Șiruri de numere naturale și regularități

Imaginează-ți că privești un cod care apare pe ecran: 2, 5, 8, 11, 14, … și ești întrebat ce număr urmează. Dacă reușești să „prinzi" regula ascunsă în spatele lor, poți continua codul oricât de departe, ba chiar poți spune ce număr stă pe locul al o sutălea fără să-l mai scrii pe toate cele dinainte. Asta este magia șirurilor de numere naturale: în spatele câtorva numere se ascunde o regulă care le ține împreună, iar tu vei învăța să o descoperi. În această lecție de matematică pentru clasa a V-a vei deveni un adevărat detectiv al regularităților numerice.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști un șir de numere naturale și să folosești corect cuvintele „termen" și „poziție".
Vei ști să descoperi regula de formare a unui șir privind cum se trece de la un număr la următorul.
Vei ști să continui un șir cu câți termeni vrei, după regula descoperită.
Vei ști să afli un termen de pe o anumită poziție (de exemplu al 20-lea sau al 100-lea) fără să-i scrii pe toți.
Vei ști să justifici prin raționament de ce funcționează regula ta, nu doar să ghicești.

Hai să descoperim împreună

Ce este un șir de numere

Un șir de numere este o listă de numere scrise într-o anumită ordine, una după alta. Fiecare număr din șir se numește termen. Ordinea contează: șirul 1, 2, 3 nu este același lucru cu 3, 2, 1, chiar dacă folosesc aceleași numere.

Privește acest șir:

$3, 6, 9, 12, 15, \dots$

Cele trei puncte de la final (numite puncte de suspensie) înseamnă „și așa mai departe": șirul continuă după aceeași regulă, dar nu mai scriem toți termenii.

Fiecare termen are o poziție (un loc) în șir. Vorbim despre:

primul termen (poziția 1),
al doilea termen (poziția 2),
al treilea termen (poziția 3), și așa mai departe.

În șirul de mai sus: primul termen este 3, al doilea termen este 6, al treilea termen este 9. Este foarte util să te gândești la un șir ca la un șir de vagoane: fiecare vagon are un loc (poziția lui) și o încărcătură (valoarea termenului).

Regula de formare: cum trecem de la un termen la următorul

Cel mai important lucru la un șir este regula de formare: ce trebuie să faci ca să treci de la un termen la următorul. Ca s-o descoperi, întrebarea cheie este simplă:

„Cum ajung de la un număr la cel de după el?"

Hai să o aplicăm pe șirul 3, 6, 9, 12, 15. Ne uităm la diferența dintre fiecare termen și cel dinaintea lui:

de la 3 la 6: adun 3 (pentru că $6 - 3 = 3$ );
de la 6 la 9: adun 3 (pentru că $9 - 6 = 3$ );
de la 9 la 12: adun 3;
de la 12 la 15: adun 3.

Diferența este mereu aceeași: 3. Așadar regula de formare este: „aduni mereu 3". Un șir în care treci de la un termen la următorul adunând mereu același număr se numește un șir cu pas constant (pasul aici este 3). Acest tip este cel mai des întâlnit în clasa a V-a.

Pasul (numărul pe care îl aduni mereu) poate fi orice număr natural:

2, 4, 6, 8, 10, … are pasul +2 (numere pare);
1, 3, 5, 7, 9, … are pasul +2 (numere impare), dar pornește de la 1;
5, 10, 15, 20, … are pasul +5 (numerele care se termină în 0 sau 5);
7, 14, 21, 28, … are pasul +7 (tabla înmulțirii cu 7).

Observă o legătură frumoasă cu ceea ce știi deja: șirul 3, 6, 9, 12, 15 este chiar tabla înmulțirii cu 3! Un șir cu pas constant care pornește de la pas este, de fapt, tabla înmulțirii cu acel număr. Vom folosi imediat această idee.

Reguli de scădere și alte tipuri de reguli

Nu toate șirurile cresc. Unele scad, pentru că regula lor este o scădere:

$30, 27, 24, 21, 18, \dots$

Aici, de la 30 la 27 scazi 3, de la 27 la 24 scazi 3 și așa mai departe. Regula este „scazi mereu 3" (pasul este $- 3$ ). Atenție: un astfel de șir nu poate continua la nesfârșit în numere naturale, fiindcă la un moment dat ai trece sub 0, iar numerele naturale nu sunt negative. Vom vorbi despre asta la „Greșeli frecvente".

Există și șiruri cu reguli mai interesante decât adunarea sau scăderea constantă. Iată câteva, ca să-ți deschid apetitul:

Înmulțire constantă: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … — de fiecare dată înmulțești cu 2 (fiecare termen este dublul celui dinainte). Acestea sunt puterile lui 2, pe care le vei studia mai târziu la puterea cu exponent natural.
Pas care crește: 1, 2, 4, 7, 11, 16, … — aici aduni pe rând +1, +2, +3, +4, +5. Pasul nu mai e constant, dar tot are o regulă clară.
Pătrate perfecte: 1, 4, 9, 16, 25, … — sunt $1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3, 4 \times 4, 5 \times 5$ .

În clasa a V-a ne concentrăm mai ales pe șirurile cu pas constant, dar este bine să știi că lumea regularităților este mult mai bogată.

Cum continuăm un șir

După ce ai descoperit regula, a continua șirul devine ușor: aplici regula asupra ultimului termen cunoscut, de câte ori vrei.

Să continuăm cu încă trei termeni șirul 4, 9, 14, 19, … Întâi aflăm regula: $9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5.$ Pasul este +5. Acum continuăm:

următorul după 19: $19 + 5 = 24$ ;
după 24: $24 + 5 = 29$ ;
după 29: $29 + 5 = 34$ .

Deci șirul continuă: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, …

Regula de aur pentru continuare: ia ultimul termen scris și aplică-i pasul. Repetă de câte ori îți cere problema. Simplu, dar trebuie să fii atent să nu greșești o adunare, pentru că o singură greșeală strică toți termenii care urmează.

Cum aflăm un termen de pe o anumită poziție

Acum vine partea cea mai puternică. Ce te faci dacă te întreb: „Care este al 20-lea termen al șirului 3, 6, 9, 12, …?" Ai putea, desigur, să-l scrii pe toate adunând câte 3 de 19 ori. Ar merge, dar e lung și ușor de greșit. Matematicianul caută o scurtătură, iar scurtătura vine din înțelegerea regulii.

Hai să fim detectivi cu șirul 3, 6, 9, 12, 15, … și să facem un tabel care leagă poziția de termen:

Poziția	1	2	3	4	5
Termenul	3	6	9	12	15

Privește cu atenție fiecare coloană. Observi ceva?

poziția 1 → termenul 3, iar $3 = 3 \times 1$ ;
poziția 2 → termenul 6, iar $6 = 3 \times 2$ ;
poziția 3 → termenul 9, iar $9 = 3 \times 3$ ;
poziția 4 → termenul 12, iar $12 = 3 \times 4$ ;
poziția 5 → termenul 15, iar $15 = 3 \times 5$ .

S-a descoperit secretul! Termenul = 3 × poziția. Asta înseamnă că putem sări direct la orice poziție:

al 20-lea termen este $3 \times 20 = 60$ ;
al 100-lea termen este $3 \times 100 = 300$ .

Nu a mai trebuit să scriem o sută de numere. Aceasta este puterea raționamentului: descoperi o legătură generală între poziție și termen și o folosești pentru orice poziție.

O metodă care merge la orice șir cu pas constant

Trucul „termenul = 3 × poziția" a funcționat frumos pentru că șirul pornea chiar de la pasul lui. Dar ce facem cu un șir care nu pornește de la pas, de exemplu 5, 8, 11, 14, … (pas +3, dar primul termen este 5)? Avem nevoie de o metodă care merge mereu. Iat-o, în pași mărunți.

Pasul 1 — Numără câte „salturi" faci. Ca să ajungi de la primul termen la al $n$ -lea termen, faci cu un salt mai puțin decât poziția. De ce „cu unul mai puțin"? Pentru că la prima poziție ești deja acolo, nu ai sărit deloc. Gândește-te la trepte: ca să urci pe treapta a 4-a pornind de pe treapta 1, faci doar 3 pași, nu 4.

Pasul 2 — Adună saltul de atâtea ori. Fiecare salt înseamnă „+pas". Deci:

$al n -lea termen = primul termen + (num \overset{a}{˘} rul de salturi) \times pasul$

unde numărul de salturi este $n - 1$ .

Hai s-o aplicăm pe 5, 8, 11, 14, …, ca să aflăm al 10-lea termen:

primul termen = 5;
pasul = 3;
numărul de salturi de la poziția 1 la poziția 10 este $10 - 1 = 9$ ;
al 10-lea termen $= 5 + 9 \times 3 = 5 + 27 = 32$ .

Hai să verificăm pe degete că nu am greșit ideea, scriind primii termeni: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. Da! Al 10-lea este chiar 32. Metoda funcționează și ne-a scutit de greșeli.

Reține formula în cuvinte simple, pentru că o vei folosi des:

Termenul căutat = primul termen + (poziția − 1) × pasul.

Această idee — să transformi o numărătoare lungă într-un calcul scurt — este exact tipul de raționament despre regularități numerice care te ridică de la „calcul" la „gândire matematică", așa cum ai exersat și în lecția de la calcul la raționament și justificare.

De ce merită să gândim, nu doar să ghicim

Uneori, primii termeni ai unui șir te pot păcăli. Privește: 2, 4, 8, … Care urmează? Mulți spun repede „16", crezând că regula e „înmulțești cu 2". Dar cineva ar putea spune și „14", dacă regula ar fi „aduni +2, apoi +4, apoi +6" (pasul crescând). Ambele variante pornesc la fel! De aceea, o regulă este sigură doar dacă o verifici pe cât mai mulți termeni și, ideal, dacă ți se spune din enunț ce fel de regulă căutăm. Un detectiv bun nu se grăbește: adună dovezi înainte de a da verdictul.

În testele de la clasă, cel mai des regula este de tip „pas constant", deci începe mereu prin a calcula diferențele dintre termeni vecini. Dacă diferențele sunt egale, ai găsit pasul. Dacă nu, caută alt tipar: poate diferențele cresc cu un număr fix, poate fiecare termen e dublul celui dinainte, poate sunt pătrate perfecte.

Regularități în jurul nostru

Șirurile nu trăiesc doar în manual; ele se ascund peste tot în viața de zi cu zi, iar dacă înveți să le „vezi", matematica devine dintr-odată mai vie. Iată câteva locuri în care regularitatea numerică te pândește:

Calendarul. Privește o coloană dintr-o lună, de exemplu toate zilele de marți: 1, 8, 15, 22, 29. Este un șir cu pas constant +7, fiindcă o săptămână are 7 zile. De aceea poți spune dinainte ce dată va fi peste trei marți, fără să mai numeri zi cu zi.
Banii puși deoparte. Dacă strângi în fiecare săptămână cu aceeași sumă mai mult, sumele tale lunare formează un șir cu pas constant. Așa poți prevedea cât vei avea peste zece săptămâni — exact ca în problema cu Andrei de mai jos.
Treptele și dalele. Numărul de dale dintr-un rând care crește mereu cu același număr, scaunele dintr-un rând de sală sau treptele unei scări sunt și ele șiruri.
Tabla înmulțirii. Fiecare linie din tabla înmulțirii este un șir cu pas constant: linia lui 6 este 6, 12, 18, 24, … cu pasul +6. Practic, ai lucrat cu șiruri încă din clasele primare, doar că nu le spuneai pe nume.

Frumusețea matematicii stă tocmai aici: o singură idee — „găsește pasul, apoi prezice" — funcționează la fel de bine pentru un calendar, pentru economiile tale și pentru un exercițiu de test. Cu cât exersezi mai mult să recunoști tiparul, cu atât vei rezolva mai repede și cu mai multă siguranță.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Găsește regula și continuă

Enunț: Descoperă regula șirului 8, 13, 18, 23, … și scrie următorii trei termeni.

Rezolvare: Calculăm diferențele dintre termeni vecini: $13 - 8 = 5, 18 - 13 = 5, 23 - 18 = 5.$ Diferența este mereu 5, deci regula este „aduni 5" (pas constant +5). Continuăm de la ultimul termen, 23: $23 + 5 = 28, 28 + 5 = 33, 33 + 5 = 38.$ Răspuns: următorii trei termeni sunt 28, 33, 38, iar șirul devine 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, …

Exemplul 2 — Termen de pe o poziție mare

Enunț: Care este al 30-lea termen al șirului 4, 7, 10, 13, …?

Rezolvare: Mai întâi pasul: $7 - 4 = 3$ , deci pasul este +3. Primul termen este 4. Folosim regula de aur: $al 30-lea termen = primul termen + (pozi ț ia - 1) \times pasul .$ Înlocuim: $= 4 + (30 - 1) \times 3 = 4 + 29 \times 3 = 4 + 87 = 91.$ Răspuns: al 30-lea termen este 91. (Verificare a logicii: am făcut 29 de salturi de câte 3, plus startul de la 4.)

Exemplul 3 — Pe ce poziție se află un anumit număr

Enunț: În șirul 2, 5, 8, 11, …, pe ce poziție se află numărul 47?

Rezolvare: Pasul este $5 - 2 = 3$ . Întrebarea este inversă: știm termenul (47) și căutăm poziția. Pornim de la 47 și ne întoarcem spre primul termen. Cât de departe e 47 de primul termen? $47 - 2 = 45.$ Acest 45 reprezintă toate salturile adunate. Fiecare salt este de 3, deci numărul de salturi este: $45 : 3 = 15.$ Poziția este cu unul mai mare decât numărul de salturi (pentru că la primul termen avem 0 salturi): $pozi ț ia = 15 + 1 = 16.$ Răspuns: numărul 47 se află pe poziția a 16-a. Verificare: $2 + (16 - 1) \times 3 = 2 + 45 = 47$ . ✓

Exemplul 4 — Verifică dacă un număr aparține șirului

Enunț: Numărul 100 face parte din șirul 4, 7, 10, 13, …? Dar numărul 101?

Rezolvare: Pasul este 3, primul termen 4. Un număr este din șir doar dacă, scăzând primul termen, obținem un număr care se împarte exact la pas.

Pentru 100: $100 - 4 = 96$ , iar $96 : 3 = 32$ exact (rest 0). Deci 100 ESTE în șir, pe poziția $32 + 1 = 33$ .
Pentru 101: $101 - 4 = 97$ , iar $97 : 3 = 32$ rest 1. Nu se împarte exact, deci 101 NU este în șir (cade între doi termeni: după 100 vine $100 + 3 = 103$ ).

Răspuns: 100 aparține șirului (poziția 33), iar 101 nu aparține. Aici am folosit ideea de împărțire cu rest, pe care o vei aprofunda la teorema împărțirii cu rest.

Exemplul 5 — Regulă cu pas care crește

Enunț: Descoperă regula șirului 1, 3, 6, 10, 15, … și scrie următorii doi termeni.

Rezolvare: Diferențele nu sunt egale, deci nu e pas constant. Le calculăm: $3 - 1 = 2, 6 - 3 = 3, 10 - 6 = 4, 15 - 10 = 5.$ Diferențele sunt 2, 3, 4, 5 — ele însele formează un șir care crește cu 1! Deci regula este „aduni pe rând +2, +3, +4, +5, +6, …". Continuăm: $15 + 6 = 21, 21 + 7 = 28.$ Răspuns: următorii doi termeni sunt 21 și 28. (Aceste numere se numesc numere triunghiulare, fiindcă pot fi aranjate în formă de triunghi: 1 punct, apoi 3, apoi 6 …)

Exemplul 6 — O mică problemă din viața reală

Enunț: La un campionat de șah, în prima rundă se joacă 15 partide, iar în fiecare rundă următoare se joacă cu 4 partide mai puține (pentru că jucătorii eliminați pleacă). Câte partide se joacă în runda a 4-a?

Rezolvare: Numărul partidelor pe runde formează un șir cu pas $- 4$ , pornind de la 15:

runda 1: 15;
runda 2: $15 - 4 = 11$ ;
runda 3: $11 - 4 = 7$ ;
runda 4: $7 - 4 = 3$ .

Cu formula: termenul de pe poziția 4 $= 15 + (4 - 1) \times (- 4) = 15 - 12 = 3$ . Răspuns: în runda a 4-a se joacă 3 partide.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare șir, încearcă mai întâi să afli pasul (sau regula), apoi răspunde la cerință.

1. Scrie pasul (numărul cu care crește) pentru fiecare șir: a) 6, 12, 18, 24, … b) 10, 17, 24, 31, … c) 9, 13, 17, 21, …

2. Continuă fiecare șir cu trei termeni: a) 5, 9, 13, 17, … b) 2, 10, 18, 26, … c) 100, 95, 90, 85, …

3. Completează termenul care lipsește: a) 7, 14, __, 28, 35 b) 3, 8, 13, __, 23 c) 40, __, 28, 22, 16

4. Care este al 12-lea termen al șirului 5, 10, 15, 20, …?

5. Care este al 15-lea termen al șirului 2, 6, 10, 14, …?

6. În șirul 4, 11, 18, 25, …, care este al 8-lea termen?

7. Pe ce poziție se află numărul 50 în șirul 5, 10, 15, 20, …?

8. Pe ce poziție se află numărul 41 în șirul 1, 5, 9, 13, …?

9. Adevărat sau fals? a) Numărul 30 face parte din șirul 3, 6, 9, 12, … b) Numărul 28 face parte din șirul 2, 7, 12, 17, … c) În șirul 1, 3, 5, 7, … toți termenii sunt impari.

10. Descoperă regula și scrie următorii doi termeni: 1, 2, 4, 8, 16, …

11. Descoperă regula și scrie următorii doi termeni: 2, 5, 9, 14, 20, …

12. Potrivește fiecare șir (coloana stângă) cu regula lui (coloana dreaptă):

Șir	Regulă
A. 4, 8, 12, 16	1. scazi 6
B. 50, 44, 38, 32	2. înmulțești cu 3
C. 1, 3, 9, 27	3. aduni 4

13. Andrei pune deoparte bani: în prima săptămână 8 lei, iar în fiecare săptămână următoare cu 3 lei mai mult decât în precedenta. Câți lei pune deoparte în săptămâna a 6-a?

14. Scrie primii cinci termeni ai șirului în care primul termen este 7 și pasul este +9.

15. Într-un șir cu pas constant, primul termen este 6 și al patrulea termen este 21. Care este pasul?

16. Care este al 100-lea termen al șirului 1, 4, 7, 10, …?

17. Desenează pe caiet, cu puncte, primele patru numere ale șirului 1, 4, 9, 16 (pătrate perfecte) ca pătrate de puncte (1×1, 2×2, 3×3, 4×4).

18. Provocare: în șirul 3, 8, 13, 18, …, suma primilor patru termeni este 42 (verifică!). Fără să-i aduni unul câte unul, găsește o cale rapidă de a obține suma. (Indiciu: grupează primul cu ultimul, al doilea cu al treilea.)

Răspunsuri și explicații

1. a) +6 ( $12 - 6 = 6$ ). b) +7 ( $17 - 10 = 7$ ). c) +4 ( $13 - 9 = 4$ ).

2. a) 21, 25, 29 (pas +4). b) 34, 42, 50 (pas +8). c) 80, 75, 70 (pas −5).

3. a) 21 (pas +7: după 14 vine 21). b) 18 (pas +5: după 13 vine 18). c) 34 (pas −6: după 40 vine $40 - 6 = 34$ ).

4. Pas +5, primul termen 5. Al 12-lea $= 5 + (12 - 1) \times 5 = 5 + 55 = 60$ . Răspuns: 60. (Este și $5 \times 12$ , fiindcă șirul e tabla lui 5.)

5. Pas +4, primul termen 2. Al 15-lea $= 2 + (15 - 1) \times 4 = 2 + 56 = 58$ . Răspuns: 58.

6. Pas +7, primul termen 4. Al 8-lea $= 4 + (8 - 1) \times 7 = 4 + 49 = 53$ . Răspuns: 53.

7. Pas +5. $50 - 5 = 45$ ; salturi $45 : 5 = 9$ ; poziția $9 + 1 = 10$ . Răspuns: poziția a 10-a (e și $50 : 5 = 10$ ).

8. Pas +4. $41 - 1 = 40$ ; salturi $40 : 4 = 10$ ; poziția $10 + 1 = 11$ . Răspuns: poziția a 11-a.

9. a) Adevărat: $30 : 3 = 10$ exact, deci 30 e în tabla lui 3 (poziția 10). b) Fals: $28 - 2 = 26$ , iar $26 : 5 = 5$ rest 1, deci 28 nu e în șir (termenii sunt 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 …). c) Adevărat: pornind de la 1 (impar) și adunând mereu 2, rămâi mereu impar.

10. Regula: înmulțești cu 2 (fiecare termen e dublul precedentului). Următorii: $16 \times 2 = 32$ și $32 \times 2 = 64$ . Răspuns: 32, 64.

11. Diferențele sunt $5 - 2 = 3$ , $9 - 5 = 4$ , $14 - 9 = 5$ , $20 - 14 = 6$ — cresc cu 1. Următoarele diferențe: +7, +8. Deci $20 + 7 = 27$ și $27 + 8 = 35$ . Răspuns: 27, 35.

12. A → 3 (aduni 4); B → 1 (scazi 6); C → 2 (înmulțești cu 3).

13. Pas +3, primul termen 8. Săptămâna a 6-a $= 8 + (6 - 1) \times 3 = 8 + 15 = 23$ . Răspuns: 23 lei.

14. $7, 16, 25, 34, 43$ (aduni mereu 9).

15. De la primul la al patrulea termen sunt $4 - 1 = 3$ salturi, iar creșterea totală este $21 - 6 = 15$ . Pasul $= 15 : 3 = 5$ . Răspuns: pasul este 5. (Verificare: 6, 11, 16, 21. ✓)

16. Pas +3, primul termen 1. Al 100-lea $= 1 + (100 - 1) \times 3 = 1 + 297 = 298$ . Răspuns: 298.

17. Pătrate de puncte: 1 punct (1×1), 4 puncte aranjate 2×2, 9 puncte aranjate 3×3, 16 puncte aranjate 4×4. Numerele sunt $1, 4, 9, 16$ — pătratele perfecte.

18. Termenii sunt 3, 8, 13, 18. Grupăm primul cu ultimul și al doilea cu al treilea: $3 + 18 = 21$ și $8 + 13 = 21$ . Avem două perechi de câte 21, deci suma este $2 \times 21 = 42$ . Răspuns: 42 (metoda perechilor — exact ideea folosită de marele matematician Gauss când era copil).

De reținut

Un șir este o listă ordonată de numere; fiecare număr este un termen și are o poziție.
Ca să descoperi regula de formare, calculează diferențele dintre termeni vecini; dacă sunt egale, ai un pas constant.
Ca să continui un șir, aplică regula asupra ultimului termen cunoscut.
Ca să afli termenul de pe poziția $n$ : $termen = primul termen + (n - 1) \times pasul$ .
Verifică-ți mereu regula pe mai mulți termeni: un detectiv bun adună dovezi înainte de verdict.

Greșeli frecvente

Înmulțești cu poziția în loc de „poziția − 1". Ca să ajungi la al $n$ -lea termen faci doar $n - 1$ salturi, nu $n$ . La primul termen ești deja acolo, n-ai sărit deloc. Gândește-te la trepte: de pe treapta 1 până pe treapta 5 faci 4 pași.
Te grăbești cu regula după doi termeni. Doi termeni nu sunt destui: 2, 4, … poate continua cu 6 (+2) sau cu 8 (×2). Verifică pe cel puțin trei–patru termeni înainte de a decide.
Continui un șir descrescător sub zero. Șirul 10, 7, 4, 1, … nu mai are termen natural după 1 (ar urma −2, care nu e număr natural). Oprește-te la 0 sau spune că șirul nu mai continuă în $N$ . Despre mulțimea $N$ ai învățat la mulțimea numerelor naturale.
Confunzi „poziția" cu „termenul". Întrebarea „pe ce poziție e 47?" are alt răspuns decât „care e al 47-lea termen?". Citește cu atenție ce ți se cere.

Joc acasă

1. Detectivul de șiruri (cu cărți de joc sau bilețele). Un jucător scrie un șir de 4 termeni cu pas constant (de exemplu 6, 10, 14, 18) și îl arată celuilalt. Acesta trebuie să ghicească pasul și să spună următorii doi termeni. Apoi schimbați rolurile. Punct pentru fiecare ghicire corectă. Cine ajunge primul la 5 puncte câștigă.

2. Scara cu monede. Pune pe masă, în rând, grămăjoare de monede: 2, 4, 6, 8 monede. Întreabă: „Câte monede ar avea a 7-a grămadă dacă păstrăm regula?" Răspunsul se verifică numărând efectiv monedele după ce le adaugi. Schimbă pasul (din 3 în 3, din 5 în 5) și reia.

3. Calendarul ascuns. Privește un calendar și alege o coloană (de exemplu toate zilele de luni): vei vedea un șir cu pas +7 (7, 14, 21, 28). Provoacă-ți părintele: „Fără să te uiți, ce dată e a cincea luni din șir?" Apoi verificați împreună pe calendar.

Pentru părinți și învățători

Această lecție trece copilul de la „a calcula" la „a raționa": scopul nu e doar să continue un șir, ci să explice regula. Iată cum îl puteți sprijini:

Începeți cu diferențele. Întrebați mereu: „Cu cât crește de fiecare dată?" Calcularea diferenței dintre doi termeni vecini este reflexul cheie. Dacă diferențele sunt egale, copilul a găsit pasul.
Folosiți analogia treptelor pentru cea mai frecventă greșeală (înmulțirea cu poziția în loc de poziția − 1). Cereți copilului să numere pe degete câte salturi face de la primul la al patrulea termen; va vedea singur că sunt 3, nu 4.
Întrebări bune de pus: „Cum ai descoperit regula?", „Cum poți verifica că ai dreptate?", „Poți afla al 50-lea termen fără să-i scrii pe toți?", „Numărul acesta face parte din șir? De unde știi?".
Verificați înțelegerea cerându-i să inventeze el un șir și să vă pună vouă o întrebare despre el. Dacă reușește să formuleze o întrebare corectă și să o verifice, a stăpânit ideea.
Legături utile: dacă observați nesiguranțe la împărțirea cu rest (apare la „pe ce poziție se află numărul?"), reluați teorema împărțirii cu rest; pentru ordonarea termenilor, compararea și ordonarea numerelor naturale.

Întrebări frecvente

Ce este un termen al unui șir? Termenul este fiecare număr care apare în șir. De exemplu, în șirul 3, 6, 9, 12, termenii sunt 3, 6, 9 și 12. Fiecare termen are o poziție: 3 este primul termen, 6 al doilea și așa mai departe.

Cum aflu regula de formare a unui șir la clasa a V-a? Calculează diferența dintre fiecare termen și cel dinaintea lui. Dacă diferențele sunt toate egale, regula este „aduni mereu acel număr" (pas constant). Dacă nu sunt egale, caută alt tipar: diferențe care cresc, înmulțire cu același număr sau pătrate perfecte.

Cum aflu al 100-lea termen al unui șir fără să-i scriu pe toți? Folosește regula: termenul căutat = primul termen + (poziția − 1) × pasul. De exemplu, pentru 1, 4, 7, 10, … (pas 3), al 100-lea termen este $1 + 99 \times 3 = 298$ . Așa eviți să scrii sute de numere.

De ce înmulțesc cu „poziția − 1" și nu cu poziția? Pentru că de la primul termen până la al $n$ -lea termen faci doar $n - 1$ salturi. La poziția 1 ești deja la start, n-ai sărit deloc. Este ca la trepte: de pe treapta 1 până pe treapta 4 faci 3 pași.

Cum verific dacă un număr face parte dintr-un șir? Scade primul termen din numărul dat, apoi împarte rezultatul la pas. Dacă împărțirea este exactă (rest 0), numărul face parte din șir; dacă rămâne rest, nu face parte. De exemplu, 100 în șirul 4, 7, 10, …: $100 - 4 = 96$ , iar $96 : 3 = 32$ exact, deci 100 este în șir.

Un șir poate să scadă? Da. Dacă regula este o scădere (de exemplu „scazi 5"), șirul descrește: 40, 35, 30, 25, … Atenție însă: într-un șir de numere naturale nu poți coborî sub 0, fiindcă numerele naturale nu sunt negative.

Care e diferența dintre poziția unui termen și valoarea lui? Poziția spune al câtelea este termenul (primul, al doilea, al treilea…), iar valoarea este numărul propriu-zis. În șirul 5, 10, 15, termenul de pe poziția a 3-a are valoarea 15. „Pe ce poziție e 15?" și „Care e al 3-lea termen?" sunt întrebări diferite.

Sunt toate șirurile cu pas constant? Nu. Multe sunt, mai ales la clasa a V-a, dar există și șiruri cu pas care crește (1, 2, 4, 7, 11), șiruri în care înmulțești (1, 2, 4, 8, 16) sau șiruri de pătrate perfecte (1, 4, 9, 16). De aceea verifici mereu regula pe mai mulți termeni înainte de a decide.