Probabilitatea unui eveniment ca raport

Ai aruncat vreodată un zar înainte să muți la un joc de societate și ai sperat să iasă șase? Sau ai amestecat un pachet de cărți și te-ai întrebat cât de „sigur" e să tragi un as? În toate aceste momente ai folosit, fără să știi, ideea de probabilitate. În această lecție vei învăța cum transformăm acea senzație de „șanse mari" sau „șanse mici" într-un număr exact, calculat ca un raport între câte rezultate ne convin și câte rezultate sunt cu totul posibile. E o aplicație foarte elegantă a rapoartelor pe care le-ai studiat deja, iar la final vei putea spune cu precizie: „șansa este 1 din 6".

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici un experiment, rezultatele lui posibile și evenimentele asociate.
• Vei ști să numeri corect cazurile favorabile și cazurile posibile într-o situație simplă.
• Vei ști să calculezi probabilitatea unui eveniment ca raport între cazurile favorabile și cele posibile.
• Vei ști să exprimi o probabilitate ca fracție, ca număr zecimal și ca procent.
• Vei ști să recunoști un eveniment sigur, un eveniment imposibil și unul probabil, și să compari șansele a două evenimente.

Hai să descoperim împreună

Ce este un experiment și un rezultat

Hai să pornim de la cel mai simplu lucru. În matematică, un experiment (sau o probă) este o acțiune al cărei rezultat nu îl putem ști cu siguranță înainte să o facem. Exemple de experimente: arunci un zar, arunci o monedă, extragi o bilă dintr-un sac, învârtești roata norocului, tragi o carte dintr-un pachet bine amestecat.

De ce sunt „experimente"? Pentru că, oricât de mult ne-am gândi, nu putem spune dinainte ce iese. Dacă arunci o monedă, poate ieși cap, poate ieși pajură — depinde de hazard, adică de întâmplare.

Fiecare lucru care se poate întâmpla la sfârșit se numește rezultat posibil (sau caz posibil). De exemplu, când arunci o monedă obișnuită, ai exact două rezultate posibile: cap sau pajură.

Când arunci un zar cu șase fețe, rezultatele posibile sunt fețele cu 1, 2, 3, 4, 5 și 6 puncte. Deci ai șase rezultate posibile.

Mulțimea tuturor rezultatelor posibile o putem scrie cu acolade, exact ca la lecția despre mulțimi. Pentru zar:

$$\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Această mulțime are 6 elemente, deci la zar avem 6 cazuri posibile.

Ce este un eveniment

Un eveniment este un lucru care ne interesează, despre care putem spune dacă s-a întâmplat sau nu, după ce facem experimentul. De obicei un eveniment este descris printr-o propoziție.

Iată câteva evenimente la aruncarea zarului:

• „a ieșit numărul 5";
• „a ieșit un număr par";
• „a ieșit un număr mai mare decât 4";
• „a ieșit un număr mai mic decât 10".

Observă ceva important: un eveniment poate să se potrivească cu un singur rezultat (de exemplu „a ieșit 5" se potrivește doar cu fața 5) sau cu mai multe rezultate deodată. De pildă, „a ieșit un număr par" se potrivește cu fețele 2, 4 și 6 — adică trei rezultate.

Rezultatele care fac evenimentul să se întâmple se numesc cazuri favorabile. „Favorabil" înseamnă „care ne convine", „care ne aduce ce căutăm". Pentru evenimentul „a ieșit un număr par", cazurile favorabile sunt 2, 4 și 6, deci avem 3 cazuri favorabile.

Trei feluri de evenimente

Înainte să calculăm ceva, e bine să recunoaștem trei tipuri speciale de evenimente. Imaginează-ți că ai o linie de la „imposibil" la „sigur", iar fiecare eveniment stă undeva pe ea.

Eveniment sigur — acela care se întâmplă întotdeauna, orice ar fi. La zar, „a ieșit un număr de la 1 la 6" este sigur: nu există altă posibilitate. Toate cazurile posibile sunt și favorabile.

Eveniment imposibil — acela care nu se poate întâmpla niciodată. La zar, „a ieșit numărul 7" este imposibil, fiindcă pe un zar obișnuit nu există fața 7. Niciun caz nu este favorabil.

Eveniment probabil (posibil, dar nesigur) — acela care uneori se întâmplă, alteori nu. „A ieșit un număr par" este probabil: câteodată iese par, câteodată impar. Aici o parte dintre cazuri sunt favorabile.

Probabilitatea ca raport

Acum ajungem la inima lecției. Vrem un număr care să ne spună cât de mari sunt șansele ca un eveniment să se întâmple. Acest număr se numește probabilitatea evenimentului și îl notăm cu litera mare $P$, urmată de numele evenimentului în paranteză. De exemplu, $P(\text{par})$ se citește „probabilitatea evenimentului „număr par"".

Ideea-cheie e simplă și o folosești deja la rapoarte: comparăm câte rezultate ne convin cu câte rezultate sunt cu totul posibile. Asta este un raport!

Definiție. Dacă toate rezultatele unui experiment au aceeași șansă să apară, atunci probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile:

$$P(\text{eveniment})=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}.$$

Atenție la o condiție foarte importantă: rezultatele trebuie să aibă aceeași șansă (spunem că sunt egal probabile). La un zar corect, fiecare față are aceeași șansă — nu e niciuna „grea" sau trișată. La fel, o monedă echilibrată dă cap sau pajură cu aceeași șansă. Doar atunci putem folosi formula simplă de mai sus.

Hai să o aplicăm imediat. La evenimentul „a ieșit un număr par" pe zar:

• cazuri favorabile: 2, 4, 6 → adică 3;
• cazuri posibile: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → adică 6.

Deci:

$$P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Am simplificat fracția $\frac{3}{6}$ exact ca la fracții, împărțind sus și jos cu 3. Rezultatul $\frac{1}{2}$ ne spune că șansa de a obține un număr par este „jumătate-jumătate", adică tot atât de mare cât cea de a obține impar. Are sens: jumătate dintre fețe sunt pare, jumătate impare.

Probabilitatea este mereu între 0 și 1

Hai să ne gândim la marginile poveștii. La un eveniment imposibil, cazurile favorabile sunt 0, deci:

$$P(\text{imposibil})=\frac{0}{6}=0.$$

La un eveniment sigur, toate cele 6 cazuri sunt favorabile, deci:

$$P(\text{sigur})=\frac{6}{6}=1.$$

De aici scoatem o regulă de aur: probabilitatea oricărui eveniment este un număr între 0 și 1, adică

$$0\le P(\text{eveniment})\le 1.$$

• Cu cât $P$ este mai aproape de 0, cu atât evenimentul este mai puțin probabil.
• Cu cât $P$ este mai aproape de 1, cu atât evenimentul este mai probabil.
• Dacă $P=\frac{1}{2}$, șansele sunt fix la mijloc, „jumătate-jumătate".

Dacă vreodată îți iese o probabilitate mai mare decât 1 sau un număr negativ, sigur ai greșit numărătoarea. E un semnal de alarmă foarte util.

Cele trei haine ale unei probabilități: fracție, zecimal, procent

Un raport poate fi scris în mai multe feluri, exact cum ai învățat la procente. La fel și o probabilitate. Să luăm $P=\frac{1}{2}$:

• ca fracție: $\frac{1}{2}$;
• ca număr zecimal: $1:2=0,5$;
• ca procent: $\frac{1}{2}=\frac{50}{100}=50\%$.

Toate trei spun exact același lucru! „Probabilitatea este $\frac{1}{2}$", „probabilitatea este $0,5$" și „șansa este de $50\%$" sunt trei moduri de a rosti aceeași idee. Procentul este foarte folosit în viața reală: la meteo auzi „60% șanse de ploaie", iar acel 60% este chiar o probabilitate transformată în procent. Dacă vrei să-ți reamintești cum treci de la fracție la procent, revezi lecția Procentul ca raport. Raportul procentual.

O metodă în trei pași

Ca să nu te încurci niciodată, ține minte aceleași trei întrebări de fiecare dată:

1. Câte cazuri posibile sunt? (Numără toate rezultatele care pot ieși.)
2. Câte cazuri favorabile sunt? (Numără doar rezultatele care fac evenimentul să se întâmple.)
3. Scrie raportul și simplifică: $P=\frac{\text{favorabile}}{\text{posibile}}$, apoi adu fracția la forma cea mai simplă, ca în lecția Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile.

Hai să rulăm metoda pe un exemplu cu bile. Imaginează-ți un săculeț cu 4 bile roșii și 6 bile albastre, toate la fel ca formă și mărime, ca să aibă șanse egale. Extragem o bilă fără să ne uităm. Care e probabilitatea să fie roșie?

• Pasul 1 — cazuri posibile: în total sunt $4+6=10$ bile, deci 10 cazuri posibile.
• Pasul 2 — cazuri favorabile: ne convin bilele roșii, iar acestea sunt 4.
• Pasul 3 — raportul: $P(\text{roșie})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0,4=40\%.$

Deci ai 40% șanse să scoți o bilă roșie. Observă cum am scris răspunsul în toate cele trei haine.

O analogie simplă: feliile de pizza

Gândește-te la cazurile posibile ca la toate feliile unei pizza, iar la cazurile favorabile ca la feliile cu ingredientul tău preferat. Dacă pizza are 8 felii și 3 au ciuperci, atunci „probabilitatea" să apuci la întâmplare o felie cu ciuperci este $\frac{3}{8}$. Cu cât sunt mai multe felii „bune" din total, cu atât raportul e mai mare și șansa e mai mare. Probabilitatea măsoară mereu o parte din întreg — exact ca raportul.

O poveste scurtă cu tombola clasei

La serbarea clasei, doamna profesoară pune într-o cutie 20 de bilete numerotate de la 1 la 20 și anunță: „Cine extrage un bilet cu număr multiplu de 5 câștigă un voucher la librărie." Andrei se gândește repede: multiplii de 5 între 1 și 20 sunt 5, 10, 15 și 20 — adică 4 bilete favorabile din 20 posibile. Deci

$$P(\text{caˆștig})=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=0,2=20\%.$$

Andrei știe acum exact ce șanse are: 1 din 5, adică 20%. Nu e sigur că va câștiga, dar nici imposibil — este un eveniment probabil. Vezi cum aceeași idee (raportul favorabile/posibile) rezolvă orice situație, fie că vorbim de zar, bile sau bilete?

Evenimentul contrar și un truc de calcul

Hai să descoperim un instrument care îți va scurta multe socoteli. Pentru orice eveniment există și evenimentul contrar (sau complementar): cel care se întâmplă exact când primul nu se întâmplă. Dacă evenimentul este „a ieșit un număr par", contrarul lui este „a ieșit un număr impar". Dacă evenimentul este „bila extrasă este roșie", contrarul este „bila extrasă nu este roșie".

Privește cu atenție un experiment: la fiecare probă, sau se întâmplă evenimentul, sau se întâmplă contrarul lui — niciodată amândouă, dar mereu unul dintre ele. De aceea, cazurile favorabile evenimentului plus cazurile favorabile contrarului dau toate cazurile posibile. La zar, „par" are 3 cazuri (2, 4, 6), „impar" are 3 cazuri (1, 3, 5), iar $3+3=6$, adică toate fețele.

Ce înseamnă asta pentru probabilități? Hai să adunăm:

$$P(\text{par})+P(\text{impar})=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}=\frac{6}{6}=1.$$

Nu e o întâmplare. Probabilitatea unui eveniment plus probabilitatea contrarului său este întotdeauna 1, fiindcă împreună acoperă toate rezultatele posibile. Scriem regula astfel:

$$P(\text{eveniment})+P(\text{contrar})=1,\text{deci}P(\text{contrar})=1-P(\text{eveniment}).$$

De ce e util? Pentru că uneori e mult mai ușor să numeri cazurile pe care nu le vrei. Imaginează-ți un săculeț cu 1 bilă neagră și 9 bile albe și întrebarea: care e probabilitatea să extragi o bilă care nu e neagră? În loc să numeri toate cele 9 albe, observă că „neagră" are doar 1 caz, deci $P(\text{neagra˘})=\frac{1}{10}$, iar contrarul „nu neagră" are probabilitatea $1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$. Același rezultat, dar cu mai puțină muncă. Ține minte trucul: când partea „nedorită" e mică, calculează-o pe ea și scade din 1.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Zarul și un număr mai mare decât 4

Enunț: Aruncăm un zar corect. Care este probabilitatea ca numărul obținut să fie mai mare decât 4?

Rezolvare:

• Cazuri posibile: fețele $1,2,3,4,5,6$, deci 6.
• „Mai mare decât 4" înseamnă strict peste 4, adică fețele 5 și 6. Atenție: 4 nu intră, fiindcă nu este mai mare decât el însuși. Avem deci 2 cazuri favorabile.
• $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,33\approx 33\%.$

Răspuns: $P=\frac{1}{3}$, adică aproximativ $33\%$.

Exemplul 2 — Bile colorate

Enunț: Într-o urnă sunt 5 bile verzi, 3 bile galbene și 2 bile negre, identice la pipăit. Extragem o bilă. Calculează probabilitatea de a extrage: a) o bilă galbenă; b) o bilă care nu este neagră.

Rezolvare:

• Total bile: $5+3+2=10$ cazuri posibile.

a) Cazuri favorabile pentru galben: 3. $$P(\text{galben})=\frac{3}{10}=0,3=30\%.$$

b) „Nu este neagră" înseamnă verde sau galbenă: $5+3=8$ cazuri favorabile. $$P(\text{nu neagra˘})=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8=80\%.$$

Răspuns: a) $\frac{3}{10}=30\%$; b) $\frac{4}{5}=80\%$.

Exemplul 3 — Cărți de joc

Enunț: Dintr-un pachet de 52 de cărți de joc, bine amestecat, tragem o carte. Care este probabilitatea să tragem: a) un as; b) o carte de cupă (un pachet are 13 cărți din fiecare dintre cele 4 culori)?

Rezolvare:

• Cazuri posibile: 52 de cărți.

a) Există câte un as în fiecare culoare, deci 4 ași. $$P(\text{as})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx 0,077\approx 7,7\%.$$

b) Cărțile de cupă sunt 13 din cele 52. $$P(\text{cupa˘})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0,25=25\%.$$

Răspuns: a) $\frac{1}{13}\approx 7,7\%$; b) $\frac{1}{4}=25\%$. Observă cum simplificarea fracției face răspunsul mult mai clar.

Exemplul 4 — Eveniment sigur, imposibil, probabil

Enunț: Aruncăm un zar. Pentru fiecare eveniment, spune dacă este sigur, imposibil sau probabil și calculează probabilitatea: a) „numărul este mai mic decât 7"; b) „numărul este 0"; c) „numărul este 3".

Rezolvare:

a) Toate fețele (1–6) sunt mai mici decât 7, deci toate 6 sunt favorabile. $$P=\frac{6}{6}=1\Rightarrow \text{eveniment sigur.}$$

b) Nicio față nu are valoarea 0, deci 0 cazuri favorabile. $$P=\frac{0}{6}=0\Rightarrow \text{eveniment imposibil.}$$

c) O singură față are 3, deci 1 caz favorabil. $$P=\frac{1}{6}\approx 0,17\approx 17\%\Rightarrow \text{eveniment probabil.}$$

Răspuns: a) $P=1$, sigur; b) $P=0$, imposibil; c) $P=\frac{1}{6}$, probabil.

Exemplul 5 — De la procent înapoi la numărul de cazuri

Enunț: Într-o cutie sunt 30 de creioane, unele colorate și restul simple. Probabilitatea de a extrage un creion colorat este $\frac{2}{5}$. Câte creioane colorate sunt în cutie?

Rezolvare: Știm raportul favorabile/posibile și totalul.

• Cazuri posibile: 30.
• $P=\frac{\text{colorate}}{30}=\frac{2}{5}$.
• Aflăm numărul de creioane colorate: din $\frac{2}{5}$ din 30 obținem $\frac{2}{5}\cdot 30=2\cdot 6=12$.

Verificare: $\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$. ✓

Răspuns: Sunt 12 creioane colorate. (Aici am folosit „aflarea unei părți dintr-un întreg", ca în lecția Aflarea unui procent dintr-un număr.)

Exemplul 6 — Compararea a două șanse

Enunț: La o roată a norocului împărțită în 12 sectoare egale, 3 sectoare sunt roșii, 4 sunt albastre și 5 sunt verzi. Pe ce culoare ai mai multe șanse să se oprească săgeata?

Rezolvare: Toate cele 12 sectoare sunt egale, deci sunt egal probabile. $$P(\text{roșu})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4},P(\text{albastru})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},P(\text{verde})=\frac{5}{12}.$$ Aducem la același numitor (12) pentru comparație: $\frac{3}{12}<\frac{4}{12}<\frac{5}{12}$.

Răspuns: Cele mai mari șanse sunt la verde, cu $P=\frac{5}{12}$. Cu cât un eveniment are mai multe cazuri favorabile din același total, cu atât probabilitatea lui este mai mare.

Exemplul 7 — Trucul evenimentului contrar

Enunț: Într-o cutie sunt 25 de jetoane numerotate de la 1 la 25. Extragem unul. Care este probabilitatea ca numărul de pe jeton să nu fie 13?

Rezolvare: Am putea număra toate jetoanele diferite de 13 (sunt 24), dar e mai elegant cu evenimentul contrar.

• Evenimentul „numărul este 13" are 1 caz favorabil din 25 posibile: $P(\text{este }13)=\frac{1}{25}$.
• Evenimentul cerut, „nu este 13", este contrarul lui: $$P(\text{nu este }13)=1-\frac{1}{25}=\frac{25}{25}-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}=0,96=96\%.$$

Răspuns: $P=\frac{24}{25}=96\%$. Șansa e foarte mare, aproape sigură — are sens, fiindcă doar un singur jeton din 25 ne strică.

Exemplul 8 — Zarul și un multiplu de 3

Enunț: Aruncăm un zar corect. Care este probabilitatea ca numărul obținut să fie un multiplu de 3? Dar să nu fie multiplu de 3?

Rezolvare:

• Cazuri posibile: $1,2,3,4,5,6$, deci 6.
• Multiplii de 3 de pe zar sunt 3 și 6 → 2 cazuri favorabile. $$P(\text{multiplu de }3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 33\%.$$
• Pentru „nu este multiplu de 3" folosim contrarul: $$P(\text{nu})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 67\%.$$

Verificare: $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$. ✓

Răspuns: $P(\text{multiplu de }3)=\frac{1}{3}$; $P(\text{nu})=\frac{2}{3}$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde se cere, scrie probabilitatea ca fracție simplificată și, dacă poți, și ca procent.

1. Aruncăm un zar. Câte cazuri posibile sunt? Enumeră-le.

2. Aruncăm un zar. Care sunt cazurile favorabile pentru evenimentul „a ieșit un număr impar"? Câte sunt?

3. Calculează probabilitatea ca la aruncarea unui zar să iasă numărul 6.

4. Calculează probabilitatea ca la aruncarea unui zar să iasă un număr impar.

5. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea să iasă cap?

6. Adevărat sau fals? „Probabilitatea unui eveniment poate fi egală cu $\frac{7}{5}$." Justifică.

7. Într-un sac sunt 7 bile roșii și 3 bile albe. Extragem o bilă. Calculează probabilitatea să fie albă.

8. Pentru sacul de la exercițiul 7, calculează probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie. Apoi adună cele două probabilități. Ce observi?

9. Completează: la aruncarea unui zar, evenimentul „a ieșit un număr mai mare decât 6" este ____ (sigur / imposibil / probabil), iar probabilitatea lui este ____.

10. Aruncăm un zar. Calculează probabilitatea ca numărul obținut să fie un divizor al lui 6.

11. Într-o clasă sunt 30 de elevi, dintre care 18 sunt fete. Alegem la întâmplare un elev. Care este probabilitatea să fie băiat? Scrie răspunsul și ca procent.

12. Potrivește fiecare eveniment cu probabilitatea lui (la aruncarea unui zar):

• a) „număr par" • • I. $\frac{1}{6}$
• b) „numărul 2" • • II. $\frac{1}{2}$
• c) „număr mai mic decât 3" • • III. $\frac{1}{3}$

13. Dintr-un pachet de 52 de cărți tragem una. Care este probabilitatea să tragem o carte cu figură (J, Q sau K)? În pachet sunt 12 astfel de cărți.

14. Într-o urnă sunt bile numerotate de la 1 la 20. Extragem una. Calculează probabilitatea ca numărul de pe bilă să fie multiplu de 3.

15. Probabilitatea de a extrage o bilă verde dintr-o cutie cu 40 de bile este $\frac{3}{8}$. Câte bile verzi sunt în cutie?

16. Adevărat sau fals? „Dacă un eveniment are probabilitatea 0, atunci el este sigur." Justifică.

17. O roată a norocului are 8 sectoare egale: 2 cu premiu mare, 3 cu premiu mic și 3 fără premiu. Calculează probabilitatea de a câștiga un premiu (mare sau mic).

18. Mică problemă. Într-un coș sunt mere și pere: 9 mere și 6 pere. a) Câte fructe sunt în total? b) Care este probabilitatea să iei la întâmplare o pară? c) Exprimă răspunsul de la b) ca procent.

19. Aruncăm un zar. Folosind regula evenimentului contrar, calculează probabilitatea ca numărul obținut să nu fie 6.

20. Într-o urnă sunt 4 bile roșii, 5 albastre și 1 verde. Extragem o bilă. a) Care este probabilitatea să fie verde? b) Care este probabilitatea să nu fie verde? Verifică prin adunare că cele două probabilități dau 1.

Răspunsuri și explicații

1. 6 cazuri posibile: $1,2,3,4,5,6$. Sunt cele șase fețe ale zarului.

2. Numerele impare de pe zar sunt $1,3,5$ → 3 cazuri favorabile.

3. O singură față are 6, din 6 posibile: $P=\frac{1}{6}\approx 17\%$.

4. Cazuri favorabile (impare): 1, 3, 5 → 3; posibile: 6. $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%$.

5. Moneda are 2 fețe; capul este 1 caz favorabil. $P=\frac{1}{2}=50\%$.

6. Fals. Orice probabilitate este între 0 și 1, iar $\frac{7}{5}=1,4>1$. O fracție supraunitară nu poate fi o probabilitate.

7. Total bile: $7+3=10$. Albe: 3. $P(\text{alba˘})=\frac{3}{10}=0,3=30\%$.

8. $P(\text{roșie})=\frac{7}{10}=70\%$. Suma: $\frac{3}{10}+\frac{7}{10}=\frac{10}{10}=1$. Observăm că suma probabilităților tuturor rezultatelor posibile este 1 (este sigur că iese o bilă, fie roșie, fie albă).

9. Imposibil; probabilitatea este $0$ (nicio față nu e mai mare decât 6, deci $\frac{0}{6}=0$).

10. Divizorii lui 6 sunt $1,2,3,6$ → 4 cazuri favorabile din 6. $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 67\%$.

11. Băieți: $30-18=12$. $P(\text{ba˘iat})=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4=40\%$.

12. a–II ($\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, pentru 2, 4, 6); b–I ($\frac{1}{6}$, doar fața 2); c–III ($\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, pentru 1 și 2, adică numerele mai mici decât 3).

13. $P(\text{figura˘})=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\approx 23\%$. Am simplificat $\frac{12}{52}$ împărțind cu 4.

14. Multiplii de 3 între 1 și 20: $3,6,9,12,15,18$ → 6 cazuri. $P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\%$.

15. Verzi $=\frac{3}{8}$ din 40 $=\frac{3}{8}\cdot 40=3\cdot 5=15$ bile verzi. Verificare: $\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$. ✓

16. Fals. Probabilitatea 0 înseamnă eveniment imposibil (niciun caz favorabil). Evenimentul sigur are probabilitatea 1.

17. Premii (mare sau mic): $2+3=5$ sectoare favorabile din 8. $P=\frac{5}{8}=0,625=62,5\%$.

18. a) $9+6=15$ fructe. b) $P(\text{para˘})=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. c) $\frac{2}{5}=\frac{40}{100}=40\%$.

19. Evenimentul „este 6" are 1 caz din 6: $P(\text{este }6)=\frac{1}{6}$. Contrarul: $P(\text{nu este }6)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\approx 83\%$. (Verificare directă: fețele 1, 2, 3, 4, 5 sunt favorabile, deci $\frac{5}{6}$.)

20. Total bile: $4+5+1=10$. a) $P(\text{verde})=\frac{1}{10}=10\%$. b) $P(\text{nu verde})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}=90\%$ (sau direct: $4+5=9$ bile ne-verzi din 10). Adunare: $\frac{1}{10}+\frac{9}{10}=\frac{10}{10}=1$. ✓

De reținut

• Probabilitatea unui eveniment este un raport: $P=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$, valabil când rezultatele sunt egal probabile.
• Cazurile favorabile sunt rezultatele care fac evenimentul să se întâmple; cazurile posibile sunt toate rezultatele experimentului.
• Probabilitatea este mereu un număr între 0 și 1: $P=0$ pentru evenimentul imposibil, $P=1$ pentru cel sigur, iar între ele pentru evenimente probabile.
• Aceeași probabilitate se poate scrie ca fracție, ca număr zecimal și ca procent — sunt trei haine ale aceluiași raport.
• Suma probabilităților tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment este 1.
• Evenimentul contrar se întâmplă exact când evenimentul dat nu se întâmplă, iar $P(\text{contrar})=1-P(\text{eveniment})$. Când partea „nedorită" e mică, e mai ușor să o calculezi pe ea și să o scazi din 1.

Greșeli frecvente

• Confunzi favorabilele cu posibilele. La „număr par pe zar", scrii $\frac{6}{3}$ în loc de $\frac{3}{6}$. Reține: jos pui totul (cazurile posibile), sus pui doar partea care ne convine. Dacă răspunsul iese mai mare decât 1, ai inversat fracția.
• Numeri greșit la „mai mare decât" / „mai mic decât". „Mai mare decât 4" nu include 4 (doar 5 și 6). „Cel puțin 4" sau „mai mare sau egal cu 4" include 4. Citește cu atenție cuvintele.
• Uiți să aduni toate categoriile la cazurile posibile. Dacă ai 4 roșii, 6 albastre și 2 negre, totalul este $4+6+2=12$, nu doar grupa care te interesează. Numără mereu toate obiectele.
• Folosești formula când șansele NU sunt egale. Formula simplă funcționează doar pentru zar corect, monedă echilibrată, bile identice etc. Dacă un zar e măsluit sau bilele au mărimi diferite, rezultatele nu mai sunt egal probabile și formula nu se mai aplică direct.

Joc acasă

1. Provocarea zarului — teorie vs. realitate. Aruncă un zar de 30 de ori și notează de câte ori iese fiecare față într-un tabel (vezi lecția Frecvența absolută și frecvența procentuală a datelor). Teoretic, probabilitatea fiecărei fețe este $\frac{1}{6}\approx 17\%$, deci ar trebui să apară de aproximativ 5 ori fiecare. Compară frecvențele tale reale cu această predicție. Vei vedea că nu iese fix 5 de fiecare — dar dacă ai răbdare și arunci de foarte multe ori, frecvențele se apropie de probabilitatea teoretică. Aceasta se numește „legea numerelor mari", pe înțelesul tău: cu cât repeți mai mult, cu atât realitatea se apropie de raport.

2. Săculețul de bile (sau de bomboane). Pune într-o pungă opacă 6 bomboane de o aromă și 4 de altă aromă (sau bile colorate). Înainte de a extrage, calculează probabilitatea fiecărei arome. Apoi extrage o bomboană fără să te uiți, notează aroma și pune-o înapoi; repetă de 20 de ori. Compară de câte ori a ieșit fiecare aromă cu probabilitatea calculată. Provocare: schimbă numărul de bomboane și prezice cum se schimbă șansele.

3. Loteria familiei. Scrie pe bilețele numerele de la 1 la 15 și pune-le într-un bol. Stabilește un eveniment „câștigător" (de exemplu „număr par" sau „multiplu de 3") și roagă pe fiecare membru al familiei să ghicească probabilitatea de câștig înainte de extragere. Cine se apropie cel mai mult de raportul corect câștigă. Verificați împreună numărând cazurile favorabile și cele posibile.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă un concept nou (probabilitatea) de ceva deja stăpânit (raportul și procentul), așa că cel mai bun sprijin este să subliniați continuitatea: probabilitatea nu e o materie străină, e doar un raport cu un nume special.

Cum să predați pas cu pas:

• Începeți concret, cu obiecte reale: un zar, o monedă, câteva bile sau bomboane colorate. Lăsați copilul să atingă și să numere. Abstractizarea (formula) vine după ce intuiția e formată.
• Insistați pe numărare corectă: „Câte sunt în total? Câte ne convin?". Multe greșeli vin din numărat, nu din formulă.
• Cereți mereu răspunsul în toate cele trei forme (fracție, zecimal, procent) — consolidează legătura cu lecțiile de procente.

Întrebări bune de pus:

• „Ce înseamnă că probabilitatea este 0? Dar 1?" (verifică înțelegerea evenimentelor sigur/imposibil)
• „Dacă răspunsul tău este $\frac{6}{3}$, poate fi corect? De ce nu?" (probabilitatea nu depășește 1 — un excelent test de auto-control)
• „Care eveniment are șanse mai mari și de unde știi?" (compararea fracțiilor)

Cum verificați că a înțeles: dați o situație nouă, de exemplu un sac cu trei culori de bile, și cereți probabilitatea pentru o culoare și pentru „nu este de culoarea X". Dacă rezolvă corect ambele și își verifică cu suma egală cu 1, conceptul este solid. Dacă inversează fracția, reveniți la întrebarea „ce pun jos, totul sau partea?".

Întrebări frecvente

Ce este probabilitatea unui eveniment în clasa a 6-a? Este un număr care arată cât de mari sunt șansele ca un eveniment să se întâmple. Se calculează ca raport între numărul cazurilor favorabile (rezultatele care ne convin) și numărul cazurilor posibile (toate rezultatele), atunci când acestea sunt egal probabile.

Cum calculez probabilitatea ca raport? Numeri câte rezultate fac evenimentul să se întâmple (cazuri favorabile) și câte rezultate sunt cu totul posibile, apoi scrii fracția favorabile/posibile și o simplifici. De exemplu, pentru „număr par pe zar": $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Care este probabilitatea la zar să iasă un anumit număr? Un zar corect are 6 fețe egal probabile, iar fiecare număr apare pe o singură față, deci probabilitatea este $\frac{1}{6}$, adică aproximativ $17\%$. Pentru „număr par" sau „număr impar" probabilitatea este $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Ce sunt cazurile favorabile și cazurile posibile? Cazurile posibile sunt toate rezultatele care pot apărea în experiment (la zar: 1–6). Cazurile favorabile sunt doar acele rezultate care fac evenimentul cerut să se întâmple (la „număr mai mare decât 4": 5 și 6).

Poate fi probabilitatea mai mare decât 1? Nu. Probabilitatea oricărui eveniment este întotdeauna un număr între 0 și 1. Dacă îți iese un rezultat mai mare decât 1 sau negativ, înseamnă că ai greșit numărătoarea sau ai inversat fracția.

Care e diferența dintre eveniment sigur, imposibil și probabil? Evenimentul sigur se întâmplă mereu și are probabilitatea 1; evenimentul imposibil nu se întâmplă niciodată și are probabilitatea 0; evenimentul probabil se întâmplă uneori, având o probabilitate strict între 0 și 1.

Cum transform o probabilitate în procent? Scrii probabilitatea ca fracție, o aduci la numitorul 100 sau împarți numărătorul la numitor și înmulțești cu 100. De exemplu, $\frac{1}{4}=0,25=25\%$, iar $\frac{2}{5}=0,4=40\%$.

De ce trebuie ca rezultatele să fie egal probabile? Formula simplă „favorabile supra posibile" funcționează doar dacă fiecare rezultat are aceeași șansă, ca la un zar corect sau o monedă echilibrată. Dacă un zar este măsluit sau bilele au mărimi diferite, șansele nu mai sunt egale și nu mai putem aplica formula direct.

Ce este evenimentul contrar și cum mă ajută? Evenimentul contrar (complementar) se întâmplă exact când evenimentul dat nu se întâmplă: contrarul lui „bilă roșie" este „bilă care nu e roșie". Probabilitatea lui se află scăzând din 1: $P(\text{contrar})=1-P(\text{eveniment})$. E un truc rapid când e mai ușor să numeri cazurile pe care nu le vrei. De exemplu, la zar, „nu iese 6" are probabilitatea $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.