Verificarea coliniarității a trei puncte

Un topograf a măsurat pozițiile a trei stâlpi de iluminat de-a lungul unei alei și le-a trecut în plan, în metri: $S_{1} (1, 2)$ , $S_{2} (3, 6)$ , $S_{3} (5, 10)$ . Întrebarea firească a proiectantului este dacă cei trei stâlpi stau pe aceeași linie dreaptă — pentru că, dacă da, cablul se poate trage direct, fără cot; dacă nu, unul dintre ei a fost pus greșit și trebuie mutat. Ochiul nu e un judecător de încredere aici: la o abatere de câțiva centimetri pe zeci de metri, desenul arată perfect drept, dar cablul nu se potrivește.

Matematica dă un răspuns exact, în trei rânduri de calcul. Trei puncte se numesc coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate. În geometria analitică, această proprietate se traduce într-o egalitate numerică ușor de verificat — și ai la dispoziție două metode echivalente, plus o formă „fără fracții" care funcționează în absolut toate cazurile. În lecția aceasta le înveți pe toate trei, împreună cu tipul de problemă care apare cel mai des la teze și la Bacalaureat: determinarea unui parametru care face trei puncte coliniare.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă, riguros, că trei puncte sunt coliniare și de ce două puncte sunt întotdeauna coliniare.
Vei ști să verifici coliniaritatea comparând pantele $m_{A B}$ și $m_{A C}$ .
Vei ști să verifici coliniaritatea scriind ecuația dreptei prin două dintre puncte și testând al treilea.
Vei ști să folosești forma fără fracții a condiției de coliniaritate, valabilă inclusiv pentru puncte cu abscise egale.
Vei ști să tratezi corect cazurile speciale: puncte pe o verticală, pe o orizontală sau puncte care coincid.
Vei ști să determini un parametru astfel încât trei puncte să fie coliniare și să folosești necoliniaritatea pentru a arăta că trei puncte formează un triunghi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă coliniar

Definiție. Trei puncte $A$ , $B$ , $C$ se numesc coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate trei. În caz contrar spunem că sunt necoliniare.

Observă imediat două lucruri.

Două puncte sunt întotdeauna coliniare. Prin orice două puncte distincte trece o dreaptă (și numai una), deci întrebarea „sunt $A$ și $B$ coliniare?" nu are sens: răspunsul e mereu „da". Problema apare abia de la al treilea punct încolo, când dreapta e deja fixată de primele două și rămâne de văzut dacă noul punct se așază sau nu pe ea.

Necoliniar înseamnă triunghi. Dacă $A$ , $B$ , $C$ sunt distincte și necoliniare, ele sunt vârfurile unui triunghi. De aceea, ori de câte ori o problemă îți cere să arăți că trei puncte formează un triunghi, ceea ce ai de demonstrat este de fapt necoliniaritatea lor.

2. Metoda pantelor

Ideea este simplă: dacă cele trei puncte stau pe aceeași dreaptă, atunci direcția de la $A$ la $B$ trebuie să fie aceeași cu direcția de la $A$ la $C$ . Iar direcția, în geometrie analitică, se măsoară cu panta.

Criteriu. Fie $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ trei puncte cu abscise nu toate egale și cu $x_{A} \neq = x_{B}$ , $x_{A} \neq = x_{C}$ . Punctele sunt coliniare dacă și numai dacă

$m_{A B} = m_{A C}, adic \overset{a}{˘} \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}} .$

De ce funcționează? Dreptele $A B$ și $A C$ au un punct comun, anume $A$ . Dacă au și aceeași pantă, ele au aceeași direcție; două drepte cu aceeași direcție care trec printr-un punct comun coincid, deci $C$ se află pe dreapta $A B$ .

Să verificăm stâlpii din deschidere, $S_{1} (1, 2)$ , $S_{2} (3, 6)$ , $S_{3} (5, 10)$ :

$m_{S_{1} S_{2}} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2, m_{S_{1} S_{3}} = \frac{10 - 2}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2.$

Pantele coincid, deci stâlpii sunt coliniari — cablul se poate trage drept.

Un contraexemplu: $A (- 2, 1)$ , $B (1, 7)$ , $C (3, 10)$ . Avem $m_{A B} = \frac{7 - 1}{1 - ( - 2 )} = \frac{6}{3} = 2$ , iar $m_{B C} = \frac{10 - 7}{3 - 1} = \frac{3}{2}$ . Pantele sunt diferite, deci punctele nu sunt coliniare. (Poți compara oricare două pante dintre cele trei posibile — $m_{A B}$ , $m_{A C}$ , $m_{B C}$ ; important e să pornești comparația de la o pereche care are un punct comun.)

Noțiunea de pantă și proprietățile ei le-ai construit în lecția Panta unei drepte (ca raport); aici o folosim ca instrument de decizie.

3. Metoda ecuației dreptei

A doua metodă e la fel de sigură și are avantajul că, pe drum, îți produce și ecuația dreptei — de care ai adesea nevoie mai departe în problemă.

Algoritmul, în trei pași:

Scrii ecuația dreptei $A B$ (prin două puncte).
Înlocuiești coordonatele lui $C$ în această ecuație.
Dacă egalitatea se verifică, punctele sunt coliniare; dacă nu, sunt necoliniare.

Exemplu: $A (0, - 3)$ , $B (2, 1)$ , $C (5, 7)$ . Panta lui $A B$ este $\frac{1 - ( - 3 )}{2 - 0} = 2$ , iar ordonata la origine se citește direct din $A$ , care e chiar pe axa $O y$ : $n = - 3$ . Deci $A B : y = 2 x - 3$ . Verificăm $C (5, 7)$ : $2 \cdot 5 - 3 = 7$ ✓. Egalitatea e adevărată, deci cele trei puncte sunt coliniare, iar dreapta care le conține este $y = 2 x - 3$ .

Modul complet de a scrie ecuația din două puncte este subiectul lecției Ecuația dreptei care trece prin două puncte date. Aici reține doar strategia de verificare: înlocuiești și compari.

Care metodă e mai bună? Metoda pantelor e mai rapidă când ți se cere doar un răspuns „da/nu". Metoda ecuației e preferabilă când problema continuă („arătați că punctele sunt coliniare și scrieți ecuația dreptei lor") sau când ai de determinat un parametru.

4. Forma fără fracții: criteriul universal

Ambele metode de mai sus se poticnesc într-un singur loc: când două dintre puncte au aceeași abscisă, panta nu există și nu ai ce compara. Soluția e să scapi de fracții, înmulțind „în cruce" egalitatea pantelor:

$\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}} ⟺ (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) .$

Egalitatea din dreapta nu mai are numitori, deci are sens oricare ar fi cele trei puncte — inclusiv când unele abscise coincid. Ea este criteriul universal de coliniaritate la nivelul clasei a IX-a.

Verificăm pe $A (1, 2)$ , $B (4, 5)$ , $C (- 2, - 1)$ :

$(4 - 1) (- 1 - 2) = 3 \cdot (- 3) = - 9, (- 2 - 1) (5 - 2) = (- 3) \cdot 3 = - 9.$

Cele două produse sunt egale, deci punctele sunt coliniare (pe dreapta $y = x + 1$ , cum se verifică imediat).

Un mod util de a citi această egalitate: ea spune că „deplasarea de la $A$ la $B$ " și „deplasarea de la $A$ la $C$ " sunt proporționale — merg în aceeași direcție, doar cu lungimi diferite.

5. Cazuri speciale, tratate cu grijă

Puncte cu aceeași abscisă. Dacă toate trei au aceeași abscisă, ele sunt coliniare, pe verticala respectivă. De exemplu $A (5, - 1)$ , $B (5, 4)$ , $C (5, 9)$ sunt toate pe dreapta $x = 5$ . Metoda pantelor nu se aplică (pantele nu există), dar criteriul fără fracții dă $0 \cdot 10 = 0 \cdot 5$ , adică $0 = 0$ ✓.

Doar două puncte cu aceeași abscisă. Atunci punctele sunt sigur necoliniare: dreapta prin cele două este verticală, iar al treilea, având altă abscisă, nu poate fi pe ea.

Puncte cu aceeași ordonată. Sunt coliniare, pe orizontala respectivă. De exemplu $A (- 3, 2)$ , $B (1, 2)$ , $C (7, 2)$ stau pe $y = 2$ . Aici metoda pantelor funcționează fără probleme: toate pantele sunt $0$ .

Puncte care coincid. Dacă două dintre cele trei puncte sunt identice, condiția de coliniaritate e automat îndeplinită (prin două puncte distincte trece o dreaptă, iar al treilea coincide cu unul dintre ele). Problemele serioase presupun întotdeauna puncte distincte două câte două.

Recunoașterea acestor situații ține de lecția Poziția unei drepte: orizontală, verticală, oblică — încă un motiv pentru care clasificarea de acolo merită știută bine.

6. Problema-tip: determinarea unui parametru

Cel mai frecvent format de examen nu îți cere să verifici, ci să construiești coliniaritatea: se dau două puncte fixe și un al treilea cu o coordonată necunoscută, iar tu trebuie să găsești valoarea care le așază pe toate pe aceeași dreaptă.

Strategia care nu dă greș, în trei pași:

Scrii ecuația dreptei prin cele două puncte complet cunoscute.
Impui ca al treilea punct să verifice această ecuație — obții o ecuație în parametru.
Rezolvi și verifici soluția.

Exemplu: determinați $a$ astfel încât $A (1, 2)$ , $B (3, 8)$ și $C (a, 14)$ să fie coliniare.

Panta lui $A B$ : $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; ecuația: $y - 2 = 3 (x - 1)$ , deci $y = 3 x - 1$ . Impunem ca $C$ să fie pe ea: $14 = 3 a - 1 \Rightarrow 3 a = 15 \Rightarrow a = 5$ .

Verificare: pentru $C (5, 14)$ , panta dreptei $B C$ este $\frac{14 - 8}{5 - 3} = 3$ , egală cu panta lui $A B$ ✓.

O observație de metodă: pornește întotdeauna de la cele două puncte complet cunoscute, chiar dacă în enunț ele nu apar primele. Dacă ai încerca să scrii ecuația unei drepte care trece prin punctul cu parametru, ai obține o ecuație cu litere în ambii membri și calculul s-ar complica fără niciun câștig.

7. Când coliniaritatea e concluzia, nu ipoteza

În multe probleme, coliniaritatea nu ți se dă, ci trebuie demonstrată — iar asta e o mică demonstrație, care se scrie complet: calculezi, compari, tragi concluzia. Formularea corectă la final sună așa: „cum $m_{A B} = m_{A C} = 2$ și dreptele $A B$ , $A C$ au punctul comun $A$ , ele coincid, deci punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare".

Invers, pentru a arăta că trei puncte formează un triunghi, se demonstrează necoliniaritatea: e suficient să găsești două pante diferite. De exemplu, $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ , $C (0, 3)$ au $m_{A B} = 0$ și $A C$ verticală (fără pantă), deci punctele sunt necoliniare și formează un triunghi — chiar dreptunghic în $A$ , cu catetele $4$ și $3$ , deci de arie $6$ .

Coliniaritatea mai are o consecință utilă: dacă $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare, unul dintre ele se află între celelalte două, iar relația dintre distanțe devine o simplă adunare. Când $B$ este mijlocul lui $A C$ , coliniaritatea e automată, pentru că mijlocul unui segment stă, prin definiție, pe acel segment.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Metoda pantelor

Verificați dacă punctele $A (1, 1)$ , $B (2, 3)$ , $C (4, 7)$ sunt coliniare.

Rezolvare. $m_{A B} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$ și $m_{A C} = \frac{7 - 1}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ .

Pantele sunt egale, iar dreptele $A B$ și $A C$ au punctul comun $A$ , deci coincid: punctele sunt coliniare. $■$

Exemplul 2 — Metoda ecuației dreptei

Arătați că punctele $A (- 1, 0)$ , $B (1, 4)$ , $C (2, 6)$ sunt coliniare și scrieți ecuația dreptei care le conține.

Rezolvare. Panta lui $A B$ : $\frac{4 - 0}{1 - ( - 1 )} = \frac{4}{2} = 2$ . Ecuația dreptei $A B$ , prin $A$ : $y - 0 = 2 (x + 1)$ , adică $y = 2 x + 2$ .

Verificăm $C (2, 6)$ : $2 \cdot 2 + 2 = 6$ ✓.

Punctele sunt coliniare, iar dreapta lor este $y = 2 x + 2$ . $■$

Exemplul 3 — Puncte necoliniare

Stabiliți dacă punctele $O (0, 0)$ , $B (3, 2)$ , $C (6, 5)$ sunt coliniare.

Rezolvare. $m_{O B} = \frac{2 - 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$ , iar $m_{O C} = \frac{5 - 0}{6 - 0} = \frac{5}{6}$ .

Cum $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} \neq = \frac{5}{6}$ , pantele sunt diferite: punctele nu sunt coliniare, deci formează un triunghi. $■$

Exemplul 4 — Puncte pe o verticală

Stabiliți dacă punctele $A (5, - 1)$ , $B (5, 4)$ , $C (5, 9)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Toate trei au abscisa $5$ , deci verifică ecuația $x = 5$ : sunt coliniare, pe această dreaptă verticală.

Cu criteriul fără fracții, ca antrenament: $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = 0 \cdot 10 = 0$ și $(x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) = 0 \cdot 5 = 0$ ; produsele sunt egale ✓. Metoda pantelor nu se putea folosi aici, pentru că o dreaptă verticală nu are pantă. $■$

Exemplul 5 — Determinarea unui parametru

Determinați $a \in R$ astfel încât punctele $A (1, 3)$ , $B (4, 9)$ și $C (a, 15)$ să fie coliniare.

Rezolvare. Panta lui $A B$ : $\frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ . Ecuația: $y - 3 = 2 (x - 1)$ , adică $y = 2 x + 1$ .

Impunem ca $C (a, 15)$ să verifice ecuația: $15 = 2 a + 1 \Rightarrow 2 a = 14 \Rightarrow a = 7$ .

Verificare: $m_{B C} = \frac{15 - 9}{7 - 4} = \frac{6}{3} = 2 = m_{A B}$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră punctele $A (1, - 1)$ , $B (3, 3)$ și $C (m, 3 m + 1)$ , $m \in R$ . a) Determinați ecuația dreptei $A B$ . b) Determinați $m$ pentru care punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare.

Rezolvare. a) Panta: $m_{A B} = \frac{3 - ( - 1 )}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ . Ecuația prin $A$ : $y + 1 = 2 (x - 1)$ , deci $A B : y = 2 x - 3$ .

b) Punctul $C$ trebuie să verifice ecuația dreptei $A B$ :

$3 m + 1 = 2 m - 3 \Rightarrow m = - 4.$

Pentru $m = - 4$ obținem $C (- 4, - 11)$ . Verificare: $2 \cdot (- 4) - 3 = - 11$ ✓, deci $C$ se află într-adevăr pe $A B$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată metoda aleasă și încheie cu o concluzie în cuvinte („punctele sunt / nu sunt coliniare"), nu doar cu un calcul.

1. Verifică dacă $A (1, 1)$ , $B (2, 3)$ , $C (4, 7)$ sunt coliniare.

2. Verifică dacă $A (- 1, 0)$ , $B (1, 4)$ , $C (2, 6)$ sunt coliniare și, dacă da, scrie ecuația dreptei lor.

3. Verifică dacă $O (0, 0)$ , $B (3, 2)$ , $C (6, 5)$ sunt coliniare.

4. Verifică dacă $A (- 3, 2)$ , $B (1, 2)$ , $C (7, 2)$ sunt coliniare și precizează poziția dreptei lor.

5. Verifică dacă $A (5, - 1)$ , $B (5, 4)$ , $C (5, 9)$ sunt coliniare și precizează poziția dreptei lor.

6. Arată că $A (2, - 1)$ , $B (4, 3)$ și $C (- 1, - 7)$ sunt coliniare și scrie ecuația dreptei care le conține.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Trei puncte care au abscise diferite două câte două nu pot fi coliniare."

8. Determină $a \in R$ astfel încât $A (1, 3)$ , $B (4, 9)$ și $C (a, 15)$ să fie coliniare.

9. Determină $b \in R$ astfel încât $A (- 2, 1)$ , $B (2, b)$ și $C (6, 13)$ să fie coliniare.

10. Punctele $A (1, 4)$ și $B (3, 8)$ determină o dreaptă. Verifică dacă $D (7, 16)$ aparține acestei drepte.

11. Verifică dacă $A (0, 5)$ , $B (2, 1)$ și $C (- 3, 11)$ sunt coliniare.

12. (Problemă aplicată.) Pe harta unei comune, trei sate au coordonatele $S_{1} (0, 0)$ , $S_{2} (4, 3)$ și $S_{3} (12, 9)$ , exprimate în kilometri. Se poate construi un singur drum drept care să treacă prin toate trei? Justifică.

13. Arată, folosind forma fără fracții a condiției de coliniaritate, că punctele $A (1, 2)$ , $B (4, 5)$ și $C (- 2, - 1)$ sunt coliniare.

14. Arată că punctele $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ și $C (0, 3)$ nu sunt coliniare, precizează ce figură formează și calculează-i aria.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră punctele $A (1, - 1)$ , $B (3, 3)$ și $C (m, 3 m + 1)$ , $m \in R$ . a) Determină ecuația dreptei $A B$ . b) Determină $m$ pentru care $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare.

16. Determină $m \in R$ astfel încât punctele $A (m, 1)$ , $B (2, 3)$ și $C (5, 9)$ să fie coliniare.

17. Verifică dacă $A (- 4, - 3)$ , $B (0, - 1)$ și $C (8, 3)$ sunt coliniare și scrie ecuația dreptei lor.

18. (Provocare.) Determină $a \in R^{*}$ astfel încât punctele $A (a, 0)$ , $B (0, 6)$ și $C (1, 2)$ să fie coliniare.

Răspunsuri și explicații

1. $m_{A B} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$ , $m_{A C} = \frac{7 - 1}{4 - 1} = 2$ . Pantele fiind egale și dreptele având punctul comun $A$ , punctele sunt coliniare (pe $y = 2 x - 1$ ).

2. $m_{A B} = \frac{4 - 0}{1 + 1} = 2$ , ecuația $A B : y = 2 x + 2$ . Pentru $C (2, 6)$ : $2 \cdot 2 + 2 = 6$ ✓, deci punctele sunt coliniare, pe dreapta $y = 2 x + 2$ .

3. $m_{O B} = \frac{2}{3}$ , $m_{O C} = \frac{5}{6}$ . Cum $\frac{2}{3} \neq = \frac{5}{6}$ , punctele nu sunt coliniare.

4. Toate trei au ordonata $2$ , deci verifică ecuația $y = 2$ : sunt coliniare, pe o dreaptă orizontală. Toate pantele sunt $0$ .

5. Toate trei au abscisa $5$ , deci verifică $x = 5$ : sunt coliniare, pe o dreaptă verticală. Metoda pantelor nu se aplică (verticala nu are pantă); se folosește direct ecuația sau forma fără fracții.

6. $m_{A B} = \frac{3 - ( - 1 )}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$ și $m_{A C} = \frac{- 7 - ( - 1 )}{- 1 - 2} = \frac{- 6}{- 3} = 2$ . Punctele sunt coliniare. Ecuația prin $A (2, - 1)$ cu panta $2$ : $y + 1 = 2 (x - 2)$ , deci $y = 2 x - 5$ . Verificare pe $B$ : $8 - 5 = 3$ ✓; pe $C$ : $- 2 - 5 = - 7$ ✓.

7. Fals. Abscisele diferite nu împiedică deloc coliniaritatea — dimpotrivă, este situația obișnuită pentru o dreaptă oblică. Contraexemplu: $A (1, 2)$ , $B (3, 6)$ , $C (5, 10)$ au abscise diferite și sunt coliniare, pe dreapta $y = 2 x$ .

8. $m_{A B} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ , deci $A B : y = 2 x + 1$ . Impunem $15 = 2 a + 1$ , de unde $a = 7$ . Verificare: $m_{B C} = \frac{15 - 9}{7 - 4} = 2$ ✓.

9. Folosim punctele complet cunoscute, $A$ și $C$ : $m_{A C} = \frac{13 - 1}{6 - ( - 2 )} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . Ecuația prin $A (- 2, 1)$ : $y - 1 = \frac{3}{2} (x + 2)$ , adică $y = \frac{3}{2} x + 4$ . Pentru $x = 2$ : $b = 3 + 4 = 7$ .

10. $m_{A B} = \frac{8 - 4}{3 - 1} = 2$ , deci $A B : y = 2 x + 2$ . Pentru $D (7, 16)$ : $2 \cdot 7 + 2 = 16$ ✓, deci $D$ aparține dreptei $A B$ (punctele $A$ , $B$ , $D$ sunt coliniare).

11. $m_{A B} = \frac{1 - 5}{2 - 0} = - 2$ , deci $A B : y = - 2 x + 5$ . Pentru $C (- 3, 11)$ : $- 2 \cdot (- 3) + 5 = 11$ ✓. Punctele sunt coliniare.

12. $m_{S_{1} S_{2}} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac{3}{4}$ și $m_{S_{1} S_{3}} = \frac{9 - 0}{12 - 0} = \frac{3}{4}$ . Pantele coincid, deci cele trei sate sunt coliniare: da, se poate construi un singur drum drept, de ecuație $y = \frac{3}{4} x$ .

13. $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (4 - 1) (- 1 - 2) = 3 \cdot (- 3) = - 9$ și $(x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) = (- 2 - 1) (5 - 2) = (- 3) \cdot 3 = - 9$ . Produsele fiind egale, punctele sunt coliniare (pe dreapta $y = x + 1$ ).

14. $m_{A B} = \frac{0 - 0}{4 - 0} = 0$ , iar dreapta $A C$ este verticală ( $x = 0$ ), deci nu are pantă: direcțiile sunt diferite, punctele nu sunt coliniare. Ele formează un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în $A$ , cu catetele $A B = 4$ și $A C = 3$ , deci aria este $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .

15. a) $m_{A B} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$ , ecuația prin $A (1, - 1)$ : $y + 1 = 2 (x - 1)$ , deci $A B : y = 2 x - 3$ . b) Impunem ca $C$ să verifice ecuația: $3 m + 1 = 2 m - 3 \Rightarrow m = - 4$ , deci $C (- 4, - 11)$ . Verificare: $2 \cdot (- 4) - 3 = - 11$ ✓.

16. Pornim de la punctele complet cunoscute: $m_{B C} = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$ , deci $B C : y - 3 = 2 (x - 2)$ , adică $y = 2 x - 1$ . Impunem ca $A (m, 1)$ să fie pe ea: $1 = 2 m - 1 \Rightarrow m = 1$ . Verificare: $A (1, 1)$ , $B (2, 3)$ , $C (5, 9)$ au $m_{A B} = 2$ și $m_{A C} = \frac{8}{4} = 2$ ✓.

17. $m_{A B} = \frac{- 1 - ( - 3 )}{0 - ( - 4 )} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ și $m_{B C} = \frac{3 - ( - 1 )}{8 - 0} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Punctele sunt coliniare. Ordonata la origine se citește din $B (0, - 1)$ , care e pe axa $O y$ : dreapta este $y = \frac{1}{2} x - 1$ .

18. Punctele $A (a, 0)$ și $B (0, 6)$ sunt tăieturile dreptei pe axe, deci panta ei este $m = \frac{6 - 0}{0 - a} = - \frac{6}{a}$ , iar ecuația, cu ordonata la origine $6$ , este $y = - \frac{6}{a} x + 6$ . Impunem ca $C (1, 2)$ să fie pe dreaptă:

$2 = - \frac{6}{a} + 6 \Rightarrow \frac{6}{a} = 4 \Rightarrow a = \frac{3}{2} .$

Verificare: pentru $a = \frac{3}{2}$ , panta este $- \frac{6}{3/2} = - 4$ , iar dreapta $y = - 4 x + 6$ ; pentru $x = 1$ obținem $y = 2$ ✓.

De reținut

Trei puncte sunt coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate; două puncte sunt întotdeauna coliniare, iar trei puncte necoliniare formează un triunghi.
Metoda pantelor: $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $m_{A B} = m_{A C}$ (dreptele au punctul comun $A$ și aceeași direcție, deci coincid).
Metoda ecuației: scrii ecuația dreptei $A B$ și verifici dacă $C$ o satisface; are avantajul că îți lasă în mână și ecuația dreptei.
Forma fără fracții, valabilă în toate cazurile: $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ — singura care funcționează și când două puncte au aceeași abscisă.
Problema-tip cu parametru: scrii ecuația dreptei prin cele două puncte complet cunoscute, impui ca al treilea punct să o verifice și rezolvi ecuația obținută.

Greșeli frecvente

Compararea a două pante fără punct comun. Se calculează $m_{A B}$ și se compară cu... o pantă calculată greșit, amestecând coordonatele. Alege perechile astfel încât să aibă un punct comun ( $m_{A B}$ cu $m_{A C}$ , sau $m_{A B}$ cu $m_{B C}$ ) și respectă ordinea coordonatelor în ambele diferențe.
Aplicarea metodei pantelor la puncte cu aceeași abscisă. Panta nu există acolo, iar scrierea unei fracții cu numitorul $0$ este o eroare. Folosește forma fără fracții sau observă direct verticala.
Inversarea diferențelor. În formula pantei, numărătorul și numitorul trebuie luate în aceeași ordine a punctelor: $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , nu $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{A} - x _{B}}$ . Inversarea schimbă semnul și strică rezultatul.
Concluzia trasă fără verificare la problemele cu parametru. După ce ai găsit valoarea, înlocuiește-o și verifică efectiv coliniaritatea — este singurul mod de a prinde o greșeală de calcul.
Confuzia dintre „coliniare" și „egale". Puncte coliniare sunt puncte diferite așezate pe aceeași dreaptă; faptul că două dintre ele au o coordonată comună nu le face nici coliniare cu al treilea, nici identice.

Aplică acasă

Alinierea din curte. Alege trei obiecte fixe din curte sau din parcul de lângă bloc (doi stâlpi și un copac, de exemplu). Stabilește un colț drept origine, măsoară cu pasul sau cu ruleta coordonatele fiecăruia și verifică prin calcul dacă sunt aliniate. Confirmă apoi practic: așază-te în dreptul primului obiect și privește — dacă cele trei se suprapun, sunt coliniare.
Test de coliniaritate pe o factură. Ia trei facturi la utilități din luni diferite și notează perechile (consum, sumă de plată). Verifică dacă cele trei puncte sunt coliniare. Dacă sunt, tariful este liniar și îl poți deduce din pantă; dacă nu, înseamnă că factura conține și o componentă care nu depinde liniar de consum. Ce ai descoperit?
Traseul pe hartă. Deschide o hartă digitală și alege trei intersecții de pe același bulevard drept. Citește coordonatele lor pe grila hărții și verifică matematic coliniaritatea. Repetă apoi cu trei intersecții de pe străzi diferite și compară rezultatele — vei vedea cât de sensibil e criteriul.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă un obiectiv explicit al programei de trunchi comun: verificarea coliniarității a trei puncte date, utilizând ecuația unei drepte. Este o lecție de sinteză pentru toată unitatea de geometrie analitică parcursă până acum, pentru că folosește simultan panta, ecuația dreptei prin două puncte și verificarea apartenenței unui punct la o dreaptă. Din punct de vedere formativ, ea introduce și un tip de raționament valoros: o proprietate geometrică (a sta pe aceeași dreaptă) se traduce într-o egalitate numerică verificabilă mecanic.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că trei puncte sunt coliniare?" (există o dreaptă care le conține pe toate); „De ce compararea pantelor decide coliniaritatea?" (dreptele $A B$ și $A C$ au punctul comun $A$ ; aceeași pantă înseamnă aceeași direcție, deci coincid); „Când nu poți folosi metoda pantelor?" (când două puncte au aceeași abscisă, pentru că verticala nu are pantă); „Cum arăți că trei puncte formează un triunghi?" (demonstrând că nu sunt coliniare); „Ce faci la o problemă cu parametru?" (scrii ecuația dreptei prin cele două puncte cunoscute și impui ca al treilea să o verifice). Semne că elevul a înțeles: alege singur metoda potrivită în funcție de date, sesizează cazul verticalei fără să fie avertizat, își verifică soluția la final și formulează concluzia în cuvinte, nu doar prin calcul.

La teze și la Bacalaureat, coliniaritatea apare în două forme: verificarea directă pentru trei puncte cu coordonate numerice și, mult mai des, determinarea unui parametru care asigură coliniaritatea. Al doilea format merită exersat până devine automat, pentru că el se rezolvă întotdeauna la fel, indiferent de datele problemei.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că trei puncte sunt coliniare? Înseamnă că există o dreaptă care le conține pe toate trei. Două puncte sunt întotdeauna coliniare, pentru că prin ele trece o dreaptă; abia al treilea punct poate strica alinierea.

Cum verific cel mai repede dacă trei puncte sunt coliniare? Calculezi pantele $m_{A B}$ și $m_{A C}$ și le compari. Dacă sunt egale, punctele sunt coliniare, pentru că dreptele $A B$ și $A C$ au punctul comun $A$ și aceeași direcție, deci coincid.

Ce fac dacă două dintre puncte au aceeași abscisă? Nu folosești pantele, pentru că dreapta prin ele este verticală și nu are pantă. Folosești fie observația directă (toate trei sunt coliniare doar dacă toate au aceeași abscisă), fie forma fără fracții: $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ .

Care este condiția de coliniaritate fără fracții? Este $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ , obținută înmulțind „în cruce" egalitatea pantelor. Avantajul ei este că funcționează pentru orice trei puncte, inclusiv pentru cele așezate pe o verticală.

Cum arăt că trei puncte formează un triunghi? Demonstrezi că nu sunt coliniare: găsești două pante diferite (sau două produse diferite în forma fără fracții). Trei puncte distincte și necoliniare sunt exact vârfurile unui triunghi.

Cum determin parametrul pentru care trei puncte sunt coliniare? Scrii ecuația dreptei prin cele două puncte ale căror coordonate sunt complet cunoscute, apoi impui ca al treilea punct să verifice acea ecuație. Obții o ecuație în parametru, o rezolvi și verifici soluția.

Contează ordinea în care iau punctele? Nu pentru rezultat: coliniaritatea este o proprietate a mulțimii celor trei puncte. Contează însă pentru comoditatea calculului — alege ca „punct de plecare" pe cel cu coordonate simple (de exemplu unul aflat pe o axă) și pornește ambele pante din el.

Coliniaritatea are legătură cu mijlocul unui segment? Da: mijlocul unui segment se află, prin definiție, pe acel segment, deci punctele $A$ , mijlocul lui $A C$ și $C$ sunt întotdeauna coliniare. Reciproca nu e adevărată — trei puncte pot fi coliniare fără ca vreunul să fie mijlocul celorlalte două.