Distanța de la un punct la o dreaptă

Imaginează-ți că stai pe marginea unui teren de fotbal și vrei să ajungi cât mai repede la linia de margine din față. Pe ce drum o iei: drept înainte sau pieziș? Intuiția îți spune să mergi „drept", iar geometria îți confirmă acest lucru cu o explicație exactă. În această lecție vei învăța ce înseamnă distanța de la un punct la o dreaptă, cum o construiești corect cu echerul și de ce perpendiculara este întotdeauna cel mai scurt drum dintre un punct și o dreaptă. Este o idee simplă, dar foarte puternică, pe care o vei folosi mai târziu la mediatoare, la înălțimile triunghiului și la multe probleme practice.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști și să construiești piciorul perpendicularei duse dintr-un punct pe o dreaptă.
• Vei ști că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei coborâte din acel punct pe dreaptă.
• Vei ști să compari perpendiculara cu oblicele și să explici de ce perpendiculara este cea mai scurtă.
• Vei ști să măsori și să calculezi distanța punct–dreaptă în configurații date.
• Vei ști să aplici noțiunea în probleme practice din viața de zi cu zi.

Hai să descoperim împreună

1. Punct, dreaptă și o întrebare firească

Pornim de la lucruri pe care le cunoști deja din lecția despre drepte perpendiculare: definiție și construcție. Avem o dreaptă, pe care o notăm cu litere mici (de exemplu $d$), și un punct care nu se află pe acea dreaptă, pe care îl notăm cu o literă mare (de exemplu $A$).

Întrebarea naturală este: cât de departe este punctul $A$ de dreapta $d$? Pare o întrebare simplă, dar are o capcană. De la punctul $A$ putem duce o mulțime de segmente până la dreapta $d$ — și fiecare are altă lungime! Unul scurt, altul lung, altul și mai lung. Care dintre ele reprezintă „distanța"?

Hai să facem un experiment în minte. Ești la etajul unei clădiri, la fereastră (punctul $A$), și vrei să cobori la trotuar (dreapta $d$). Poți coborî pe o scară dreaptă, exact în jos, sau pe un tobogan oblic care te duce mai departe. Drumul drept în jos este cel mai scurt. Exact aceeași idee o folosește matematica pentru a defini distanța.

2. Piciorul perpendicularei

Ca să măsurăm distanța, ducem din punctul $A$ o perpendiculară pe dreapta $d$. Îți amintești: o perpendiculară este o dreaptă care formează cu $d$ un unghi de $90°$, adică un unghi drept.

Perpendiculara coborâtă din $A$ taie (intersectează) dreapta $d$ într-un singur punct. Acest punct are un nume special: se numește piciorul perpendicularei. Îl notăm de obicei cu litera $B$ (sau cu $P$, sau cu $A^{\prime }$).

Definiție. Fie $d$ o dreaptă și $A$ un punct care nu aparține dreptei. Punctul $B$ în care perpendiculara dusă din $A$ pe $d$ întâlnește dreapta $d$ se numește piciorul perpendicularei duse din $A$ pe dreapta $d$.

Reține mica regulă de notație: la piciorul perpendicularei desenăm întotdeauna pătrățelul unghiului drept. Acel pătrățel este „semnătura" perpendicularității și ne spune dintr-o privire că unghiul $\angle ABd$ are $90°$.

Câteva observații importante:

• Piciorul perpendicularei este unic: dintr-un punct exterior se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă, deci există un singur picior $B$.
• Piciorul perpendicularei se află pe dreapta $d$, nu în altă parte.
• Dacă punctul $A$ s-ar afla chiar pe dreapta $d$, atunci piciorul perpendicularei ar coincide cu $A$, iar distanța ar fi $0$. De obicei însă lucrăm cu un punct care nu se află pe dreaptă.

3. Definiția distanței de la un punct la o dreaptă

Acum putem da definiția cea mai importantă a lecției.

Definiție. Distanța de la un punct $A$ la o dreaptă $d$ este lungimea segmentului $AB$, unde $B$ este piciorul perpendicularei duse din $A$ pe dreapta $d$.

O notăm pe scurt: $\text{dist}(A,d)=AB$.

Cu alte cuvinte, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei dintre punct și dreaptă. Nu orice segment, ci exact segmentul perpendicular.

Hai să fixăm ideea cu o comparație. Distanța dintre două puncte $A$ și $B$ o știi: este lungimea segmentului $[AB]$, drumul cel mai scurt dintre ele. Distanța de la un punct la o dreaptă este la fel de naturală: tot drumul cel mai scurt, dar de data aceasta de la un punct până la o întreagă dreaptă. Iar acel drum cel mai scurt este chiar perpendiculara.

4. Perpendiculară și oblice

Acum vine partea cea mai frumoasă, care explică de ce alegem tocmai perpendiculara. Tot ce nu este perpendiculară, dar pleacă din $A$ și ajunge pe dreapta $d$, se numește oblică (sau dreaptă oblică).

Să le notăm. Avem:

• perpendiculara $AB$ (piciorul în $B$),
• oblicele $AC$, $AE$, $AF$ etc. (picioarele în $C$, $E$, $F$, toate diferite de $B$).

Proprietate fundamentală. Dintre toate segmentele duse dintr-un punct $A$ la o dreaptă $d$, perpendiculara este cel mai scurt. Adică, pentru orice oblică $AC$, avem: $$AB<AC.$$

De ce este așa? Hai să o vedem cu un raționament simplu, folosind triunghiul. Privește triunghiul $ABC$, unde $B$ este piciorul perpendicularei și $C$ este piciorul unei oblice.

În acest triunghi, unghiul din $B$ are $90°$ (este unghi drept). Vei învăța mai târziu, la suma măsurilor unghiurilor unui triunghi, că suma celor trei unghiuri este $180°$. Asta înseamnă că celelalte două unghiuri, din $A$ și din $C$, adunate dau $90°$, deci fiecare este mai mic decât $90°$. Prin urmare, unghiul drept din $B$ este cel mai mare unghi al triunghiului.

Iar regula din geometrie (pe care o vei studia la inegalități între laturile și unghiurile triunghiului) spune că laturii celei mai mari i se opune unghiul cel mai mare. Latura opusă unghiului drept este chiar oblica $AC$. Deci $AC$ este latura cea mai lungă a triunghiului, mai lungă decât $AB$. Așadar $AB<AC$. Exact ce voiam să arătăm!

Pentru clasa a VI-a poți reține concluzia chiar și fără demonstrația completă: perpendiculara este mai scurtă decât orice oblică. Aceasta este și justificarea pentru care distanța se măsoară pe perpendiculară: pentru că perpendiculara dă cel mai scurt drum, iar „distanță" înseamnă mereu cel mai scurt drum.

5. Cu cât se îndepărtează, cu atât e mai lungă

Mai există o observație utilă. Dacă luăm două picioare de oblice, $C$ și $E$, și $C$ este mai aproape de piciorul perpendicularei $B$ decât este $E$, atunci oblica $AC$ este mai scurtă decât oblica $AE$.

Pe scurt: cu cât piciorul oblicii se depărtează de piciorul perpendicularei, cu atât oblica devine mai lungă. Această idee te ajută să compari rapid lungimi fără să le măsori, doar privind cât de departe sunt picioarele de $B$.

6. Cum construim distanța, pas cu pas

Să vedem acum, foarte concret, cum construiești perpendiculara și măsori distanța. Ai nevoie de un echer (rigla în formă de triunghi dreptunghic), de o riglă gradată și de un creion bine ascuțit.

Pasul 1. Desenează dreapta $d$ și marchează punctul $A$ în afara ei.

Pasul 2. Așază echerul astfel încât una dintre catete (laturile care formează unghiul drept) să stea exact pe dreapta $d$.

Pasul 3. Alunecă echerul de-a lungul dreptei $d$ până când cealaltă catetă (cea perpendiculară) trece prin punctul $A$.

Pasul 4. Trasează cu creionul, de-a lungul catetei perpendiculare, segmentul de la $A$ până la dreapta $d$. Marchează punctul de întâlnire: acesta este piciorul perpendicularei $B$. Desenează pătrățelul unghiului drept în $B$.

Pasul 5. Cu rigla gradată, măsoară lungimea segmentului $AB$. Numărul obținut (în centimetri sau milimetri) este distanța de la $A$ la $d$.

Gata! Ai construit și ai măsurat distanța de la un punct la o dreaptă. Verifică mereu micul pătrățel: dacă în $B$ nu ai unghi drept, segmentul nu este perpendiculară, deci nu reprezintă distanța.

7. La ce ne folosește în viața reală

Această noțiune nu trăiește doar pe caietul de geometrie. Iat-o la lucru:

• Distanța casei față de șosea. Pe planurile de urbanism se cere ca o casă să fie la cel puțin un anumit număr de metri „de la stradă". Acea distanță se măsoară pe perpendiculara dusă din colțul casei pe linia drumului.
• Lățimea unei benzi de drum sau a unui teren. Distanța dintre două margini paralele se măsoară mereu perpendicular, nu pieziș.
• Sportul. În sărituri, în baschet sau în tras la coș, „cât de departe ești de linie" înseamnă distanța perpendiculară până la linie.
• Tehnologie și navigație. Un GPS care îți spune „te-ai abătut de la traseu" calculează tocmai distanța de la poziția ta (un punct) la linia traseului (o dreaptă).

Ține minte ideea-cheie: ori de câte ori cineva spune „distanța până la o linie", se subînțelege distanța perpendiculară — cea mai scurtă. Asta o face foarte importantă în construcții, hărți, sport și inginerie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem distanța corectă

Din punctul $M$ se duc pe dreapta $d$ trei segmente: $MN=5$ cm (perpendicular pe $d$, cu pătrățel de unghi drept în $N$), $MP=7$ cm și $MQ=6$ cm (ambele oblice). Care dintre lungimi reprezintă distanța de la $M$ la dreapta $d$?

Rezolvare. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, nu a vreunei oblice. Singurul segment perpendicular pe $d$ este $MN$, deoarece doar el are pătrățelul de unghi drept în piciorul său. Prin urmare: $$\text{dist}(M,d)=MN=5\text{ cm}.$$ Observă, ca verificare, că $MN=5$ este într-adevăr mai mic decât oblicele $MQ=6$ și $MP=7$ — exact cum spune proprietatea: perpendiculara este cea mai scurtă.

Exemplul 2 — Comparăm o perpendiculară cu o oblică

Din punctul $A$ se duc pe dreapta $d$ perpendiculara $AB$ și o oblică $AC$. Se știe că $AB=8$ cm. Ce putem spune sigur despre lungimea oblicii $AC$?

Rezolvare. Conform proprietății fundamentale, perpendiculara este mai scurtă decât orice oblică, deci $AB<AC$. Cum $AB=8$ cm, rezultă cu certitudine că: $$AC>8\text{ cm}.$$ Nu putem ști valoarea exactă a lui $AC$ (depinde de cât de departe e $C$ de $B$), dar știm sigur că este mai mare de $8$ cm. De exemplu, $AC$ ar putea fi $9$ cm sau $12$ cm, dar niciodată $8$ cm sau mai puțin.

Exemplul 3 — Ordonăm oblicele după lungime

Pe dreapta $d$ avem, în ordine, punctele $B$, $C$, $E$, unde $B$ este piciorul perpendicularei duse din $A$. Se dau $BC=2$ cm și $CE=3$ cm. Ordonează crescător segmentele $AB$, $AC$, $AE$.

Rezolvare. Piciorul perpendicularei este $B$. Punctul $C$ este la $2$ cm de $B$, iar $E$ este la $BC+CE=2+3=5$ cm de $B$. Deci $E$ este mai departe de $B$ decât $C$.

Aplicăm cele două reguli:

• perpendiculara este cea mai scurtă, deci $AB$ este cel mai mic;
• cu cât piciorul oblicii e mai departe de $B$, cu atât oblica e mai lungă, deci $AC<AE$.

Punând cap la cap: $$AB<AC<AE.$$

Exemplul 4 — Distanța într-un dreptunghi

Fie dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=10$ cm și $BC=6$ cm. Care este distanța de la vârful $A$ la dreapta $BC$?

Rezolvare. Într-un dreptunghi, laturile vecine sunt perpendiculare. Latura $AB$ pleacă din $A$ și este perpendiculară pe $BC$ (unghiul din $B$ are $90°$). Deci $AB$ este chiar perpendiculara dusă din $A$ pe dreapta $BC$, iar piciorul perpendicularei este $B$. Atunci: $$\text{dist}(A,BC)=AB=10\text{ cm}.$$ Atenție la capcană: nu confundăm cu $BC=6$ cm. Întrebarea cere distanța de la $A$ la dreapta $BC$, iar drumul perpendicular din $A$ până la dreapta $BC$ este latura $AB$.

Exemplul 5 — Aplicație practică cu un drum drept

Un far (punctul $F$) se află pe un deal, iar la poalele dealului trece o șosea dreaptă $d$. Inginerii măsoară perpendiculara de la far la șosea și obțin $FP=240$ m, unde $P$ este piciorul perpendicularei. Un turist merge pe șosea și ajunge într-un punct $T$ de unde, în linie dreaptă, până la far sunt $260$ m. Este posibil ca distanța de la far la șosea să fie mai mare decât $FT$?

Rezolvare. Distanța de la far la șosea este lungimea perpendicularei: $\text{dist}(F,d)=FP=240$ m. Drumul $FT$ este o oblică (turistul nu stă exact sub far). Perpendiculara este mereu cea mai scurtă, deci $FP<FT$, adică $240<260$ — ceea ce se verifică. Răspunsul la întrebare este nu: distanța de la far la șosea ($240$ m) nu poate fi niciodată mai mare decât o oblică precum $FT$. Perpendiculara rămâne mereu cea mai scurtă.

Exemplul 6 — Două puncte de aceeași parte, comparare

Din două puncte $A$ și $B$ se duc perpendiculare pe aceeași dreaptă $d$, obținând picioarele $A^{\prime }$ și $B^{\prime }$. Se știe că $A{A}^{\prime }=4$ cm și $B{B}^{\prime }=4$ cm. Ce putem spune despre distanțele celor două puncte față de dreapta $d$?

Rezolvare. Distanța de la $A$ la $d$ este $A{A}^{\prime }=4$ cm, iar distanța de la $B$ la $d$ este $B{B}^{\prime }=4$ cm. Cum ambele perpendiculare au aceeași lungime, cele două puncte sunt egal depărtate de dreapta $d$: $$\text{dist}(A,d)=\text{dist}(B,d)=4\text{ cm}.$$ Spunem că $A$ și $B$ sunt egal depărtate (echidistante) față de dreapta $d$. Toate punctele aflate la aceeași distanță de $d$, de aceeași parte, se găsesc pe o dreaptă paralelă cu $d$ — o idee pe care o vei întâlni la drepte paralele.

Exemplul 7 — Pe foaia cu pătrățele

Pe o foaie de matematică (caiet cu pătrățele de $1$ cm), dreapta $d$ este una dintre liniile orizontale ale caietului, iar punctul $A$ se află exact pe o intersecție de linii, cu $4$ pătrățele mai sus de dreapta $d$. Cât este distanța de la $A$ la dreapta $d$?

Rezolvare. Pe foaia cu pătrățele, drumul drept în jos (de-a lungul liniilor verticale) este perpendicular pe liniile orizontale, deci este perpendicular pe $d$. Coborând de la $A$ exact în jos, traversăm $4$ pătrățele de câte $1$ cm până atingem dreapta $d$. Acest drum vertical este chiar perpendiculara, deci el dă distanța: $$\text{dist}(A,d)=4\text{ cm}.$$ Dacă, în loc să mergem drept în jos, am merge pieziș, pe diagonala pătrățelelor, am parcurge un drum mai lung — de aceea, când numărăm distanța pe foaia cu pătrățele, numărăm mereu „drept", perpendicular pe dreaptă, niciodată pe diagonală.

Exemplul 8 — Două distanțe de la același vârf

Fie dreptunghiul $MNPQ$ (vârfurile în ordine) cu $MN=8$ cm și $NP=5$ cm. Află distanța de la vârful $M$ la dreapta $NP$ și distanța de la vârful $M$ la dreapta $PQ$.

Rezolvare. Într-un dreptunghi, laturile vecine sunt perpendiculare.

• Pentru distanța de la $M$ la dreapta $NP$: latura $MN$ pleacă din $M$ și formează în $N$ un unghi drept cu $NP$. Deci $MN$ este perpendiculara dusă din $M$ pe dreapta $NP$, iar piciorul este $N$. Atunci $\text{dist}(M,NP)=MN=8$ cm.
• Pentru distanța de la $M$ la dreapta $PQ$: latura $MQ$ pleacă din $M$ și formează în $Q$ un unghi drept cu $PQ$. Deci $MQ$ este perpendiculara dusă din $M$ pe dreapta $PQ$, iar piciorul este $Q$. Cum $MQ=NP=5$ cm (laturi opuse egale), rezultă $\text{dist}(M,PQ)=5$ cm.

Observă cum, de la același vârf $M$, distanța diferă în funcție de dreapta aleasă: $8$ cm până la $NP$ și $5$ cm până la $PQ$. De fiecare dată am ales latura perpendiculară care pleacă din $M$ — niciodată o latură oblică sau diagonala dreptunghiului.

Să exersăm

1. Completează: Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea ________ duse din acel punct pe dreaptă.

2. Adevărat sau fals? Piciorul perpendicularei se află întotdeauna pe dreapta dată.

3. Adevărat sau fals? O oblică dusă dintr-un punct pe o dreaptă este mai scurtă decât perpendiculara dusă din același punct.

4. Din punctul $A$ se duc pe dreapta $d$: perpendiculara $AB=6$ cm și oblicele $AC=9$ cm, $AE=7$ cm. Care lungime reprezintă distanța de la $A$ la $d$?

5. Încercuiește varianta corectă. Dintr-un punct exterior, pe o dreaptă se poate duce: a) o singură perpendiculară; b) două perpendiculare; c) o infinitate de perpendiculare.

6. Pe dreapta $d$, în ordine, sunt punctele $B$, $C$, $E$, unde $B$ este piciorul perpendicularei din $A$. Ordonează crescător $AB$, $AC$, $AE$.

7. Din punctul $P$ se duce perpendiculara $PQ$ pe dreapta $d$, cu $PQ=5$ cm. O oblică $PR$ poate avea lungimea $4$ cm? Justifică.

8. Desenează o dreaptă $d$ și un punct $M$ în afara ei. Construiește cu echerul perpendiculara din $M$ pe $d$ și marchează piciorul perpendicularei $N$ cu pătrățelul de unghi drept.

9. În dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $AD=5$ cm, care este distanța de la vârful $B$ la dreapta $AD$?

10. Adevărat sau fals? Dacă două puncte au perpendiculare egale față de o dreaptă, ele sunt egal depărtate de acea dreaptă.

11. Potrivește fiecare termen cu definiția lui: a) piciorul perpendicularei … b) oblică … c) distanță punct–dreaptă … (1) lungimea perpendicularei; (2) punctul în care perpendiculara întâlnește dreapta; (3) segment care nu e perpendicular pe dreaptă.

12. Din $A$ se duc perpendiculara $AB=3$ cm și o oblică $AC$. Bifează valorile posibile pentru $AC$: $2$ cm; $3$ cm; $4$ cm; $5$ cm.

13. Pe o dreaptă $d$ se află piciorul $B$ al perpendicularei duse din $A$, cu $AB=8$ cm. Pe $d$ alegem $C$ astfel încât $BC=6$ cm. Ce putem afirma sigur despre $AC$ (mai mare sau mai mic decât $8$ cm)?

14. Problemă. Un copac (punctul $T$) se află pe malul unui canal drept. Distanța de la copac la canal (perpendiculara) este $15$ m. Un pescar stă pe mal într-un punct $P$ de unde, în linie dreaptă până la copac, sunt $13$ m. Este posibil? Justifică.

15. Desenează o dreaptă $d$, un punct $A$ exterior și piciorul perpendicularei $B$. Apoi alege pe $d$ două puncte $C$ și $E$ cu $C$ mai aproape de $B$ decât $E$. Verifică prin măsurare că $AB<AC<AE$.

16. Problemă. Pe un plan, o fântână $F$ trebuie să fie la cel puțin $10$ m de un gard drept $g$. Măsurând perpendiculara de la fântână la gard, obținem $9,5$ m. Respectă fântâna regula? Justifică.

17. Adevărat sau fals? Distanța de la un punct la o dreaptă poate fi măsurată pe oricare segment dus din punct la dreaptă, atâta timp cât ajunge la dreaptă.

18. Provocare. Din punctul $A$ se duc pe dreapta $d$ perpendiculara $AB$ și două oblice $AC$ și $AE$, cu $AC=AE$. Ce poți spune despre poziția picioarelor $C$ și $E$ față de $B$?

19. Din punctul $A$ se duc perpendiculara $AB=10$ cm și trei oblice $AC$, $AD$, $AE$. Picioarele $C$, $D$, $E$ se află, în această ordine, la $1$ cm, $4$ cm și $7$ cm de piciorul perpendicularei $B$ (toate de aceeași parte). Ordonează crescător lungimile $AC$, $AD$, $AE$ și precizează cum sunt ele față de $10$ cm.

20. Pe foaia cu pătrățele (latura pătrățelului $1$ cm), dreapta $d$ este o linie orizontală, iar punctul $M$ se află exact pe o intersecție de linii, cu $5$ pătrățele deasupra lui $d$. Cât este distanța de la $M$ la dreapta $d$? Pe ce drum o măsori?

Răspunsuri și explicații

1. perpendicularei. Prin definiție, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă.

2. Adevărat. Piciorul perpendicularei este chiar punctul de intersecție dintre perpendiculară și dreapta dată, deci se află pe dreaptă.

3. Fals. Este invers: perpendiculara este cea mai scurtă, deci oblica este mai lungă decât perpendiculara.

4. $AB=6$ cm. Distanța este lungimea perpendicularei, adică $AB$. (Observă că $6<7<9$: perpendiculara e cea mai scurtă.)

5. a) o singură perpendiculară. Dintr-un punct exterior se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă, deci un singur picior.

6. $AB<AC<AE$. $B$ este piciorul perpendicularei (cel mai scurt), iar cu cât piciorul oblicii e mai departe de $B$, cu atât oblica e mai lungă.

7. Nu poate. Perpendiculara $PQ=5$ cm este cea mai scurtă; orice oblică, deci și $PR$, trebuie să fie mai mare de $5$ cm. O lungime de $4$ cm este imposibilă.

8. Construcție. Așezi echerul cu o catetă pe $d$, aluneci până cealaltă catetă trece prin $M$, trasezi segmentul $MN$ și pui pătrățelul de unghi drept în $N$. (Verifică unghiul drept în $N$.)

9. $AB=12$ cm. Latura $AB$ pleacă din $B$ și este perpendiculară pe $AD$ (unghi drept în $A$), deci $\text{dist}(B,AD)=AB=12$ cm. (Nu confunda cu $AD=5$ cm.)

10. Adevărat. Distanța față de dreaptă este chiar lungimea perpendicularei; dacă perpendicularele sunt egale, distanțele sunt egale, deci punctele sunt egal depărtate.

11. a–2, b–3, c–1. Piciorul perpendicularei = punctul de întâlnire (2); oblică = segment neperpendicular (3); distanță = lungimea perpendicularei (1).

12. $4$ cm și $5$ cm. Oblica trebuie să fie strict mai mare decât perpendiculara $AB=3$ cm. Deci $2$ cm și $3$ cm sunt imposibile; $4$ cm și $5$ cm sunt posibile.

13. $AC>8$ cm. $AC$ este o oblică (piciorul $C\ne B$), deci este mai mare decât perpendiculara $AB=8$ cm. (Cât de mare exact aflăm abia după Pitagora, dar sigur $AC>8$ cm.)

14. Nu este posibil. Perpendiculara de la copac la canal este $15$ m, cea mai scurtă distanță până la mal. Orice oblică, deci și $TP$, trebuie să fie mai mare de $15$ m. O valoare de $13$ m ar fi mai mică decât perpendiculara, ceea ce e imposibil.

15. Construcție și măsurare. După desen și măsurare, lungimile vor respecta $AB<AC<AE$, confirmând că perpendiculara e cea mai scurtă și că oblicele cresc pe măsură ce piciorul se depărtează de $B$.

16. Nu respectă regula. Distanța reală de la fântână la gard este perpendiculara, adică $9,5$ m, care este mai mică decât $10$ m ceruți. Fântâna este prea aproape de gard.

17. Fals. Distanța se măsoară numai pe perpendiculară. Un segment oblic ar da o valoare mai mare decât distanța reală.

18. $C$ și $E$ sunt egal depărtate de $B$, de o parte și de alta a lui $B$ (sau în poziții simetrice față de $B$). Două oblice egale au picioarele la aceeași depărtare de piciorul perpendicularei.

19. $AC<AD<AE$, și toate sunt mai mari de $10$ cm. Cu cât piciorul oblicii e mai departe de $B$ ($1<4<7$ cm), cu atât oblica e mai lungă; iar fiindcă sunt oblice, fiecare depășește perpendiculara $AB=10$ cm.

20. $5$ cm, măsurați pe drumul drept în jos (perpendicular pe $d$), traversând cele $5$ pătrățele de câte $1$ cm. Nu pe diagonală, care ar da un drum mai lung.

De reținut

• Piciorul perpendicularei este punctul în care perpendiculara dusă din $A$ întâlnește dreapta $d$; acolo desenăm pătrățelul de unghi drept.
• Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă: $\text{dist}(A,d)=AB$.
• Perpendiculara este cel mai scurt dintre toate segmentele duse din punct la dreaptă; orice oblică este mai lungă.
• Cu cât piciorul unei oblice se depărtează de piciorul perpendicularei, cu atât oblica devine mai lungă.
• Dintr-un punct exterior se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă.

Greșeli frecvente

• Confuzia distanței cu o oblică. Mulți elevi măsoară pieziș, pe primul segment desenat. Reține: distanța se măsoară doar pe perpendiculară (cu pătrățelul de unghi drept la picior).
• Uitarea pătrățelului de unghi drept. Dacă nu marchezi unghiul de $90°$, nu ai garanția că segmentul e perpendiculară. Fără pătrățel, nu poți numi segmentul „distanță".
• Inversarea proprietății. A spune că „perpendiculara este cea mai lungă" este greșit. Perpendiculara este cea mai scurtă; oblicele sunt mai lungi.
• Alegerea laturii greșite la dreptunghi. Când se cere distanța de la un vârf la o dreaptă (latură), alege latura perpendiculară care pleacă din acel vârf, nu orice latură vecină.

Joc acasă

Jocul 1 — Cel mai scurt drum cu sfoara. Lipește pe podea sau pe masă o bandă adezivă dreaptă (aceasta e „dreapta" $d$). Pune un obiect mic la câțiva centimetri deasupra benzii (acesta e punctul $A$). Cu o sforicică, măsoară mai multe „drumuri" de la obiect la bandă: unul drept (perpendicular) și câteva piezișe. Taie sau însemnează lungimea fiecăruia și compară-le. Vei vedea că drumul perpendicular este mereu cel mai scurt — exact ce spune lecția.

Jocul 2 — Echerul detectiv. Ia un echer și un punct desenat pe o foaie deasupra unei linii. Provoacă un membru al familiei să „ghicească" unde cade piciorul perpendicularei, apoi verifică tu cu echerul. Câștigă cine se apropie mai mult de locul real al piciorului perpendicularei.

Jocul 3 — Distanțe în cameră. Alege un perete drept (dreapta $d$) și un obiect din cameră (punctul $A$). Cu un metru de croitorie sau o riglă, măsoară distanța perpendiculară de la obiect la perete. Apoi măsoară și un drum oblic până la perete și compară. Notează valorile într-un tabel mic „perpendiculară vs. oblică" și observă care iese mereu mai mică.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce o noțiune cu rol-cheie în toată geometria: ideea că distanța se măsoară pe perpendiculară. Vă recomand să porniți de la intuiție (cel mai scurt drum) și abia apoi să fixați definiția formală.

Cum predați pas cu pas:

• Începeți cu întrebarea „cât de departe e punctul de linie?" și lăsați copilul să deseneze mai multe segmente. Astfel descoperă singur că există o ambiguitate pe care definiția o rezolvă.
• Insistați pe construcția cu echerul. Mulți elevi cunosc teoria, dar greșesc așezarea echerului. Cereți-le să verifice mereu pătrățelul de unghi drept la picior.
• Folosiți cuvintele corecte: „picior al perpendicularei", „oblică", „distanță punct–dreaptă". Repetate des, intră natural în vocabular.

Întrebări bune de pus:

• „Care segment reprezintă distanța și de ce tocmai el?"
• „Poate o oblică să fie mai scurtă decât perpendiculara? De ce nu?"
• „Dacă mut piciorul oblicii mai departe, ce se întâmplă cu lungimea ei?"

Cum verificați înțelegerea: dați un dreptunghi simplu și cereți distanța de la un vârf la o latură; dacă elevul alege corect latura perpendiculară (nu pe oricare), a înțeles. Un al doilea test bun: dați perpendiculara de $5$ cm și întrebați dacă o oblică poate fi de $4$ cm — răspunsul corect „nu, e imposibil" arată că a prins proprietatea fundamentală.

Lecția se leagă înainte de drepte perpendiculare și pregătește mediatoarea unui segment, înălțimile triunghiului și problemele de perpendicularitate.

Întrebări frecvente

Ce este distanța de la un punct la o dreaptă? Este lungimea perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă, adică lungimea segmentului dintre punct și piciorul perpendicularei. Reprezintă cel mai scurt drum de la punct până la dreaptă.

Ce este piciorul perpendicularei? Este punctul în care perpendiculara dusă dintr-un punct întâlnește dreapta dată. Acolo se formează unghiul drept de $90°$, marcat cu un mic pătrățel.

De ce perpendiculara este cea mai scurtă distanță? Pentru că, în triunghiul format de perpendiculară și o oblică, unghiul drept este cel mai mare unghi, iar laturii lui (oblica) i se opune cea mai mare lungime. Astfel orice oblică este mai lungă decât perpendiculara.

Care e diferența dintre perpendiculară și oblică? Perpendiculara formează un unghi de $90°$ cu dreapta și dă distanța (cea mai scurtă). Oblica formează cu dreapta un unghi diferit de $90°$ și este întotdeauna mai lungă decât perpendiculara.

Cum măsor distanța de la un punct la o dreaptă cu echerul? Așază o catetă a echerului pe dreaptă, alunecă-l până cealaltă catetă trece prin punct, trasează segmentul până la dreaptă și măsoară-l cu rigla. Lungimea obținută este distanța.

Câte perpendiculare se pot duce dintr-un punct pe o dreaptă? Doar una singură. Prin urmare, există un singur picior al perpendicularei și o singură valoare a distanței de la acel punct la dreaptă.

Poate o oblică să fie egală cu perpendiculara? Nu. Oblica este mereu strict mai lungă decât perpendiculara. Dacă două segmente duse dintr-un punct la o dreaptă sunt egale, niciunul nu poate fi perpendiculara dacă celălalt e oblică — sau ambele sunt oblice egale, simetrice față de piciorul perpendicularei.

Ce înseamnă că două puncte sunt egal depărtate de o dreaptă? Înseamnă că perpendicularele duse din cele două puncte pe dreaptă au aceeași lungime. Toate punctele aflate la aceeași distanță, de aceeași parte a dreptei, se găsesc pe o dreaptă paralelă cu ea.