Acasă · Clasa a VI-a · Lecții · Pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri

Pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri

Ai văzut vreodată cum răsare Soarele la marginea mării? În prima clipă, marginea de jos a Soarelui doar atinge linia orizontului, apoi linia orizontului „taie" discul Soarelui în două, iar mai târziu Soarele se ridică de tot și nu mai are nimic comun cu apa. Fără să știi, tocmai ai urmărit cele trei poziții pe care le poate avea o dreaptă față de un cerc. În această lecție vom învăța să le recunoaștem riguros, folosind un singur instrument simplu și puternic: compararea unei distanțe cu raza. Apoi vom face același lucru pentru două cercuri și vom descoperi toate situațiile posibile.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști pozițiile unei drepte față de un cerc: dreaptă exterioară, tangentă și secantă.
Vei ști să spui câte puncte comune are dreapta cu cercul în fiecare caz.
Vei ști să decizi poziția comparând distanța de la centru la dreaptă cu raza cercului.
Vei ști să recunoști pozițiile relative a două cercuri: exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior, interioare (unul în altul) și concentrice.
Vei ști să folosești distanța dintre centre și razele pentru a hotărî în ce caz te afli, inclusiv în contexte practice.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim ce este un cerc

Din lecția Cercul: definiție și elemente știm deja că cercul cu centrul $O$ și raza $r$ este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la distanța $r$ de $O$ . Punctele din plan se împart în trei categorii:

puncte pe cerc (la distanță exact $r$ de centru);
puncte în interiorul cercului (la distanță mai mică decât $r$ );
puncte în exteriorul cercului (la distanță mai mare decât $r$ ).

Vom folosi mereu și ideea de distanță de la un punct la o dreaptă, învățată în lecția Distanța de la un punct la o dreaptă: aceasta este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă, adică cel mai scurt drum de la punct la dreaptă. Reține ideea-cheie: dintre toate segmentele care unesc un punct cu o dreaptă, cel perpendicular este cel mai scurt.

Întrebarea de bază

Avem un cerc cu centrul $O$ și raza $r$ și o dreaptă $d$ . Întrebarea este simplă: câte puncte au în comun cercul și dreapta? Surprinzător, răspunsul nu poate fi orice număr. Sunt doar trei posibilități: niciun punct, un singur punct sau exact două puncte. Nu există dreaptă care să taie un cerc în trei sau patru puncte. Hai să vedem de ce și să dăm un nume fiecărei situații.

Pentru a decide, calculăm distanța de la centrul $O$ la dreapta $d$ . O notăm cu $m$ (lungimea perpendicularei din $O$ pe $d$ ). Apoi comparăm $m$ cu raza $r$ . Totul se reduce la această comparație. E ca un cântar: pe un taler punem distanța $m$ , pe celălalt raza $r$ , și vedem care e mai mare.

Cazul 1: dreapta exterioară cercului ( $m > r$ )

Dacă distanța de la centru la dreaptă este mai mare decât raza, dreapta trece „pe lângă" cerc, fără să-l atingă. Spunem că dreapta este exterioară cercului.

Condiție: $m > r$ .
Puncte comune: 0 (niciunul).

De ce? Cel mai apropiat punct al dreptei de centru se află la distanța $m$ , care este mai mare decât $r$ . Deci chiar și punctul cel mai apropiat al dreptei este în exteriorul cercului, iar toate celelalte puncte ale dreptei sunt și mai departe. Niciun punct al dreptei nu poate fi pe cerc.

Analogie: imaginează-ți un teren de fotbal rotund (cercul) și un gard drept (dreapta) construit departe, dincolo de margine. Gardul nu atinge deloc terenul.

Cazul 2: dreapta tangentă cercului ( $m = r$ )

Dacă distanța de la centru la dreaptă este exact egală cu raza, dreapta atinge cercul într-un singur punct. Spunem că dreapta este tangentă cercului, iar punctul comun se numește punct de tangență.

Condiție: $m = r$ .
Puncte comune: 1 (unul singur).

Aici apare o proprietate foarte importantă pe care o vom folosi des: raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe dreapta tangentă. Adică, dacă $T$ este punctul de tangență, atunci $O T ⊥ d$ . Are sens: distanța de la $O$ la $d$ este tocmai lungimea perpendicularei, iar acea perpendiculară se „termină" chiar în $T$ , singurul punct comun.

Analogie: gândește-te la o minge sprijinită pe o masă. Mingea atinge masa într-un singur punct, iar raza dusă spre acel punct cade „drept în jos", perpendicular pe masă. Așa se sprijină roata bicicletei pe asfalt: într-un singur punct.

Cazul 3: dreapta secantă cercului ( $m < r$ )

Dacă distanța de la centru la dreaptă este mai mică decât raza, dreapta intră în cerc și iese din el, tăindu-l în două puncte. Spunem că dreapta este secantă cercului (cuvântul „secant" vine de la „a tăia").

Condiție: $m < r$ .
Puncte comune: 2 (două).

Segmentul determinat de cele două puncte de pe cerc este o coardă (am studiat coardele în lecția Unghiul la centru. Arce și coarde). Cu cât dreapta trece mai aproape de centru, cu atât coarda este mai lungă. Dacă dreapta trece chiar prin centru ( $m = 0$ ), coarda devine diametru — cea mai lungă coardă posibilă.

Analogie: linia orizontului care taie discul Soarelui la răsărit — exact cele două puncte unde apa „atinge" marginea Soarelui.

Tabelul magic pentru dreaptă și cerc

Toată lecția de până acum se strânge într-un singur tabel. Învață-l bine, pentru că rezolvă orice problemă de acest tip:

Poziția dreptei	Condiția	Puncte comune
Exterioară	$m > r$	0
Tangentă	$m = r$	1
Secantă	$m < r$	2

Observă cât de elegant este: comparăm doar două numere, $m$ și $r$ , și obținem imediat și poziția, și numărul de puncte comune. Nu trebuie să desenezi perfect; e suficient să calculezi distanța și să o compari cu raza.

Trecem la două cercuri

Acum complicăm puțin lucrurile, dar folosim aceeași idee: comparăm o distanță cu niște raze. Avem două cercuri: unul cu centrul $O_{1}$ și raza $R$ , altul cu centrul $O_{2}$ și raza $r$ (vom presupune de obicei că $R \geq r$ , adică primul e cel mai mare sau egal). Numărul care decide totul este distanța dintre centre, pe care o notăm $d = O_{1} O_{2}$ .

Întrebarea: câte puncte comune au cele două cercuri? Și aici răspunsul este limitat: 0, 1 sau 2 puncte. Două cercuri diferite nu se pot intersecta în trei puncte. Dar configurațiile sunt mai bogate decât la dreaptă, pentru că „0 puncte comune" poate însemna fie că cercurile sunt unul lângă altul (separate), fie că unul este înghesuit complet în interiorul celuilalt.

Hai să le luăm pe rând, de la cercuri îndepărtate la cercuri tot mai apropiate, apoi unul în celălalt. Pentru fiecare, compară $d$ cu sumele și diferențele razelor.

Cercuri exterioare (separate, $d > R + r$ )

Dacă distanța dintre centre este mai mare decât suma razelor, cercurile sunt complet separate, fiecare în „colțul" lui, fără să se atingă.

Condiție: $d > R + r$ .
Puncte comune: 0.

De ce $R + r$ ? Pentru că, dacă pui cele două cercuri să se atingă „pe dinafară", drumul de la $O_{1}$ la $O_{2}$ trece exact o rază plus o rază. Dacă centrele sunt mai depărtate de atât, rămâne spațiu liber între cercuri.

Cercuri tangente exterior ( $d = R + r$ )

Dacă distanța dintre centre este exact suma razelor, cercurile se ating într-un singur punct, stând „spate în spate". Spunem că sunt tangente exterior.

Condiție: $d = R + r$ .
Puncte comune: 1.

Punctul de tangență se află pe segmentul $O_{1} O_{2}$ , undeva între centre. Două monede așezate pe masă astfel încât să se atingă pe margine sunt tangente exterior.

Cercuri secante ( $R - r < d < R + r$ )

Dacă distanța dintre centre este mai mică decât suma razelor, dar mai mare decât diferența lor, cercurile se întretaie, tăindu-se în două puncte. Spunem că sunt secante.

Condiție: $R - r < d < R + r$ .
Puncte comune: 2.

Aici cercurile „se suprapun" parțial, formând o zonă comună în formă de lentilă. Două inele de fum care se întrepătrund, sau două cercuri din emblema olimpică, sunt secante.

Cercuri tangente interior ( $d = R - r$ )

Dacă distanța dintre centre este exact diferența razelor (și cercurile au raze diferite), cercul mic stă în interiorul celui mare și îl atinge pe dinăuntru într-un singur punct. Spunem că sunt tangente interior.

Condiție: $d = R - r$ (cu $R > r$ ).
Puncte comune: 1.

Imaginează-ți o monedă mică lipită pe dinăuntru de marginea unei farfurii rotunde mai mari: se ating într-un singur punct.

Cercuri interioare (unul în altul, $d < R - r$ )

Dacă distanța dintre centre este mai mică decât diferența razelor, cercul mic este complet în interiorul celui mare, fără să-l atingă. Spunem că cercurile sunt interioare (unul interior celuilalt).

Condiție: $0 \leq d < R - r$ (cu $R > r$ ).
Puncte comune: 0.

Caz special: cercuri concentrice ( $d = 0$ )

Dacă cele două cercuri au același centru ( $O_{1} = O_{2}$ , deci $d = 0$ ) dar raze diferite, ele se numesc concentrice. Sunt un caz particular de cercuri interioare: unul în altul, fără puncte comune, ca undele formate când arunci o piatră în apă. Zona dintre ele se numește coroană circulară (gândește-te la o pistă de atletism circulară: marginea interioară și cea exterioară sunt cercuri concentrice).

Tabelul magic pentru două cercuri

La fel ca la dreaptă, totul se strânge într-un tabel. Aici comparăm distanța dintre centre $d$ cu suma $R + r$ și cu diferența $R - r$ :

Poziția celor două cercuri	Condiția ( $R \geq r$ )	Puncte comune
Exterioare (separate)	$d > R + r$	0
Tangente exterior	$d = R + r$	1
Secante	$R - r < d < R + r$	2
Tangente interior	$d = R - r$	1
Interioare	$d < R - r$	0
Concentrice	$d = 0$	0

Truc de memorare: punctele comune apar doar la egalități (tangente, 1 punct) și „între" cele două praguri (secante, 2 puncte). Când $d$ este „prea mare" sau „prea mic", cercurile nu se ating deloc (0 puncte).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — recunoaștem poziția unei drepte

Un cerc are centrul $O$ și raza $r = 5$ cm. O dreaptă $d$ se află la distanța $m = 8$ cm de centru. Ce poziție are dreapta față de cerc? Câte puncte comune au?

Rezolvare. Comparăm $m$ cu $r$ : avem $m = 8$ și $r = 5$ , deci $m > r$ ( $8 > 5$ ). Conform tabelului, dreapta este exterioară cercului și are 0 puncte comune cu el. Pe scurt: distanța de la centru e mai mare decât raza, deci dreapta trece pe lângă cerc.

Exemplul 2 — dreaptă tangentă și raza perpendiculară

Un cerc cu centrul $O$ are raza $r = 6$ cm. Distanța de la $O$ la o dreaptă $g$ este $m = 6$ cm. Stabilește poziția dreptei și ce poți spune despre raza dusă în punctul comun.

Rezolvare. Comparăm: $m = 6$ și $r = 6$ , deci $m = r$ . Egalitate înseamnă dreaptă tangentă, cu 1 punct comun, să-l numim $T$ . În plus, raza $O T$ este perpendiculară pe dreapta $g$ , adică $O T ⊥ g$ . Aceasta e proprietatea tangentei: raza în punctul de tangență „cade drept" pe tangentă, formând unghi de $9 0^{\circ}$ .

Exemplul 3 — găsim valorile distanței pentru o secantă

Un cerc are raza $r = 10$ cm. Pentru ce valori ale distanței $m$ de la centru la o dreaptă, dreapta este secantă? Dă un exemplu concret de valoare.

Rezolvare. Dreapta este secantă atunci când $m < r$ , adică $m < 10$ cm (și, evident, $m \geq 0$ ). Deci orice distanță între $0$ și $10$ cm (inclusiv $0$ ) dă o secantă. De exemplu, pentru $m = 4$ cm avem $4 < 10$ , deci dreapta taie cercul în 2 puncte. Caz special: dacă $m = 0$ , dreapta trece prin centru, iar coarda determinată este chiar un diametru (de $20$ cm).

Exemplul 4 — poziția a două cercuri prin calcul

Două cercuri au razele $R = 7$ cm și $r = 3$ cm, iar distanța dintre centre este $d = 10$ cm. Ce poziție au cercurile? Câte puncte comune?

Rezolvare. Calculăm pragurile: suma razelor $R + r = 7 + 3 = 10$ cm; diferența $R - r = 7 - 3 = 4$ cm. Comparăm $d$ cu ele: $d = 10 = R + r$ . Distanța dintre centre este exact egală cu suma razelor, deci cercurile sunt tangente exterior, cu 1 punct comun. Se ating „pe dinafară", în punctul aflat pe segmentul dintre centre.

Exemplul 5 — cercuri secante

Două cercuri au $R = 8$ cm și $r = 5$ cm, iar $d = 6$ cm. Stabilește poziția.

Rezolvare. Pragurile: $R + r = 13$ cm și $R - r = 3$ cm. Verificăm dubla condiție pentru secante: $R - r < d < R + r$ , adică $3 < 6 < 13$ . Da! $6$ este mai mare decât $3$ și mai mic decât $13$ . Deci cercurile sunt secante și au 2 puncte comune. Se suprapun parțial, formând o zonă comună în formă de lentilă.

Exemplul 6 — cercuri interioare și tangente interior

Un cerc mare are $R = 9$ cm și un cerc mic $r = 4$ cm. a) Dacă $d = 5$ cm, ce poziție au? b) Dacă $d = 2$ cm, ce poziție au?

Rezolvare. Pragul cheie aici este diferența $R - r = 9 - 4 = 5$ cm (suma $R + r = 13$ cm nu intră în joc, fiindcă $d$ e mic).

a) $d = 5 = R - r$ . Egalitate cu diferența razelor înseamnă cercuri tangente interior, cu 1 punct comun: cel mic atinge cercul mare pe dinăuntru.

b) $d = 2 < R - r = 5$ . Distanța dintre centre e mai mică decât diferența razelor, deci cercul mic este complet în interiorul celui mare, fără atingere: cercuri interioare, 0 puncte comune.

Exemplul 7 — problemă practică

Pe o masă, un pahar lasă o urmă circulară cu raza $R = 4$ cm. Lângă el, un capac lasă o urmă circulară cu raza $r = 3$ cm. Centrele celor două urme sunt la distanța $d = 9$ cm. Se ating sau se suprapun cele două urme?

Rezolvare. Suma razelor: $R + r = 4 + 3 = 7$ cm. Comparăm: $d = 9 > 7 = R + r$ . Distanța dintre centre depășește suma razelor, deci cele două urme sunt exterioare una alteia: nu se ating și nu se suprapun. Între ele rămâne spațiu liber.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru pozițiile drepte–cerc folosește comparația $m$ cu $r$ , iar pentru două cercuri compară $d$ cu $R + r$ și $R - r$ .

1. Completează: dacă distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza, dreapta se numește ________ și are ________ punct(e) comun(e) cu cercul.

2. Un cerc are raza $r = 7$ cm. O dreaptă este la distanța $m = 7$ cm de centru. Ce poziție are dreapta?

3. Un cerc are raza $r = 12$ cm. O dreaptă este la $m = 15$ cm de centru. Câte puncte comune are dreapta cu cercul?

4. Adevărat sau fals: o dreaptă poate avea 3 puncte comune cu un cerc.

5. Încercuiește răspunsul corect. O dreaptă secantă are cu cercul: a) 0 puncte; b) 1 punct; c) 2 puncte.

6. Un cerc are raza $r = 9$ cm. Pentru ce valori ale distanței $m$ dreapta este exterioară cercului?

7. Potrivește fiecare condiție cu poziția dreptei: (A) $m > r$ — (B) $m = r$ — (C) $m < r$ , cu pozițiile: exterioară, secantă, tangentă.

8. Desenează un cerc și apoi trei drepte: una exterioară, una tangentă și una secantă. Marchează punctele comune.

9. Două cercuri au $R = 6$ cm, $r = 2$ cm și $d = 8$ cm. Ce poziție au? Câte puncte comune?

10. Două cercuri au $R = 10$ cm, $r = 4$ cm și $d = 5$ cm. Stabilește poziția lor.

11. Două cercuri au $R = 5$ cm, $r = 5$ cm și $d = 7$ cm. Ce poziție au? (Atenție: razele sunt egale.)

12. Completează: două cercuri cu același centru și raze diferite se numesc ________ și au ________ puncte comune.

13. Adevărat sau fals: dacă $d = R - r$ , cercurile sunt tangente exterior.

14. Două cercuri au $R = 7$ cm și $r = 3$ cm. Calculează suma și diferența razelor, apoi spune ce poziție au dacă $d = 4$ cm.

15. Mică problemă. Pe un perete, un cerc de carton are raza $R = 20$ cm. Vrei să lipești în interiorul lui un al doilea cerc cu raza $r = 8$ cm, astfel încât cercul mic să atingă cercul mare pe dinăuntru. La ce distanță trebuie să fie centrele?

16. Două roți de bicicletă, văzute lateral, au fiecare raza $r = 30$ cm, iar distanța dintre centrele lor (butuci) este $d = 70$ cm. Se ating cercurile roților? Justifică.

17. Un cerc are raza $r = 5$ cm. O dreaptă trece prin centrul cercului. Ce poziție are dreapta și cât măsoară coarda determinată?

18. Două cercuri au $R = 8$ cm și $r = 8$ cm (raze egale), iar $d = 0$ . Ce poziție au? Ce observi despre cele două cercuri?

Răspunsuri și explicații

1. tangentă; 1 punct comun. Egalitate $m = r$ înseamnă tangentă, un singur punct (de tangență).

2. $m = 7 = r$ , deci dreaptă tangentă (1 punct comun).

3. $m = 15 > 12 = r$ , deci dreaptă exterioară: 0 puncte comune.

4. Fals. O dreaptă are cu un cerc cel mult 2 puncte comune (0, 1 sau 2). Nu poate avea 3.

5. c) 2 puncte. Secantă înseamnă „taie" cercul în două puncte.

6. Exterioară când $m > r$ , adică $m > 9$ cm (orice distanță mai mare de 9 cm).

7. (A) $m > r$ → exterioară; (B) $m = r$ → tangentă; (C) $m < r$ → secantă.

8. Desen: dreapta exterioară nu atinge cercul (0 puncte), tangenta îl atinge într-un punct (raza perpendiculară acolo), secanta îl taie în două puncte. Verifică marcajele.

9. $R + r = 6 + 2 = 8$ ; $d = 8 = R + r$ , deci tangente exterior: 1 punct comun.

10. $R + r = 14$ ; $R - r = 10 - 4 = 6$ . Avem $d = 5 < 6 = R - r$ , deci cercurile sunt interioare (cel mic complet în interiorul celui mare): 0 puncte comune.

11. $R + r = 5 + 5 = 10$ ; $R - r = 0$ . Avem $0 < d = 7 < 10$ , deci $R - r < d < R + r$ : cercurile sunt secante, 2 puncte comune. (Când razele sunt egale, $R - r = 0$ , deci nu pot fi niciodată tangente interior sau interioare.)

12. concentrice; 0 puncte comune. Au același centru, raze diferite.

13. Fals. $d = R - r$ înseamnă tangente interior, nu exterior. Tangente exterior este $d = R + r$ .

14. $R + r = 10$ ; $R - r = 7 - 3 = 4$ . Avem $d = 4 = R - r$ , deci cercurile sunt tangente interior (1 punct comun).

15. Pentru tangență interioară: $d = R - r = 20 - 8 = 12$ cm. Centrele trebuie să fie la 12 cm unul de altul.

16. $R + r = 30 + 30 = 60$ cm; $d = 70 > 60$ , deci cercurile roților sunt exterioare: nu se ating. (Bine, altfel roțile s-ar freca!)

17. Dreapta trece prin centru, deci $m = 0 < r$ : este secantă. Coarda determinată trece prin centru, deci este diametru: $2 \cdot r = 2 \cdot 5 = 10$ cm.

18. $d = 0$ și raze egale înseamnă că cercurile au același centru și aceeași rază: sunt identice (suprapuse). Practic, este unul și același cerc — un caz limită al cercurilor concentrice.

De reținut

La dreaptă și cerc, compari distanța $m$ de la centru la dreaptă cu raza $r$ : $m > r$ → exterioară (0 puncte); $m = r$ → tangentă (1 punct); $m < r$ → secantă (2 puncte).
Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe dreapta tangentă.
O dreaptă are cu un cerc cel mult 2 puncte comune; două cercuri, de asemenea, cel mult 2.
La două cercuri, compari distanța dintre centre $d$ cu $R + r$ și $R - r$ : $d > R + r$ exterioare (0); $d = R + r$ tangente exterior (1); $R - r < d < R + r$ secante (2); $d = R - r$ tangente interior (1); $d < R - r$ interioare (0); $d = 0$ concentrice (0).
Punctele comune apar doar la egalități (1 punct) sau între praguri (2 puncte).

Greșeli frecvente

Confunzi distanța cu raza. La dreaptă, mereu compari distanța de la centru la dreaptă (perpendiculara), nu altă lungime, cu raza. Desenează perpendiculara și marchează unghiul drept.
Inversezi tangentă exterior cu tangentă interior. Ține minte: $d = R + r$ → exterior (cercurile stau spate în spate); $d = R - r$ → interior (unul în altul, atinse pe dinăuntru). „Sumă = exterior, diferență = interior."
Uiți să compari cu ambele praguri la secante. Pentru secante e nevoie de dublă condiție: $R - r < d < R + r$ . Verifică amândouă inegalitățile, nu doar una.
Crezi că o dreaptă poate tăia cercul în 3 puncte. Maximul este 2. Dacă într-o problemă „găsești" 3, ai greșit undeva.

Joc acasă

1. Pahare și capace. Pune pe masă două pahare, un capac de borcan și o farfurie. Cu un creion, conturează marginea fiecăruia pe o coală. Apoi mută obiectele și desenează perechi de cercuri: două care se ating pe dinafară (tangente exterior), două care se suprapun (secante) și un cerc mic conturat în interiorul unei farfurii (interioare). Notează sub fiecare desen poziția corectă.

2. Sfoara și rigla. Desenează un cerc cu ajutorul unui pahar. Marchează centrul (îndoaie hârtia pe diametru de două ori). Trasează cu rigla trei drepte: una departe de cerc, una care abia atinge marginea și una care taie cercul. Măsoară cu rigla distanța de la centru la fiecare dreaptă și compar-o cu raza. Verifică tabelul: se potrivesc rezultatele?

3. Olimpiada inelelor. Caută emblema Jocurilor Olimpice (cinci cercuri). Privește cum se înlănțuie și spune ce poziție au cercurile vecine între ele. Apoi desenează tu o emblemă din 3 cercuri secante, astfel încât fiecare să taie pe celelalte în câte 2 puncte.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează ideea că geometria poate fi decisă prin calcul: copilul nu trebuie să „ghicească" din desen, ci să compare numere (distanță vs. rază, distanță dintre centre vs. sumă/diferență de raze). Acesta este un pas important spre raționamentul riguros.

Cum sprijiniți elevul:

Cereți-i să enunțe cu voce tare regula înainte de a rezolva: „compar distanța cu raza" sau „compar $d$ cu $R + r$ și $R - r$ ". Verbalizarea fixează metoda.
Folosiți obiecte reale (monede, capace, pahare) pentru a materializa cele șase poziții ale celor două cercuri. Atingeți-le efectiv ca să simtă diferența dintre tangent exterior și tangent interior.
Întrebări utile de verificat înțelegerea: „Câte puncte comune pot avea cel mult o dreaptă și un cerc?" (răspuns: 2); „Ce înseamnă geometric $m = r$ ?" (tangentă); „De ce $d = R + r$ dă tangente exterior, iar $d = R - r$ tangente interior?".
Semnal de alarmă: dacă elevul compară distanța cu diametrul în loc de rază, sau uită o inegalitate la secante. Reluați tabelul împreună.

Lecția se leagă natural de Cercul: definiție și elemente și de Distanța de la un punct la o dreaptă; o recapitulare scurtă a acestora înainte ajută mult.

Întrebări frecvente

Câte puncte comune poate avea o dreaptă cu un cerc? Cel mult două. Sunt exact trei posibilități: 0 puncte (dreaptă exterioară), 1 punct (dreaptă tangentă) sau 2 puncte (dreaptă secantă). Nu există dreaptă care să intersecteze un cerc în 3 sau mai multe puncte.

Cum recunosc dacă o dreaptă este tangentă la cerc? Calculezi distanța de la centrul cercului la dreaptă (lungimea perpendicularei) și o compari cu raza. Dacă distanța este exact egală cu raza ( $m = r$ ), dreapta este tangentă și atinge cercul într-un singur punct. În acel punct, raza este perpendiculară pe dreaptă.

Ce înseamnă o dreaptă secantă la un cerc? O dreaptă secantă „taie" cercul în două puncte. Asta se întâmplă când distanța de la centru la dreaptă este mai mică decât raza ( $m < r$ ). Segmentul dintre cele două puncte de pe cerc este o coardă.

Care este diferența dintre cercuri tangente exterior și tangente interior? Ambele se ating într-un singur punct, dar tangentele exterior stau una lângă alta (distanța dintre centre este $d = R + r$ ), iar la tangentele interior cercul mic se află în interiorul celui mare și îl atinge pe dinăuntru ( $d = R - r$ ).

Când sunt două cercuri secante? Când distanța dintre centre se află strict între diferența și suma razelor: $R - r < d < R + r$ . În acest caz cercurile se taie în două puncte și formează o zonă comună în formă de lentilă.

Ce sunt cercurile concentrice? Sunt două (sau mai multe) cercuri care au exact același centru, dar raze diferite. Distanța dintre centre este $d = 0$ , nu au niciun punct comun, iar zona dintre ele se numește coroană circulară. Exemplu: undele formate pe apă sau o pistă circulară.

Cum aflu poziția a două cercuri dacă știu razele și distanța dintre centre? Calculezi suma $R + r$ și diferența $R - r$ a razelor, apoi compari distanța $d$ cu ele folosind tabelul: dacă $d > R + r$ sunt exterioare, $d = R + r$ tangente exterior, între praguri secante, $d = R - r$ tangente interior, iar $d < R - r$ interioare.

Pot două cercuri să aibă trei puncte comune? Nu. Două cercuri diferite au cel mult două puncte comune. Dacă ar avea trei puncte comune, ele ar coincide complet (ar fi același cerc), pentru că prin trei puncte necoliniare trece un singur cerc.