Cum aflu maximul unei funcții de gradul doi?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Monotonie și valoare extremă

Calculezi abscisa vârfului, $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , apoi valoarea funcției acolo. Dacă $a < 0$ , ramurile coboară, deci acea valoare este chiar maximul; dacă $a > 0$ , ea este minimul. În primul caz funcția urcă până la vârf și coboară după el, iar în al doilea se întâmplă invers. Atenție la întrebare: $x_{V}$ spune unde se atinge extremul, $y_{V}$ spune cât valorează el.

O parabolă își schimbă direcția exact o dată: în vârf. Asta face monotonia funcției de gradul al doilea foarte ușor de citit — cauți punctul de cotitură și te uiți încotro merge curba de o parte și de alta.

Dacă $a > 0$ (ramuri în sus), funcția scade pe $(- \infty, x_{V}]$ și crește pe $[x_{V}, + \infty)$ . Ordonata vârfului $y_{V}$ este atunci valoarea minimă, iar mulțimea valorilor este $[y_{V}, + \infty)$ : mai jos de vârf funcția nu coboară niciodată.

Dacă $a < 0$ (ramuri în jos), totul se răstoarnă: funcția crește până la vârf, apoi scade, $y_{V}$ este valoarea maximă, iar mulțimea valorilor este $(- \infty, y_{V}]$ .

De aici vine legătura cu problemele practice. „Care e aria maximă?", „Care e costul minim?" înseamnă, de fiecare dată, cât este $y_{V}$ . Scrii mărimea ca funcție de gradul al doilea, afli $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , apoi calculezi $y_{V} = f (x_{V})$ .

Atenție la ce se cere: $x_{V}$ e unde se atinge extremul, $y_{V}$ e cât valorează el. Sunt două răspunsuri diferite la două întrebări diferite.

De reținut

$a > 0$ : coboară până la $x_{V}$ , apoi urcă, iar $y_{V}$ este minimul
$a < 0$ : urcă până la $x_{V}$ , apoi coboară, iar $y_{V}$ este maximul
punctul de extrem este $x_{V}$ , valoarea extremă este $y_{V}$

Greșeala tipică

Se răspunde cu abscisa vârfului la întrebarea „care este minimul funcției”. Dacă vârful este $V (3, - 4)$ , minimul cerut este $- 4$ , iar $3$ arată doar locul în care se atinge.

Exerciții din această mini-lecție

Din grafic se citește că parabola are ramurile în jos și vârful $V (3, 7)$ . Care este valoarea maximă a funcției?
- a) $3$
- b) $7$
- c) $- 7$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$

Valoarea maximă este înălțimea vârfului, adică ordonata lui: $y_{V} = 7$ . Numărul $3$ spune doar unde se atinge maximul (în $x = 3$ ), nu cât este el.
Funcția $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ are ramurile în sus și vârful de abscisă $2$ . Pe ce interval este funcția CRESCĂTOARE?
- a) $(- \infty, 2]$
- b) $[2, + \infty)$
- c) $R$
- d) $[1, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[2, + \infty)$

Cu ramurile în sus, parabola coboară până la vârf și urcă după el, deci e crescătoare pe $[2, + \infty)$ . Intervalul $(- \infty, 2]$ e cel de descreștere, iar $R$ e imposibil: o parabolă nu poate fi crescătoare pe toată axa.
O parabolă are vârful $V (- 1, 4)$ și ramurile îndreptate în sus. Care este mulțimea valorilor funcției?
- a) $[- 1, + \infty)$
- b) $[4, + \infty)$
- c) $(- \infty, 4]$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[4, + \infty)$

Ramurile în sus înseamnă că $y_{V} = 4$ e cea mai mică valoare atinsă, iar de acolo în sus funcția ia toate valorile: $[4, + \infty)$ . Intervalul $[- 1, + \infty)$ folosește abscisa vârfului, iar $(- \infty, 4]$ ar fi răspunsul dacă ramurile ar fi în jos.

Întrebări conexe

Ce arie maximă are un dreptunghi cu perimetrul de 40 de metri?

Dacă o latură este $x$ , cealaltă este $20 - x$ , iar aria devine $x (20 - x) = - x^{2} + 20 x$ . Coeficientul negativ arată un maxim, atins la $x_{V} = 10$ . Aria cea mai mare este $100$ de metri pătrați, iar dreptunghiul se dovedește a fi un pătrat.

Care este mulțimea valorilor unei funcții de gradul doi?

Este $[y_{V}, \infty)$ când ramurile merg în sus și $(- \infty, y_{V}]$ când merg în jos. Cu alte cuvinte, funcția acoperă tot ce se află de o parte a extremului, dar niciodată dincolo de el. Vârful este singurul punct de întoarcere.

De ce nu se poate spune că parabola urcă peste tot?

Pentru că sensul se schimbă în vârf: pe o parte a lui curba coboară, pe cealaltă urcă. O afirmație despre monotonie trebuie deci însoțită mereu de intervalul pe care este valabilă, altfel rămâne incompletă.

Cum arată extremul dacă parabola atinge axa orizontală?

Valoarea extremă este atunci chiar zero, fiindcă vârful stă pe axă. Situația corespunde unui discriminant nul, iar ecuația are o singură soluție. Curba se apropie de axă, o atinge într-un punct și se întoarce.

Cât este valoarea minimă a funcției x la pătrat minus 6x plus 11?

Abscisa vârfului este $3$ , iar valoarea acolo este $9 - 18 + 11 = 2$ . Deci minimul funcției este $2$ , atins pentru $x = 3$ . Ramurile merg în sus, așa că funcția nu coboară niciodată sub această valoare.

Cum aflu extremul fără să calculez discriminantul?

Îl obții direct ca valoare a funcției în abscisa vârfului. Formula cu discriminant dă același rezultat, dar cere mai multe operații și mai multe ocazii de greșeală. Înlocuirea directă rămâne calea cea mai sigură.

Oamenii mai întreabă și: valoarea maximă a funcției de gradul doi · cum aflu minimul unei parabole · punct de extrem și valoare extremă · monotonia funcției de gradul doi · tabel de variație la gradul doi