Semne că elevul a înțeles: își scrie singur convenția de reper înainte de calcul, nu confundă niciodată abscisa cu ordonata, atașează unitatea de măsură la fiecare rezultat și își verifică răspunsul cu bunul-simț geometric (o distanță de $40$ km între două case din același cartier semnalează o greșeală de unitate).

La teze și la Bacalaureat, aceste conținuturi apar de regulă îmbrăcate în context: puncte date în reper, cerințe de tipul „calculați distanța", „determinați coordonatele mijlocului", „arătați că triunghiul este isoscel/dreptunghic", „calculați aria". Structura pe trei cerințe gradate (a, b, c) din exercițiul 15 este formatul cel mai frecvent și merită exersat până devine reflex. Lecția pregătește direct și continuarea, în care punctele fac loc dreptelor: panta unei drepte și apoi ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat.

Întrebări frecvente

Cum aleg reperul cartezian într-o problemă practică? Pui originea într-un punct important și ușor de identificat (o intrare, un centru, un colț de teren), orientezi $Ox$ spre est și $Oy$ spre nord, apoi alegi o unitate care face coordonatele întregi — de obicei un divizor comun al distanțelor din enunț. Scrii convenția în clar înainte de orice calcul.

Care coordonată se scrie prima, abscisa sau ordonata? Întotdeauna abscisa: $A(x_A,y_A)$. Abscisa măsoară deplasarea pe orizontală (est–vest), ordonata pe verticală (nord–sud). Punctele $(3,4)$ și $(4,3)$ sunt poziții diferite.

Ce legătură există între cadrane și punctele cardinale? Cu $Ox$ spre est și $Oy$ spre nord: cadranul I este nord-est ($x>0$, $y>0$), cadranul II nord-vest ($x<0$, $y>0$), cadranul III sud-vest ($x<0$, $y<0$), cadranul IV sud-est ($x>0$, $y<0$).

Cum calculez distanța reală dintre două puncte de pe o hartă? Calculezi distanța pe hartă cu formula $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, în unitățile desenului, apoi înmulțești cu scara. La scara $1:25000$, un centimetru de hartă înseamnă $25000$ cm reali, adică $250$ m.

De ce distanța în linie dreaptă diferă de drumul arătat de aplicația de navigație? Pentru că aplicația calculează drumul pe străzi, iar tu calculezi ipotenuza. Într-o rețea de străzi în caroiaj, drumul real este $|\Delta x|+|\Delta y|$, iar suma catetelor este mereu mai mare decât ipotenuza.

Cum aflu punctul de la jumătatea drumului dintre două locuri? Folosești coordonatele mijlocului segmentului: faci media aritmetică a absciselor și media aritmetică a ordonatelor. Punctul obținut se află la distanță egală de cele două capete.

Ce fac dacă în problemă apar coordonate GPS? Reții că GPS-ul afișează latitudinea (nord–sud) înaintea longitudinii (est–vest), adică exact invers față de convenția matematică. Când transpui într-un reper cartezian, longitudinea devine abscisă, iar latitudinea devine ordonată.

Cât valorează un hectar în unitățile din desen? Un hectar înseamnă $10000$ m${}^2$. Dacă o unitate a desenului este $100$ m, atunci o unitate pătrată este $100\cdot 100=10000$ m${}^2$, adică exact un hectar — o coincidență foarte comodă pentru problemele cu terenuri.