Unghiul la centru. Arce și coarde

Te-ai uitat vreodată la un ceas analogic și ai observat cum acele „taie" cadranul în felii? Sau la o pizza împărțită în porții egale? În spatele acestor imagini se ascunde o idee matematică elegantă: unghiul la centru și arcul pe care îl „decupează" pe cerc. În lecția anterioară, Cercul: definiție și elemente, ai învățat ce este centrul, raza, diametrul și coarda. Acum vei descoperi cum legăm un unghi de o bucată de cerc și cum putem măsura acea bucată în grade.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un unghi la centru și arcul de cerc care îi corespunde.
• Vei ști să determini măsura unui arc folosind măsura unghiului la centru.
• Vei ști să recunoști puncte diametral opuse și să înțelegi ce este semicercul.
• Vei ști să folosești legătura dintre arce congruente și coarde congruente.
• Vei ști să calculezi măsuri de unghiuri și de arce într-o configurație dată.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un unghi la centru

Imaginează-ți un cerc cu centrul în punctul $O$. Dacă desenăm două raze, $OA$ și $OB$, ele formează un unghi cu vârful chiar în centrul cercului. Acesta este un unghi la centru.

Definiție. Un unghi la centru este un unghi care are vârful în centrul cercului, iar laturile lui sunt două raze ale cercului.

E foarte important să reții cuvintele „vârful în centru". Dacă vârful unghiului este în alt punct (de exemplu pe cerc), atunci NU mai este unghi la centru. La clasa a VI-a ne ocupăm doar de unghiul cu vârful în centru — cel mai simplu și mai folositor.

Razele $OA$ și $OB$ ating cercul în punctele $A$ și $B$. Aceste două puncte împart cercul în două arce:

• un arc mai mic (îl numim arc mic sau arc minor), cel „dinăuntrul" unghiului;
• un arc mai mare (îl numim arc mare sau arc major), restul cercului.

Notăm un arc cu un mic arc deasupra literelor: $\widehat{AB}$. Când vrem să fim foarte clari care arc, mai adăugăm un punct de pe arcul respectiv: de exemplu $\widehat{AMB}$ înseamnă arcul de la $A$ la $B$ care trece prin punctul $M$.

2. Cum măsurăm un arc — legătura de aur cu unghiul la centru

Cum dăm o „mărime" unei bucăți de cerc? Nu o măsurăm cu rigla (cercul e curbat!), ci tot în grade, exact ca la unghiuri. Și aici intervine ideea centrală a lecției:

Regula de aur: Măsura unui arc mic este egală cu măsura unghiului la centru care îi corespunde.

$$m(\widehat{AB})=m(\widehat{AOB})$$

Cu alte cuvinte, unghiul la centru și arcul lui au aceeași măsură în grade. Dacă unghiul la centru are $70°$, atunci arcul mic dintre cele două puncte are tot $70°$.

De ce funcționează așa? Gândește-te la o roată de bicicletă care se învârte. Dacă spița (raza) se rotește cu $70°$, vârful ei parcurge pe roată exact un arc „de $70°$". Rotirea razei și mărimea arcului sunt una și aceeași poveste, măsurate cu același „instrument": gradul.

3. Cercul întreg are 360°

Dacă te plimbi cu degetul de jur împrejurul cercului, până te întorci de unde ai plecat, ai făcut o rotație completă. O rotație completă înseamnă $360°$. Deci:

Măsura întregului cerc este $360°$.

De aici scoatem o legătură foarte folositoare. Cele două puncte $A$ și $B$ împart cercul în arcul mic și arcul mare, iar împreună ele formează tot cercul:

$$m(\widehat{AB}\text{ mic})+m(\widehat{AB}\text{ mare})=360°$$

Așadar, dacă știi arcul mic, afli arcul mare scăzând din $360°$:

$$m(\widehat{AB}\text{ mare})=360°-m(\widehat{AB}\text{ mic})$$

Exemplu rapid: Dacă unghiul la centru $\widehat{AOB}=110°$, atunci arcul mic $\widehat{AB}=110°$, iar arcul mare are $360°-110°=250°$. Observă: $110°+250°=360°$. Se potrivește perfect.

4. Puncte diametral opuse și semicercul

Acum un caz special, foarte important. Ce se întâmplă dacă punctele $A$ și $B$ sunt capetele unui diametru?

Definiție. Două puncte de pe cerc se numesc diametral opuse dacă segmentul care le unește trece prin centrul cercului, adică este un diametru.

Când $A$ și $B$ sunt diametral opuse, razele $OA$ și $OB$ sunt în prelungire (formează o linie dreaptă), deci unghiul la centru este un unghi alungit de $180°$:

$$m(\widehat{AOB})=180°$$

Prin urmare, fiecare dintre cele două arce determinate are:

$$m(\widehat{AB})=180°$$

Definiție. Un arc de cerc care are măsura de $180°$ (jumătate de cerc) se numește semicerc. Capetele unui semicerc sunt mereu două puncte diametral opuse.

Verificare: $180°+180°=360°$, adică cele două semicercuri fac împreună cercul întreg. Logic, nu? Un diametru taie cercul în două jumătăți egale, exact cum tai un măr fix prin mijloc.

Reține trei „repere" utile pe care le vei folosi des:

• sfert de cerc → unghi la centru de $90°$ → arc de $90°$;
• jumătate de cerc (semicerc) → unghi de $180°$ → arc de $180°$;
• trei sferturi de cerc → unghi de $270°$ → arc de $270°$.

5. Arce congruente și coarde congruente

Îți amintești din lecția trecută ce este o coardă? Este un segment care unește două puncte de pe cerc. Coarda $[AB]$ „închide" arcul $\widehat{AB}$, ca o sfoară întinsă peste un arc de cerc.

Acum, o proprietate frumoasă și foarte folositoare:

Proprietate. Într-un cerc (sau în două cercuri cu aceeași rază), două arce congruente au coarde congruente și, invers, două coarde congruente subîntind arce congruente.

„Congruente" înseamnă „de aceeași măsură / aceeași lungime". Pe scurt:

$$\widehat{AB}\equiv \widehat{CD}⟺[AB]\equiv [CD]$$

(simbolul $⟺$ se citește „dacă și numai dacă", adică merge în ambele sensuri).

De ce e adevărat? Intuitiv: arce egale înseamnă unghiuri la centru egale. Triunghiurile $AOB$ și $COD$ au câte două laturi raze (toate egale cu raza) și unghiul dintre ele egal, deci sunt „la fel". Atunci și a treia latură — coarda — e la fel de lungă. Vei demonstra riguros acest lucru mai târziu, la Criteriul de congruență LUL. Deocamdată îl folosim ca pe un instrument sigur.

O consecință utilă: diametrul este cea mai lungă coardă dintr-un cerc, pentru că el subîntinde cel mai mare arc „cinstit" — semicercul de $180°$.

Să o privim și dintr-un alt unghi, ca să rămână bine fixată. Imaginează-ți doi prieteni care trag cu arcul. Fiecare are un arc identic (același cerc, aceeași rază) și întinde coarda la fel de tare. Dacă vârfurile săgeților lor sunt depărtate la fel pe cerc (arce egale), atunci și corzile arcurilor sunt întinse la fel de mult (coarde egale). Invers, dacă văd că ambele corzi sunt întinse identic, știu sigur că vârfurile săgeților „decupează" arce egale. Aceasta este, în cuvinte simple, echivalența arc–coardă. Ea ne ajută enorm: uneori e mai ușor să comparăm coardele (segmente drepte, cu rigla), iar concluzia se transferă automat la arce — și invers.

Atenție la o capcană: proprietatea cere același cerc sau cercuri cu aceeași rază. Într-un cerc mic și unul mare, o coardă de aceeași lungime poate „prinde" arce cu măsuri complet diferite, pentru că într-un cerc mic coarda acoperă o porțiune mai mare din rotație.

6. Cum gândim când avem mai multe arce pe același cerc

Foarte des, mai multe puncte împart cercul în mai multe arce. Trucul este simplu: toate arcele care fac împreună cercul întreg trebuie să adune $360°$. Dacă mai multe unghiuri la centru au vârful comun în $O$ și acoperă tot cercul, suma lor este $360°$ — exact ca la lecția Unghiuri formate în jurul unui punct, pe care o folosim acum în cerc.

Iată un exemplu de raționament. Trei puncte $A$, $B$, $C$ împart cercul în trei arce, dintre care două au câte $130°$ și $90°$. Cât are al treilea? Pentru că ele acoperă tot cercul, scriem $130°+90°+x=360°$, deci $x=360°-220°=140°$. Simplu și sigur: pornim mereu de la „totul adună $360°$".

7. De la fracțiuni de cerc la grade (și înapoi)

Foarte des, problemele nu îți spun direct câte grade are un arc, ci îți dau o fracțiune din cerc: „o treime din cerc", „un sfert din cerc", „o șesime din cerc". Cum traduci asta în grade? Regula e simplă și se sprijină tot pe ideea că întregul cerc înseamnă $360°$: înmulțești fracțiunea cu $360°$.

$$\text{grade}=\text{fracțiunea din cerc}\times 360°$$

Iată „tabelul de aur" al fracțiunilor de cerc, foarte util de memorat:

• jumătate de cerc: $\frac{1}{2}\times 360°=180°$ (semicercul, pe care îl știi deja);
• sfert de cerc: $\frac{1}{4}\times 360°=90°$ (un unghi drept);
• trei sferturi de cerc: $\frac{3}{4}\times 360°=270°$;
• o treime de cerc: $\frac{1}{3}\times 360°=120°$;
• o șesime de cerc: $\frac{1}{6}\times 360°=60°$;
• o optime de cerc: $\frac{1}{8}\times 360°=45°$;
• o doisprezecime de cerc: $\frac{1}{12}\times 360°=30°$ (exact cât se mută acul mare al ceasului de la o cifră a cadranului la următoarea).

Drumul invers — de la grade la fracțiune — este la fel de ușor: împarți măsura arcului la $360°$ și simplifici fracțiunea. De exemplu, un arc de $120°$ reprezintă $\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$ din cerc, iar un arc de $240°$ reprezintă $\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$ din cerc. Această legătură fracțiune–grade îți va prinde bine ori de câte ori o problemă vorbește despre „o parte din cerc" în loc să-ți dea direct numărul de grade.

8. Ce fel de unghi la centru? Ce fel de arc?

Pentru că unghiul la centru și arcul lui au mereu aceeași măsură, poți „citi" tipul arcului direct din tipul unghiului. Folosește clasificarea unghiurilor pe care o cunoști deja:

• unghi ascuțit (sub $90°$) → arc mai mic decât un sfert de cerc;
• unghi drept (exact $90°$) → arc de exact un sfert de cerc;
• unghi obtuz (între $90°$ și $180°$) → arc între un sfert de cerc și un semicerc;
• unghi alungit (exact $180°$) → semicerc, cu capetele diametral opuse.

De exemplu, un arc mic de $50°$ provine dintr-un unghi la centru ascuțit, iar unul de $130°$ dintr-un unghi obtuz. Această „traducere" rapidă este și un bun test de bun-simț pentru răspunsurile tale: dacă ai obținut un arc mic de $200°$, sigur ai greșit undeva, pentru că un arc mic nu poate depăși $180°$.

9. Pași de lucru — o rețetă pe care o poți urma mereu

Ca să nu te încurci, ține minte acești pași când ai o problemă cu unghiuri la centru, arce și coarde:

1. Citește ce se cere: un unghi la centru, un arc (mic? mare?) sau o coardă?
2. Folosește regula de aur ca să treci de la unghi la arc sau invers (aceeași măsură).
3. Folosește $360°$ pentru a lega arcul mic de arcul mare, sau pentru a împărți cercul în mai multe arce.
4. Pentru semicercuri, ține minte reperul $180°$ (puncte diametral opuse).
5. Pentru coarde, folosește echivalența arc–coardă: arce egale ⟺ coarde egale.
6. Verifică la final că toate arcele tale adună exact $360°$.

Cu aceste idei — regula de aur, cercul de $360°$, semicercul de $180°$, rețeta de lucru și legătura arc–coardă — ești gata să rezolvi orice problemă din această lecție. Hai să le vedem la lucru.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aflarea măsurii unui arc din unghiul la centru

Într-un cerc cu centrul $O$, unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are măsura de $64°$. Cât măsoară arcul mic $\widehat{AB}$ și arcul mare $\widehat{AB}$?

Rezolvare. Folosim regula de aur: arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru. $$m(\widehat{AB}\text{ mic})=m(\widehat{AOB})=64°.$$ Arcul mare este restul cercului: $$m(\widehat{AB}\text{ mare})=360°-64°=296°.$$ Verificare: $64°+296°=360°$. ✓

Exemplul 2 — Drumul invers: de la arc la unghiul la centru

Pe un cerc cu centrul $O$, arcul mic $\widehat{MN}$ are $125°$. Cât măsoară unghiul la centru $\widehat{MON}$?

Rezolvare. Regula merge și invers: unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul mic corespunzător. $$m(\widehat{MON})=m(\widehat{MN})=125°.$$ Răspuns: unghiul la centru are $125°$.

Exemplul 3 — Puncte diametral opuse și semicerc

Punctele $A$ și $B$ sunt diametral opuse pe un cerc cu centrul $O$. Un al treilea punct $C$ este pe cerc astfel încât $m(\widehat{AC})=70°$ (arcul mic, de aceeași parte). Cât măsoară arcul $\widehat{CB}$ care, împreună cu $\widehat{AC}$, formează semicercul de la $A$ la $B$?

Rezolvare. Pentru că $A$ și $B$ sunt diametral opuse, arcul de la $A$ la $B$ (pe acea parte) este un semicerc, deci are $180°$. Punctul $C$ împarte acest semicerc în două arce: $\widehat{AC}$ și $\widehat{CB}$. $$m(\widehat{AC})+m(\widehat{CB})=180°.$$ $$70°+m(\widehat{CB})=180°⟹m(\widehat{CB})=180°-70°=110°.$$ Răspuns: $\widehat{CB}=110°$. (Și unghiul la centru $\widehat{COB}$ are tot $110°$.)

Exemplul 4 — Trei felii care fac cercul întreg

Trei raze $OA$, $OB$, $OC$ împart cercul cu centrul $O$ în trei arce: $\widehat{AB}$, $\widehat{BC}$ și $\widehat{CA}$. Se știe că $\widehat{AB}=100°$ și $\widehat{BC}=140°$. Cât măsoară arcul $\widehat{CA}$ și unghiul la centru $\widehat{AOC}$ corespunzător lui?

Rezolvare. Cele trei arce acoperă tot cercul, deci suma lor este $360°$: $$m(\widehat{AB})+m(\widehat{BC})+m(\widehat{CA})=360°.$$ $$100°+140°+m(\widehat{CA})=360°.$$ $$240°+m(\widehat{CA})=360°⟹m(\widehat{CA})=120°.$$ Unghiul la centru corespunzător are aceeași măsură: $$m(\widehat{AOC})=120°.$$ Verificare: $100°+140°+120°=360°$. ✓

Exemplul 5 — Arce congruente, coarde congruente

Pe un cerc, $m(\widehat{AB})=m(\widehat{CD})=80°$. Coarda $[AB]$ are lungimea de $6$ cm. Ce poți spune despre lungimea coardei $[CD]$? Justifică.

Rezolvare. Cele două arce au aceeași măsură, deci sunt arce congruente. Conform proprietății din lecție, în același cerc, la arce congruente corespund coarde congruente: $$\widehat{AB}\equiv \widehat{CD}⟹[AB]\equiv [CD].$$ Prin urmare, $[CD]$ are tot $6$ cm. Răspuns: $CD=6$ cm, pentru că arce congruente subîntind coarde congruente.

Exemplul 6 — Un sfert de oră pe ceas

Pe cadranul unui ceas (un cerc cu centrul $O$ în mijloc), acul mare se mută de la ora $12$ la ora $3$. Ce unghi la centru a descris și ce arc a parcurs vârful acului?

Rezolvare. Cadranul are $12$ diviziuni egale (orele), iar întregul cerc are $360°$. O diviziune (de la o oră la următoarea) corespunde: $$360°:12=30°.$$ De la $12$ la $3$ sunt $3$ diviziuni, deci: $$3\times 30°=90°.$$ Unghiul la centru este de $90°$ (un unghi drept), iar arcul parcurs de vârful acului este tot de $90°$ — adică un sfert de cerc. Răspuns: unghi la centru $90°$, arc $90°$ (un sfert din cerc).

Exemplul 7 — Arce proporționale

Trei raze $OA$, $OB$, $OC$ împart cercul cu centrul $O$ în trei arce ale căror măsuri sunt proporționale cu numerele $2$, $3$ și $4$. Cât măsoară fiecare arc?

Rezolvare. „Proporționale cu $2$, $3$, $4$" înseamnă că putem scrie cele trei arce ca $2k$, $3k$ și $4k$, unde $k$ este o aceeași „porție" de grade. Pentru că împreună acoperă tot cercul, suma lor este $360°$: $$2k+3k+4k=360°.$$ $$9k=360°⟹k=360°:9=40°.$$ Acum aflăm fiecare arc: $$2k=80°,3k=120°,4k=160°.$$ Verificare: $80°+120°+160°=360°$. ✓ Răspuns: cele trei arce au $80°$, $120°$ și $160°$ (iar unghiurile la centru corespunzătoare au aceleași măsuri).

Exemplul 8 — Semicerc, două arce egale și coarde

Pe un cerc cu centrul $O$, segmentul $[AB]$ este diametru. Pe semicercul de la $A$ la $B$ se află două puncte $C$ și $D$ astfel încât $\widehat{AC}=\widehat{DB}=50°$ (în ordinea $A$, $C$, $D$, $B$). a) Cât măsoară arcul $\widehat{CD}$? b) Ce relație există între coardele $[AC]$ și $[DB]$?

Rezolvare. a) Pentru că $A$ și $B$ sunt capetele unui diametru, arcul de la $A$ la $B$ pe acea parte este un semicerc, deci are $180°$. Punctele $C$ și $D$ îl împart în trei arce care, însumate, dau semicercul: $$m(\widehat{AC})+m(\widehat{CD})+m(\widehat{DB})=180°.$$ $$50°+m(\widehat{CD})+50°=180°⟹m(\widehat{CD})=180°-100°=80°.$$ b) Arcele $\widehat{AC}$ și $\widehat{DB}$ au aceeași măsură ($50°$), deci sunt arce congruente. În același cerc, arcele congruente subîntind coarde congruente, prin urmare $[AC]\equiv [DB]$ (au aceeași lungime). Răspuns: $\widehat{CD}=80°$, iar coardele $[AC]$ și $[DB]$ sunt congruente.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde ți se cere, fă un desen mic — ajută foarte mult la geometrie!

1. Completează: un unghi la centru are vârful în ______ cercului, iar laturile lui sunt două ______ ale cercului.

2. Unghiul la centru $\widehat{AOB}=48°$. Cât măsoară arcul mic $\widehat{AB}$?

3. Arcul mic $\widehat{MN}=153°$. Cât măsoară unghiul la centru $\widehat{MON}$?

4. Cât măsoară întregul cerc, în grade?

5. Arcul mic $\widehat{PQ}=85°$. Cât măsoară arcul mare $\widehat{PQ}$?

6. Adevărat sau fals: un semicerc are măsura de $180°$.

7. Adevărat sau fals: dacă două puncte sunt diametral opuse, atunci segmentul care le unește trece prin centru.

8. Punctele $A$ și $B$ sunt diametral opuse. Punctul $C$ este pe cerc cu $\widehat{AC}=55°$ (pe semicercul de la $A$ la $B$). Cât măsoară $\widehat{CB}$?

9. Trei raze împart cercul în arcele $\widehat{AB}=120°$, $\widehat{BC}=95°$ și $\widehat{CA}$. Cât măsoară $\widehat{CA}$?

10. Pe un cerc, $\widehat{AB}=\widehat{CD}$ și coarda $[AB]=9$ cm. Cât măsoară coarda $[CD]$? De ce?

11. Încercuiește varianta corectă. Cel mai lung tip de coardă dintr-un cerc este: a) o coardă oarecare; b) diametrul; c) raza.

12. Pe cadranul unui ceas, acul mare se mută de la $12$ la $4$. Ce unghi la centru a descris? (Indiciu: o oră = $30°$.)

13. Patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$ împart cercul în patru arce egale. Cât măsoară fiecare arc și ce nume are unghiul la centru corespunzător?

14. Potrivește fiecare măsură de arc cu descrierea ei: (I) $90°$ (II) $180°$ (III) $270°$ (IV) $360°$ a) cerc întreg; b) sfert de cerc; c) semicerc; d) trei sferturi de cerc.

15. Unghiul la centru $\widehat{AOB}=72°$, iar $OC$ este o rază care împarte arcul $\widehat{AB}$ astfel încât $\widehat{AC}=72°:2$. Cât măsoară $\widehat{AC}$ și $\widehat{CB}$?

16. Desenează un cerc cu centrul $O$ și marchează două puncte diametral opuse $A$ și $B$. Apoi marchează un punct $C$ astfel încât $\widehat{AC}=90°$. Ce fel de unghi este $\widehat{AOC}$?

17. Problemă. O „pizza matematică" este împărțită în felii cu unghiuri la centru de $40°$, $40°$, $40°$ și restul o singură felie mare. Cât măsoară unghiul la centru al feliei mari?

18. Problemă mai grea. Pe un cerc, arcul $\widehat{AB}$ este de $3$ ori mai mare decât arcul $\widehat{BA}$ (celălalt arc, care completează cercul). Cât măsoară fiecare dintre cele două arce?

19. Cât măsoară, în grade, o șesime de cerc? Dar trei optimi de cerc?

20. Un arc are măsura de $240°$. Ce fracțiune din cerc reprezintă (simplificată)?

21. Problemă. Trei raze împart cercul în trei arce ale căror măsuri sunt proporționale cu numerele $1$, $2$ și $3$. Cât măsoară fiecare arc?

22. Patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$ împart cercul în patru arce: $\widehat{AB}=70°$, $\widehat{BC}=110°$, $\widehat{CD}=85°$ și $\widehat{DA}$. Cât măsoară $\widehat{DA}$?

23. Problemă. Pe un cerc, $[AB]$ este diametru, iar $C$ este pe semicercul de la $A$ la $B$ astfel încât $\widehat{AC}$ este de $2$ ori mai mare decât $\widehat{CB}$. Cât măsoară fiecare dintre arcele $\widehat{AC}$ și $\widehat{CB}$? Ce fel de unghi la centru este $\widehat{AOC}$ (ascuțit, drept, obtuz)?

Răspunsuri și explicații

1. centrul; raze. (Definiția unghiului la centru.)

2. $\widehat{AB}=48°$. Arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru.

3. $\widehat{MON}=153°$. Unghiul la centru are măsura arcului mic corespunzător.

4. $360°$. O rotație completă.

5. $360°-85°=275°$. Arcul mare = cerc întreg − arc mic.

6. Adevărat. Semicercul este jumătate din $360°$, adică $180°$.

7. Adevărat. Exact aceasta este definiția punctelor diametral opuse (segmentul este un diametru).

8. $180°-55°=125°$. Arcul de la $A$ la $B$ pe acea parte este semicerc ($180°$), iar $C$ îl împarte în $\widehat{AC}$ și $\widehat{CB}$.

9. $360°-(120°+95°)=360°-215°=145°$. Cele trei arce fac împreună cercul.

10. $CD=9$ cm, pentru că arce congruente subîntind coarde congruente (în același cerc).

11. b) diametrul. Este cea mai lungă coardă, deoarece subîntinde semicercul.

12. $4\times 30°=120°$. De la $12$ la $4$ sunt $4$ diviziuni de câte $30°$.

13. Fiecare arc are $360°:4=90°$; unghiul la centru corespunzător este un unghi drept ($90°$).

14. (I)→b ($90°$ = sfert); (II)→c ($180°$ = semicerc); (III)→d ($270°$ = trei sferturi); (IV)→a ($360°$ = cerc întreg).

15. $\widehat{AC}=72°:2=36°$; $\widehat{CB}=72°-36°=36°$. (Raza $OC$ este, de fapt, bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$, vezi Bisectoarea unui unghi.)

16. $\widehat{AOC}$ are $90°$, deci este un unghi drept (arcul $\widehat{AC}=90°$ ⇒ unghiul la centru = $90°$).

17. $360°-(40°+40°+40°)=360°-120°=240°$. Felia mare are unghiul la centru de $240°$.

18. Notăm arcul mic cu $x$; cel mare este $3x$. Atunci $x+3x=360°$, deci $4x=360°$, de unde $x=90°$ și $3x=270°$. Arcele sunt $90°$ și $270°$. Verificare: $90°+270°=360°$. ✓

19. O șesime de cerc: $\frac{1}{6}\times 360°=60°$. Trei optimi de cerc: $\frac{3}{8}\times 360°=135°$.

20. $\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$. Arcul de $240°$ reprezintă două treimi din cerc.

21. Notăm arcele cu $k$, $2k$ și $3k$. Atunci $k+2k+3k=360°$, deci $6k=360°$, de unde $k=60°$. Arcele sunt $60°$, $120°$ și $180°$. Verificare: $60°+120°+180°=360°$. ✓ (Arcul de $180°$ este chiar un semicerc.)

22. Cele patru arce fac împreună cercul: $\widehat{DA}=360°-(70°+110°+85°)=360°-265°=95°$.

23. Arcul de la $A$ la $B$ pe acel semicerc are $180°$, iar $\widehat{AC}+\widehat{CB}=180°$. Notăm $\widehat{CB}=x$; atunci $\widehat{AC}=2x$, deci $2x+x=180°$, adică $3x=180°$ și $x=60°$. Rezultă $\widehat{CB}=60°$ și $\widehat{AC}=120°$. Unghiul la centru $\widehat{AOC}$ are tot $120°$, deci este un unghi obtuz. Verificare: $120°+60°=180°$. ✓

De reținut

• Unghiul la centru are vârful în centrul cercului, iar laturile sunt două raze.
• Regula de aur: măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: $m(\widehat{AB})=m(\widehat{AOB})$.
• Cercul întreg = $360°$; arcul mare = $360°-$ arcul mic.
• Două puncte diametral opuse determină un semicerc de $180°$; reperele utile sunt $90°$ (sfert), $180°$ (semicerc), $270°$ (trei sferturi).
• În același cerc, arce congruente $⟺$ coarde congruente; diametrul este cea mai lungă coardă.

Greșeli frecvente

• Confuzia arc mic ↔ arc mare. Mulți elevi dau ca răspuns arcul mare când li se cere cel mic (sau invers). Citește atent: arcul „din interiorul" unghiului la centru este cel mic. Dacă ești nesigur, calculează ambele și verifică suma $=360°$.
• Uiți că vârful trebuie să fie în centru. Un unghi cu vârful pe cerc NU este unghi la centru și NU are măsura egală cu arcul. La clasa a VI-a lucrăm doar cu vârful în $O$.
• Confuzia dintre coardă și arc. Coarda este un segment drept (se măsoară în cm), iar arcul este o bucată curbată de cerc (îl măsurăm în grade). Nu le amesteca unitățile.
• Crezi că orice coarde egale au orice arce egale, în cercuri diferite. Proprietatea arc–coardă funcționează în același cerc sau în cercuri cu aceeași rază. În cercuri de raze diferite, o coardă de $6$ cm poate subîntinde arce de măsuri diferite.

Joc acasă

1. Ceasul-protractor. Ia un ceas analogic (sau desenează un cadran). Mută acul mare din oră în oră și, de fiecare dată, spune cu voce tare câte grade are unghiul la centru ($30°$ pentru fiecare oră). Provocare: de la $12$ la $7$, câte grade? (Răspuns: $7\times 30°=210°$.)

2. Pizza de hârtie. Decupează un disc din carton. Pliază-l exact pe jumătate: linia de pliere este un diametru, iar marginea fiecărei jumătăți este un semicerc de $180°$. Pliază din nou pe jumătate: obții patru sferturi, fiecare arc de $90°$. Verifică: $90°+90°+90°+90°=360°$.

3. Sfoara-coardă. Pe discul de mai sus, înfige două scobitori în două puncte de pe margine și întinde o ață între ele — aceea este o coardă. Mută una dintre scobitori până când coarda trece prin centru: ai obținut diametrul, cea mai lungă coardă. Compară lungimile cu rigla.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care copilul le cunoaște deja separat: unghiul (din unitatea despre unghiuri) și cercul (din lecția precedentă). Cheia înțelegerii este „regula de aur": arcul și unghiul la centru au aceeași măsură în grade.

Cum sprijiniți elevul:

• Porniți de la concret. Cadranul ceasului și pizza sunt cele mai bune modele. Întrebați: „Dacă tai cercul în 12 felii egale, câte grade are o felie?" ($30°$).
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Unde trebuie să fie vârful ca să fie unghi la centru?" (în centru); „Cât are tot cercul?" ($360°$); „Cum afli arcul mare dacă știi arcul mic?" ($360°-$ arc mic); „Ce este un semicerc?" ($180°$, capete diametral opuse).
• Cereți desenul. La geometrie, copilul înțelege mai bine dacă desenează cercul, marchează punctele și colorează arcul cerut. Greșelile „arc mic vs. arc mare" dispar când văd figura.
• Verificarea cu suma $360°$ este cel mai bun control: orice descompunere a cercului în arce trebuie să adune $360°$. Încurajați-l să-și verifice singur fiecare răspuns așa.
• Dacă elevul confundă coarda cu arcul, reveniți la jocul cu sfoara: coarda = drumul drept (rigla, cm), arcul = drumul pe margine (gradele).

Întrebări frecvente

Ce este un unghi la centru la clasa a 6-a? Este un unghi care are vârful în centrul cercului, iar cele două laturi ale lui sunt raze ale cercului. Razele ating cercul în două puncte și „decupează" pe cerc un arc.

Cum aflu măsura unui arc de cerc? Măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru care îi corespunde. De exemplu, dacă unghiul la centru are $70°$, atunci arcul mic are tot $70°$, iar arcul mare are $360°-70°=290°$.

Ce înseamnă puncte diametral opuse? Sunt două puncte de pe cerc care se află la capetele aceluiași diametru, adică segmentul care le unește trece exact prin centrul cercului. Ele împart cercul în două semicercuri egale.

Ce este un semicerc și câte grade are? Un semicerc este jumătate de cerc, un arc cu măsura de $180°$. Capetele unui semicerc sunt întotdeauna două puncte diametral opuse, iar unghiul la centru corespunzător este un unghi alungit de $180°$.

Care este legătura dintre arce și coarde? În același cerc (sau în cercuri cu aceeași rază), arcele congruente au coarde congruente, și invers: coardele congruente subîntind arce congruente. Pe scurt, arce egale ⟺ coarde egale.

Câte grade are tot cercul? Un cerc întreg are $360°$, adică o rotație completă. De aceea, suma tuturor arcelor în care un cerc este împărțit este mereu $360°$.

Care este cea mai lungă coardă dintr-un cerc? Diametrul. El subîntinde un semicerc (cel mai mare arc „cinstit", de $180°$) și trece prin centru, deci este mai lung decât orice altă coardă.

Care e diferența dintre coardă și arc? Coarda este un segment drept care unește două puncte de pe cerc și se măsoară în centimetri. Arcul este o porțiune curbată din cerc, dintre aceleași două puncte, și se măsoară în grade.