Numere naturale scrise după condiții impuse cifrelor

Până acum ai învățat să scrii, să citești, să compari și să rotunjești numerele naturale. Acum facem un pas important spre raționamentul de gimnaziu: în loc să primim numărul gata scris, vom primi un număr „cu locuri goale" și niște condiții, iar tu va trebui să descoperi singur ce cifre se ascund acolo. Este, de fapt, un joc de detectiv matematic: ai indicii, ai reguli și ai logică — iar la final găsești numărul. Hai să învățăm cum se rezolvă aceste probleme pas cu pas.

Ce vei învăța

Vei ști să citești și să înțelegi un număr scris cu litere în loc de cifre, de forma $\overline{2 a 5 b}$ .
Vei ști să determini cifrele unui număr care respectă o condiție dată.
Vei ști să afli cel mai mare și cel mai mic număr care are o proprietate cerută.
Vei ști să numeri câte numere îndeplinesc o anumită condiție.
Vei ști să justifici fiecare alegere de cifră, nu doar să ghicești.

Hai să descoperim împreună

De ce folosim litere în loc de cifre

Imaginează-ți că un coleg îți spune: „M-am gândit la un număr de două cifre. Cifra zecilor este 7, iar cifra unităților nu mi-o spun." Cum scrii tu acel număr fără să știi cifra unităților? Nu poți lăsa pur și simplu un loc gol, pentru că matematica are nevoie de claritate. Soluția este să punem o literă în locul cifrei necunoscute.

Așa apare scrierea $\overline{7 a}$ , care se citește „numărul de forma 7a". Aici:

cifra 7 este cunoscută și stă pe poziția zecilor;
litera a ține locul cifrei unităților, pe care încă n-o știm.

Litera a poate fi, pe rând, una dintre cifrele $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Deci $\overline{7 a}$ înseamnă, de fapt, oricare dintre numerele $70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79$ .

Bara de deasupra — un semn important

Ai observat liniuța de deasupra: $\overline{7 a}$ . Această bară este esențială și se numește bară de scriere a numărului. Ea ne spune că 7 și a sunt cifre alăturate ale aceluiași număr, nu o înmulțire.

Atenție la diferența uriașă:

$\overline{7 a}$ înseamnă numărul care are cifra zecilor 7 și cifra unităților $a$ (de exemplu, dacă $a = 3$ , numărul este $73$ ).
$7 \cdot a$ (fără bară) înseamnă înmulțirea lui 7 cu $a$ (de exemplu, dacă $a = 3$ , rezultatul este $21$ ).

Niciodată nu confunda bara cu o operație. Bara „lipește" cifrele într-un singur număr.

Reguli de aur despre cifre

Înainte să rezolvăm probleme, trebuie să fixăm câteva reguli care nu se schimbă niciodată. Le vom folosi în absolut fiecare exercițiu.

Regula 1 — O cifră este un număr de la 0 la 9. Cifrele sunt doar zece: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . O literă care ține locul unei cifre nu poate fi 10, nici 12, nici 25. Poate fi doar una dintre acestea zece.

Regula 2 — Prima cifră a unui număr nu poate fi 0. Dacă un număr are mai multe cifre, cifra din față (cea mai din stânga) trebuie să fie diferită de 0. De exemplu, nu scriem $047$ , pentru că acesta este de fapt numărul $47$ , un număr de două cifre, nu de trei. Deci, dacă avem $\overline{a 3}$ , litera $a$ poate fi doar $1, 2, 3, \dots, 9$ (nouă posibilități), nu și 0.

Regula 3 — Litere diferite POT avea valori egale, dacă nu ni se spune altceva. Dacă într-un număr apar literele $a$ și $b$ , ele pot fi egale (de exemplu $a = 4$ și $b = 4$ ) sau diferite, după cum cere problema. Citește mereu cu atenție: uneori problema spune clar „cifre distincte" și atunci ele trebuie să fie diferite.

Cum citim un număr de forma 2a5b

Să luăm exact forma din titlul lecției: $\overline{2 a 5 b}$ . Acesta este un număr de patru cifre. Hai să identificăm fiecare poziție, de la dreapta spre stânga, cum am învățat la sistemul de numerație zecimal:

Poziție	Cifră	Ce reprezintă
unități	$b$	necunoscută
zeci	$5$	cunoscută
sute	$a$	necunoscută
mii	$2$	cunoscută

Așadar, $\overline{2 a 5 b}$ este un număr care:

are întotdeauna cifra miilor egală cu 2;
are cifra sutelor o necunoscută, notată $a$ ;
are întotdeauna cifra zecilor egală cu 5;
are cifra unităților o necunoscută, notată $b$ .

De exemplu, dacă $a = 3$ și $b = 7$ , numărul este $2357$ . Dacă $a = 0$ și $b = 0$ , numărul este $2050$ . Vezi? Aici $a$ poate fi chiar 0, pentru că $a$ nu este prima cifră — prima cifră este 2, care e deja fixată și nenulă.

Tipul 1 — Determinarea cifrelor care respectă o condiție

Cel mai des, problema îți dă o condiție și îți cere să găsești cifrele. Strategia este mereu aceeași:

Scrie clar ce poziție are fiecare literă.
Traduce condiția în cuvinte simple sau într-un calcul.
Încearcă pe rând valorile posibile (sau folosește o regulă deja învățată).
Verifică fiecare soluție găsită.

Să vedem un exemplu simplu. Fie numărul $\overline{3 a}$ pentru care suma cifrelor este 11. Cifra zecilor este 3, deci avem $3 + a = 11$ , de unde $a = 11 - 3 = 8$ . Numărul căutat este $38$ . Verificăm: $3 + 8 = 11$ . Corect!

Tipul 2 — Cel mai mare și cel mai mic număr cu o proprietate

Aici intervine o idee foarte importantă de gimnaziu, pe care o vom folosi des. Cum facem un număr cât mai mare sau cât mai mic?

Pentru cel mai MARE număr: punem cifre cât mai mari începând de la stânga (de la pozițiile cu valoare mare — mii, apoi sute, apoi zeci, apoi unități). Cifra cea mai mare posibilă este de obicei 9.

Pentru cel mai MIC număr: punem cifre cât mai mici începând de la stânga. Cifra cea mai mică este 0 — dar atenție, prima cifră nu poate fi 0!

De ce contează ordinea de la stânga? Pentru că o cifră mai din stânga are o valoare mult mai mare. Gândește-te: la numărul $\overline{2 a 5 b}$ , dacă mărim cifra sutelor $a$ cu 1, numărul crește cu 100. Dacă mărim cifra unităților $b$ cu 1, numărul crește doar cu 1. Deci, ca să facem numărul mare, ne luptăm întâi pentru poziția cu valoare mare.

Tipul 3 — Numărarea numerelor care îndeplinesc o condiție

Uneori nu ni se cere un singur număr, ci câte numere respectă o regulă. Aici învățăm să numărăm fără să le scriem pe toate (deși, la nevoie, le putem scrie ca să verificăm).

Idee de bază: dacă o literă poate lua orice cifră de la 0 la 9, atunci are 10 posibilități. Dacă litera este prima cifră a numărului, are doar 9 posibilități (de la 1 la 9). Dacă două litere sunt independente (fiecare alege liber), înmulțim numărul de posibilități.

De exemplu, câte numere de forma $\overline{2 a 5 b}$ există în total, dacă $a$ și $b$ pot fi orice cifre? Litera $a$ are 10 variante (de la 0 la 9), litera $b$ are tot 10 variante. În total: $10 \cdot 10 = 100$ de numere. Acestea sunt toate numerele de la $2050$ la $2959$ care au cifra miilor 2 și cifra zecilor 5.

O poveste scurtă de detectiv

Andrei joacă un joc cu sora lui, Maria. Maria scrie pe o foaie un număr de forma $\overline{a 4 b}$ și îi dă lui Andrei trei indicii: „Cifra sutelor este de două ori mai mare decât cifra unităților, iar suma tuturor cifrelor este 14." Andrei nu vede numărul, dar gândește logic. El știe că cifra zecilor e 4. Atunci $a + 4 + b = 14$ , deci $a + b = 10$ . Și mai știe că $a = 2 \cdot b$ . Înlocuiește: $2 b + b = 10$ , adică $3 b = 10$ ... dar 10 nu se împarte exact la 3! Andrei se oprește și o întreabă pe Maria dacă n-a greșit. Maria râde și recunoaște: voia ca suma să fie 10. Atunci $a + b = 6$ și $a = 2 b$ , deci $2 b + b = 6$ , adică $3 b = 6$ , de unde $b = 2$ și $a = 4$ . Numărul era $442$ . Verificăm: cifrele $4$ , $4$ , $2$ dau suma $4 + 4 + 2 = 10$ , iar cifra sutelor $4$ chiar este dublul cifrei unităților $2$ . Vezi cât de utilă e justificarea? Andrei a descoperit până și o greșeală, doar gândind logic!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Determinarea unei cifre dintr-o sumă

Enunț: Determină cifra $a$ astfel încât numărul $\overline{2 a 5}$ să aibă suma cifrelor egală cu 13.

Rezolvare: Numărul $\overline{2 a 5}$ are cifra sutelor 2, cifra zecilor $a$ și cifra unităților 5. Suma cifrelor este: $2 + a + 5 = 13$ $7 + a = 13$ $a = 13 - 7 = 6$ Deci $a = 6$ , iar numărul este $265$ .

Verificare: $2 + 6 + 5 = 13$ . Corect. Cifra căutată este $a = 6$ .

Exemplul 2 — Două cifre necunoscute, formă 2a5b

Enunț: Găsește toate numerele de forma $\overline{2 a 5 b}$ știind că $a = b$ și că $a + b = 8$ .

Rezolvare: Avem două condiții. Din $a = b$ și $a + b = 8$ obținem $a + a = 8$ , adică $2 a = 8$ , deci $a = 4$ . Cum $a = b$ , rezultă $b = 4$ .

Numărul este $\overline{2 a 5 b} = 2454$ .

Verificare: cifra sutelor $a = 4$ , cifra unităților $b = 4$ , sunt egale, iar $4 + 4 = 8$ . Corect. Există un singur număr: $2454$ .

Exemplul 3 — Cel mai mare și cel mai mic număr

Enunț: Pentru numerele de forma $\overline{2 a 5 b}$ , în care $a$ și $b$ sunt cifre oarecare, află cel mai mare și cel mai mic număr posibil.

Rezolvare: Cifra miilor (2) și cifra zecilor (5) sunt fixe. Putem alege doar $a$ (sutele) și $b$ (unitățile).

Cel mai mare număr: vrem cifre cât mai mari pe pozițiile libere. Punem $a = 9$ și $b = 9$ . Obținem $2959$ .

Cel mai mic număr: vrem cifre cât mai mici. Aici $a$ NU este prima cifră (prima e 2), deci $a$ poate fi 0. Punem $a = 0$ și $b = 0$ . Obținem $2050$ .

Verificare: $2959$ are într-adevăr forma cerută (mii 2, zeci 5) și nu putem face nimic mai mare. $2050$ are tot forma cerută și nu putem coborî mai jos. Răspuns: cel mai mare este $2959$ , cel mai mic este $2050$ .

Exemplul 4 — Cifre distincte și cel mai mic număr

Enunț: Află cel mai mic număr de forma $\overline{a 5 b}$ în care cifrele $a$ , $5$ și $b$ sunt distincte (toate diferite între ele).

Rezolvare: Numărul are trei cifre: $a$ (sute), 5 (zeci), $b$ (unități). Vrem numărul cât mai mic, deci pornim de la cifra cu valoarea cea mai mare, sutele.

Pentru sute alegem cea mai mică cifră posibilă. Nu poate fi 0 (prima cifră ≠ 0), deci cea mai mică este $a = 1$ . E diferită de 5, deci e bună.
Pentru unități vrem cea mai mică cifră, dar diferită de $a = 1$ și de $5$ . Cea mai mică este 0. Verificăm: $0 \neq = 1$ și $0 \neq = 5$ . Perfect, $b = 0$ .

Numărul este $150$ .

Verificare: cifrele 1, 5, 0 sunt toate diferite, prima cifră nu e 0, iar mai mic de atât nu se poate. Răspuns: $150$ .

Exemplul 5 — Numărarea numerelor

Enunț: Câte numere de forma $\overline{2 a 5 b}$ există în care cifra unităților $b$ este 0? (Cifra $a$ poate fi orice cifră.)

Rezolvare: Cifra $b$ este fixată la 0, deci pentru ea avem o singură posibilitate. Cifra $a$ poate fi oricare dintre $0, 1, 2, \dots, 9$ , adică 10 posibilități.

Numărul total de numere este $10 \cdot 1 = 10$ .

Ca să fim siguri, le și scriem: $2050, 2150, 2250, 2350, 2450, 2550, 2650, 2750, 2850, 2950$ . Le numărăm: sunt exact 10.

Verificare: toate au cifra miilor 2, cifra zecilor 5 și cifra unităților 0. Răspuns: 10 numere.

Exemplul 6 — Condiție cu divizibilitate intuitivă (par)

Enunț: Câte numere de forma $\overline{3 b}$ sunt pare (se termină cu cifră pară)?

Rezolvare: Un număr este par dacă ultima sa cifră este pară, adică face parte din ${0, 2, 4, 6, 8}$ . Aici ultima cifră este $b$ . Deci $b$ poate fi una dintre cele 5 cifre pare: $0, 2, 4, 6, 8$ .

Numerele sunt: $30, 32, 34, 36, 38$ . Sunt 5 numere.

Verificare: fiecare se termină cu cifră pară, deci toate sunt pare. Răspuns: 5 numere.

Exemplul 7 — Numărare cu o condiție de tip „se termină cu"

Enunț: Câte numere de forma $\overline{2 a 5 b}$ se divid cu 5 (adică se termină cu 0 sau cu 5)?

Rezolvare: Un număr se divide cu 5 doar dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Aici ultima cifră este $b$ , deci $b$ poate lua 2 valori: $b = 0$ sau $b = 5$ . Cifra $a$ nu are nicio restricție, deci poate fi oricare dintre $0, 1, 2, \dots, 9$ , adică 10 valori.

Cele două cifre se aleg independent una de cealaltă, așa că înmulțim numărul de posibilități: $10 \cdot 2 = 20 numere.$

Verificare: dacă fixăm $b = 0$ , obținem 10 numere ( $2050, 2150, \dots, 2950$ ); dacă fixăm $b = 5$ , obținem alte 10 numere ( $2055, 2155, \dots, 2955$ ). În total $10 + 10 = 20$ , exact cât am calculat. Răspuns: 20 de numere.

Exemplul 8 — Cel mai mic număr cu suma cifrelor dată

Enunț: Află cel mai mic număr de forma $\overline{2 a 5 b}$ care are suma cifrelor egală cu 16.

Rezolvare: Suma cifrelor este $2 + a + 5 + b = 16$ , deci $7 + a + b = 16$ , de unde $a + b = 9$ .

Vrem numărul cât mai mic. Cifra miilor (2) și cifra zecilor (5) sunt fixe, deci ne luptăm pentru pozițiile libere. Cea mai „grea" poziție liberă este a sutelor, cifra $a$ — o creștere a ei cu 1 mărește numărul cu 100, pe când o creștere a unităților $b$ îl mărește doar cu 1. Prin urmare, pentru un număr mic, alegem $a$ cât mai mic, apoi calculăm $b$ .

Cel mai mic $a$ posibil este $a = 0$ (litera $a$ nu este prima cifră, deci poate fi 0). Atunci $b = 9 - 0 = 9$ , o cifră validă. Numărul este $2059$ .

Verificare: $2 + 0 + 5 + 9 = 16$ . Corect. Dacă am fi pus $a = 1$ , am fi obținut $2158$ , mai mare decât $2059$ . Deci cel mai mic număr este $2059$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind de fiecare dată justificarea, nu doar răspunsul.

Scrie toate numerele pe care le poate reprezenta forma $\overline{5 a}$ , dacă $a$ este o cifră oarecare.
Câte numere reprezintă forma $\overline{5 a}$ în total?
Determină cifra $a$ astfel încât $\overline{4 a}$ să aibă suma cifrelor egală cu 9.
Determină cifra $b$ astfel încât numărul $\overline{2 b 5}$ să aibă suma cifrelor egală cu 12.
Adevărat sau fals: în scrierea $\overline{2 a 5 b}$ , litera $a$ poate fi egală cu 0. Justifică.
Adevărat sau fals: $\overline{6 a}$ și $6 \cdot a$ înseamnă același lucru. Justifică.
Pentru numerele de forma $\overline{7 a 3}$ (cu $a$ cifră oarecare), află cel mai mare număr posibil.
Pentru numerele de forma $\overline{a 82}$ (cu $a$ cifră oarecare, prima cifră), află cel mai mic număr posibil.
Găsește toate numerele de forma $\overline{2 a 5 b}$ în care $a = b$ și $a + b = 12$ .
Completează: în numărul $\overline{2 a 5 b}$ , dacă mărim cifra $a$ cu 1, numărul crește cu ____ ; dacă mărim cifra $b$ cu 1, numărul crește cu ____ .
Câte numere de forma $\overline{4 b}$ sunt impare (se termină cu cifră impară)?
Află cel mai mic număr de forma $\overline{a 7 b}$ în care cifrele $a$ , $7$ , $b$ sunt distincte.
Câte numere de forma $\overline{2 a 5 b}$ au cifra sutelor $a$ egală cu 3? (Cifra $b$ este oarecare.)
Determină cifrele $a$ și $b$ astfel încât numărul $\overline{2 a 5 b}$ să fie cel mai mare număr de forma aceasta care are suma cifrelor egală cu 12.
Potrivește fiecare cerință (coloana stângă) cu răspunsul corect (coloana dreaptă):

A. Cel mai mare număr de forma $\overline{3 a}$
B. Cel mai mic număr de forma $\overline{3 a}$
C. Numărul de forme posibile pentru $\overline{3 a}$

Răspunsuri: (I) 30, (II) 39, (III) 10.

Mică problemă: Un cod de bicicletă are forma $\overline{1 a 4 b}$ . Se știe că $a$ este de trei ori mai mare decât $b$ , iar $b$ nu este zero. Câte coduri sunt posibile și care sunt ele?
Câte numere de forma $\overline{2 a 5 b}$ au suma cifrelor egală cu 9? Scrie-le pe toate.
Provocare: Află câte numere de trei cifre de forma $\overline{a 5 a}$ există (prima și ultima cifră sunt egale, notate la fel cu $a$ , iar cifra zecilor este 5).

Răspunsuri și explicații

Numerele sunt: $50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59$ . Litera $a$ ia pe rând valorile $0, 1, \dots, 9$ .
10 numere. Cifra $a$ are 10 valori posibile (de la 0 la 9), deci $10$ numere.
$4 + a = 9 \Rightarrow a = 5$ . Numărul este $45$ . Verificare: $4 + 5 = 9$ .
Suma cifrelor: $2 + b + 5 = 12 \Rightarrow 7 + b = 12 \Rightarrow b = 5$ . Numărul este $255$ . Verificare: $2 + 5 + 5 = 12$ .
Adevărat. Litera $a$ este pe poziția sutelor, nu este prima cifră a numărului (prima este 2). Prin urmare $a$ poate fi 0; de exemplu, $2050$ este un număr corect de patru cifre.
Fals. $\overline{6 a}$ (cu bară) este un număr de două cifre: 6 la zeci și $a$ la unități. $6 \cdot a$ este înmulțirea lui 6 cu $a$ . De exemplu, pentru $a = 3$ : $\overline{63} = 63$ , dar $6 \cdot 3 = 18$ . Sunt complet diferite.
Cifra $a$ este pe poziția zecilor; pentru număr cât mai mare punem $a = 9$ . Cel mai mare număr este $793$ .
Cifra $a$ este prima cifră, deci nu poate fi 0. Cea mai mică valoare admisă este $a = 1$ . Cel mai mic număr este $182$ .
Din $a = b$ și $a + b = 12$ rezultă $2 a = 12$ , deci $a = 6$ și $b = 6$ . Numărul este $2656$ . (Un singur număr.)
Cu 100 (mărirea sutelor cu 1 înseamnă +100); cu 1 (mărirea unităților cu 1 înseamnă +1).
Cifrele impare sunt $1, 3, 5, 7, 9$ — cinci posibilități. Numerele: $41, 43, 45, 47, 49$ . Deci 5 numere.
Vrem număr mic, deci începem cu sutele cele mai mici. $a$ nu poate fi 0 (prima cifră), deci $a = 1$ (diferit de 7, bun). Pentru unități, cea mai mică cifră diferită de 1 și de 7 este 0. Deci $b = 0$ . Numărul este $170$ . Cifrele 1, 7, 0 sunt distincte.
Cifra $a = 3$ este fixată, dar $b$ poate fi oricare dintre $0, 1, \dots, 9$ , adică 10 posibilități. Deci 10 numere (de la $2350$ la $2359$ ).
Vrem suma cifrelor 12: $2 + a + 5 + b = 12 \Rightarrow a + b = 5$ . Pentru cel mai mare număr, mărim întâi sutele $a$ . Cel mai mare $a$ cu $a + b = 5$ este $a = 5$ (atunci $b = 0$ ). Numărul este $2550$ . Verificare: $2 + 5 + 5 + 0 = 12$ .
A → (II) 39 (cel mai mare: $a = 9$ ); B → (I) 30 (cel mai mic: $a = 0$ ); C → (III) 10 (cifra $a$ are 10 valori).
Avem $a = 3 \cdot b$ și $b \neq = 0$ . Încercăm valorile lui $b$ :

$b = 1 \Rightarrow a = 3$ → codul $1341$ . Bun ( $a = 3$ este cifră).
$b = 2 \Rightarrow a = 6$ → codul $1642$ . Bun.
$b = 3 \Rightarrow a = 9$ → codul $1943$ . Bun.
$b = 4 \Rightarrow a = 12$ — nu se poate, 12 nu e cifră. Ne oprim.

Sunt 3 coduri posibile: $1341$ , $1642$ , $1943$ .

Suma: $2 + a + 5 + b = 9 \Rightarrow a + b = 2$ . Perechile $(a, b)$ cu $a + b = 2$ sunt: $(0, 2), (1, 1), (2, 0)$ . Numerele: $2052$ , $2151$ , $2250$ . Deci 3 numere.
Cifra $a$ este prima cifră, deci nu poate fi 0; ia valori de la 1 la 9, adică 9 valori. Pentru fiecare alegere, ultima cifră este tot $a$ (egală), iar zecile sunt fixate la 5. Deci sunt 9 numere: $151, 252, 353, 454, 555, 656, 757, 858, 959$ .

De reținut

Bara de deasupra, ca în $\overline{2 a 5 b}$ , leagă cifrele într-un singur număr; nu este înmulțire.
O literă care ține locul unei cifre poate fi doar una dintre $0, 1, 2, \dots, 9$ .
Prima cifră a unui număr nu poate fi 0.
Pentru cel mai MARE număr, pune cifre mari începând din stânga; pentru cel mai MIC număr, pune cifre mici începând din stânga (fără 0 la început).
Când numeri câte numere respectă o condiție: o cifră liberă are 10 variante, o primă cifră are 9 variante, iar cifrele independente se înmulțesc.

Greșeli frecvente

Confunzi $\overline{2 a}$ cu $2 \cdot a$ . Bara înseamnă „cifre alăturate", nu înmulțire. Verifică mereu dacă există bară deasupra.
Pui 0 ca primă cifră. $\overline{0 a 5}$ nu este un număr de trei cifre; el devine de fapt un număr de două cifre. Prima cifră trebuie să fie de la 1 la 9.
Crezi că o literă poate fi mai mare decât 9. Dacă obții, de exemplu, $a = 12$ , soluția nu este valabilă, pentru că o cifră nu poate depăși 9.
Pentru cel mai mic număr alegi cifre mici de oriunde. Trebuie să începi din stânga (poziția cu valoare mare) și să respecți regula primei cifre nenule.

Joc acasă

1. Loteria cifrelor. Scrie pe nouă bilețele cifrele de la 1 la 9 și pune-le într-o cană. Desenează pe o foaie forma $\overline{2 a 5 b}$ . Extrage un bilețel pentru $a$ și unul pentru $b$ , apoi citește numărul format. Repetă de cinci ori și ordonează numerele obținute de la cel mai mic la cel mai mare. Care a ieșit cel mai mare?

2. Detectivul din familie. Un membru al familiei se gândește la un număr de forma $\overline{a 4 b}$ și îți dă două indicii (de exemplu: „suma cifrelor este 10" și „cifra unităților este dublul cifrei sutelor"). Tu trebuie să-l descoperi prin raționament, scriind pașii: din $a + 4 + b = 10$ obții $a + b = 6$ , iar din $b = 2 a$ rezultă $3 a = 6$ , deci $a = 2$ , $b = 4$ și numărul este $244$ . Apoi schimbați rolurile și inventați voi alte indicii (aveți grijă ca ele să ducă la cifre întregi de la 0 la 9!).

3. Cea mai mare și cea mai mică. Cu aceleași bilețele de la jocul 1, formează în cinci minute cel mai mare și cel mai mic număr de forma $\overline{1 a 4 b}$ în care cifrele $a$ și $b$ sunt distincte. Notează-le și explică de ce nu se poate mai mare sau mai mic.

Pentru părinți și învățători

Această lecție îl ajută pe elev să facă trecerea de la calcul mecanic la raționament, o competență-cheie în gimnaziu. Ideea centrală este că o literă „ține locul" unei cifre necunoscute, iar elevul descoperă valoarea prin logică.

Cum sprijiniți elevul:

Insistați pe bara de deasupra: cereți-i să spună cu voce tare diferența dintre $\overline{2 a}$ și $2 \cdot a$ folosind un exemplu numeric. Aceasta este confuzia numărul unu la această vârstă.
Întrebări utile de pus: „Pe ce poziție stă litera $a$ ?", „Care e cea mai mare cifră pe care o poate lua?", „De ce nu poate prima cifră să fie 0?", „Dacă vrei numărul cât mai mare, cu care poziție începi și de ce?".
Pentru numărare, cereți-i la început să scrie efectiv toate numerele care respectă condiția, apoi să le numere. Abia după ce înțelege „de ce", treceți la regula prin înmulțire (10 variante pentru o cifră liberă).

Cum verificați înțelegerea: dați-i o formă nouă, de exemplu $\overline{4 a 7 b}$ , și cereți-i cel mai mare număr, cel mai mic număr și câte numere respectă „suma cifrelor = 14". Dacă justifică fiecare pas, a înțeles. Dacă doar ghicește, reluați împreună pașii de la „Hai să descoperim împreună".

Lecția se leagă natural de compararea și ordonarea numerelor naturale și de sistemul de numerație zecimal, iar mai târziu de criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, unde condițiile impuse cifrelor devin și mai folositoare.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă un număr de forma 2a5b la clasa a 5-a? Este un număr de patru cifre în care cifra miilor este 2 și cifra zecilor este 5, fixate, iar literele $a$ (la sute) și $b$ (la unități) țin locul unor cifre pe care le aflăm din condițiile problemei. Bara de deasupra arată că cifrele formează un singur număr.

Ce înseamnă bara de deasupra numărului, ca în $\overline{2 a 5 b}$ ? Bara arată că cifrele și literele de sub ea sunt cifre alăturate ale aceluiași număr, nu o înmulțire. Fără bară, $2 \cdot a$ ar însemna înmulțirea lui 2 cu $a$ , ceea ce e cu totul altceva.

Poate fi litera a egală cu 0 într-un număr? Da, dacă litera $a$ nu se află pe prima poziție a numărului. În $\overline{2 a 5 b}$ , litera $a$ este la sute (nu prima cifră), deci poate fi 0. În schimb, dacă $a$ ar fi prima cifră, ca în $\overline{a 52}$ , ea nu poate fi 0.

Cum aflu cel mai mare număr cu o proprietate dată? Pui cifre cât mai mari începând din partea stângă, adică de la pozițiile cu valoare mare (mii, sute, zeci, unități), respectând condiția cerută. De obicei cea mai mare cifră este 9.

Cum aflu cel mai mic număr cu o proprietate dată? Pui cifre cât mai mici începând din stânga, dar prima cifră nu poate fi 0. Apoi cobori cât mai mult la celelalte poziții, respectând condiția problemei.

Câte cifre poate lua o literă dintr-un număr? O literă care ține locul unei cifre poate lua valori doar de la 0 la 9, adică 10 valori. Dacă litera este prima cifră a numărului, are doar 9 valori posibile, de la 1 la 9, pentru că prima cifră nu poate fi 0.

Ce înseamnă „cifre distincte" într-o problemă? Înseamnă că toate cifrele numărului trebuie să fie diferite între ele. De exemplu, în numărul $\overline{a 5 b}$ cu cifre distincte, $a$ și $b$ trebuie să fie diferite și de 5, și una de cealaltă.

Cum număr câte numere respectă o condiție fără să le scriu pe toate? Numeri câte valori poate lua fiecare cifră liberă, apoi înmulțești aceste numere. De exemplu, dacă o cifră are 10 variante și alta are 5 variante, sunt $10 \cdot 5 = 50$ de numere. La nevoie, poți scrie câteva ca să verifici că regula funcționează.

De unde încep când caut cel mai mic număr: de la prima cifră sau de la ultima? Întotdeauna de la prima cifră, adică de la poziția cu valoarea cea mai mare (mii, apoi sute, apoi zeci, apoi unități). Motivul este că o cifră din stânga „cântărește" mult mai mult: la un număr de patru cifre, o unitate în plus la mii valorează 1000, dar o unitate în plus la unități valorează doar 1. Așa că fixezi mai întâi cifra cea mai din stânga la valoarea cea mai mică permisă (fără 0 pe prima poziție), apoi cobori, pe rând, la celelalte poziții.