Un cerc are centrul $$O$$ și raza $$r = 9$$ cm. O dreaptă $$d$$ se află la distanța $$m = 5$$ cm de centru. Ce poziție are dreapta față de cerc și câte puncte comune au?

Nu se poate determina fără desen

Două cercuri au razele $$R = 12$$ cm și $$r = 5$$ cm, iar distanța dintre centre este $$d = 6$$ cm. Ce poziție au cele două cercuri?

Tangente interior, 1 punct comun

Tangente exterior, 1 punct comun

Un cerc are centrul $$O$$ și raza $$r = 7$$ cm. O dreaptă $$d$$ se află la distanța $$m = 11$$ cm de centru. Ce poziție are dreapta față de cerc și câte puncte comune au?

Nu se poate determina fără desen

Când este o dreaptă tangentă la cerc?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Poziții dreaptă–cerc și două cercuri

Atunci când perpendiculara coborâtă din centru pe acea dreaptă măsoară exact cât raza. În acest caz cele două au un singur punct comun, iar raza dusă acolo formează unghi drept cu dreapta. Când perpendiculara aceea iese mai lungă, dreapta rămâne în afară și nu atinge cercul; când iese mai scurtă, îl străbate prin două puncte, determinând o coardă. Pentru $r = 9$ cm și distanța $6$ cm, dreapta este secantă.

Pentru a stabili poziția unei drepte $d$ față de un cerc de centru $O$ și rază $r$ , comparăm distanța $m$ de la $O$ la $d$ (lungimea perpendicularei) cu $r$ : dacă $m > r$ dreapta este exterioară (0 puncte comune); dacă $m = r$ este tangentă (1 punct, iar raza în punctul de tangență e perpendiculară pe dreaptă); dacă $m < r$ este secantă (2 puncte, determină o coardă).

Pentru două cercuri cu centrele $O_{1}, O_{2}$ , raze $R \geq r$ și $d = O_{1} O_{2}$ , comparăm $d$ cu $R + r$ și $R - r$ : $d > R + r$ → exterioare (0); $d = R + r$ → tangente exterior (1); $R - r < d < R + r$ → secante (2); $d = R - r$ → tangente interior (1); $d < R - r$ → interioare (0); $d = 0$ → concentrice (0).

Exemplu: $r = 9$ cm, $m = 6$ cm; cum $m < r$ , dreapta este secantă, cu 2 puncte comune.

De reținut

dreaptă și cerc: $m > r$ exterioară, $m = r$ tangentă, $m < r$ secantă
în punctul de tangență, raza face unghi drept cu dreapta
două cercuri: se compară $d$ cu $R + r$ și cu $R - r$

Greșeala tipică

Se decide poziția dreptei după cum arată desenul, nu după comparația dintre distanță și rază; un desen făcut din mână poate ascunde diferențe mici, așa că hotărârea se ia din numere.

Exerciții din această mini-lecție

Un cerc are centrul $O$ și raza $r = 9$ cm. O dreaptă $d$ se află la distanța $m = 5$ cm de centru. Ce poziție are dreapta față de cerc și câte puncte comune au?
- a) Exterioară, 0 puncte comune
- b) Tangentă, 1 punct comun
- c) Secantă, 2 puncte comune
- d) Nu se poate determina fără desen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Secantă, 2 puncte comune

Comparăm $m$ cu $r$ : $m = 5$ și $r = 9$ , deci $m < r$ . Conform criteriului, dreapta este secantă și taie cercul în 2 puncte, determinând o coardă.
Două cercuri au razele $R = 12$ cm și $r = 5$ cm, iar distanța dintre centre este $d = 6$ cm. Ce poziție au cele două cercuri?
- a) Secante, 2 puncte comune
- b) Tangente interior, 1 punct comun
- c) Interioare, 0 puncte comune
- d) Tangente exterior, 1 punct comun
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Interioare, 0 puncte comune

Calculăm pragurile: $R + r = 17$ cm și $R - r = 7$ cm. Cum $d = 6 < 7 = R - r$ , distanța dintre centre este mai mică decât diferența razelor, deci cercurile sunt interioare (cel mic complet în interiorul celui mare), cu 0 puncte comune.
Un cerc are centrul $O$ și raza $r = 7$ cm. O dreaptă $d$ se află la distanța $m = 11$ cm de centru. Ce poziție are dreapta față de cerc și câte puncte comune au?
- a) Exterioară, 0 puncte comune
- b) Tangentă, 1 punct comun
- c) Secantă, 2 puncte comune
- d) Nu se poate determina fără desen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Exterioară, 0 puncte comune

Comparăm $m$ cu $r$ : $m = 11$ și $r = 7$ , deci $m > r$ . Conform criteriului, dreapta este exterioară cercului, cu 0 puncte comune.

Întrebări conexe

Cum compar distanța de la centru cu raza ca să aflu poziția dreptei?

Măsori perpendiculara dusă din centru pe dreaptă și o compari cu raza. Mai mare înseamnă zero puncte comune, egală înseamnă un punct, mai mică înseamnă două. O singură comparație lămurește situația, fără să desenezi punctele de intersecție.

Ce este o coardă a cercului?

Este segmentul care unește două puncte de pe cerc. Apare ori de câte ori o dreaptă taie cercul, iar cea mai lungă coardă posibilă este diametrul, fiindcă trece chiar prin centru. Distanța de la centru la coardă scade pe măsură ce coarda se lungește.

Ce unghi face raza cu tangenta în punctul de atingere?

Un unghi drept. Proprietatea vine din faptul că raza dusă la punctul de tangență este chiar cea mai scurtă legătură dintre centru și dreaptă, iar drumul cel mai scurt este întotdeauna pe perpendiculară. Ea se folosește la multe construcții geometrice.

Când sunt două cercuri exterioare unul altuia?

Când distanța dintre centre depășește suma razelor, deci nu au niciun punct comun și niciunul nu îl cuprinde pe celălalt. Dacă distanța este exact cât suma, cercurile se ating într-un singur punct și se numesc tangente exterior.

Câte puncte comune au două cercuri cu razele de 5 cm și 3 cm, aflate la 6 cm?

Două, fiindcă distanța dintre centre se află între diferența razelor, care este $2$ , și suma lor, care este $8$ . Cercurile se taie, iar segmentul care unește punctele de intersecție este perpendicular pe linia centrelor.

Unde apar cercurile tangente în desenele tehnice?

La racordarea a două piese, la roțile dințate care se angrenează și la traseele care trebuie să treacă lin dintr-un arc în altul. Condiția de tangență garantează că trecerea se face fără colț, ceea ce contează la piesele aflate în mișcare.

Oamenii mai întreabă și: dreaptă tangentă la cerc · pozițiile unei drepte față de un cerc · dreaptă secantă și dreaptă exterioară · punctul de tangență