Intersecțiile dreptei cu axele de coordonate

Ai plecat în excursie cu rezervorul plin: $60$ de litri. Mașina consumă, în medie, $8$ litri la fiecare $100$ de kilometri, așa că după $x$ sute de kilometri în rezervor mai sunt $y=60-8x$ litri. Dacă desenezi această dependență într-un reper cartezian, obții o dreaptă care coboară. Două puncte de pe ea îți spun tot ce te interesează cu adevărat: cel în care dreapta taie axa verticală (cât aveai la plecare) și cel în care taie axa orizontală (când rămâi fără benzină).

Exact acestea sunt intersecțiile dreptei cu axele de coordonate — două puncte pe care le poți afla din ecuație în câteva secunde, fără să desenezi nimic, și care poartă aproape întotdeauna un înțeles concret: valoarea de start și momentul în care totul se termină. În lecția aceasta înveți rețeta lor (care are doar două rânduri), înveți să le citești direct din forma $y=mx+n$, să recunoști cazurile în care una dintre intersecții lipsește și să folosești cele două tăieturi pentru a desena rapid o dreaptă sau pentru a calcula aria triunghiului pe care ea îl decupează cu axele.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli intersecția cu axa $Ox$ a oricărei drepte, punând $y=0$ în ecuația ei.
• Vei ști să afli intersecția cu axa $Oy$, punând $x=0$.
• Vei ști să citești direct din forma $y=mx+n$ faptul că dreapta taie axa $Oy$ chiar în punctul $(0,n)$.
• Vei ști să recunoști cazurile speciale: drepte care taie o singură axă, drepte care trec prin origine, drepte care se suprapun peste o axă.
• Vei ști să desenezi rapid o dreaptă folosind exact cele două tăieturi ale ei.
• Vei ști să calculezi aria triunghiului determinat de o dreaptă împreună cu cele două axe și să interpretezi cele două intersecții într-o problemă practică.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, de fapt, „a fi pe o axă"

Înainte de orice calcul, un fapt simplu, dar decisiv. Într-un reper cartezian $xOy$:

• un punct se află pe axa $Ox$ exact atunci când ordonata lui este zero, adică are forma $(a,0)$;
• un punct se află pe axa $Oy$ exact atunci când abscisa lui este zero, adică are forma $(0,b)$.

De ce? Pentru că ordonata măsoară cât de sus (sau de jos) ești față de axa orizontală. Dacă nu ești nici mai sus, nici mai jos, ești chiar pe ea: $y=0$. Analog, abscisa măsoară deplasarea la dreapta sau la stânga față de axa verticală; dacă această deplasare e nulă, ești chiar pe $Oy$: $x=0$. Originea $O(0,0)$ este singurul punct care se află simultan pe amândouă.

Toată lecția se sprijină pe aceste două propoziții. Restul este calcul.

2. Rețeta: două înlocuiri și gata

Fie o dreaptă $d$ dată prin ecuația ei. Punctele ei de intersecție cu axele se află astfel:

$$\boxed{d\cap Ox:\text{pui }y=0\text{și afli }x.d\cap Oy:\text{pui }x=0\text{și afli }y.}$$

Motivul e imediat: un punct de intersecție trebuie să îndeplinească două condiții în același timp — să fie pe dreaptă (deci coordonatele lui verifică ecuația dreptei) și să fie pe axă (deci una dintre coordonate e zero). Înlocuiești condiția de pe axă în ecuația dreptei și rămâne o singură necunoscută.

Să vedem pe dreapta $d:2x+3y-12=0$.

Pentru $Ox$ punem $y=0$: $2x+3\cdot 0-12=0\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$. Deci $d\cap Ox=A(6,0)$.

Pentru $Oy$ punem $x=0$: $2\cdot 0+3y-12=0\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=4$. Deci $d\cap Oy=B(0,4)$.

Observă cum se scriu răspunsurile: întotdeauna ca perechi de coordonate, cu zeroul la locul lui. O greșeală clasică este să scrii „intersecția cu $Ox$ este $6$" — nu, este punctul $A(6,0)$. Numărul $6$ se numește tăietura pe axa $Ox$.

3. Forma $y=mx+n$: o intersecție se citește direct

Când dreapta e scrisă explicit, $y=mx+n$, jumătate din muncă e deja făcută. Punând $x=0$ obții imediat $y=n$, deci:

$$d\cap Oy=(0,n).$$

Din acest motiv numărul $n$ se numește ordonata la origine: este exact înălțimea la care dreapta „pornește" când o citești de la axa verticală. Pentru cealaltă intersecție punem $y=0$ și rezolvăm ecuația de gradul întâi $mx+n=0$, de unde, dacă $m\ne 0$:

$$d\cap Ox=\left(-\frac{n}{m},0\right).$$

Nu memora a doua formulă. Este mult mai sigur să rezolvi de fiecare dată ecuația $mx+n=0$ — durează la fel de puțin și nu riști o greșeală de semn. Pe dreapta $y=-3x+9$, de pildă: intersecția cu $Oy$ e $(0,9)$ direct din ecuație, iar pentru $Ox$, din $-3x+9=0$, obținem $x=3$, deci punctul $(3,0)$.

Legătura cu lecția despre ecuația dreptei care trece printr-un punct dat și are panta dată este directă: acolo ai construit ecuația plecând de la un punct și de la pantă; aici o „interoghezi" ca să afli alte două puncte ale ei, alese anume pentru că stau pe axe.

4. Cazurile în care o intersecție lipsește

Nu orice dreaptă taie ambele axe. Merită să treci în revistă toate situațiile, pentru că la examen apar exact acolo unde nu te aștepți:

• Dreaptă oblică ($m\ne 0$): taie fiecare axă în câte un punct, iar cele două puncte sunt diferite dacă $n\ne 0$.
• Dreaptă orizontală $y=b$, cu $b\ne 0$: taie doar $Oy$, în $(0,b)$. Cu $Ox$ nu are niciun punct comun, fiind paralelă cu ea. Într-adevăr, ecuația $b=0$ este falsă.
• Dreaptă verticală $x=a$, cu $a\ne 0$: taie doar $Ox$, în $(a,0)$. Cu $Oy$ este paralelă.
• Dreaptă care trece prin origine ($n=0$, adică $y=mx$): cele două intersecții coincid și sunt chiar originea $O(0,0)$. Ai un singur punct, nu două — atenție când problema cere „triunghiul format cu axele": nu există niciun triunghi.
• Axele însele: $Ox$ are ecuația $y=0$, iar $Oy$ are ecuația $x=0$. Fiecare dintre ele se suprapune peste o axă și o taie pe cealaltă în origine.

Despre cum recunoști dintr-o privire tipul unei drepte scrise sub orice formă vorbim pe larg în lecția Poziția unei drepte: orizontală, verticală, oblică.

5. Trucul de desenare: două puncte și o riglă

O dreaptă e determinată de două puncte. Iar cele mai comode două puncte ale ei sunt, aproape întotdeauna, tăieturile pe axe: se marchează instantaneu, pentru că stau chiar pe gradații.

Rețeta de desen, în trei mișcări: afli $d\cap Ox$, afli $d\cap Oy$, unești cu rigla și prelungești în ambele sensuri. Pentru $3x+4y-12=0$ obții $(4,0)$ și $(0,3)$ — două puncte pe care le pui pe hârtie în două secunde.

Singura excepție: dacă dreapta trece prin origine, cele două tăieturi coincid și îți trebuie un al doilea punct oarecare. Îl alegi cum vrei: pentru $y=2x$, iei $x=1$ și obții $(1,2)$.

6. Triunghiul decupat din colțul reperului

Dacă o dreaptă taie ambele axe în puncte diferite de origine, atunci împreună cu axele ea închide un triunghi dreptunghic cu vârful drept în $O$. Catetele lui sunt tocmai distanțele de la origine la cele două tăieturi, adică valorile absolute ale acestora. Prin urmare, dacă $d\cap Ox=A(a,0)$ și $d\cap Oy=B(0,b)$:

$${\mathcal{A}}_{OAB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{|a|\cdot |b|}{2}.$$

Valorile absolute sunt obligatorii: tăieturile pot fi negative, dar o arie nu poate. Pentru dreapta $4x+5y-20=0$, tăieturile sunt $(5,0)$ și $(0,4)$, deci aria este $\frac{5\cdot 4}{2}=10$. Pentru $5x-2y+10=0$, tăieturile sunt $(-2,0)$ și $(0,5)$, iar aria este $\frac{|-2|\cdot |5|}{2}=5$.

Tot din cele două tăieturi se calculează și lungimea segmentului dintre ele, cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $OAB$: $AB=\sqrt{a^2+b^2}$ — același rezultat pe care l-ai obține cu formula distanței dintre două puncte.

7. O observație: ecuația scrisă cu tăieturile

Subsecțiunea aceasta este o completare, nu o formulă obligatorie: nu ți se va cere niciodată la examen să o folosești, dar merită văzută o dată, pentru că arată cât de direct se leagă tăieturile de ecuație.

Dacă tăieturile sunt $a\ne 0$ pe $Ox$ și $b\ne 0$ pe $Oy$, dreapta are ecuația:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$$

Verificarea e imediată: pentru $y=0$ rămâne $\frac{x}{a}=1$, deci $x=a$ ✓; pentru $x=0$ rămâne $\frac{y}{b}=1$, deci $y=b$ ✓. Avantajul e că citești tăieturile direct din numitori. Dreapta $\frac{x}{5}+\frac{y}{-4}=1$ taie axele în $(5,0)$ și $(0,-4)$; înmulțind cu $20$ obții forma generală $4x-5y-20=0$.

Forma aceasta funcționează numai pentru drepte care taie ambele axe în puncte diferite de origine — adică exact acolo unde ea are sens.

8. Ce înseamnă cele două puncte într-o problemă reală

Aici stă adevărata valoare a lecției. Când o dreaptă modelează o situație în care $x$ este timpul (sau o cantitate consumată), cele două intersecții au nume în limbaj obișnuit:

• Intersecția cu $Oy$ este valoarea de la momentul zero: soldul inițial, taxa fixă a unui abonament, temperatura de la care ai pornit, cantitatea din rezervor la plecare.
• Intersecția cu $Ox$ este momentul în care mărimea devine zero: când se golește rezervorul, când se termină banii, când datoria e achitată, când stocul se epuizează.

Revenind la excursia din deschidere, $y=60-8x$: pentru $x=0$ obții $y=60$ (litrii de la plecare), iar din $60-8x=0$ rezultă $x=7,5$, adică $750$ de kilometri până la pana de benzină. Un singur calcul, o informație care schimbă planul de călătorie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Forma generală

Determinați intersecțiile dreptei $d:3x-4y+12=0$ cu axele de coordonate.

Rezolvare. Cu $Ox$ punem $y=0$: $3x+12=0\Rightarrow x=-4$, deci $A(-4,0)$.

Cu $Oy$ punem $x=0$: $-4y+12=0\Rightarrow y=3$, deci $B(0,3)$.

Verificare: coordonatele lui $A$ în ecuație dau $3\cdot (-4)-4\cdot 0+12=0$ ✓, iar cele ale lui $B$ dau $3\cdot 0-4\cdot 3+12=0$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Forma explicită

Determinați intersecțiile cu axele ale dreptei $y=4x-8$.

Rezolvare. Ordonata la origine este $n=-8$, deci $d\cap Oy=(0,-8)$ — se citește direct, fără calcul.

Pentru $Ox$: $4x-8=0\Rightarrow x=2$, deci $d\cap Ox=(2,0)$.

Dreapta urcă (panta $4$ este pozitivă) și trece prin cadranul al patrulea către primul, ceea ce se potrivește cu o tăietură negativă pe $Oy$ și una pozitivă pe $Ox$. $■$

Exemplul 3 — Mai întâi ecuația, apoi intersecțiile

Dreapta $d$ trece prin punctele $P(1,5)$ și $Q(3,1)$. Aflați intersecțiile ei cu axele.

Rezolvare. Calculăm întâi panta: $m=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2$. Ecuația dreptei prin $P$ cu panta $-2$ este $y-5=-2(x-1)$, adică $y=-2x+7$.

Intersecția cu $Oy$: $(0,7)$. Intersecția cu $Ox$: $-2x+7=0\Rightarrow x=\frac{7}{2}$, deci $\left(\frac{7}{2},0\right)$.

Verificare rapidă pe $Q$: $-2\cdot 3+7=1$ ✓. Modul complet de a scrie ecuația din două puncte îl găsești în lecția Ecuația dreptei care trece prin două puncte date. $■$

Exemplul 4 — Aria triunghiului cu axele

Calculați aria triunghiului determinat de dreapta $4x+5y-20=0$ împreună cu axele de coordonate.

Rezolvare. Tăieturile: pentru $y=0$, $4x=20\Rightarrow x=5$, deci $A(5,0)$; pentru $x=0$, $5y=20\Rightarrow y=4$, deci $B(0,4)$.

Triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=5$ și $OB=4$:

$${\mathcal{A}}_{OAB}=\frac{5\cdot 4}{2}=10.$$

Ca bonus, ipotenuza: $AB=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$. $■$

Exemplul 5 — Rezervorul unei motociclete

Cantitatea de benzină dintr-un rezervor, după $x$ ore de mers, este $y=45-6x$ (litri). Ce reprezintă intersecțiile graficului cu axele?

Rezolvare. Pentru $x=0$ obținem $y=45$: punctul $(0,45)$ arată că rezervorul avea $45$ de litri la plecare.

Pentru $y=0$: $45-6x=0\Rightarrow x=\frac{45}{6}=7,5$. Punctul $(7,5;0)$ arată că, în ritmul acesta, benzina se termină după $7$ ore și jumătate.

Atenție la sensul fizic: modelul are înțeles doar pentru $x\in [0;7,5]$, pentru că nu poți avea o cantitate negativă de benzină. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră dreapta $d:4x-3y+24=0$. a) Determinați coordonatele punctelor $A$ și $B$ în care $d$ intersectează axele $Ox$, respectiv $Oy$. b) Calculați aria triunghiului $AOB$. c) Calculați lungimea segmentului $AB$.

Rezolvare. a) Pentru $y=0$: $4x+24=0\Rightarrow x=-6$, deci $A(-6,0)$. Pentru $x=0$: $-3y+24=0\Rightarrow y=8$, deci $B(0,8)$.

b) Catetele triunghiului dreptunghic $AOB$ sunt $OA=|-6|=6$ și $OB=8$, deci

$${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{6\cdot 8}{2}=24.$$

c) Cu teorema lui Pitagora: $AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. Recunoști triunghiul dreptunghic cu laturile $6$, $8$, $10$ — un „$3$–$4$–$5$" mărit de două ori. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată răspunsurile ca puncte, cu ambele coordonate, și verifică-le înlocuind în ecuația inițială.

1. Determină intersecțiile cu axele ale dreptei $3x+2y-6=0$.

2. Determină intersecțiile cu axele ale dreptei $y=4x-8$.

3. Determină intersecțiile cu axele ale dreptei $x-y+5=0$.

4. Determină intersecțiile cu axele ale dreptei $y=-\frac{1}{2}x+3$.

5. Determină intersecțiile cu axele ale dreptei $2x-5y-10=0$.

6. Ce puncte comune are dreapta $y=7$ cu axele de coordonate? Justifică.

7. Ce puncte comune are dreapta $x=-3$ cu axele de coordonate? Justifică.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice dreaptă din plan intersectează ambele axe de coordonate."

9. Determină intersecțiile cu axele ale dreptei $y=3x$. Ce observi?

10. Scrie ecuația dreptei care trece prin $A(-2,0)$ și $B(0,6)$, apoi verifică faptul că $A$ și $B$ sunt chiar tăieturile ei pe axe.

11. Calculează aria triunghiului determinat de dreapta $3x+4y-12=0$ cu axele de coordonate.

12. (Problemă aplicată.) Contul unui abonament de telefon are la început $45$ de lei, iar aplicația consumă $6$ lei pe oră de trafic. Suma rămasă după $x$ ore este $y=45-6x$. Determină intersecțiile graficului cu axele și explică ce înseamnă fiecare.

13. Determină $n$ astfel încât dreapta $y=2x+n$ să intersecteze axa $Oy$ în punctul $(0,-5)$.

14. Determină $m$ astfel încât dreapta $y=mx-4$ să intersecteze axa $Ox$ în punctul $(2,0)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră dreapta $d:4x-3y+24=0$. a) Determină punctele $A=d\cap Ox$ și $B=d\cap Oy$. b) Calculează aria triunghiului $AOB$. c) Calculează lungimea segmentului $AB$.

16. O dreaptă taie axa $Ox$ în $(3,0)$ și axa $Oy$ în $(0,-6)$. Determină panta și ecuația ei.

17. Arată că punctele $A(5,0)$ și $B(0,-4)$ sunt intersecțiile dreptei $4x-5y-20=0$ cu axele de coordonate, apoi calculează aria triunghiului $AOB$.

18. (Provocare.) Determină valorile reale ale lui $m$, $m\ne 0$, pentru care dreapta $y=mx+4$ formează cu axele de coordonate un triunghi de arie $4$.

Răspunsuri și explicații

1. $y=0\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$, deci $A(2,0)$; $x=0\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3$, deci $B(0,3)$.

2. Ordonata la origine este $-8$, deci $(0,-8)$; din $4x-8=0$ rezultă $x=2$, deci $(2,0)$.

3. $y=0\Rightarrow x+5=0\Rightarrow x=-5$, deci $(-5,0)$; $x=0\Rightarrow -y+5=0\Rightarrow y=5$, deci $(0,5)$.

4. $(0,3)$ direct din ecuație; din $-\frac{1}{2}x+3=0$ rezultă $x=6$, deci $(6,0)$.

5. $y=0\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$, deci $(5,0)$; $x=0\Rightarrow -5y=10\Rightarrow y=-2$, deci $(0,-2)$.

6. Dreapta $y=7$ este orizontală. Cu $Oy$: punând $x=0$ obținem punctul $(0,7)$. Cu $Ox$: ar trebui ca $7=0$, ceea ce este fals, deci nu are niciun punct comun cu $Ox$ — este paralelă cu ea, la distanța $7$.

7. Dreapta $x=-3$ este verticală. Cu $Ox$: punând $y=0$ obținem $(-3,0)$. Cu $Oy$: ar trebui ca $-3=0$, fals, deci nu o intersectează; este paralelă cu $Oy$.

8. Fals. Dreptele orizontale $y=b$ (cu $b\ne 0$) nu taie $Ox$, iar cele verticale $x=a$ (cu $a\ne 0$) nu taie $Oy$. Contraexemplul $y=7$ de la exercițiul 6 este suficient.

9. Pentru $x=0$ rezultă $y=0$; pentru $y=0$ rezultă $x=0$. Ambele intersecții sunt același punct, originea $O(0,0)$: dreapta trece prin origine, deci nu formează niciun triunghi cu axele.

10. Panta este $m=\frac{6-0}{0-(-2)}=3$, iar ordonata la origine este $6$ (punctul $B$ este chiar pe $Oy$), deci $y=3x+6$. Verificare: pentru $y=0$ obținem $x=-2$ ✓, iar pentru $x=0$ obținem $y=6$ ✓.

11. Tăieturile: $(4,0)$ și $(0,3)$. Aria $=\frac{4\cdot 3}{2}=6$.

12. $(0,45)$: la începutul lunii sunt $45$ de lei în cont. $(7,5;0)$: după $7$ ore și jumătate de trafic creditul se epuizează. Modelul are sens pentru $x\in [0;7,5]$.

13. Intersecția cu $Oy$ este $(0,n)$, deci $n=-5$, iar dreapta este $y=2x-5$.

14. Punctul $(2,0)$ trebuie să verifice ecuația: $0=2m-4\Rightarrow m=2$. Dreapta este $y=2x-4$.

15. a) $y=0\Rightarrow 4x=-24\Rightarrow x=-6$, deci $A(-6,0)$; $x=0\Rightarrow 3y=24\Rightarrow y=8$, deci $B(0,8)$. b) Catetele sunt $OA=6$ și $OB=8$, deci aria este $\frac{6\cdot 8}{2}=24$. c) $AB=\sqrt{36+64}=10$.

16. Panta din cele două puncte: $m=\frac{-6-0}{0-3}=2$. Ordonata la origine se citește din tăietura pe $Oy$: $n=-6$. Deci $y=2x-6$.

17. Pentru $y=0$: $4x-20=0\Rightarrow x=5$, deci intersecția cu $Ox$ este $A(5,0)$. Pentru $x=0$: $-5y-20=0\Rightarrow y=-4$, deci intersecția cu $Oy$ este $B(0,-4)$. Verificare directă: $4\cdot 5-5\cdot 0-20=0$ ✓ și $4\cdot 0-5\cdot (-4)-20=0$ ✓. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=5$ și $OB=|-4|=4$, deci aria este $\frac{5\cdot 4}{2}=10$.

18. Tăieturile sunt $(0,4)$ pe $Oy$ și, din $mx+4=0$, punctul $\left(-\frac{4}{m},0\right)$ pe $Ox$. Aria este

$$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot |4|\cdot \left|-\frac{4}{m}\right|=\frac{8}{|m|}.$$

Din $\frac{8}{|m|}=4$ rezultă $|m|=2$, deci $m=2$ sau $m=-2$. Verificare pentru $m=2$: tăieturile sunt $(-2,0)$ și $(0,4)$, aria $\frac{2\cdot 4}{2}=4$ ✓; pentru $m=-2$: tăieturile sunt $(2,0)$ și $(0,4)$, aria tot $4$ ✓. Cele două drepte sunt simetrice față de axa $Oy$.

De reținut

• Intersecția cu $Ox$: pui $y=0$ în ecuația dreptei și afli $x$; răspunsul se scrie ca punct, $(x,0)$.
• Intersecția cu $Oy$: pui $x=0$ și afli $y$; răspunsul este punctul $(0,y)$.
• În forma $y=mx+n$, intersecția cu $Oy$ este direct $(0,n)$ — de aceea $n$ se numește ordonata la origine; cealaltă tăietură iese din ecuația $mx+n=0$.
• Nu orice dreaptă taie ambele axe: orizontalele $y=b$ nu taie $Ox$, verticalele $x=a$ nu taie $Oy$, iar dreptele prin origine au ambele tăieturi în același punct, $O$.
• Dacă tăieturile sunt $A(a,0)$ și $B(0,b)$, triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$ și are aria $\frac{|a|\cdot |b|}{2}$, iar $AB=\sqrt{a^2+b^2}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre cele două înlocuiri. Se pune $x=0$ pentru a găsi intersecția cu $Ox$. Reține invers: pe $Ox$ ordonata e nulă, deci pentru $Ox$ pui $y=0$; numele axei îți spune ce coordonată variază, nu ce coordonată anulezi.
• Răspuns dat ca număr, nu ca punct. „Intersecția cu $Ox$ este $6$" e incomplet; corect este punctul $A(6,0)$. La corectare, coordonata lipsă costă.
• Aria calculată fără valoare absolută. Cu tăieturi negative se obține o „arie" negativă. Catetele sunt $|a|$ și $|b|$, deci aria este $\frac{|a|\cdot |b|}{2}$.
• Uitarea cazului dreptei prin origine. Când $n=0$, cele două tăieturi coincid și nu se formează niciun triunghi cu axele — o problemă care cere aria acelui triunghi trebuie tratată separat.
• Semnul greșit la rezolvarea ecuației $mx+n=0$. Pentru $y=-3x+9$ se scrie uneori $x=-3$ în loc de $x=3$. Verifică întotdeauna înlocuind punctul găsit în ecuația inițială.

Aplică acasă

1. Bateria telefonului. Notează procentul bateriei din oră în oră, într-o zi de utilizare obișnuită. Reprezintă perechile (ore, procent) într-un reper și trage cu rigla dreapta care se potrivește cel mai bine. Citește tăietura pe axa verticală (procentul de la care ai pornit) și estimează tăietura pe axa orizontală (peste câte ore se descarcă). Compară cu estimarea telefonului.

2. Bugetul lunii. Scrie suma pe care o ai la începutul lunii și cheltuiala medie zilnică. Formează ecuația $y=S-c\cdot x$, unde $x$ este numărul de zile, apoi calculează cele două intersecții cu axele. Ce zi din lună îți indică tăietura pe $Ox$? Ce ar trebui să schimbi ca ea să treacă de ziua $30$?

3. Rampa de acces. Măsoară cu ruleta lungimea orizontală și înălțimea unei rampe (de la un magazin, o școală, un bloc). Așază originea reperului la baza rampei și scrie ecuația dreptei care o modelează. Verifică apoi, prin calcul, unde ar întâlni această dreaptă axa verticală dacă ar fi prelungită și compară cu înălțimea reală a treptei.

Pentru părinți și profesori

Lecția face parte din unitatea de geometrie analitică a programei de trunchi comun și verifică o deprindere elementară, dar folosită în tot restul liceului: determinarea punctelor în care o dreaptă întâlnește axele de coordonate. Din punct de vedere matematic, întreaga lecție se reduce la înțelegerea faptului că apartenența la o axă înseamnă anularea unei coordonate; restul este rezolvarea unei ecuații de gradul întâi. Din punct de vedere practic, cele două puncte sunt „valoarea inițială" și „momentul epuizării", iar interpretarea lor este cerută explicit de programă, care recomandă abordarea conținuturilor prin contexte practice.

Întrebări bune de control: „Ce coordonată este zero pentru un punct de pe $Ox$?" (ordonata); „Ce înlocuiesc în ecuație ca să găsesc intersecția cu $Oy$?" ($x=0$); „Ce reprezintă numărul $n$ din $y=mx+n$?" (ordonata la origine, adică tăietura pe axa verticală); „Poate o dreaptă să nu taie axa $Ox$?" (da, orice orizontală diferită de $Ox$); „Cum calculezi aria triunghiului format de dreaptă cu axele?" (jumătate din produsul valorilor absolute ale tăieturilor). Semne că elevul a înțeles: scrie răspunsurile ca perechi de coordonate, își verifică singur punctele înlocuindu-le în ecuație, sesizează singur cazurile în care o intersecție lipsește și explică în cuvinte obișnuite ce înseamnă fiecare tăietură într-o problemă cu context.

La teze și la Bacalaureat, cerința apare fie direct („determinați coordonatele punctelor de intersecție ale dreptei $d$ cu axele"), fie ca prim pas într-o problemă mai lungă: aria unui triunghi format cu axele, lungimea unui segment, determinarea unui parametru dintr-o condiție de arie. Recomandăm exersarea până când cele două înlocuiri se fac fără ezitare, pentru că ele nu aduc puncte multe, dar deschid subpunctele următoare.

Întrebări frecvente

Cum aflu unde taie o dreaptă axa Ox? Pui $y=0$ în ecuația dreptei și rezolvi ecuația rămasă, care are o singură necunoscută. Rezultatul se scrie ca punct: dacă obții $x=6$, intersecția este punctul $(6,0)$, nu numărul $6$.

Cum aflu unde taie o dreaptă axa Oy? Pui $x=0$ și afli $y$. Dacă dreapta e scrisă sub forma $y=mx+n$, nici nu e nevoie de calcul: intersecția este direct $(0,n)$.

Ce înseamnă ordonata la origine? Este numărul $n$ din ecuația $y=mx+n$, adică ordonata punctului în care dreapta taie axa $Oy$. În problemele cu context ea reprezintă valoarea de la momentul zero: soldul inițial, taxa fixă, cantitatea de la plecare.

Există drepte care nu intersectează axele? Nicio dreaptă nu poate ocoli ambele axe, dar poate ocoli una singură: dreptele orizontale $y=b$ (cu $b\ne 0$) sunt paralele cu $Ox$ și nu o taie, iar dreptele verticale $x=a$ (cu $a\ne 0$) sunt paralele cu $Oy$.

Ce se întâmplă dacă dreapta trece prin origine? Cele două intersecții coincid și sunt chiar originea $O(0,0)$. Ca să desenezi o astfel de dreaptă îți mai trebuie un punct, pe care îl obții dând lui $x$ o valoare oarecare, de exemplu $x=1$.

Cum calculez aria triunghiului format de o dreaptă cu axele? Afli tăieturile $A(a,0)$ și $B(0,b)$; triunghiul $OAB$ este dreptunghic în origine, cu catetele $|a|$ și $|b|$, deci aria este $\frac{|a|\cdot |b|}{2}$. Valorile absolute sunt obligatorii, pentru că tăieturile pot fi negative.

Care este cea mai rapidă metodă de a desena o dreaptă? Îi calculezi cele două intersecții cu axele, le marchezi (stau chiar pe gradații, deci se pun repede și precis) și unești cu rigla. Metoda nu funcționează doar pentru dreptele care trec prin origine, unde ai nevoie de un al doilea punct ales liber.

La ce mă ajută intersecțiile cu axele într-o problemă practică? Îți dau cele două informații pe care le caută orice analiză: de unde ai pornit și când se termină. Într-un grafic al consumului, tăietura pe axa verticală este cantitatea inițială, iar tăietura pe axa orizontală este momentul în care ea devine zero.