Panta unei drepte, ca raport

Ai văzut de sute de ori indicatorul rutier triunghiular cu o pantă desenată și un procent scris dedesubt: „ $12%$ ". Aproape nimeni nu se oprește să se întrebe ce înseamnă exact acel număr — și totuși e o informație perfect precisă: pe fiecare $100$ de metri parcurși pe orizontală, drumul urcă $12$ metri pe verticală. Nu $12$ grade, nu $12$ metri de asfalt: doisprezece metri de urcare la o sută de metri de înaintare.

Același număr descrie înclinarea unei rampe pentru cărucioare, panta unui acoperiș, abruptul unei pârtii de schi și — mult mai des decât ai crede — ritmul cu care crește o factură, scade nivelul dintr-un rezervor sau se răcește un cuptor. Matematica îl numește panta dreptei și îl notează cu $m$ . În lecția aceasta îl construim riguros, ca raport între două variații, îi citim semnul, îl interpretăm ca ritm de schimbare și învățăm să-l recunoaștem dintr-o ecuație dată. Este numărul care descrie complet direcția unei drepte — și fără el nu poți scrie ecuația niciunei drepte oblice.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi panta unei drepte determinate de două puncte cu formula $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Vei ști să demonstrezi că panta nu depinde de perechea de puncte aleasă pe dreaptă și nici de ordinea lor.
Vei ști să citești semnul pantei: dreaptă care urcă, dreaptă care coboară, dreaptă orizontală.
Vei ști de ce dreptele verticale nu au pantă și cum recunoști imediat această situație.
Vei ști să interpretezi panta ca rată de variație („cu cât se schimbă $y$ când $x$ crește cu $1$ ") în contexte reale.
Vei ști să evidențiezi panta dintr-o ecuație dată, atât din forma $y = m x + n$ , cât și din forma generală.
Vei ști să compari cât de abrupte sunt două drepte și să exprimi panta în procente.

Hai să descoperim împreună

1. Ce măsoară, de fapt, indicatorul de „pantă 12%"

Pornim de la situația concretă. Un drum urcă uniform: la fiecare deplasare pe orizontală, câștigă o anumită înălțime. Ce număr descrie această înclinare fără să depindă de cât de lungă e porțiunea măsurată?

Nu poate fi „urcarea", pentru că pe $100$ m urci $12$ m, iar pe $500$ m urci $60$ m — numere diferite pentru același drum. Nu poate fi nici „deplasarea orizontală", din același motiv. Singurul lucru care rămâne constant este raportul dintre ele:

$\frac{12}{100} = \frac{60}{500} = 0, 12 = 12%.$

Acesta este miezul întregii lecții: înclinarea unui drum drept nu se măsoară cu o lungime, ci cu un raport de lungimi. Panta este acest raport, iar procentul este doar felul rutier de a-l scrie.

2. Definiția: panta ca raport între două variații

Trecem în reperul cartezian. Fie $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ două puncte distincte, cu $x_{1} \neq = x_{2}$ . Deplasarea de la $A$ la $B$ are două componente, exact ca la orientarea pe hartă:

$Δ x = x_{2} - x_{1} (varia ț ia pe orizontal \overset{a}{˘}), Δ y = y_{2} - y_{1} (varia ț ia pe vertical \overset{a}{˘}) .$

Definiție. Se numește pantă a dreptei $A B$ numărul real

$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} .$

În limbaj de indicator rutier: $Δ y$ este „urcarea", $Δ x$ este „deplasarea", iar $m$ este raportul lor. Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 11)$ :

$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3,$

adică dreapta urcă trei unități la fiecare unitate parcursă spre dreapta.

Panta se scrie de preferință ca fracție ireductibilă sau ca număr întreg, nu ca zecimală aproximativă: $\frac{2}{3}$ este exact, $0, 67$ nu este. Acest obicei devine esențial la lecțiile următoare, unde panta intră direct în ecuația dreptei.

3. De ce panta nu depinde de punctele alese

O întrebare legitimă: dacă aleg alte două puncte pe aceeași dreaptă, obțin același număr? Dacă nu, definiția nu ar avea sens.

Afirmație. Pentru orice două perechi de puncte distincte de pe aceeași dreaptă neverticală, raportul $\frac{Δ y}{Δ x}$ are aceeași valoare.

Justificare. Fie $A$ , $B$ o pereche și $C$ , $D$ altă pereche de puncte de pe dreapta $d$ . Construim, pentru fiecare pereche, triunghiul dreptunghic cu o catetă orizontală și una verticală (cateta orizontală măsoară $∣Δ x ∣$ , cea verticală $∣Δ y ∣$ ). Cele două triunghiuri au câte un unghi drept, iar unghiurile formate de dreapta $d$ cu cele două catete orizontale sunt congruente, fiind unghiuri corespondente determinate de secanta $d$ pe două paralele (ambele catete orizontale sunt paralele cu $O x$ ). Având două unghiuri respectiv congruente, triunghiurile sunt asemenea, deci laturile lor sunt proporționale:

$\frac{∣Δ y _{A B} ∣}{∣Δ x _{A B} ∣} = \frac{∣Δ y _{C D} ∣}{∣Δ x _{C D} ∣} .$

Cum ambele perechi „merg în același sens" pe dreaptă (semnele lui $Δ y$ și $Δ x$ se corelează identic), egalitatea are loc și cu semne. Așadar panta este o caracteristică a dreptei, nu a punctelor alese pe ea. $■$

Un caz particular al ordinii: dacă inversezi punctele, ambele variații își schimbă semnul, iar raportul rămâne neschimbat:

$\frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}} = \frac{- ( y _{2} - y _{1} )}{- ( x _{2} - x _{1} )} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = m .$

Deci nu contează de la care punct pleci. Ce contează enorm este să nu amesteci ordinea: dacă la numărător scazi „al doilea minus primul", la numitor faci exact la fel.

4. Semnul pantei: urcă, coboară sau e la nivel

Semnul lui $m$ conține informația calitativă despre dreaptă, citită mereu de la stânga la dreapta (adică în sensul creșterii lui $x$ ):

$m > 0$ — dreapta urcă: când $x$ crește, $y$ crește. Variațiile $Δ x$ și $Δ y$ au același semn.
$m < 0$ — dreapta coboară: când $x$ crește, $y$ scade. Variațiile au semne contrare.
$m = 0$ — dreapta este orizontală (paralelă cu $O x$ ): $Δ y = 0$ pentru orice pereche de puncte, deci ordonata nu se schimbă deloc.

Exemplu de fiecare: prin $A (1, 2)$ și $B (4, 11)$ , panta este $3 > 0$ , dreaptă ascendentă. Prin $C (- 2, 5)$ și $D (3, - 5)$ , panta este $\frac{- 5 - 5}{3 + 2} = \frac{- 10}{5} = - 2 < 0$ , dreaptă descendentă. Prin $G (- 3, 4)$ și $H (5, 4)$ , panta este $\frac{4 - 4}{5 + 3} = \frac{0}{8} = 0$ , dreaptă orizontală.

5. Dreptele verticale nu au pantă

Ce se întâmplă dacă cele două puncte au aceeași abscisă? Pentru $P (2, 1)$ și $Q (2, 7)$ :

$Δ x = 2 - 2 = 0, Δ y = 7 - 1 = 6,$

iar raportul $\frac{6}{0}$ nu are sens: împărțirea la zero nu este definită. Concluzia nu este că panta ar fi „infinită" sau „foarte mare", ci că dreapta verticală nu are pantă. Formularea corectă la teză și la examen este exact aceasta: „dreapta $P Q$ este verticală, deci nu are pantă".

Intuiția din lumea reală confirmă: un perete vertical nu are un procent de înclinare — nu poți spune „urcă atât la o sută de metri de deplasare", pentru că deplasarea orizontală este nulă. De aceea definiția pantei cere explicit $x_{1} \neq = x_{2}$ .

Reține deci contrastul care se cere frecvent: dreapta orizontală are pantă și aceasta este $0$ ; dreapta verticală nu are pantă deloc. Sunt situații complet diferite, deși ambele arată „simplu" pe desen.

6. Panta ca rată de variație

Rescriem definiția sub forma $Δ y = m \cdot Δ x$ și citim: când $x$ crește cu o unitate, $y$ se schimbă cu $m$ unități. Aceasta este interpretarea care face panta utilă departe de geometrie.

Câteva traduceri directe, toate cu drepte în spate:

Un taxi percepe $2, 5$ lei pe kilometru: dreapta costului are panta $2, 5$ (lei per kilometru).
Un rezervor pierde $5$ litri pe oră: dreapta nivelului are panta $- 5$ (litri per oră), negativă pentru că scade.
Temperatura aerului scade cu aproximativ $6°$ C la fiecare $1000$ m de altitudine: panta este $- 0, 006$ (grade per metru).
O lumânare se consumă cu $2$ cm pe oră: panta este $- 2$ (centimetri per oră).

Observă că panta are, în context, o unitate de măsură compusă: „unități de $y$ per unitate de $x$ ". Fără această unitate, numărul nu poate fi interpretat. Iar semnul spune, ca întotdeauna, dacă mărimea crește sau scade. Această citire a pantei ca ritm de schimbare este exact ceea ce transformă geometria analitică într-un instrument de modelare, și ea revine la fiecare aplicație practică din ecuația dreptei determinate de două puncte.

7. Panta citită dintr-o ecuație dată

De multe ori dreapta nu îți este dată prin puncte, ci printr-o ecuație. Recunoașterea pantei este atunci imediată — cu condiția să aduci ecuația la forma potrivită.

Dacă ecuația este scrisă sub forma $y = m x + n$ , panta este chiar coeficientul lui $x$ . Pentru $y = - 3 x + 5$ , panta este $m = - 3$ ; pentru $y = \frac{2}{3} x - 1$ , panta este $m = \frac{2}{3}$ ; pentru $y = 7$ (adică $y = 0 \cdot x + 7$ ), panta este $m = 0$ .

Dacă ecuația este dată sub forma generală, cu toți termenii într-o parte, izolezi $y$ și apoi citești coeficientul. Pentru $2 x - 3 y + 6 = 0$ :

$3 y = 2 x + 6 \Rightarrow y = \frac{2}{3} x + 2 \Rightarrow m = \frac{2}{3} .$

Pentru $5 x + 2 y - 4 = 0$ : $2 y = - 5 x + 4$ , deci $y = - \frac{5}{2} x + 2$ și $m = - \frac{5}{2}$ . Iar pentru $3 x + 4 y = 12$ : $4 y = - 3 x + 12$ , deci $y = - \frac{3}{4} x + 3$ și $m = - \frac{3}{4}$ .

Un caz special de reținut: ecuația $x = 4$ nu poate fi adusă la forma $y = m x + n$ , pentru că nu conține deloc $y$ — este o dreaptă verticală, deci fără pantă. Aici doar citim panta dintr-o ecuație deja scrisă; drumul invers, de la date la ecuație, îl parcurgem în ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată.

8. Cât de abruptă este o dreaptă și cum o exprimi în procente

Semnul lui $m$ spune sensul; modulul lui $m$ spune cât de abruptă e dreapta. Cu cât $∣ m ∣$ este mai mare, cu atât dreapta e mai apropiată de verticală; cu cât $∣ m ∣$ e mai mic, cu atât e mai aproape de orizontală. Astfel, dintre pantele $\frac{3}{4}$ , $- 2$ și $\frac{5}{3}$ , cea mai abruptă dreaptă este cea cu $m = - 2$ , pentru că $∣ - 2∣ = 2$ este cel mai mare modul — deși e singura care coboară.

Un reper util: dreapta cu $m = 1$ urcă exact cu o unitate la o unitate, adică face un unghi de $45°$ cu axa $O x$ . Pantele cu $∣ m ∣ < 1$ dau drepte „domoale", cele cu $∣ m ∣ > 1$ dau drepte „abrupte".

Trecerea la procente este simplă: $m$ exprimat în procente înseamnă $m \cdot 100%$ . O rampă cu panta $\frac{1}{12}$ are $\frac{100}{12} \approx 8, 3%$ ; un acoperiș care urcă $3$ m pe o deplasare de $4$ m are panta $\frac{3}{4} = 0, 75 = 75%$ . Invers, un drum de $8%$ pe o porțiune cu deplasarea orizontală de $250$ m urcă $0, 08 \cdot 250 = 20$ m.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Pantă pozitivă

Calculați panta dreptei determinate de punctele $A (- 1, - 4)$ și $B (3, 2)$ și interpretați rezultatul.

Rezolvare. Aplicăm formula, cu grijă la semnele numerelor negative:

$m = \frac{2 - ( - 4 )}{3 - ( - 1 )} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} .$

Panta este pozitivă, deci dreapta urcă de la stânga la dreapta. Interpretarea concretă a fracției: la fiecare $2$ unități parcurse spre dreapta, dreapta urcă $3$ unități. Echivalent, la o unitate spre dreapta urcă $1, 5$ unități. $■$

Exemplul 2 — Pantă negativă

Calculați panta dreptei $C D$ , unde $C (1, 5)$ și $D (6, - 5)$ .

Rezolvare.

$m = \frac{- 5 - 5}{6 - 1} = \frac{- 10}{5} = - 2.$

Panta negativă arată o dreaptă descendentă: la fiecare unitate spre dreapta, dreapta coboară cu $2$ unități. Verificare cu ordinea inversată, ca să vedem că nu contează:

$\frac{5 - ( - 5 )}{1 - 6} = \frac{10}{- 5} = - 2 ✓$

Ambele variații și-au schimbat semnul, iar raportul a rămas același. $■$

Exemplul 3 — Orizontală și verticală

Stabiliți panta dreptei $E F$ cu $E (2, 3)$ , $F (8, 3)$ și panta dreptei $P Q$ cu $P (2, 1)$ , $Q (2, 7)$ .

Rezolvare. Pentru $E F$ : $m = \frac{3 - 3}{8 - 2} = \frac{0}{6} = 0$ . Dreapta este orizontală și are pantă, egală cu zero.

Pentru $P Q$ : $Δ x = 2 - 2 = 0$ , iar raportul $\frac{7 - 1}{0}$ nu este definit. Dreapta $P Q$ este verticală, deci nu are pantă. Formularea „panta este infinită" este greșită și se depunctează. $■$

Exemplul 4 — Panta din ecuație

Determinați panta fiecărei drepte: a) $y = - 3 x + 5$ ; b) $4 x + 6 y - 9 = 0$ ; c) $x = 4$ .

Rezolvare. a) Ecuația este deja sub forma $y = m x + n$ , deci $m = - 3$ .

b) Izolăm $y$ : $6 y = - 4 x + 9$ , de unde $y = - \frac{4}{6} x + \frac{9}{6} = - \frac{2}{3} x + \frac{3}{2}$ . Panta este $m = - \frac{2}{3}$ (fracția se simplifică obligatoriu).

c) Ecuația nu conține $y$ : dreapta este verticală și nu are pantă. $■$

Exemplul 5 — Panta ca rată de variație

Într-un cuptor care se răcește uniform, temperatura este de $180°$ C după $10$ minute și de $120°$ C după $25$ de minute. Calculați panta dreptei care descrie temperatura în funcție de timp și interpretați-o.

Rezolvare. Punem timpul pe axa absciselor și temperatura pe axa ordonatelor. Cele două măsurători sunt punctele $(10, 180)$ și $(25, 120)$ :

$m = \frac{120 - 180}{25 - 10} = \frac{- 60}{15} = - 4.$

Panta este $- 4$ grade Celsius pe minut: cuptorul pierde $4°$ C în fiecare minut. Semnul negativ codifică răcirea, iar valoarea absolută dă ritmul. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 7)$ și $B (6, 2)$ . a) Calculați panta dreptei $A B$ . b) Determinați coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $A B$ și verificați că dreapta $A M$ are aceeași pantă ca $A B$ . c) Determinați numărul real $k$ pentru care dreapta determinată de $A$ și $E (6, k)$ are panta $\frac{1}{2}$ .

Rezolvare. a) $m_{A B} = \frac{2 - 7}{6 - ( - 4 )} = \frac{- 5}{10} = - \frac{1}{2}$ . Dreapta coboară.

b) $M (\frac{- 4 + 6}{2}, \frac{7 + 2}{2}) = M (1, \frac{9}{2})$ . Atunci

$m_{A M} = \frac{\frac{9}{2} - 7}{1 - ( - 4 )} = \frac{- \frac{5}{2}}{5} = - \frac{1}{2} = m_{A B} ✓$

Confirmă proprietatea demonstrată: panta nu depinde de perechea de puncte aleasă pe dreaptă.

c) Punem condiția din definiție și rezolvăm ecuația în $k$ :

$\frac{k - 7}{6 - ( - 4 )} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{k - 7}{10} = \frac{1}{2} \Rightarrow k - 7 = 5 \Rightarrow k = 12.$

Verificare: pentru $E (6, 12)$ , panta este $\frac{12 - 7}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare pantă, scrie rezultatul ca fracție ireductibilă sau ca număr întreg și spune într-o propoziție ce înseamnă: dreapta urcă, coboară sau e orizontală.

1. Calculează panta dreptei determinate de $A (1, 2)$ și $B (4, 11)$ .

2. Calculează panta dreptei $C D$ , unde $C (- 2, 5)$ și $D (3, - 5)$ .

3. Calculează panta dreptei determinate de $E (- 1, - 4)$ și $F (3, 2)$ .

4. Ce pantă are dreapta determinată de $G (- 3, 4)$ și $H (5, 4)$ ? Ce fel de dreaptă este?

5. Explică de ce dreapta determinată de $P (2, 1)$ și $Q (2, 7)$ nu are pantă.

6. Calculează panta dreptei determinate de $M (0, 3)$ și $N (5, 1)$ și precizează dacă dreapta urcă sau coboară.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă schimbi ordinea celor două puncte în formula pantei, obții panta cu semn schimbat."

8. Fie $A (- 6, - 1)$ și $B (2, 3)$ . Calculează panta dreptei $A B$ , apoi calculează panta dreptei determinate de $A$ și mijlocul segmentului $A B$ . Ce observi?

9. Un drum urcă $45$ m pe o deplasare orizontală de $600$ m. Ce pantă are, exprimată în procente?

10. (Problemă aplicată.) Un indicator anunță o pantă de $8%$ . Cu cât urcă drumul pe o porțiune cu deplasarea orizontală de $250$ m?

11. Determină panta fiecărei drepte: a) $y = - 3 x + 5$ ; b) $2 x - 3 y + 6 = 0$ ; c) $3 x + 4 y = 12$ ; d) $y = 7$ .

12. Dintre dreptele cu pantele $m_{1} = \frac{3}{4}$ , $m_{2} = - 2$ și $m_{3} = \frac{5}{3}$ , care este cea mai abruptă? Justifică.

13. (Problemă aplicată.) O rampă pentru cărucioare trebuie să urce $40$ cm pe o lungime orizontală de $5$ m. Ce pantă are, în procente? Se încadrează în limita admisă de $8%$ ?

14. O dreaptă are panta $m = - \frac{3}{2}$ și trece prin $A (4, - 1)$ . Găsește coordonatele altui punct al ei, cu ambele coordonate întregi, și verifică panta.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 2, 4)$ și $B (6, - 4)$ . a) Calculați panta dreptei $A B$ . b) Determinați coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $A B$ și arătați că dreapta $A M$ are aceeași pantă ca dreapta $A B$ . c) Precizați dacă dreapta $A B$ urcă sau coboară, citind de la stânga la dreapta.

16. Un rezervor se golește uniform: după $2$ ore conține $45$ de litri, iar după $6$ ore conține $25$ de litri. Calculează panta dreptei care descrie volumul în funcție de timp și explică semnificația ei.

17. Un acoperiș urcă $3$ m pe o deplasare orizontală de $4$ m. Scrie panta ca fracție ireductibilă, ca număr zecimal și în procente.

18. (Provocare.) Punctele $A (- 3, 1)$ și $B (k, 11)$ determină o dreaptă cu panta $2$ . Determină numărul real $k$ .

Răspunsuri și explicații

1. $m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ . Pantă pozitivă: dreapta urcă, cu trei unități la fiecare unitate spre dreapta.

2. $m = \frac{- 5 - 5}{3 - ( - 2 )} = \frac{- 10}{5} = - 2$ . Pantă negativă: dreapta coboară cu două unități la fiecare unitate spre dreapta.

3. $m = \frac{2 - ( - 4 )}{3 - ( - 1 )} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . Dreapta urcă: trei unități pe verticală la fiecare două pe orizontală.

4. $m = \frac{4 - 4}{5 - ( - 3 )} = \frac{0}{8} = 0$ . Numărătorul este nul, deci panta este zero: dreapta este orizontală, paralelă cu axa $O x$ .

5. Cele două puncte au aceeași abscisă, deci $Δ x = 2 - 2 = 0$ , iar raportul $\frac{Δ y}{Δ x}$ ar cere împărțirea la zero, operație nedefinită. Dreapta $P Q$ este verticală și nu are pantă (nu spunem că panta ar fi infinită).

6. $m = \frac{1 - 3}{5 - 0} = \frac{- 2}{5} = - \frac{2}{5}$ . Pantă negativă, deci dreapta coboară — dar domol, pentru că $- \frac{2}{5} < 1$ .

7. Fals. Inversând punctele, ambele diferențe își schimbă semnul, iar raportul rămâne același: $\frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}} = \frac{- ( y _{2} - y _{1} )}{- ( x _{2} - x _{1} )} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Greșeala reală ar fi să schimbi ordinea doar la numărător, nu și la numitor.

8. $m_{A B} = \frac{3 - ( - 1 )}{2 - ( - 6 )} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Mijlocul: $M (\frac{- 6 + 2}{2}, \frac{- 1 + 3}{2}) = M (- 2, 1)$ , iar $m_{A M} = \frac{1 - ( - 1 )}{- 2 - ( - 6 )} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Pantele coincid, ilustrând faptul că panta este o proprietate a dreptei, nu a punctelor alese pe ea.

9. $m = \frac{45}{600} = \frac{3}{40} = 0, 075 = 7, 5%$ .

10. Panta $8%$ înseamnă $m = 0, 08$ , deci urcarea este $Δ y = m \cdot Δ x = 0, 08 \cdot 250 = 20$ m.

11. a) Forma este deja $y = m x + n$ , deci $m = - 3$ . b) $3 y = 2 x + 6$ , adică $y = \frac{2}{3} x + 2$ , deci $m = \frac{2}{3}$ . c) $4 y = - 3 x + 12$ , adică $y = - \frac{3}{4} x + 3$ , deci $m = - \frac{3}{4}$ . d) $y = 7$ se scrie $y = 0 \cdot x + 7$ , deci $m = 0$ (dreaptă orizontală).

12. Comparăm modulele: $\frac{3}{4} = 0, 75$ , $∣ - 2∣ = 2$ , $\frac{5}{3} \approx 1, 67$ . Cel mai mare modul îl are $m_{2} = - 2$ , deci a doua dreaptă este cea mai abruptă, chiar dacă este singura care coboară. Semnul dă sensul, modulul dă înclinarea.

13. Aducem la aceeași unitate: $40$ cm $= 0, 4$ m. Atunci $m = \frac{0 , 4}{5} = 0, 08 = 8%$ , deci rampa se află exact la limita admisă. Dacă lungimea orizontală ar fi mai mică, panta ar depăși limita.

14. Din $m = - \frac{3}{2}$ citim: la $2$ unități spre dreapta, dreapta coboară $3$ unități. Pornind din $A (4, - 1)$ cu $Δ x = 2$ și $Δ y = - 3$ , obținem $B (6, - 4)$ . Verificare: $\frac{- 4 - ( - 1 )}{6 - 4} = \frac{- 3}{2} = - \frac{3}{2}$ ✓. (La fel de bun ar fi $C (2, 2)$ , obținut cu $Δ x = - 2$ și $Δ y = 3$ .)

15. a) $m_{A B} = \frac{- 4 - 4}{6 - ( - 2 )} = \frac{- 8}{8} = - 1$ . b) $M (\frac{- 2 + 6}{2}, \frac{4 - 4}{2}) = M (2, 0)$ , iar $m_{A M} = \frac{0 - 4}{2 - ( - 2 )} = \frac{- 4}{4} = - 1 = m_{A B}$ ✓. c) Panta fiind negativă, dreapta coboară de la stânga la dreapta; cum $∣ m ∣ = 1$ , ea face un unghi de $45°$ cu axa $O x$ .

16. Punctele sunt $(2, 45)$ și $(6, 25)$ , cu timpul pe abscisă: $m = \frac{25 - 45}{6 - 2} = \frac{- 20}{4} = - 5$ . Rezervorul pierde $5$ litri pe oră; semnul negativ arată scăderea, iar valoarea absolută dă ritmul.

17. $m = \frac{3}{4} = 0, 75 = 75%$ . Un acoperiș de $75%$ este considerabil mai abrupt decât un drum de $12%$ — de aceea învelitorile de acoperiș se aleg altfel decât asfaltul.

18. Punem condiția din definiția pantei: $\frac{11 - 1}{k - ( - 3 )} = 2$ , adică $\frac{10}{k + 3} = 2$ . Rezultă $10 = 2 (k + 3)$ , deci $2 k = 4$ și $k = 2$ . Verificare: pentru $B (2, 11)$ , panta este $\frac{11 - 1}{2 + 3} = \frac{10}{5} = 2$ ✓. Condiția $k \neq = - 3$ este automat respectată, altfel dreapta ar fi verticală.

De reținut

Panta dreptei determinate de $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ , cu $x_{1} \neq = x_{2}$ , este $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ — raportul dintre variația pe verticală și variația pe orizontală.
Panta nu depinde nici de perechea de puncte aleasă pe dreaptă (triunghiuri asemenea), nici de ordinea lor; important este să respecți aceeași ordine la numărător și la numitor.
Semnul dă sensul: $m > 0$ dreapta urcă, $m < 0$ dreapta coboară, $m = 0$ dreapta este orizontală. Modulul dă înclinarea: cu cât $∣ m ∣$ e mai mare, cu atât dreapta e mai abruptă.
Dreapta verticală nu are pantă, pentru că $Δ x = 0$ și împărțirea la zero nu este definită. A nu se confunda cu panta zero a dreptei orizontale.
Din ecuația $y = m x + n$ , panta este coeficientul lui $x$ ; din forma generală, izolezi întâi $y$ . În aplicații, panta se citește ca rată de variație: cu cât se schimbă $y$ când $x$ crește cu $1$ .

Greșeli frecvente

Ordinea amestecată în formulă. Se scrie $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{1} - x _{2}}$ , adică se scade invers la numitor. Rezultatul iese cu semn greșit, iar dreapta „urcă" în loc să coboare. Fixează ordinea: dacă la numărător e „al doilea minus primul", la fel și la numitor.
Panta răsturnată. Se calculează $\frac{Δ x}{Δ y}$ în loc de $\frac{Δ y}{Δ x}$ . Reține formularea rutieră: urcarea împărțită la deplasare, deci verticala sus, orizontala jos.
„Panta este infinită" la drepte verticale. Formularea corectă este „dreapta este verticală, deci nu are pantă". Infinitul nu este număr real și nu poate fi valoare a pantei.
Confuzia dintre pantă zero și lipsa pantei. Dreapta orizontală are pantă și aceasta este $0$ ; dreapta verticală nu are pantă. Sunt afirmații diferite, ambele cerute frecvent la examen.
Citirea pantei fără a izola $y$ . Din $2 x - 3 y + 6 = 0$ se „citește" direct $m = 2$ sau $m = - 3$ . Corect: aduci ecuația la $y = \frac{2}{3} x + 2$ și abia atunci panta este coeficientul lui $x$ , adică $\frac{2}{3}$ .

Aplică acasă

Vânătoarea de pante. Timp de câteva zile, notează toate indicatoarele de pantă pe care le vezi (drumuri, rampe de parcare, poduri, pasaje). Pentru fiecare procent găsit, calculează cu cât urcă drumul pe $200$ m de deplasare orizontală. Fă un mic clasament al celor mai abrupte locuri din orașul tău.
Scara din bloc. Măsoară înălțimea unei trepte și adâncimea ei (partea pe care calci). Calculează panta scării ca raport și transform-o în procente. Compar-o apoi cu panta unei rampe pentru cărucioare, dacă găsești una în apropiere: de câte ori e mai abruptă scara?
Panta unei facturi. Ia două facturi consecutive la utilități (apă, curent, gaz) și notează perechile (consum, sumă de plată). Calculează panta dreptei care le unește și spune ce reprezintă ea, cu unitate de măsură cu tot: „lei pe kilowatt-oră" sau „lei pe metru cub". Dacă factura are și o taxă fixă, ea nu schimbă panta — doar mută dreapta mai sus.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea „Dreapta în planul cartezian" și introduce singurul număr care descrie direcția unei drepte neverticale. Competențele vizate din programa de trunchi comun sunt IX.CS.1.3 (identificarea elementelor de geometrie analitică), IX.CS.2.3 (evidențierea pantei unei drepte pe baza ecuației acesteia) și IX.CS.6.3 (descrierea unei dependențe liniare pentru interpretarea legăturii dintre variabile). Ideea centrală, pe care merită insistat, este că panta este un raport, nu o lungime: același drum are aceeași pantă indiferent pe ce porțiune o măsori. Justificarea prin triunghiuri asemenea nu este un ornament, ci motivul pentru care definiția are sens.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că un drum are panta $12%$ ?"; „Ce se schimbă dacă inversezi ordinea punctelor în formulă?" (nimic); „Care este panta unei drepte orizontale?" ( $0$ ); „Ce pantă are o dreaptă verticală?" (nu are); „Dintre $m = \frac{1}{3}$ și $m = - 2$ , care dreaptă e mai abruptă?" ( $- 2$ , după modul); „Cum afli panta din $3 x + 4 y = 12$ ?" (izolezi $y$ ). Semne că elevul a înțeles: scrie panta ca fracție ireductibilă, atașează interpretarea corectă a semnului, nu confundă panta zero cu lipsa pantei și, în contexte practice, spune unitatea de măsură a pantei („lei pe kilometru", „grade pe minut").

La teze și la Bacalaureat, panta apare fie ca cerință directă („calculați panta dreptei $A B$ "), fie ca pas intermediar în probleme de geometrie analitică — scrierea ecuației unei drepte, verificarea poziției relative a două drepte, determinarea unui parametru dintr-o condiție asupra pantei (exercițiul 18 este formatul tipic). Este un conținut cu cost mic de învățare și randament mare la examen, motiv pentru care merită automatizat prin repetiție. Continuarea firească este ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată, unde panta devine ingredientul principal al formulei.

Întrebări frecvente

Ce este panta unei drepte, pe scurt? Este raportul dintre variația pe verticală și variația pe orizontală, calculat între două puncte ale dreptei: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Spune cu cât se schimbă ordonata când abscisa crește cu o unitate.

Cum calculez panta dacă știu doar două puncte? Scazi ordonatele și le pui la numărător, scazi abscisele în aceeași ordine și le pui la numitor, apoi simplifici fracția. Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 11)$ : $m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = 3$ .

Contează ordinea punctelor când calculez panta? Nu, atât timp cât respecți aceeași ordine sus și jos. Inversând ambele diferențe, semnele se anulează și rezultatul rămâne neschimbat. Contează doar să nu inversezi la numărător fără să inversezi și la numitor.

Ce înseamnă o pantă negativă? Că dreapta coboară de la stânga la dreapta: când $x$ crește, $y$ scade. În aplicații, panta negativă descrie o mărime care scade — un rezervor care se golește, o lumânare care se consumă, un cuptor care se răcește.

De ce dreapta verticală nu are pantă? Pentru că toate punctele ei au aceeași abscisă, deci $Δ x = 0$ , iar formula pantei ar cere împărțirea la zero, care nu este definită. Se spune „dreaptă verticală, fără pantă", nu „pantă infinită".

Care e diferența dintre panta zero și lipsa pantei? Panta zero aparține dreptelor orizontale: ordonata nu se schimbă, deci $Δ y = 0$ și $m = 0$ . Lipsa pantei aparține dreptelor verticale, unde $Δ x = 0$ și raportul nu poate fi calculat.

Cum aflu panta dintr-o ecuație de forma $a x + b y + c = 0$ ? Izolezi $y$ și aduci ecuația la forma $y = m x + n$ ; panta este coeficientul lui $x$ . De exemplu, din $5 x + 2 y - 4 = 0$ obții $y = - \frac{5}{2} x + 2$ , deci $m = - \frac{5}{2}$ .

Cum transform panta în procente? Înmulțești panta cu $100$ . O pantă de $\frac{3}{4}$ înseamnă $75%$ , iar una de $\frac{1}{12}$ înseamnă aproximativ $8, 3%$ . Invers, un procent de $8%$ înseamnă o pantă de $0, 08$ , adică $8$ metri de urcare la $100$ de metri de deplasare orizontală.