Criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, 100, 1000

Imaginează-ți că ești la o tombolă cu 1 248 de bilete și vrei să afli rapid, fără calculator și fără să faci vreo împărțire, dacă numărul biletelor se poate împărți exact în două cutii egale. Crezi sau nu, îți este suficient să te uiți la o singură cifră! Exact aici intervin criteriile de divizibilitate: niște reguli scurte, aproape magice, care îți spun dacă un număr se împarte exact la altul, doar privindu-l. În această lecție de matematică pentru clasa a V-a vei învăța criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, 100, 1000 și vei descoperi cât de mult timp îți economisesc.

Ce vei învăța

Vei ști să stabilești dacă un număr este divizibil cu 2 doar privind ultima cifră.
Vei ști să stabilești dacă un număr este divizibil cu 5 doar privind ultima cifră.
Vei ști să stabilești divizibilitatea cu 10, 100 și 1000 numărând zerourile de la final.
Vei ști să aplici aceste criterii fără să efectuezi împărțirea, rapid și sigur.
Vei ști să combini criteriile pentru a rezolva mici probleme și a completa cifre lipsă.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă, de fapt, „divizibil”

Înainte de criterii, să ne reamintim ce am construit în lecțiile anterioare. Spunem că un număr natural $a$ este divizibil cu un număr natural $b$ (cu $b \neq = 0$ ) dacă, împărțind $a$ la $b$ , restul este 0. Altfel spus, $a$ se cuprinde în „pachete” perfecte de câte $b$ , fără să rămână nimic pe afară. Scriem acest lucru $b ∣ a$ și citim „ $b$ divide pe $a$ ”. Dacă ai nevoie să recapitulezi noțiunea, revezi lecția Divizor și multiplu al unui număr natural. Relația de divizibilitate.

De exemplu, 12 este divizibil cu 3, pentru că $12 : 3 = 4$ rest 0. În schimb, 13 nu este divizibil cu 3, pentru că $13 : 3 = 4$ rest 1.

Până acum, ca să verifici dacă un număr este divizibil cu altul, trebuia să faci împărțirea. Pentru numere mici e ușor, dar pentru un număr ca 1 000 000 ai pierde timp. Criteriul de divizibilitate este o regulă deșteaptă care îți dă răspunsul fără să mai împarți deloc.

De ce funcționează aceste criterii: secretul lui 10

Toate criteriile din această lecție au la bază o singură idee genială: sistemul nostru de numerație este zecimal, adică totul se construiește din zeci, sute, mii — care sunt puteri ale lui 10. Iar 10 este deja divizibil și cu 2, și cu 5. Din această proprietate izvorăsc toate regulile de mai jos.

Să luăm un număr oarecare, de pildă 374. Îl putem descompune (așa cum ai exersat la Scrierea unui număr natural în baza 10 folosind puteri ale lui 10) astfel:

$374 = 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 4$

Observă cu atenție: 100 și 10 sunt amândouă divizibile cu 2 (pentru că $100 = 2 \cdot 50$ și $10 = 2 \cdot 5$ ). Înseamnă că primele două „bucăți”, $3 \cdot 100$ și $7 \cdot 10$ , sunt deja divizibile cu 2 indiferent ce cifre ar fi acolo. Singura bucată care „decide” soarta întregului număr este ultima cifră, adică 4. Pentru că $4$ este divizibil cu 2, întregul număr 374 este divizibil cu 2. Vezi cât de elegant? Nu te interesează miile, sutele sau zecile — doar unitățile.

Exact același raționament merge pentru 5, fiindcă 10 și 100 sunt și ele divizibile cu 5.

Hai să vedem ideea și pe un număr mai mare, ca să fii sigur că ai prins-o. Luăm 2 596 și îl descompunem:

$2596 = 2 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 9 \cdot 10 + 6$

Bucățile $2 \cdot 1000$ , $5 \cdot 100$ și $9 \cdot 10$ conțin toate pe 1000, 100 sau 10 — numere divizibile cu 2 — deci sunt deja „rezolvate”, oricare ar fi cifrele din față. Rămâne doar ultima cifră, 6, care este pară. Concluzie: 2 596 este divizibil cu 2, fără să fi împărțit nimic. Dacă ultima cifră ar fi fost impară (de exemplu, 2 597), toate celelalte bucăți ar fi rămas divizibile cu 2, dar bucata finală, 7, ar fi „stricat” divizibilitatea — și numărul întreg nu ar mai fi fost divizibil cu 2. Vezi de ce doar ultima cifră contează: ea este singura parte a numărului care nu este garantat divizibilă cu 2 sau cu 5.

Criteriul de divizibilitate cu 2

Acum putem enunța limpede prima regulă.

Criteriul de divizibilitate cu 2: Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră (cifra unităților) este 0, 2, 4, 6 sau 8.

Cu alte cuvinte, numerele divizibile cu 2 sunt exact numerele pare. Cele care se termină în 1, 3, 5, 7 sau 9 sunt impare și nu sunt divizibile cu 2.

Hai să verificăm pe câteva exemple, doar privind ultima cifră:

5 836 se termină în 6 → cifra 6 este pară → numărul este divizibil cu 2. ✅
2 401 se termină în 1 → cifra 1 este impară → numărul nu este divizibil cu 2. ❌
90 se termină în 0 → cifra 0 face parte din lista 0, 2, 4, 6, 8 → numărul este divizibil cu 2. ✅
777 se termină în 7 → impar → nu este divizibil cu 2. ❌

Atenție la un detaliu important: cifra 0 este pară. Deci orice număr care se termină în 0 (10, 20, 340, 1 000) este divizibil cu 2. Mulți elevi uită asta.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Trecem la al doilea criteriu, la fel de simplu.

Criteriul de divizibilitate cu 5: Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.

Și aici totul se decide după unități. Gândește-te cum „cresc” multiplii lui 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40… Observă că ei se termină mereu, pe rând, în 5, 0, 5, 0, 5, 0… Niciun multiplu al lui 5 nu se termină în altă cifră.

Câteva verificări rapide:

3 425 se termină în 5 → este divizibil cu 5. ✅
870 se termină în 0 → este divizibil cu 5. ✅
64 se termină în 4 → cifra nu e nici 0, nici 5 → nu este divizibil cu 5. ❌
1 002 se termină în 2 → nu este divizibil cu 5. ❌

Ce se întâmplă când combini criteriile

Iată o întrebare frumoasă: ce numere sunt divizibile și cu 2, și cu 5 în același timp? Un astfel de număr trebuie să aibă ultima cifră pară (0, 2, 4, 6, 8) și în același timp 0 sau 5. Singura cifră care îndeplinește amândouă condițiile este 0. Deci numerele divizibile și cu 2, și cu 5 sunt exact cele care se termină în 0 — adică numerele divizibile cu 10! Reține concluzia aceasta, e foarte folositoare.

Criteriul de divizibilitate cu 10, 100 și 1000

Acum vine partea cea mai vizuală și cea mai ușor de ținut minte. Pentru că numerația noastră e zecimală, divizibilitatea cu puterile lui 10 ( $10 = 1 0^{1}$ , $100 = 1 0^{2}$ , $1000 = 1 0^{3}$ ) se citește pur și simplu numărând zerourile de la sfârșitul numărului.

Criteriul de divizibilitate cu 10: Un număr este divizibil cu 10 dacă se termină cu (cel puțin) un 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100: Un număr este divizibil cu 100 dacă se termină cu (cel puțin) două zerouri.

Criteriul de divizibilitate cu 1000: Un număr este divizibil cu 1000 dacă se termină cu (cel puțin) trei zerouri.

Regula generală, pe care o vei folosi și în clasele mai mari, este: un număr este divizibil cu $1 0^{n}$ (adică 1 urmat de $n$ zerouri) dacă are cel puțin $n$ zerouri la final.

Să vedem cu exemple:

730 are un zero la final → divizibil cu 10, dar nu cu 100 (n-are două zerouri). ✅10 ❌100
5 400 are două zerouri la final → divizibil cu 10 și cu 100, dar nu cu 1000. ✅10 ✅100 ❌1000
62 000 are trei zerouri la final → divizibil cu 10, cu 100 și cu 1000. ✅10 ✅100 ✅1000
309 nu are niciun zero la final → nu este divizibil nici cu 10. ❌

Observă o legătură importantă: dacă un număr este divizibil cu 1000, atunci el este automat divizibil și cu 100, și cu 10. De ce? Pentru că dacă are trei zerouri la coadă, are sigur și două, și unul. „Mai mult” înseamnă și „mai puțin”. La fel, orice număr divizibil cu 10 este și par (divizibil cu 2) și divizibil cu 5, fiindcă se termină în 0.

Atenție: contează doar zerourile de la SFÂRȘIT

O capcană foarte des întâlnită: contează doar zerourile care stau lipite la coada numărului, nu zerourile din interior. De exemplu, numărul 3 005 are două zerouri, dar ele sunt în mijloc. La final el se termină în 5, deci nu este divizibil cu 100 și nici măcar cu 10. Este însă divizibil cu 5 (se termină în 5). Privește mereu ultima poziție și mergi spre stânga: numeri zerourile doar atâta timp cât sunt neîntrerupte de la capăt.

O regulă pe scurt, ca să o ții minte

÷ 2 → ultima cifră să fie 0, 2, 4, 6, 8 (par).
÷ 5 → ultima cifră să fie 0 sau 5.
÷ 10 → numărul să se termine în 0 (un zero).
÷ 100 → să se termine în 00 (două zerouri).
÷ 1000 → să se termine în 000 (trei zerouri).

Vestea bună e că toate aceste criterii cer doar să te uiți la coada numărului. Nu mai e nevoie să faci nicio împărțire lungă. În lecția următoare, Criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9, vei vedea criterii care se uită în schimb la suma cifrelor — deci nu toate criteriile funcționează la fel, dar cele de azi sunt cele mai simple dintre toate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Divizibilitate cu 2

Cerință: Verifică, fără să faci împărțirea, dacă numerele 4 718, 2 095 și 60 000 sunt divizibile cu 2.

Rezolvare: Mă uit doar la ultima cifră a fiecăruia.

4 718 → ultima cifră 8, pară → divizibil cu 2. ✅
2 095 → ultima cifră 5, impară → nu este divizibil cu 2. ❌
60 000 → ultima cifră 0, iar 0 este pară → divizibil cu 2. ✅

Răspuns: 4 718 și 60 000 sunt divizibile cu 2; 2 095 nu este.

Exemplul 2 — Divizibilitate cu 5

Cerință: Care dintre numerele 845, 1 230, 5 002 și 99 sunt divizibile cu 5?

Rezolvare: Privesc ultima cifră; trebuie să fie 0 sau 5.

845 → se termină în 5 → ✅ divizibil cu 5.
1 230 → se termină în 0 → ✅ divizibil cu 5.
5 002 → se termină în 2 → ❌ nu.
99 → se termină în 9 → ❌ nu.

Răspuns: 845 și 1 230 sunt divizibile cu 5.

Exemplul 3 — Divizibilitate cu 10, 100, 1000

Cerință: Pentru numărul 47 000, stabilește cu care dintre 10, 100, 1000 este divizibil.

Rezolvare: Număr zerourile de la coadă: 47 000 are trei zerouri finale.

Are cel puțin un zero → divizibil cu 10. ✅
Are cel puțin două zerouri → divizibil cu 100. ✅
Are cel puțin trei zerouri → divizibil cu 1000. ✅

Răspuns: 47 000 este divizibil cu 10, cu 100 și cu 1000.

Exemplul 4 — Capcana zerourilor din interior

Cerință: Este numărul 80 405 divizibil cu 10? Dar cu 5? Dar cu 2?

Rezolvare: Mă uit la ultima cifră, care este 5 (nu mă las păcălit de zerourile din interior).

Pentru ÷10 trebuie să se termine în 0. Se termină în 5 → nu este divizibil cu 10. ❌
Pentru ÷5 trebuie 0 sau 5. Se termină în 5 → divizibil cu 5. ✅
Pentru ÷2 trebuie cifră pară. 5 e impar → nu este divizibil cu 2. ❌

Răspuns: 80 405 este divizibil doar cu 5; nu este divizibil cu 10 și nici cu 2.

Exemplul 5 — Completarea unei cifre lipsă

Cerință: Află toate cifrele $a$ pentru care numărul $\overline{52 a}$ (numărul cu cifrele 5, 2 și $a$ ) este divizibil și cu 2, și cu 5 în același timp.

Rezolvare: Un număr divizibil și cu 2, și cu 5 trebuie să se termine în cifra care e și pară, și din lista {0, 5}. Singura cifră potrivită este 0 (am demonstrat asta în lecție). Deci $a = 0$ .

Verificare: numărul devine 520, care se termină în 0 → divizibil cu 10, deci și cu 2, și cu 5. ✅

Răspuns: $a = 0$ , iar numărul este 520.

Exemplul 6 — Mică problemă practică

Cerință: La un concurs de robotică s-au înscris 1 250 de elevi. Organizatorii vor să-i așeze în echipe egale. Se pot forma echipe de câte 2 elevi fără să rămână nimeni pe dinafară? Dar echipe de câte 5? Dar de câte 10?

Rezolvare: Întrebarea este, de fapt, dacă 1 250 este divizibil cu 2, cu 5 și cu 10. Mă uit la ultima cifră, care este 0.

÷2: ultima cifră 0 e pară → da, se pot forma echipe de câte 2. ✅
÷5: ultima cifră 0 ∈ {0, 5} → da, echipe de câte 5. ✅
÷10: se termină în 0 → da, echipe de câte 10. ✅

Răspuns: Da, în toate cele trei cazuri elevii se pot împărți exact, fără să rămână nimeni nerepartizat.

Exemplul 7 — Sortare după mai multe criterii deodată

Cerință: Pentru fiecare dintre numerele 150, 365, 2 008 și 40 000, spune cu care dintre 2, 5, 10, 100 și 1000 este divizibil. Completează ca un mic tabel mental.

Rezolvare: Privesc, pe rând, ultima cifră (pentru 2 și 5) și apoi numărul de zerouri de la coadă (pentru 10, 100, 1000).

150 se termină în 0 → par, deci ÷2 ✅; 0 ∈ {0, 5}, deci ÷5 ✅; are un zero final → ÷10 ✅, dar nu ÷100 (n-are două zerouri) ❌, nu ÷1000 ❌.
365 se termină în 5 → impar, deci ÷2 ❌; 5 ∈ {0, 5}, deci ÷5 ✅; nu are zerouri finale → ÷10 ❌, ÷100 ❌, ÷1000 ❌.
2 008 se termină în 8 → par, deci ÷2 ✅; 8 ∉ {0, 5}, deci ÷5 ❌; ultima cifră nu e 0 → ÷10 ❌, ÷100 ❌, ÷1000 ❌. (Atenție: cele două zerouri din mijloc nu se numără!)
40 000 se termină în 0 → ÷2 ✅, ÷5 ✅; are patru zerouri finale → ÷10 ✅, ÷100 ✅, ÷1000 ✅.

Răspuns: 150 → ÷2, ÷5, ÷10; 365 → doar ÷5; 2 008 → doar ÷2; 40 000 → ÷2, ÷5, ÷10, ÷100, ÷1000.

Exemplul 8 — Câte cifre fac numărul divizibil

Cerință: Câte cifre $a$ există pentru care numărul $\overline{4 a}$ (număr de două cifre) este divizibil cu 2? Dar cu 5?

Rezolvare: Cifra zecilor (4) este deja fixată; doar ultima cifră, $a$ , decide.

Pentru ÷2, $a$ trebuie să fie pară: $a \in {0, 2, 4, 6, 8}$ → 5 cifre posibile (numerele 40, 42, 44, 46, 48).
Pentru ÷5, $a$ trebuie să fie 0 sau 5: $a \in {0, 5}$ → 2 cifre posibile (numerele 40 și 45).

Răspuns: 5 valori pentru divizibilitatea cu 2 și 2 valori pentru divizibilitatea cu 5.

Să exersăm

Rezolvă-le pe rând. Reține: nu ai voie să faci împărțiri — folosește doar criteriile, privind ultima cifră sau zerourile finale.

1. Încercuiește numerele divizibile cu 2: 34, 57, 120, 489, 1 006, 2 223.

2. Încercuiește numerele divizibile cu 5: 45, 80, 132, 905, 3 000, 71.

3. Completează tabelul cu „DA” sau „NU”:

Număr	÷2	÷5	÷10
70	?	?	?
95	?	?	?
64	?	?	?

4. Câte zerouri are la final numărul 38 000 și cu care dintre 10, 100, 1000 este divizibil?

5. Adevărat sau fals: „Orice număr care se termină în 0 este divizibil și cu 2, și cu 5.”

6. Adevărat sau fals: „Numărul 50 070 este divizibil cu 100, pentru că are zerouri în el.”

7. Scrie cea mai mică cifră $a$ astfel încât numărul $\overline{73 a}$ să fie divizibil cu 2.

8. Scrie toate cifrele $b$ pentru care numărul $\overline{8 b 0}$ este divizibil cu 10. (Indiciu: privește ultima cifră.)

9. Potrivește fiecare număr cu eticheta corectă (poate avea mai multe etichete): 240, 365, 7 000. Etichete: A) divizibil cu 2 B) divizibil cu 5 C) divizibil cu 10 D) divizibil cu 1000.

10. Dintre numerele 12, 25, 40, 53, 100, 1 000, scrie-le pe cele divizibile cu 10.

11. Găsește toate cifrele $c$ pentru care $\overline{4 c}$ (număr de două cifre) este divizibil cu 5.

12. Adevărat sau fals: „Numărul 999 990 este divizibil cu 10.”

13. Un magazin a primit 3 600 de baterii și le ambalează în cutii. Folosind criteriile, spune dacă le poate împărți exact în cutii de câte 100 de baterii.

14. Scrie cel mai mare număr de trei cifre care este divizibil în același timp și cu 2, și cu 5.

15. Completează cu o cifră astfel încât numărul $\overline{120 □}$ (1 20 urmat de un pătrat) să fie divizibil cu 100. Câte soluții există?

16. O problemă de gândire: găsește un număr de patru cifre care este divizibil cu 5, dar nu este divizibil cu 2. Dă un exemplu și explică de ce.

17. Adevărat sau fals: „Dacă un număr este divizibil cu 1000, atunci este sigur divizibil și cu 10.”

18. Scrie trei numere diferite, mai mari decât 100, care sunt divizibile și cu 2, și cu 5, dar nu sunt divizibile cu 100.

Răspunsuri și explicații

1. Divizibile cu 2 (ultima cifră pară): 34 (4), 120 (0), 1 006 (6). Numerele 57, 489, 2 223 se termină în cifre impare.

2. Divizibile cu 5 (ultima cifră 0 sau 5): 45 (5), 80 (0), 905 (5), 3 000 (0). 132 se termină în 2, 71 în 1 → nu.

3. Tabelul completat:

Număr	÷2	÷5	÷10
70	DA	DA	DA
95	NU	DA	NU
64	DA	NU	NU

Explicație: 70 se termină în 0 (par, ∈{0,5}, are un zero); 95 se termină în 5 (impar, dar bun pentru ÷5, fără zero final); 64 se termină în 4 (par, dar nu e 0 sau 5).

4. 38 000 are trei zerouri la final → divizibil cu 10, 100 și 1000.

5. Adevărat. Dacă se termină în 0, atunci 0 este și par (deci ÷2), și ∈ {0, 5} (deci ÷5).

6. Fals. Pentru ÷100, numărul trebuie să se termine în 00. 50 070 se termină în 70, nu în 00 — zerourile din interior nu contează.

7. Cea mai mică cifră pară este 0 → $a = 0$ (numărul 730). Orice cifră pară ar merge, dar cea mai mică este 0.

8. Numărul $\overline{8 b 0}$ se termină mereu în 0, deci este divizibil cu 10 indiferent de $b$ . Răspuns: $b$ poate fi orice cifră, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.

240 → A (par), B (∈{0,5}), C (un zero final). Nu D (n-are trei zerouri). Etichete: A, B, C.
365 → doar B (se termină în 5). Nu A, nu C, nu D.
7 000 → A, B, C și D (trei zerouri finale → divizibil și cu 1000). Etichete: A, B, C, D.

10. Divizibile cu 10 (se termină în 0): 40, 100, 1 000. 12, 25, 53 nu se termină în 0.

11. Pentru ÷5, ultima cifră trebuie 0 sau 5 → $c \in {0, 5}$ . Numerele sunt 40 și 45.

12. Adevărat. 999 990 se termină în 0, deci este divizibil cu 10.

13. 3 600 are două zerouri la final → divizibil cu 100 → da, se pot face cutii exacte de câte 100 ( $3600 : 100 = 36$ cutii).

14. Trebuie să se termine în 0 (singura cifră bună și pentru 2, și pentru 5). Cel mai mare număr de trei cifre care se termină în 0 este 990.

15. Pentru ÷100, numărul trebuie să se termine în 00. $\overline{120 □}$ se termină deja în 0, deci ultima cifră, $□$ , trebuie să fie tot 0 → numărul 1 200. Există o singură soluție: cifra 0.

16. Un astfel de număr trebuie să se termine în 5 (divizibil cu 5, dar impar → nu cu 2). Exemplu: 1 235. Se termină în 5 → ÷5 da; 5 este impar → ÷2 nu. (Orice număr de patru cifre care se termină în 5 este corect.)

17. Adevărat. Dacă are trei zerouri la coadă, are sigur și cel puțin un zero, deci este divizibil și cu 10.

18. Trebuie să se termine în 0 (pentru ÷2 și ÷5 simultan), dar să nu aibă două zerouri la final (ca să nu fie ÷100). Exemple corecte: 110, 250, 370 (toate au exact un zero final). Orice astfel de numere sunt acceptate.

De reținut

÷2: ultima cifră trebuie să fie 0, 2, 4, 6 sau 8 (număr par). Cifra 0 este pară!
÷5: ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5.
÷10, ÷100, ÷1000: numeri zerourile de la sfârșit — unul pentru 10, două pentru 100, trei pentru 1000 (regula $1 0^{n}$ = cel puțin $n$ zerouri finale).
Singura cifră care face un număr divizibil și cu 2, și cu 5 este 0; deci ÷2 și ÷5 împreună înseamnă ÷10.
Toate aceste criterii se aplică fără nicio împărțire — doar privind coada numărului.

Greșeli frecvente

„0 nu e par.” Ba da! Cifra 0 este pară, deci orice număr care se termină în 0 este divizibil cu 2. Nu uita 0 din lista 0, 2, 4, 6, 8.
Numeri zerourile din interiorul numărului. Pentru ÷10, ÷100, ÷1000 contează doar zerourile lipite la coadă. 3 005 se termină în 5, nu în 0 — nu e divizibil cu 10, deși are zerouri în mijloc.
Confunzi criteriul lui 2 cu cel al lui 5. Pentru 2 cauți cifre pare; pentru 5 cauți doar 0 sau 5. Un număr ca 24 este ÷2, dar nu ÷5 (se termină în 4).
Crezi că „divizibil cu 100” cere ÷10 separat. Dacă un număr e divizibil cu 100, e automat și cu 10 (are deja cel puțin un zero). „Mai multe zerouri” include „mai puține zerouri”.

Joc acasă

1. Vânătoarea de numere pare și cu 5. Ia chitanțe vechi, ambalaje sau pagini de carte din casă și scrie 10 numere pe care le găsești (prețuri, numere de pagină, coduri). Pentru fiecare, bifează rapid pe o foaie: „÷2?”, „÷5?”, „÷10?”. Cronometrează-te — vei vedea că răspunzi în câteva secunde la fiecare, fără calcul.

2. Cărți de joc — ultima cifră decide. Folosește bilețele numerotate de la 0 la 9 (sau cărți de joc unde 10 = 0). Amestecă-le și extrage 4 cărți pe care le așezi în rând ca să formezi un număr de patru cifre. Provocarea: spune imediat dacă numărul format este divizibil cu 2, cu 5 sau cu 10, uitându-te doar la ultima carte. Joacă în doi și marchează câte un punct cine răspunde corect primul.

3. Fabrica de zerouri. Scrie pe o foaie numărul 7. Apoi adaugă pe rând câte un zero la dreapta: 7 → 70 → 700 → 7 000. La fiecare pas, spune cu voce tare cu ce devine divizibil numărul. Vei vedea „live” cum, adăugând zerouri, numărul devine divizibil pe rând cu 10, apoi cu 100, apoi cu 1000.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce primele criterii de divizibilitate, instrumente pe care elevul le va folosi tot restul gimnaziului (la simplificarea fracțiilor, la descompunerea în factori primi, la cmmdc și cmmmc). Ideea-cheie pe care merită s-o întăriți este de ce funcționează criteriile: pentru că 10, 100, 1000 sunt deja divizibile cu 2 și cu 5, doar ultima cifră „decide”. Înțelegerea motivului previne învățarea mecanică.

Întrebări utile de pus elevului:

„Te uiți la care cifră ca să decizi dacă e divizibil cu 2? Dar cu 5?”
„De ce nu contează zerourile din mijlocul unui număr ca 3 005?”
„Poți să-mi dai un număr divizibil cu 5, dar nu cu 2? Cum arată mereu ultima lui cifră?”
„Dacă un număr e divizibil cu 1000, e sigur divizibil și cu 100? De ce?”

Cum verificați înțelegerea: cereți-i să rezolve câteva exerciții fără să facă împărțirea — dacă recurge la împărțiri lungi, încă nu a internalizat criteriul. Un semn bun de stăpânire este viteza: răspunsul ar trebui să vină dintr-o privire. Capcana cea mai des întâlnită este uitarea că 0 este par; testați special cu numere care se termină în 0. Dacă elevul stăpânește bine aceste criterii, îl puteți pregăti pentru lecția următoare, despre criteriile cu 3 și cu 9, care funcționează diferit (cu suma cifrelor).

Întrebări frecvente

Care este criteriul de divizibilitate cu 2 la clasa a 5-a? Un număr natural este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8, adică dacă numărul este par. Te uiți doar la cifra unităților, fără să faci nicio împărțire.

Cum știu dacă un număr este divizibil cu 5? Privești ultima cifră a numărului. Dacă aceasta este 0 sau 5, numărul este divizibil cu 5; în orice altă situație, nu este. De exemplu, 340 și 1 235 sunt divizibile cu 5.

Cum aflu rapid dacă un număr se împarte exact la 10, 100 sau 1000? Numeri zerourile de la sfârșitul numărului: un zero înseamnă divizibil cu 10, două zerouri cu 100, trei zerouri cu 1000. Contează doar zerourile lipite la coadă, nu cele din interiorul numărului.

Este 0 un număr par? Da, cifra 0 este pară. De aceea orice număr care se termină în 0 (precum 30, 150, 2 000) este divizibil cu 2, dar și cu 5 și cu 10 în același timp.

Ce numere sunt divizibile și cu 2, și cu 5 în același timp? Numai numerele care se termină în cifra 0, pentru că aceasta este singura cifră care e și pară, și din mulțimea {0, 5}. Aceste numere sunt exact numerele divizibile cu 10.

De ce funcționează criteriile de divizibilitate cu 2 și cu 5? Pentru că zecile, sutele și miile (10, 100, 1000) sunt deja divizibile cu 2 și cu 5. Astfel, întregul număr are divizibilitatea hotărâtă doar de ultima cifră, cea a unităților.

Un număr cu zerouri în mijloc, ca 4 005, este divizibil cu 100? Nu. Pentru divizibilitatea cu 100 contează doar zerourile de la finalul numărului, iar 4 005 se termină în 5. Zerourile din interior nu se iau în calcul.

Trebuie să fac împărțirea ca să verific divizibilitatea cu 2, 5, 10, 100 sau 1000? Nu, acesta este marele avantaj al criteriilor: răspunzi doar privind ultima cifră (pentru 2 și 5) sau numărând zerourile finale (pentru 10, 100, 1000), fără să efectuezi nicio împărțire.