Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată

Un taximetrist îți spune două lucruri: pornirea costă $8$ lei și fiecare kilometru costă $2,5$ lei. Din aceste două informații poți calcula prețul oricărei curse, de orice lungime — pentru că ele determină complet legea de formare a prețului. Prima informație este un punct de plecare, a doua este un ritm de creștere. Exact aceleași două ingrediente determină, în geometrie, o dreaptă: un punct prin care trece și panta cu care urcă sau coboară.

Până acum ai lucrat cu drepte desenate. De acum înainte le vei descrie prin ecuații: o relație între $x$ și $y$ pe care o verifică toate punctele dreptei și niciun punct din afara ei. O ecuație e mult mai mult decât un desen — pe ea poți calcula, poți verifica dacă un punct aparține dreptei, poți afla ordonata corespunzătoare oricărei abscise, poți compara două drepte fără să desenezi nimic. Lecția aceasta construiește prima și cea mai folosită formulă a geometriei analitice: ecuația dreptei care trece printr-un punct dat și are panta dată.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci și să aplici formula punct-pantă: $y-y_0=m(x-x_0)$.
• Vei ști să aduci ecuația la forma explicită $y=mx+n$ și să determini termenul liber $n$.
• Vei ști să treci de la forma explicită la forma generală $ax+by+c=0$, cu coeficienți întregi.
• Vei ști să verifici dacă un punct aparține unei drepte cu ecuație dată, prin simplă înlocuire.
• Vei ști să scrii ecuațiile cazurilor speciale: dreapta orizontală și dreapta verticală.
• Vei ști să reprezinți grafic o dreaptă pornind din punctul cunoscut și „mergând" după pantă.
• Vei ști să modelezi cu o ecuație de dreaptă situații reale în care cunoști o valoare inițială și un ritm constant de schimbare.

Hai să descoperim împreună

1. Un punct și o direcție determină o dreaptă

Prin punctul $A(2,3)$ trec o infinitate de drepte — un adevărat evantai. Ce le deosebește? Doar înclinarea, adică panta. Dacă fixezi și panta, evantaiul se închide: rămâne o singură dreaptă.

Aceasta este observația fundamentală a lecției: perechea (punct, pantă) determină unic o dreaptă neverticală. Prin urmare, trebuie să existe o formulă care, primind $x_0$, $y_0$ și $m$, produce ecuația dreptei. O construim în paragraful următor, și e mai simplă decât te-ai aștepta.

2. Deducerea formulei punct-pantă

Fie $A(x_0,y_0)$ punctul cunoscut și $m$ panta cerută. Luăm un punct oarecare $M(x,y)$ al planului și ne întrebăm: ce condiție trebuie să îndeplinească $x$ și $y$ pentru ca $M$ să fie pe dreapta noastră?

Dacă $M$ este pe dreaptă și $M\ne A$, atunci panta calculată cu perechea $(A,M)$ trebuie să fie chiar $m$ — pentru că panta nu depinde de punctele alese pe dreaptă:

$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m.$$

Înmulțim ambii membri cu $x-x_0$ (nenul, pentru că $M\ne A$ pe o dreaptă neverticală) și obținem relația căutată:

$$\boxed{y-y_0=m(x-x_0)}$$

Aceasta este ecuația dreptei care trece prin $A(x_0,y_0)$ și are panta $m$, numită și forma punct-pantă.

Un detaliu care merită subliniat: deducerea a presupus $M\ne A$, dar formula finală este verificată și de punctul $A$ însuși. Într-adevăr, înlocuind $x=x_0$ și $y=y_0$ obținem $0=m\cdot 0$, adevărat. Așadar ecuația descrie exact toate punctele dreptei, fără excepții — ceea ce nu se putea spune despre forma cu fracție, unde $x=x_0$ ar fi anulat numitorul.

3. De la forma punct-pantă la forma explicită

Forma $y-y_0=m(x-x_0)$ e perfectă pentru scriere rapidă, dar incomodă pentru calcule. De aceea o aducem aproape întotdeauna la forma explicită:

$$y=mx+n,\text{unde}n=y_0-m{x}_0.$$

Deducerea e o simplă desfacere de paranteză: $y=y_0+mx-m{x}_0=mx+(y_0-m{x}_0)$.

Exemplu complet, pentru $A(2,3)$ și $m=3$:

$$y-3=3(x-2)\Rightarrow y-3=3x-6\Rightarrow y=3x-3.$$

Verificarea e obligatorie și durează trei secunde: înlocuiești abscisa punctului dat și trebuie să obții ordonata lui. Pentru $x=2$: $3\cdot 2-3=3$ ✓, exact ordonata lui $A$.

În forma $y=mx+n$, coeficientul lui $x$ este panta, iar $n$ se numește termen liber; el este valoarea lui $y$ pentru $x=0$, adică ordonata punctului în care dreapta taie axa $Oy$ — studiul sistematic al intersecțiilor cu axele îl vom face într-o lecție următoare.

4. Atenție la semne: pantele negative și punctele cu coordonate negative

Cele mai multe greșeli la această formulă nu sunt de idee, ci de semn. Două situații merită exersate separat.

Punct cu abscisă negativă. Pentru $B(-1,5)$ și $m=-2$, formula cere $x-x_0=x-(-1)=x+1$:

$$y-5=-2(x+1)\Rightarrow y-5=-2x-2\Rightarrow y=-2x+3.$$

Verificare: pentru $x=-1$ obținem $2+3=5$ ✓.

Punct cu ordonată negativă. Pentru $C(3,-2)$ și $m=\frac{2}{3}$, membrul stâng devine $y-(-2)=y+2$:

$$y+2=\frac{2}{3}(x-3)\Rightarrow y+2=\frac{2}{3}x-2\Rightarrow y=\frac{2}{3}x-4.$$

Verificare: pentru $x=3$ obținem $2-4=-2$ ✓.

Regula de aur: scrie întâi formula cu paranteze, exact ca în model, și abia apoi înlocuiește numerele. Cine sare peste pasul cu paranteze pierde un semn din trei încercări.

5. Forma generală a ecuației dreptei

Când panta este fracționară, forma explicită are fracții. Pentru scrierea „curată" a răspunsului, se folosește adesea forma generală:

$$ax+by+c=0,a,b,c\in \mathbb{R},a\text{ și }b\text{ nu sunt ambele nule}.$$

Trecerea se face mutând totul într-un membru și înmulțind cu numitorul comun. Pentru dreapta prin $D(-4,1)$ cu $m=-\frac{3}{4}$:

$$y-1=-\frac{3}{4}(x+4)\Rightarrow y=-\frac{3}{4}x-2\Rightarrow 4y=-3x-8\Rightarrow 3x+4y+8=0.$$

Verificare pe punctul dat: $3\cdot (-4)+4\cdot 1+8=-12+4+8=0$ ✓.

Drumul invers este la fel de util: dintr-o formă generală obții panta izolând $y$. Ambele forme descriu aceeași dreaptă, iar la examen se acceptă oricare, dacă nu se cere explicit una anume.

6. Cazurile speciale: dreapta orizontală și dreapta verticală

Panta nulă. Dacă $m=0$, formula dă $y-y_0=0$, adică $y=y_0$: o dreaptă orizontală, pe care ordonata este constantă. Prin $E(5,2)$ cu panta $0$ trece dreapta $y=2$ — abscisa poate fi orice, ordonata rămâne $2$.

Dreapta verticală. Aici formula punct-pantă nu se poate aplica, pentru că dreapta verticală nu are pantă. Ecuația se scrie însă direct, din observație: toate punctele au aceeași abscisă, deci dreapta verticală prin $F(-2,9)$ are ecuația $x=-2$.

Reține contrastul, cerut foarte des: $y=2$ este orizontală, $x=-2$ este verticală. Confuzia lor este una dintre cele mai frecvente greșeli de examen, iar remediul e simplu — întreabă-te ce coordonată rămâne constantă.

7. Verificarea apartenenței unui punct la o dreaptă

Ecuația unei drepte este un test de apartenență: un punct aparține dreptei dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația. Procedura are un singur pas — înlocuiești și compari.

Pentru dreapta $y=2x+1$ și punctul $P(3,7)$: $2\cdot 3+1=7$, egal cu ordonata lui $P$, deci $P$ aparține dreptei. Pentru $Q(-2,-3)$: $2\cdot (-2)+1=-3$ ✓, aparține și el. Dar pentru $R(4,2)$ pe dreapta $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$: $-\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{7}{2}=-2+\frac{7}{2}=\frac{3}{2}\ne 2$, deci $R$ nu aparține dreptei.

Dacă ecuația e dată în forma generală, testul e și mai comod: înlocuiești și verifici dacă obții zero. Pentru $3x+4y+8=0$ și punctul $(-4,1)$: $-12+4+8=0$ ✓.

Aceeași idee, aplicată invers, rezolvă problemele cu parametru: dacă știi că punctul $C(-2,p)$ aparține dreptei $y=\frac{3}{2}x-10$, atunci $p$ se află prin înlocuire: $p=\frac{3}{2}\cdot (-2)-10=-3-10=-13$.

8. Reprezentarea grafică și modelarea situațiilor reale

Desenul din ecuație. Ai nevoie de două puncte. Cel mai rapid: pleci din punctul cunoscut $A(x_0,y_0)$ și aplici panta ca instrucțiune de deplasare. Pentru $m=\frac{1}{2}$ și $A(1,4)$: „două unități la dreapta, una în sus" te duce în $(3,5)$, apoi în $(5,6)$. Unești punctele — ai dreapta. Pentru pante negative, deplasarea pe verticală se face în jos.

Modelarea. Formula punct-pantă este unealta naturală pentru orice situație cu o valoare cunoscută și un ritm constant:

• Taxi cu pornire $8$ lei și $2,5$ lei pe kilometru: punctul de plecare este $(0,8)$, panta este $2,5$, deci $y=2,5x+8$. O cursă de $12$ km costă $2,5\cdot 12+8=38$ lei.
• Rezervor care pierde $5$ litri pe oră și conține $45$ de litri după $2$ ore: punctul este $(2,45)$, panta $-5$, deci $V-45=-5(t-2)$, adică $V=-5t+55$. Rezervorul se golește când $V=0$, adică după $11$ ore.
• Firmă care facturează $40$ de lei pe oră, cu o deplasare inclusă: pentru $5$ ore a facturat $260$ de lei, deci $C-260=40(t-5)$, adică $C=40t+60$; taxa fixă este de $60$ de lei, iar $10$ ore costă $460$ de lei.

În toate aceste modele, panta este ritmul, iar termenul liber este valoarea inițială. Când în locul ritmului cunoști două măsurători, procedura se schimbă puțin — și exact asta construiește lecția despre ecuația dreptei determinate de două puncte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicare directă a formulei

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A(2,3)$ și are panta $m=3$.

Rezolvare. Aplicăm formula punct-pantă, cu $x_0=2$, $y_0=3$ și $m=3$:

$$y-3=3(x-2)\Rightarrow y-3=3x-6\Rightarrow y=3x-3.$$

Verificare: pentru $x=2$ obținem $y=6-3=3$ ✓, adică exact ordonata punctului $A$. $■$

Exemplul 2 — Pantă negativă, punct cu abscisă negativă

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $B(-1,5)$ și are panta $m=-2$.

Rezolvare. Atenție la dublul minus din paranteză: $x-x_0=x-(-1)=x+1$.

$$y-5=-2(x-(-1))=-2(x+1)\Rightarrow y-5=-2x-2\Rightarrow y=-2x+3.$$

Verificare: pentru $x=-1$ obținem $y=2+3=5$ ✓. Panta fiind negativă, dreapta coboară de la stânga la dreapta. $■$

Exemplul 3 — Pantă fracționară și forma generală

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $C(3,-2)$ și are panta $m=\frac{2}{3}$, atât sub forma $y=mx+n$, cât și sub forma generală cu coeficienți întregi.

Rezolvare. Membrul stâng este $y-(-2)=y+2$:

$$y+2=\frac{2}{3}(x-3)\Rightarrow y+2=\frac{2}{3}x-2\Rightarrow y=\frac{2}{3}x-4.$$

Pentru forma generală, înmulțim cu $3$ și mutăm totul într-un membru:

$$3y=2x-12\Rightarrow 2x-3y-12=0.$$

Verificare pe punctul dat: $2\cdot 3-3\cdot (-2)-12=6+6-12=0$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Cazurile speciale

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $E(5,2)$ și are panta $0$, apoi ecuația dreptei verticale care trece prin $F(-2,9)$.

Rezolvare. Pentru $E$ cu $m=0$: $y-2=0\cdot (x-5)=0$, deci $y=2$ — dreaptă orizontală, pe care ordonata rămâne constantă indiferent de abscisă.

Pentru $F$, dreapta verticală nu are pantă, deci formula punct-pantă nu se aplică. Scriem direct ecuația din proprietatea care definește verticala: toate punctele au aceeași abscisă, deci $x=-2$. $■$

Exemplul 5 — Modelarea unei situații reale

Un rezervor se golește uniform, cu $5$ litri pe oră. După $2$ ore, el conține $45$ de litri. Scrieți ecuația care dă volumul $V$ în funcție de timpul $t$ și aflați după câte ore se golește complet.

Rezolvare. Punem timpul pe abscisă și volumul pe ordonată. Cunoaștem punctul $(2,45)$ și ritmul, adică panta $m=-5$ (negativă, pentru că volumul scade):

$$V-45=-5(t-2)\Rightarrow V-45=-5t+10\Rightarrow V=-5t+55.$$

Termenul liber $55$ este volumul inițial, la $t=0$. Rezervorul se golește când $V=0$:

$$-5t+55=0\Rightarrow t=11\text{ ore}.$$

Verificare de bun-simț: în $11$ ore, la $5$ litri pe oră, se scurg $55$ de litri — exact volumul inițial ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(-6,-2)$ și dreapta $d$ care trece prin $A$ și are panta $m=\frac{1}{2}$. a) Scrieți ecuația dreptei $d$ sub forma $y=mx+n$. b) Verificați dacă punctul $B(4,3)$ aparține dreptei $d$. c) Determinați numărul real $p$ pentru care punctul $C(2,p)$ aparține dreptei $d$.

Rezolvare. a) Aplicăm formula punct-pantă:

$$y+2=\frac{1}{2}(x+6)\Rightarrow y+2=\frac{1}{2}x+3\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+1.$$

Verificare: pentru $x=-6$ obținem $-3+1=-2$ ✓.

b) Înlocuim abscisa lui $B$ în ecuație: $\frac{1}{2}\cdot 4+1=2+1=3$, egal cu ordonata lui $B$. Deci $B$ aparține dreptei $d$.

c) Punctul $C$ are abscisa $2$, deci ordonata lui se obține prin înlocuire:

$$p=\frac{1}{2}\cdot 2+1=1+1=2.$$

Așadar $p=2$, iar punctul este $C(2,2)$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie mai întâi formula cu paranteze, apoi înlocuiește numerele, iar la final verifică punctul dat în ecuația obținută.

1. Scrie ecuația dreptei care trece prin $A(2,3)$ și are panta $m=3$.

2. Scrie ecuația dreptei care trece prin $B(-1,5)$ și are panta $m=-2$.

3. Scrie ecuația dreptei care trece prin $C(3,-2)$ și are panta $m=\frac{2}{3}$.

4. Scrie ecuația dreptei care trece prin $D(-4,1)$ și are panta $m=-\frac{3}{4}$, apoi adu-o la forma generală cu coeficienți întregi.

5. Scrie ecuația dreptei care trece prin $E(5,2)$ și are panta $m=0$. Ce fel de dreaptă este?

6. Scrie ecuația dreptei verticale care trece prin $F(-2,9)$ și explică de ce nu poți folosi aici formula punct-pantă.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul $P(4,2)$ aparține dreptei de ecuație $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$."

8. Verifică dacă punctele $A(3,7)$ și $B(-2,-3)$ aparțin dreptei de ecuație $y=2x+1$.

9. Determină numărul real $n$ astfel încât dreapta de ecuație $y=4x+n$ să treacă prin punctul $M(-2,-5)$.

10. (Problemă aplicată.) Un taxi percepe o taxă de pornire de $8$ lei și $2,5$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Scrie ecuația care dă costul $y$ în funcție de distanța $x$ și calculează costul unei curse de $12$ km.

11. Scrie ecuația dreptei care trece prin $G(-3,2)$ și are panta $m=\frac{5}{3}$, apoi adu-o la forma generală cu coeficienți întregi.

12. Scrie ecuația dreptei care trece prin originea reperului și are panta $m=\frac{3}{4}$.

13. Pornind din punctul $H(1,4)$ și folosind panta $m=\frac{1}{2}$, determină încă două puncte ale dreptei, apoi scrie ecuația ei.

14. Determină panta dreptei de ecuație $3x+4y+8=0$ și arată că punctul $(-4,1)$ îi aparține.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,-7)$ și dreapta $d$ care trece prin $A$ și are panta $m=\frac{3}{2}$. a) Scrieți ecuația dreptei $d$ sub forma $y=mx+n$. b) Verificați dacă punctul $B(6,-1)$ aparține dreptei $d$. c) Determinați numărul real $p$ pentru care punctul $C(-2,p)$ aparține dreptei $d$.

16. (Problemă aplicată.) Un rezervor se golește uniform, cu $5$ litri pe oră, iar după $2$ ore conține $45$ de litri. Scrie ecuația volumului în funcție de timp și află după câte ore se golește complet.

17. Scrie ecuația dreptei care trece prin $K(8,5)$ și are panta $m=-\frac{1}{4}$, apoi verifică dacă punctul $L(0,7)$ îi aparține.

18. (Provocare.) Dreapta care trece prin $M(-5,3)$ și are panta $m=\frac{2}{5}$ conține un punct $N$ ale cărui coordonate sunt egale între ele. Determină coordonatele lui $N$.

Răspunsuri și explicații

1. $y-3=3(x-2)$, deci $y=3x-6+3=3x-3$. Verificare pentru $x=2$: $6-3=3$ ✓.

2. $y-5=-2(x+1)$, deci $y=-2x-2+5=-2x+3$. Verificare pentru $x=-1$: $2+3=5$ ✓.

3. $y+2=\frac{2}{3}(x-3)$, deci $y=\frac{2}{3}x-2-2=\frac{2}{3}x-4$. Verificare pentru $x=3$: $2-4=-2$ ✓.

4. $y-1=-\frac{3}{4}(x+4)$, deci $y=-\frac{3}{4}x-3+1=-\frac{3}{4}x-2$. Înmulțind cu $4$: $4y=-3x-8$, adică $3x+4y+8=0$. Verificare: $-12+4+8=0$ ✓.

5. $y-2=0\cdot (x-5)$, deci $y=2$. Este o dreaptă orizontală, paralelă cu axa $Ox$: ordonata rămâne $2$ pentru orice abscisă.

6. Ecuația este $x=-2$. Formula punct-pantă nu se poate folosi pentru că dreapta verticală nu are pantă (toate punctele ei au aceeași abscisă, deci $\Delta x=0$, iar raportul care definește panta nu există).

7. Fals. Înlocuind $x=4$ obținem $-\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{7}{2}=-2+\frac{7}{2}=\frac{3}{2}$, care este diferit de ordonata $2$ a punctului $P$. Deci $P$ nu aparține dreptei.

8. Pentru $A(3,7)$: $2\cdot 3+1=7$ ✓, aparține. Pentru $B(-2,-3)$: $2\cdot (-2)+1=-3$ ✓, aparține. Ambele puncte sunt pe dreaptă.

9. Condiția de apartenență: $-5=4\cdot (-2)+n$, deci $-5=-8+n$ și $n=3$. Ecuația dreptei este $y=4x+3$.

10. Taxa de pornire este valoarea pentru $x=0$, deci punctul este $(0,8)$, iar panta este tariful pe kilometru, $m=2,5$. Rezultă $y-8=2,5(x-0)$, adică $y=2,5x+8$. Pentru $x=12$: $y=30+8=38$ lei.

11. $y-2=\frac{5}{3}(x+3)$, deci $y=\frac{5}{3}x+5+2=\frac{5}{3}x+7$. Înmulțind cu $3$: $3y=5x+21$, adică $5x-3y+21=0$. Verificare: $-15-6+21=0$ ✓.

12. Originea are coordonatele $(0,0)$, deci $y-0=\frac{3}{4}(x-0)$, adică $y=\frac{3}{4}x$ sau, în formă generală, $3x-4y=0$. Termenul liber este nul — semnul distinctiv al dreptelor care trec prin origine.

13. Panta $\frac{1}{2}$ înseamnă „două unități la dreapta, una în sus". Din $H(1,4)$ ajungem în $(3,5)$, apoi în $(5,6)$. Ecuația: $y-4=\frac{1}{2}(x-1)$, deci $y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$. Verificare pentru $x=3$: $\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5$ ✓; pentru $x=5$: $\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=6$ ✓.

14. Izolăm $y$: $4y=-3x-8$, deci $y=-\frac{3}{4}x-2$ și panta este $m=-\frac{3}{4}$. Apartenența punctului: $3\cdot (-4)+4\cdot 1+8=-12+4+8=0$ ✓, deci $(-4,1)$ este pe dreaptă.

15. a) $y+7=\frac{3}{2}(x-2)$, deci $y=\frac{3}{2}x-3-7=\frac{3}{2}x-10$. Verificare pentru $x=2$: $3-10=-7$ ✓. b) Pentru $x=6$: $\frac{3}{2}\cdot 6-10=9-10=-1$, egal cu ordonata lui $B$, deci $B$ aparține dreptei $d$. c) Pentru $x=-2$: $p=\frac{3}{2}\cdot (-2)-10=-3-10=-13$.

16. Volumul scade, deci panta este $m=-5$, iar punctul cunoscut este $(2,45)$: $V-45=-5(t-2)$, adică $V=-5t+55$. Rezervorul e gol când $V=0$, deci $t=\frac{55}{5}=11$ ore. Volumul inițial, la $t=0$, era de $55$ de litri.

17. $y-5=-\frac{1}{4}(x-8)$, deci $y=-\frac{1}{4}x+2+5=-\frac{1}{4}x+7$. Pentru $L(0,7)$: $-\frac{1}{4}\cdot 0+7=7$ ✓, deci $L$ aparține dreptei (el este chiar punctul în care dreapta taie axa ordonatelor).

18. Ecuația dreptei: $y-3=\frac{2}{5}(x+5)$, deci $y=\frac{2}{5}x+2+3=\frac{2}{5}x+5$. Punctul cerut are forma $N(a,a)$, deci înlocuim $x=a$ și $y=a$:

$$a=\frac{2}{5}a+5\Rightarrow a-\frac{2}{5}a=5\Rightarrow \frac{3}{5}a=5\Rightarrow a=\frac{25}{3}.$$

Deci $N\left(\frac{25}{3},\frac{25}{3}\right)$. Verificare: $\frac{2}{5}\cdot \frac{25}{3}+5=\frac{10}{3}+\frac{15}{3}=\frac{25}{3}$ ✓.

De reținut

• Formula punct-pantă: dreapta care trece prin $A(x_0,y_0)$ și are panta $m$ are ecuația $y-y_0=m(x-x_0)$. Scrie întâi formula cu paranteze, apoi înlocuiește.
• Desfăcând paranteza obții forma explicită $y=mx+n$, cu $n=y_0-m{x}_0$; coeficientul lui $x$ este mereu panta.
• Forma generală este $ax+by+c=0$; se obține mutând totul într-un membru și înmulțind cu numitorul comun, ca să ai coeficienți întregi.
• Un punct aparține dreptei dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația. Același test, citit invers, determină o coordonată necunoscută.
• Cazuri speciale: panta $0$ dă dreapta orizontală $y=y_0$; dreapta verticală, care nu are pantă, se scrie direct $x=x_0$ și nu se obține din formulă.

Greșeli frecvente

• Semnul pierdut la coordonate negative. Pentru $x_0=-1$ se scrie $(x-1)$ în loc de $(x+1)$. Remediu: notează întâi $x-x_0=x-(-1)$ și abia apoi simplifică.
• Confuzia dintre $y=2$ și $x=2$. Prima este orizontală (ordonata constantă), a doua este verticală (abscisa constantă). Întreabă-te mereu ce coordonată rămâne neschimbată.
• Aplicarea formulei punct-pantă la o dreaptă verticală. Dreapta verticală nu are pantă, deci formula nu se poate folosi; ecuația ei se scrie direct din observație, $x=x_0$.
• Neverificarea rezultatului. După ce ai scris $y=mx+n$, înlocuiește abscisa punctului dat: trebuie să obții ordonata lui. Este o verificare de trei secunde care prinde aproape orice eroare de calcul.
• Forma generală cu fracții. Un răspuns de tipul $\frac{2}{3}x-y-4=0$ este corect matematic, dar necurat. Înmulțește cu numitorul comun ca să obții coeficienți întregi: $2x-3y-12=0$.

Aplică acasă

1. Abonamentul tău. Găsește un serviciu cu plată în două componente: o sumă fixă lunară și un tarif pe unitate consumată (internet cu depășire de trafic, apă, curent, transport). Notează suma fixă și tariful, apoi scrie ecuația costului lunar. Calculează cu ea cât ai plăti la trei niveluri diferite de consum și compară cu factura reală.

2. Rampa din curte. Alege o rampă, un trotuar înclinat sau o scândură sprijinită. Măsoară-i panta ca raport între înălțime și deplasarea orizontală, apoi alege ca origine baza rampei și scrie ecuația dreptei care descrie profilul ei. Folosește ecuația ca să prezici înălțimea la jumătatea rampei și verifică măsurând.

3. Prețul combustibilului. Notează prețul pe litru afișat la o benzinărie. Considerând că plecarea la drum implică și o sumă fixă (de exemplu, taxa de parcare), scrie ecuația costului total în funcție de numărul de litri alimentați. Desenează dreapta pe hârtie de matematică, pornind din punctul de pe axa verticală și „mergând" după pantă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima formulă propriu-zisă de geometrie analitică și este, practic, cea mai folosită din întreaga unitate. Competențele vizate din programa de trunchi comun sunt IX.CS.3.3 (determinarea ecuației unei drepte în baza unor condiții inițiale date), IX.CS.2.3 (verificarea faptului că un punct cu coordonate cunoscute aparține unei drepte cu ecuație dată) și IX.CS.4.3 (descrierea unei situații concrete prin intermediul ecuației unei drepte). Ideea de fond, care merită formulată explicit în clasă: o ecuație de dreaptă este un criteriu de apartenență — punctele care o verifică sunt exact punctele dreptei.

Întrebări bune de control: „Ce două informații sunt suficiente ca să determini o dreaptă?" (un punct și panta); „De ce formula nu se poate aplica dreptelor verticale?" (nu au pantă); „Ce reprezintă coeficientul lui $x$ în $y=mx+n$?" (panta); „Cum verifici dacă un punct e pe dreaptă?" (înlocuiești coordonatele în ecuație); „Care este ecuația dreptei orizontale prin $(5,2)$?" ($y=2$). Semne că elevul a înțeles: scrie formula cu paranteze înainte de a înlocui, tratează corect semnele la coordonate negative, își verifică singur ecuația pe punctul dat și nu confundă niciodată dreapta orizontală cu cea verticală.

La teze și la Bacalaureat, formatul standard este cel din exercițiul 15: se dă un punct și o pantă, se cere ecuația, apoi verificarea apartenenței unui al doilea punct și determinarea unui parametru. Este un tip de cerință cu rezolvare scurtă și punctaj sigur, motiv pentru care merită exersat până devine automatism. Recomandăm exersarea suplimentară a cazurilor cu pantă fracționară și cu coordonate negative, unde apar aproape toate greșelile. Lecția se sprijină pe panta unei drepte și pregătește direct ecuația dreptei determinate de două puncte, unde panta nu mai este dată, ci se calculează.

Întrebări frecvente

Care este formula ecuației dreptei prin punct și pantă? Este $y-y_0=m(x-x_0)$, unde $(x_0,y_0)$ sunt coordonatele punctului cunoscut, iar $m$ este panta. Desfăcând paranteza, obții forma $y=mx+n$.

Cum scriu ecuația dreptei dacă știu un punct și panta? Înlocuiești în formulă coordonatele punctului și panta, apoi desfaci paranteza și izolezi $y$. De exemplu, prin $A(2,3)$ cu $m=3$: $y-3=3(x-2)$, deci $y=3x-3$.

Ce reprezintă $m$ și $n$ în ecuația $y=mx+n$? $m$ este panta, adică ritmul cu care se schimbă $y$ când $x$ crește cu o unitate; $n$ este termenul liber, valoarea lui $y$ pentru $x=0$. În aplicații practice, $m$ este tariful sau ritmul, iar $n$ este valoarea inițială.

Cum verific dacă un punct aparține unei drepte cu ecuație dată? Înlocuiești coordonatele punctului în ecuație. Dacă egalitatea se verifică, punctul aparține dreptei; dacă nu, nu îi aparține. La forma generală $ax+by+c=0$, trebuie să obții exact zero.

De ce nu pot folosi formula pentru o dreaptă verticală? Pentru că dreapta verticală nu are pantă — toate punctele ei au aceeași abscisă, iar raportul care definește panta ar cere împărțirea la zero. Ecuația ei se scrie direct: $x=x_0$.

Care este diferența dintre ecuațiile $y=3$ și $x=3$? $y=3$ este o dreaptă orizontală, formată din toate punctele cu ordonata $3$; $x=3$ este o dreaptă verticală, formată din toate punctele cu abscisa $3$. Sunt drepte perpendiculare una pe cealaltă.

Cum trec de la forma $y=mx+n$ la forma generală? Muți toți termenii într-un membru și, dacă apar fracții, înmulțești ecuația cu numitorul comun. Din $y=\frac{2}{3}x-4$ obții $3y=2x-12$, adică $2x-3y-12=0$.

Cum desenez o dreaptă dacă îi cunosc ecuația? Pleci din punctul cunoscut și aplici panta ca instrucțiune de deplasare: pentru $m=\frac{1}{2}$, mergi două unități la dreapta și una în sus; pentru pante negative, cobori. Cu două puncte obținute astfel, trasezi dreapta.