Cât face partea întreagă din minus 2,3?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Partea întreagă și partea fracționară

Partea întreagă a lui $- 2, 3$ este $- 3$ . Regula cere cel mai mare număr întreg care nu depășește numărul dat, adică vecinul lui din stânga pe axă, iar la stânga lui $- 2, 3$ se află $- 3$ , nu $- 2$ . La fel se explică și $[- 5, 3] = - 6$ . Partea fracționară iese prin scădere: $- 2, 3 - (- 3) = 0, 7$ , un rezultat mereu cuprins între zero și unu.

Partea întreagă $[x]$ este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu $x$ , caracterizată prin $[x] = k ⟺ k \leq x < k + 1$ ; de aici încadrarea $[x] \leq x < [x] + 1$ . La numere negative, partea întreagă coboară, nu trunchiază: $[- 5, 3] = - 6$ , nu $- 5$ . Partea fracționară ${x} = x - [x]$ ia întotdeauna valori în $[0, 1)$ , iar orice număr real se descompune unic, $x = [x] + {x}$ .

Graficul lui $[x]$ este o scară de segmente orizontale (punct plin la stânga, cerculeț gol la dreapta), cu $Im = Z$ ; graficul lui ${x}$ e periodic, de perioadă $1$ , în formă de dinți de fierăstrău, cu $Im = [0, 1)$ . Pentru $k$ întreg: $[x + k] = [x] + k$ și ${x + k} = {x}$ , dar în general $[x + y] \neq = [x] + [y]$ .

Ecuațiile de tipul $[E (x)] = k$ (cu $k$ întreg) se rezolvă din $k \leq E (x) < k + 1$ și au ca soluție un interval, nu un număr; cele care leagă $[x]$ și ${x}$ se rezolvă notând $[x] = k \in Z$ , ${x} = f \in [0, 1)$ , condiția $0 \leq f < 1$ limitând valorile lui $k$ . Numărul multiplilor lui $k$ din ${1, \dots, n}$ este $[\frac{n}{k}]$ .

De reținut

$[x] = k ⟺ k \leq x < k + 1$
${x} = x - [x]$ , mereu în $[0, 1)$
la numere negative treapta coboară: $[- 5, 3] = - 6$

Greșeala tipică

Se șterge semnul minus și se ia partea întreagă a numărului pozitiv, ceea ce dă $- 2$ în loc de $- 3$ ; regula se aplică pe axă, mergând întotdeauna spre stânga.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $[- 5, 3]$ ?
- a) $- 5$
- b) $- 6$
- c) $5$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 6$

Căutăm întregul $k$ cu $k \leq - 5, 3 < k + 1$ . Avem $- 6 \leq - 5, 3 < - 5$ , deci $[- 5, 3] = - 6$ — întregul aflat imediat la stânga lui $- 5, 3$ pe axă, nu $- 5$ (care e la dreapta lui).
Cât este ${- 5, 3}$ ?
- a) $0, 3$
- b) $0, 7$
- c) $- 0, 3$
- d) $5, 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0, 7$

Din ${x} = x - [x]$ și $[- 5, 3] = - 6$ : ${- 5, 3} = - 5, 3 - (- 6) = 0, 7$ . Rezultatul este, corect, în $[0, 1)$ — nu se obține „ștergând semnul” zecimalelor negative.
Mulțimea soluțiilor ecuației $[x] = - 3$ este:
- a) ${- 3}$
- b) $[- 3, - 2)$
- c) $(- 4, - 3]$
- d) $[- 4, - 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[- 3, - 2)$

Din caracterizare, $[x] = - 3 ⟺ - 3 \leq x < - 3 + 1 = - 2$ , deci $S = [- 3, - 2)$ — un interval, nu un singur număr, pentru că partea întreagă e constantă pe toată această treaptă.

Întrebări conexe

Cum se citește și cum se scrie partea întreagă a unui număr?

Se notează cu paranteze drepte, $[x]$ , și se citește partea întreagă a lui $x$ . Partea fracționară folosește acolade, ${x}$ , și se citește partea fracționară a lui $x$ . Semnele seamănă cu cele de la mulțimi, dar aici arată o operație asupra unui singur număr.

Ce legătură există între partea întreagă și partea fracționară?

Orice număr real se desface în treaptă plus rest: $x = [x] + {x}$ . Prima parte este un întreg, a doua se află între zero inclusiv și unu exclusiv, iar descompunerea se poate face într-un singur fel. De aici scoți partea fracționară scăzând treapta din număr.

De ce partea întreagă nu este rotunjirea obișnuită?

Rotunjirea alege întregul cel mai apropiat, deci $2, 8$ devine $3$ . Partea întreagă coboară întotdeauna spre stânga, deci $[2, 8] = 2$ . La numerele negative diferența sare în ochi: rotunjirea lui $- 2, 3$ dă $- 2$ , iar partea întreagă dă $- 3$ .

Este funcția parte întreagă crescătoare?

Da, dar nu strict. Dacă un număr este mai mic decât altul, treapta lui nu poate fi mai sus, deci valorile cresc sau rămân egale. Pe fiecare interval de lungime unu rezultatul este constant, așa că apar paliere: toate numerele din $[3, 4)$ dau $3$ .

Cum aflu partea întreagă a fracției 17 supra 5?

Împarți cu rest: $17 = 5 \cdot 3 + 2$ , deci câtul întreg este $3$ . Cum $3 \leq \frac{17}{5} < 4$ , partea întreagă este $3$ , iar partea fracționară este $\frac{2}{5}$ . La fracții pozitive, partea întreagă este chiar câtul împărțirii cu rest.

Cum rezolv inecuația cu partea întreagă mai mare sau egală cu 3?

Treapta ajunge la $3$ sau mai sus exact atunci când numărul ajunge la $3$ sau îl depășește. Din $[x] \geq 3$ obții $x \geq 3$ , adică intervalul $[3, \infty)$ . Soluția unei asemenea inecuații este mereu o reuniune de trepte întregi, nu un punct izolat.

Oamenii mai întreabă și: partea întreagă a unui număr negativ · cât este partea întreagă din minus 2,3 · paranteza dreaptă la numere negative · partea întreagă și partea fracționară